메흘러 커널 은 양자 고조파 발진기 의 전파자 로 밝혀진 복합값 함수다.
멜러 공식 메흘러 (1866 )는 함수를[1]
E ( x , y ) = 1 1 − ρ 2 생략하다 ( − ρ 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 ρ x y ( 1 − ρ 2 ) ) , {\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{\sqrt{1-\rho ^{2}}\exp \좌(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{(1-\rho ^{2}\}\}오른쪽),},},}
그리고, 현대화된 표기법에서는 체중함수 exp(-x² )를 기준으로 헤르미테 다항식 H (.)의 관점에서 확장될 수 있음을 보여 주었다.[2]
E ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( ρ / 2 ) n n ! H n ( x ) H n ( y ) . {\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\inflat }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n! 2}}~{\mathit{H}_{n}(x){\mathit{H}_{n}(y)~.} 이 결과는 양자물리학, 확률론, 고조파 분석에서 수정된 형태로 유용하다.
물리학 버전 물리학에서는 양자 고조파 발진기 를 위한 해밀턴계의 기본 해법 , (녹의 함수 ), 또는 전파자 를 메흘러 커널 이라고 부른다. 그것은 근본적인 해결책 을 제공한다--- 가장 일반적인[3] 해결책 ((x ,t )
∂ φ ∂ t = ∂ 2 φ ∂ x 2 − x 2 φ ≡ D x φ . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}={\frac {2}\partial x^{2}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.} 연산자 D 의 직교 고유 특성은 헤르미트 함수 다.
ψ n = H n ( x ) 생략하다 ( − x 2 / 2 ) 2 n n ! π , {\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n! {\sqrt{\pi}}},} 해당 고유값(2n+1)을 사용하여 특정 솔루션 제공
φ n ( x , t ) = e − ( 2 n + 1 ) t H n ( x ) 생략하다 ( − x 2 / 2 ) . {\displaystyle \varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~~ H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.} 그런 다음 일반 용액은 이것들의 선형 결합이다. 초기 조건 ((x,0)
φ ( x , t ) = ∫ K ( x , y ; t ) φ ( y , 0 ) d y , {\displaystyle \varphi(x,t)=\int K(x,y;t)\varphi(y,0)dy~,} 여기서 커널 K 는 분리 가능한 표현을 가지고 있다.
K ( x , y ; t ) ≡ ∑ n ≥ 0 e − ( 2 n + 1 ) t π 2 n n ! H n ( x ) H n ( y ) 생략하다 ( − ( x 2 + y 2 ) / 2 ) . {\displaystyle K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt{\pi }}}{\sqrt{\2^{n}n! 2}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2}/2)~.} 메흘러의 공식을 이용해서
∑ n ≥ 0 ( ρ / 2 ) n n ! H n ( x ) H n ( y ) 생략하다 ( − ( x 2 + y 2 ) / 2 ) = 1 ( 1 − ρ 2 ) 생략하다 ( 4 x y ρ − ( 1 + ρ 2 ) ( x 2 + y 2 ) 2 ( 1 − ρ 2 ) ) . {\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n! }}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp {\Bigl (}{4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}{\Bigr )}}~. } 이것을 K 의 표현에서 ρ 의 값 exp(2t)로 대체하면, Mehler의 커널은 마침내 읽는다.
K ( x , y ; t ) = 1 2 π 징징거리다 ( 2 t ) 생략하다 ( − 나무늘보 ( 2 t ) ( x 2 + y 2 ) / 2 + 고자질하다 ( 2 t ) x y ) . {\displaystyle K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}~\exp {\Bigl (}-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+{\text{cosech}. }
t = 0이면 변수 x 와 y 가 일치하여 초기 조건에 필요한 제한 공식이 발생한다.
K ( x , y ; 0 ) = δ ( x − y ) . {\displaystyle K(x,y;0)=\delta(x-y)~.} 근본적인 해결책으로서, 낟알은 첨가물이고,
∫ d y K ( x , y ; t ) K ( y , z ; t ′ ) = K ( x , z ; t + t ′ ) . \displaystyle \int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~~ } 이것은 커널 K의 공감 회전 구조와 더 관련이 있다.[4]
확률 버전 멜러의 결과는 확률과도 연결될 수 있다. 이를 위해 변수 /sv2 , y y /sv2 H (.)(-x² )에서 '확률론자의' 에르미이트 다항식 Hhe x² /2)로 변경해야 한다. 그러면 E 가 된다.
1 1 − ρ 2 생략하다 ( − ρ 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 ρ x y 2 ( 1 − ρ 2 ) ) = ∑ n = 0 ∞ ρ n n ! H e n ( x ) H e n ( y ) . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n! 2}}~{\mathit{He}_{n}(x){\mathit{He}_{n}(y)~.} 여기서 왼쪽은 p(x,y)/p(x)p(y) 이며, 여기서 p(x,y) 는 변수 이바리테이트 가우스 확률 밀도 함수로서 평균 .
p ( x , y ) = 1 2 π 1 − ρ 2 생략하다 ( − ( x 2 + y 2 ) − 2 ρ x y 2 ( 1 − ρ 2 ) ) , {\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{1\pi {\sqrt{1-\rho^{2}}:}\exp \left{\frac{{(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\}}}}\오른쪽),},},},} 및 p(x), p(y) x 와 y (둘 다 표준 정규)의 해당 확률 밀도다.
일반적으로 인용되는 결과 형식을 따른다(키블 1945).[5]
p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ) ∑ n = 0 ∞ ρ n n ! H e n ( x ) H e n ( y ) . {\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {\rho ^{n}}{n! 2}}~{\mathit{He}_{n}(x){\mathit{He}_{n}(y)~.} 이러한 (x,y)
c ( i u 1 , i u 2 ) = 생략하다 ( − ( u 1 2 + u 2 2 − 2 ρ u 1 u 2 ) / 2 ) . {\displaystyle c(iu_{1},property_{2}=\expect(u_{1}^{2}+u_{2} }^{2}-2\rho u_{1}u_{2}/2)~.} 이는 다음과 같이 확대될 수 있다.
