다항식 수열
이 글은 실선에 있는 직교 다항식군에 관한 것입니다. 미분을 사용하는 세그먼트에 대한 다항식 보간은 에르미트 보간을 참조 하십시오. 에르미트 다항식의 적분 변환은 에르미트 변환을 참조 하십시오. 수학 에서 에르미트 다항식은 고전적 인 직교 다항식 시퀀스입니다.
다항식은 다음과 같습니다.
에르미트 다항식은 [1] [2] 1810년 피에르시몽 라플라스에 의해 정의되었고, 1859년 파프누티 체비셰프에 의해 자세히 연구되었습니다.[3] 체비셰프의 연구는 간과되었고, 그것들은 나중에 1864년에 다항식을 새로운 [4] 헤르미테의 이름 을 따서 지어졌습니다. 비록 헤르미테가 그의 후기 1865년 출판물에서 다차원 다항식을 처음으로 정의했지만, 결과적으로 그것들은 새로운 것이 아니었습니다.
정의. 다른 고전적 인 직교 다항식 과 마찬가지로, 에르미트 다항식은 여러 다른 시작점에서 정의될 수 있습니다.처음부터 공통적으로 사용되는 두 가지 다른 표준화가 있다는 점에 주목하여 한 가지 편리한 방법은 다음과 같습니다.
"확률론자의 에르미트 다항식" 은 다음과 같이 주어진다. H e n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 2 d n d x n e − x 2 2 , display{style{\mathit{He}_{n}(x)={n}e^{n}{\frac{x^{2}}{2}}{\frac{d^{n}}{{n}}}e^{-{\frac{x^{2}}}}}},} "물리학자의 에르미트 다항식" 은 다음과 같이 주어진다. H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 . {\displaystyle H_{n}(x)={n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{{d^{n}}}e^{-x^{2}}}. 이 방정식들은 로드리게스 공식 의 형태를 가지며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
H e n ( x ) = ( x − d d x ) n ⋅ 1 , H n ( x ) = ( 2 x − d d x ) n ⋅ 1. display{style{mathit{He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac{d}{d}}\right) ^{n}\cdot 1,\cdot H_{n}(x)=\left(2x-{\frac{d}{n}}\right) ^{n}\cdot 1.}
두 정의는 정확하게 동일하지 않습니다. 각각의 정의는 다른 정의의 크기 조정입니다.
H n ( x ) = 2 n 2 H e n ( 2 x ) , H e n ( x ) = 2 − n 2 H n ( x 2 ) . 표시 스타일 H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\display{{\mathit {He}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}}}}} H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}\right)}
분산이 다른 에르미트 다항식 시퀀스입니다. 아래 분산에 대한 자료를 참조하십시오.
He 와 H라는 표기법은 표준 [5] 다항식n He는 때때로 H로 표시 됩니다n , 특히 확률 이론에서,
1 2 π e − x 2 2 표시{style{frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{\frac{x^{2}}{2}}}} 기대값 이 0이고 표준 편차가 1인 정규 분포의 확률 밀도 함수입니다.
처음 6개의 확률론자의 에르미트 다항식 He n x ) 처음 6개의 (물리학자의) 에르미트 다항식 n (x ) 최초의 11개 확률론자의 헤르미트 다항식은 다음과 같습니다. H e 0 ( x ) = 1 , H e 1 ( x ) = x , H e 2 ( x ) = x 2 − 1 , H e 3 ( x ) = x 3 − 3 x , H e 4 ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 3 , H e 5 ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 15 x , H e 6 ( x ) = x 6 − 15 x 4 + 45 x 2 − 15 , H e 7 ( x ) = x 7 − 21 x 5 + 105 x 3 − 105 x , H e 8 ( x ) = x 8 − 28 x 6 + 210 x 4 − 420 x 2 + 105 , H e 9 ( x ) = x 9 − 36 x 7 + 378 x 5 − 1260 x 3 + 945 x , H e 10 ( x ) = x 10 − 45 x 8 + 630 x 6 − 3150 x 4 + 4725 x 2 − 945. 표시(\style{aligned}{\mathit{He}}_{0}(x)&=1,\{\mathit{He}}_{1}(x)&=x{\mathit{He}}_{2}(x)&=x^{\mathit{He}}_{3}(x)&=x\mathit{x}{4}{\mathit}{x}{x}{\mathit{\mathit}{\mathit}{\mathit}{x}{x{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He }}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\{\mathit{He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}+1260x^{3}+945x},\{\\\mathit{He}}{x4}={x4}{x4}{x4}^{x4}{x4}^{x4}^{\mathit}^{x} \end{aligned}}} 최초의 11가지 물리학자 에르미트 다항식은 다음과 같습니다. H 0 ( x ) = 1 , H 1 ( x ) = 2 x , H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 , H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x , H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 , H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x , H 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 , H 7 ( x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x , H 8 ( x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 , H 9 ( x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x , H 10 ( x ) = 1024 x 10 − 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240. 스타일 표시({{aligned}) H_{0}(x)&=1,\H_{1}(x)&=2x,\\ H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\ H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\ H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\ H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\ H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\ H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\ H_{9}(x)&=304x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\ H_{10}(x)&=304x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-4020000x^{4}+302400x^{2}-30240. \end{aligned}}} 특성. n차 에르미트 다항식은 n차 다항식입니다. 확률론자의 버전n H는 선행 계수 1을 갖는 반면 물리학자의 버전n H는 선행 계수n 2를 갖습니다.
