조건부 확률 분포

확률론 및 통계학에서, 2개의 확률 $변수$ X(\ $displaystyle$ X)와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $Y$ 가 공존하는 경우 $,$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 에 $X$ 대한Y $(\displaystyle$ Y $)$ 의 $Y$ $조건부$ 확률 분포는X(\ $displaystyle$ X)에 $X$ 대한 Y(\ $displaystyle$ Y)의 $Y$ $확률$ 분포이다.특정 값으로 알려져 있습니다. 경우에 따라 조건부 확률은 $X$ 의 $X$ 되지 않은 값 $x$ (\ $displaystyle$ X $)$ 를 $x$ $X$ 매개 변수로 포함하는 함수로 표현될 수 있습니다.X $(\displaystyle$ X $)$ 와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 가 $Y$ 모두 범주형 변수인 경우, 조건부 확률을 나타내기 위해 일반적으로 조건부 확률 테이블이 사용됩니다.조건부 분포는 랜덤 변수의 한계 분포, 즉 다른 변수의 값을 고려하지 않은 분포와 대조됩니다.

$X($ 스타일 X $)$ 가 주어진 $X$ Y(표시 스타일 $Y$ $)$ 의 $Y$ $조건부$ 분포가 연속 분포인 경우, 그 확률밀도함수를 조건부 ^[1]밀도함수라고 한다.모멘트와 같은 조건부 분포의 속성은 종종 조건부 평균 및 조건부 분산과 같은 해당 이름으로 참조됩니다.

보다 일반적으로, 세 개 이상의 변수 집합의 부분 집합의 조건부 분포를 참조할 수 있다. 이 조건부 분포는 나머지 모든 변수의 값에 따라 결정되며, 두 개 이상의 변수가 부분 집합에 포함되는 경우, 이 조건부 분포는 포함된 변수의 조건부 결합 분포이다.구부러지다.

조건부 이산 분포

이산 랜덤 변수의 경우 X $X=x$ {\ $displaystyle$ X $=x}$ 일 $X=x$ $X=x$ Y{\ $displaystyle$ Y $}$ 의 $Y$ 조건부 확률 질량 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

$\displaystyle p_{Y X}(y\mid x)\displayq P(Y=y\mid X=x)=displayfrac {P(\{X=x\}\cap \{Y=y\}}}}{P(X=x)}}$

분모에 P $P(X=x)$ $P(X=x)$ ) { $displaystyle$ P $(X=x)}$ 이 $P(X=x)$ (가) 발생하므로 0이 아닌 $P(X=x).$ 하게 $P(X=x).$ 의) P $P(X=x).$ $P(X=x).$ x ) . { $displaystyle$ P $(X=x)$ 에 대해서만 정의됩니다 $.$ $}$

Y{\ $displaystyle$ Y $}$ 가 $Y$ 주어진X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ $확률$ 분포와의 관계는 다음과 같습니다.

\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y)}

예

공정한 주사위의 롤을 고려하여 숫자가 짝수인 경우 X $X=1$ $($ 예: 2, 4, 또는 6), $X=0$ 않은 경우 X $X=0$ $(\displaystyle$ X $=0)$ 으로 $X=1$ $X=0$ $X=1$ .또한 숫자가 소수(예: 2, 3, $Y=1$ 5)이면 Y $=$ 1 { $style$ Y $=1},$ $Y=0$ 않으면 Y $Y=0$ { $style$ Y $=0}$ 으로 $Y=0$ 합니다.

D	1	2	3	4	5	6
X	0	1	0	1	0	1
Y	0	1	1	0	1	0

그러면 X $X=1$ $(표시 스타일$ X $=1$ )의 $X=1$ 무조건 확률은 3/6 = 1/2인 반면(다이스의 6개의 롤이 있고, 그 중 3개가 짝수이므로), Y $Y=1$ $(표시$ $스타일$ Y= $1)$ 의 $Y=1$ $Y=1$ 확률은 1/3입니다( $표시$ 스타일 Y=1은 3개의 롤이 $있으므로$ ).1은 짝수입니다).

조건부 연속 분포

마찬가지로 연속 랜덤 변수의 경우 $X$ 의 $값$ x(\ $displaystyle$ X $)$ 가 $x$ $X$ 발생할 때 Y(\ $displaystyle$ Y $)$ 의 $Y$ 조건부 확률 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수^[2]^{: p. 99} 있다.

$f_{Y\mid X}(y\mid x)=f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)$

반면에 정보를 알아내기 X(}{\displaystyle f_{X}())X{X\displaystyle}의 한계 밀도를 준다 어디 fX, Y(), y){\displaystyle f_{X,Y}(x, y)},. 또한 이 사건에서 fX())을 필요하다;0{\displaystyle f_{X{X\displaystyle}, Y{Y\displaystyle}의 공동 밀도를 준다.X}( $x)>0$ 입니다.