생략하다 ( − ( u 1 2 + u 2 2 ) / 2 ) ∑ n = 0 ∞ ρ n n ! ( u 1 u 2 ) n . {\displaystyle \expect(u_{1}^{2}+u_{2} }^{2}/2)\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {\rho ^{n}}{n! }}}}(u_{1}u_{2})^{n}~.} 그러면 역 푸리에 변환은 위의 확장 공식을 즉시 산출한다.
이 결과는 다차원 사례로 확장될 수 있다(키블 1945, 슬레피안 1972,[6]
분수 푸리에 변환 Hermite 함수 ψ n 푸리에 변환 의 정형화된 고유 기능이기 때문에,
F [ ψ n ] ( y ) = ( − i ) n ψ n ( y ) , {\displaystyle {\mathcal {F}[\psi _{n}(y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,} 조화 분석 과 신호 처리 에서, 그들은 푸리에 연산자를 대각선화한다.
F [ f ] ( y ) = ∫ d x f ( x ) ∑ n ≥ 0 ( − i ) n ψ n ( x ) ψ n ( y ) . {\displaystyle {\mathcal {F}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.} 따라서 실제 각도 α 에 대한 연속 일반화는 쉽게 정의할 수 있다(Wiener , 1929;[8] Condon , 1937[9] 부분적 푸리에 변환 (FrFT), 커널을 사용하여 쉽게 정의할 수 있다.
F α = ∑ n ≥ 0 ( − i ) 2 α n / π ψ n ( x ) ψ n ( y ) . {\displaystyle {\mathcal{F}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\{n}\psi _{n}(x)\n}(y)~.} 이는 푸리에 변환 일반화하는 선형 변환의 연속적인 계열 로, απ /2-π/2 의 경우 역 푸리에 변환으로 감소한다.
메흘러 공식은 formula = exp(-iα)에 대해, 따라서 직접적으로 다음을 제공한다.
F α [ f ] ( y ) = 1 − i 요람을 달다 ( α ) 2 π e i 요람을 달다 ( α ) 2 y 2 ∫ − ∞ ∞ e − i ( csc ( α ) y x − 요람을 달다 ( α ) 2 x 2 ) f ( x ) d x . {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.} 제곱근은 결과의 인수가 [-118 /2, π /2] 구간에 있도록 정의된다.
만일 α 가 of의 정수배수라면, 위의 코탄젠트 및 코세칸트 함수는 분화한다.한계 에서 커널은 α의짝수 또는 홀수 배수에 대해 Δ(x-y) Δ(x+y )의 디락 델타 함수 로 간다.F 2 {\ displaystyle {\mathcal {F}^{2}} f ] = f (- x )]이므로, α 각각 F (x )(-x ) 여야 한다 .
참고 항목 참조 ^ Mehler, F. G. (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German) (66): 161–176, ISSN 0075-4102 , ERAM 066.1720cj ^ Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions. Vol. II , McGraw-Hill스캔 : p.13 10.13 (22) ^ 폴리, W, 웨이브 메카니즘: Pauli의 물리학 강의 제5권 (물리학에 관한 도버 북스, 2000) ISBN 0486414620 ; 섹션 44 참조.^ 지수에서 2차 형태 는 -1/2 인수에 이르며, Sp(2,2 ℝ)에서 가장 단순(단수, 대칭)의 동시적 행렬 을 포함한다. 그것은 ( x M y {\ displaystyle (x,y){\mathbf {M}{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix},~} M ≡ 고자질하다 ( 2 t ) ( 코쉬 ( 2 t ) − 1 − 1 코쉬 ( 2 t ) ) , {\displaystyle {\mathbf {M}}\equiv {\text{cosech}(2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)\cosh(2t)&\cosh(2t)\end{pmatrix},},},} 그래서 동정적 메트릭스를 보존하고 M T ( 0 1 − 1 0 ) M = ( 0 1 − 1 0 ) . {\displaystyle {\mathbf {M}^{\text{ T}~{\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}{pmatrix}{{\begin{pmatrix}}={pmatrix}0&1\-0\end{pmatrix}}.} ^ Kibble, W. F. (1945), "An extension of a theorem of Mehler's on Hermite polynomials", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 41 : 12–15, doi :10.1017/S0305004100022313 , MR 0012728 ^ Slepian, David (1972), "On the symmetrized Kronecker power of a matrix and extensions of Mehler's formula for Hermite polynomials", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 3 (4): 606–616, doi :10.1137/0503060 , ISSN 0036-1410 , MR 0315173 ^ Hörmander, Lars (1995). "Symplectic classification of quadratic forms, and general Mehler formulas". Mathematische Zeitschrift . 219 : 413–449. doi :10.1007/BF02572374 . ^ Wiener , N (1929), "Hermitian Polyomials and Fourier Analysis", Journal of Mathematics and Physics 8: 70–73.^ 콘돈, E. U. (1937년)"연속적인 기능 변환 그룹에서 푸리에 변환의 구현", Proc. 나틀. 아카드. Sci. USA 23 , 158–164. 온라인 
=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fef130b65b78970374e39cbabcbf271b22d7e4)
=\int dxf(x)\sum _{{n\geq 0}}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3ea91402c790262f95baec52a351081245d48c)
={\sqrt {{\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}}~e^{{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}}\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}}f(x)\,{\mathrm {d}}x~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01d9ea704d135d386380e64673d3cd0b2bd4aec)