Y{\ $displaystyle$ Y $}$ 가 $Y$ 주어진X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ $확률$ 분포와의 관계는 다음과 같다.

f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x,y)=f_{X Y}(x\mid y)f_{Y}(y)

연속 랜덤 변수의 조건부 분포의 개념은 보기만큼 직관적이지 않습니다.보렐의 역설은 조건부 확률 밀도 함수가 좌표 변환에서 불변할 필요는 없다는 것을 보여준다.

예

이변량 정규 접합 밀도

이 그래프는 랜덤 $X$ 와 $X$ $Y$ 에 대한 이변량 정규 접합 밀도를 보여 줍니다. $X=70$ $X=70$ 70( $디스플레이 스타일$ X $X=70$ 70)에 $대한$ Y( $디스플레이$ 스타일 Y $)$ 의 $Y$ $Y$ 를 보려면 $먼저$ X $=$ $(디스플레이 스타일$ X $=70)$ 의 $X=70$ $X,Y$ $X=70$ 을 X, $YY 스타일$ X, Y 스타일 X= $70$ (디스플레이 $스타일$ X=70)ane를 선택한 다음 해당 선이 포함된 평면을 X $,$ $(\displaystyle$ X $,Y)$ $X,Y$ 에 $X,Y$ 수직으로 시각화합니다.해당 평면과 접합부 법선 밀도의 교차점은 교차로 아래의 단위 면적을 제공하기 위해 크기가 조정된 경우Y(\ $style$ Y $Y$ 의 관련 조건부 밀도입니다.

$(\displaystyle Y\mid X=70\sim \\mathcal {N}\left(\mu _{1}+{\frac _{1}}{\frac _{2}), (1-\rho ^{2})\rho _{1}\right).}$

독립과의 관계

랜덤 $변수$ X(\ $displaystyle$ X $X$ $(\$ $displaystyle$ Y $)$ 는 $Y$ X $(\displaystyle$ X)의 $Y$ $X$ 조건부 분포가 X $(\displaystyle$ X $X$ 의 $Y$ 한 모든 구현에 대해 Y $(\displaystyle$ Y $Y$ 의 $무조건$ 분포와 동일한 경우에만 독립적입니다.임의의 변수 이 P(Y)yX)))를 의미한다)PP(X)))을의 모든 예상 y{이\displaystyle}, 탭{\displaystyle)}에(Y)y){P(Y=y X=x)=P(Y=y)\displaystyle};0{\displaystyle P(X=x)>0}. 예를 들면 연속 확률 변수 X{X\displaystyle}, Y{Y\displaystyle}, 조인을 할 것입니다.tdens $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ 함수는 f $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ Y( $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ X $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ ) $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ ( $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ $){$ $displaystyle$ $f_{Y}(y$ X = $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ x)= $f_{Y}($ y)}의 $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ 모든 가능한 $y$ $및$ x { $displaystyle$ x $}($ x $f_{X}(x)>0$ 가 $f_{X}(x)>0$ ) > $0$ 인 $y$ 것을 $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ 합니다.

특성.

$주어진$ x({ $displaystyle$ x $x$ 에 대한 y $({displaystyle$ y $})$ 의 $y$ 함수로 간주되는 P $Y = y X = x$ $displaystyle$ X $=$ x}) $y$ 는 $P(Y=y|X=x)$ 확률 질량 함수이므로 $모든$ y(또는 조건부 확률 밀도인 경우 적분)에 대한 합계는 1입니다. $y$ 에 대한 x $($ $표시$ $스타일$ x $y$ 의 $x$ 함수로 볼 때, 이는 우도 함수이므로 $x$ ( $표시$ 스타일 $x$ x $)$ 전체의 합계가 1일 필요는 없습니다.

또한, 결합분포의 한계값은 대응하는 조건부 분포의 기대치로 표현될 수 있다. $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ 를 들어 p $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ ( $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ ) $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ Y [ $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ X $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ ( $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ Y ) $]{$ $display$ style $p_{X}(x$ ) $=$ $E_{Y}[p_{XY}(X\Y$

측정이론제

$($ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ )(\ $displaystyle (\Omega, {\mathcal$ {F $}, P))$ 을 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 확률 공간, $f$ F $(\$ displaystyle ${G}\subseteq$ { $F$ $})$ a $\sigma$ \ $displaystyle \sigma$ } (\displaystyle { $F$ ) - 필드 $\sigma$ .m은 G $(\$ $P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R}$ P $P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R}$ $P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R}$ G $P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R}$ : that $P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R}$ $(\$ 가 있음을^[3] 나타냅니다. $\Omega$ \ $to \mathbb {R}$ 다음과 같이 조건부 확률이라고 불립니다.

\displaystyle \int _{G}P(A\mid {mathcal {G})(\obega)dP(\obega)=P(A\cap G)}

G\in {\mathcal {G}}

G

G\in {\mathcal {G}}

G \ \

displaystyle

G \

in

\

mathcal

{

G

}

G\in {\mathcal {G}}

such 、 이러한 랜덤 변수는 확률 0까지 고유하게 정의됩니다.P

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

display (

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

display

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

B

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

) (

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

\

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

displaystyle

\operatorname

{

P }

( \

cdot

\

mid

\

mathcal

{ B } ) ( \

obega

,

\

mathcal

{

F

} )이

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )

(

\omega \in \Omega

)의

(\Omega ,{\mathcal {F}})

확률 측도일 경우 조건부 확률은 정규라고 불립니다

\omega \in \Omega

특수한 경우:

단순 시그마 ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ G ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ { ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ 、 $ω }$ { displaystyle { $mathcal$ { G } $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ \ { \ $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ , \ $Omega$ \ ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ } $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ ⁡ ( $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ ) $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ \ $display$ \ $oper torn$ { $P }$ （ $A$ 。 $}$
$A\in {\mathcal {G}}$ ${\$ A $\in$ {\ $mathcal$ {G $A\in {\mathcal {G}}$ 이면 $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}$ $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}$ $）$ $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}$ $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}$ \ $display \operatorname$ {P} ( $A\mid \mathcal {G$ }) = $1$ _ { $A$ 인디케이터 기능(아래 정의).

$X:\Omega \to E$ X $X:\Omega \to E$ : $X:\Omega \to E$ $X:\Omega \to E$ $X:\Omega \to E$ \ $displaystyle$ X : $\Omega$ \ $to$ E는 $X:\Omega \to E$ $(E,{\mathcal {E}})$ ( $(E,{\mathcal {E}})$ $)$ { $displaystyle (E,$ {\ $mathcal {E}}})$ 값 랜덤 $(E,{\mathcal {E}})$ 변수입니다 $.$ $B\in {\mathcal {E}}$ B $(\$ B $\in\mathcal {E$ 에 대해 정의합니다.

\mu _{X,\mathcal {G}}(B, {\mathcal {G}})=\mathrm {P}(X^{-1}(B), {\mathcal {G})}).

임의의

(\displaystyle \Omega

\in \Omega

\omega \in \Omega

에 대해

\mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R}

\mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R}

\mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R}

G

\mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R}

: E

\mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R}

(\

_

{X,

{

G}}}(cdot,

{G}(\mathcal {

G})(\mathcal {G

})(\

mathcal {\mathcal

})

: {\mathBBBBBB} \

mathc

} \mathc} \mathcal {\mathcal {\mathBBBBB} \

m

ystyle

{\

mathcal {G

(

(E,{\mathcal {E}})

)

{

style(E,

{\

mathcal {E

에

(E,{\mathcal {E}})

대한 확률 측도인 경우 정규라고 합니다.

실수값 랜덤 변수( $\sigma$ $\$ 의 보렐 ${\\displaystyle\sigma}$ ${\mathcal {R}}^{1}$ ${\mathcal {R}}^{1}$ 1 $\$ 에 ${\mathcal {R}}^{1}$ 대하여)의 경우 모든 조건부 확률 분포는 ^[4]정규 분포입니다. $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ 경우 $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ E [ $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ G $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ ] $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ - $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ μ ( $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ x , $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ $){$ $displaystyle$ E [ $X$ \ $mid$ \ $mathcal$ { G } = \ $int$ _ { - \ $infty }^{$ - \ $infty }x$ , \ $mu$ ( \ $cdot )$ 는 $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ 거의 확실하다.

조건부 기대와의 관계

A $A\in {\mathcal {F}}$ F $A\in {\mathcal {F}}$ \ $displaystyle$ A \ $in$ \ $mathcal$ { $F$ } $A\in {\mathcal {F}}$ a a for for ::: :::::: ::: ::: :: :::

\mathbf {1} _{A}(\obe)=\guries{case}1\guries{\text{if}}\guries{\text{if}}}\guries{\text{cases}}\ope {\mathbf}\notin A,\end{cases}}}

랜덤 변수입니다.이 랜덤 변수의 기대값은 A 자체의 확률과 같습니다.

\operatorname {E}(\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P}(A).\;

${\$ { $displaystyle$ $\$ $sigma }$ - ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ G ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ F ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ \ $displaystyle$ \ $mathcal$ { G } \ $subseteq$ { $F$ 일 때 조건부 $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})$ P $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})$ ( $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})$ G $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})$ ) \ $displaystyle \operatorname$ { $P$ } ( A $\ mid$ \ cal { $G$ } )는 $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})$ 조건의 기대 함수입니다.

\operatorname {P} (A\mid {mathcal {B})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {mathcal {B}})\;

정규 조건부 확률에 대한 랜덤 변수의 기대는 조건부 기대와 같다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

인용문

^ Ross, Sheldon M. (1993). Introduction to Probability Models (Fifth ed.). San Diego: Academic Press. pp. 88–91. ISBN 0-12-598455-3.
^ Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
^ 빌링슬리(1995), 430페이지
^ 빌링슬리(1995), 439페이지

원천

Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (3rd ed.). New York, NY: John Wiley and Sons.

[1] Ross, Sheldon M. (1993). Introduction to Probability Models (Fifth ed.). San Diego: Academic Press. pp. 88–91. ISBN 0-12-598455-3.

[KunIlPark-2] Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[3] 빌링슬리(1995), 430페이지

[4] 빌링슬리(1995), 439페이지

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조건부 이산 분포

예

조건부 연속 분포

예

독립과의 관계

특성.

측정이론제

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