대칭 위에 제시된 로드리게스 공식을 통해, 우리는 H (n He (따라 짝수 또는 홀수 함수임 n 알 수 있습니다.
H n ( − x ) = ( − 1 ) n H n ( x ) , H e n ( − x ) = ( − 1 ) n H e n ( x ) . {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n} H_{n}(x),\quad {{mathit {He}}_{n}(-x)={n1}^{n}{\mathit {He}}_{n}(x)}
직교성 Hn (x )n He(x ) 는 n = 0, 1, 2, 3, ...에 대한 이러한 다항식 은 가중치 함수(측정값 )에 대해 직교합니다.
w ( x ) = e − x 2 2 ( 위해서 H e ) {\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\displaystyle({\text{for}}{\mathit {He}})} 또는 w ( x ) = e − x 2 ( 위해서 H ) , {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\displaystyle({\text{ for }H}),} 즉, 우리는 가지고 있습니다. ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) w ( x ) d x = 0 절대로 m ≠ n . {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad{\for all}m\neq n}
더 나아가,
∫ − ∞ ∞ H e m ( x ) H e n ( x ) e − x 2 2 d x = 2 π n ! δ n m , \displaystyle \int_{-\infty}^{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}}{2}}},displaystyle \int_{\infty}^{\frac{2\pi}}}\,\n!\n,\{{n},\n},\n},\{{n},\n},\n},\n}. 또는 ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! δ n m , {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{x^{2}}\,dx=sqrt{pi}\,2^{n}n!\,\dx_{n}},\dx_{n}}를 표시합니다. 여기 nm {{nm} 크로네커 델타입니다.
따라서 확률론적 다항식은 표준 정규 확률 밀도 함수와 관련하여 직교합니다.
완전성 에르미트 다항식(확률론자 또는 물리학자)은 다음을 만족하는 함수의 힐베르트 공간의 직교 기저를 형성합니다.
∫ − ∞ ∞ f ( x ) 2 w ( x ) d x < ∞ , \"표시 스타일 \int_{-\infty}^{\infty}{\bigl}f(x){\bigr}^{2}\,w(x)\,display<\infty,} 내적이 적분에 의해 주어지는 것. ⟨ f , g ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ w ( x ) d x {\displaystyle \displaystyle f,g\rangle =\int _{-\infty}^{\infty}f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,displaystyle} 이전 섹션에 정의된 가우스 가중치 함수 (x ) 포함
L(R , w (x ) 대한 2 완전한 직교 시스템입니다. 직교 시스템의 경우 완전성 은 0 함수가 시스템의 모든 함수 에 직교하는 유일한 함수 L 2 (R ,w (x )
에르미트 다항식의 선형 스팬은 모든 다항식의 공간이기 때문에, 만약 f가 다음을 만족한다면 (물리학자의 경우)
∫ − ∞ ∞ f ( x ) x n e − x 2 d x = 0 {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,displaystyle=0} n 0 마다 f = 0 .
이를 위한 한 가지 가능한 방법은 전체 기능을 인식하는 것입니다.
F ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e z x − x 2 d x = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ∫ f ( x ) x n e − x 2 d x = 0 {\displaystyle F(z)=\int _{-\infty}^{\infty}f(x)e^{zx-x^{2}}\,display=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {z^{n}}{n! }}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,tftp=0} 동일하게 사라집니다. 그러면 모든 실수 에 대해 F (it) 0 f (x −x 2 )e f 는 거의 모든 곳에서 0입니다. 위의 완전성 증명의 변형은 지수적 감소를 가진 다른 가중치에 적용됩니다.
에르미트의 경우 완전성을 의미하는 명시적인 동일성을 증명할 수도 있습니다(아래 완전성 관계 섹션 참조).
에르미트 다항식이 L(R , w (x ) 대한 2 에르미트 함수(아래 참조)를 도입하고 에르미트 함수가 L(R ) 에 대한 2
에르미트 미분 방정식 확률론자의 에르미트 다항식은 미분 방정식의 해입니다.
( e − 1 2 x 2 u ′ ) ′ + λ e − 1 2 x 2 u = 0 , {\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}x^{2}x^{2} }}u=0,} 여기서 π 는 상수입니다. 무한대에서 다항식으로 경계되어야 하는 경계 조건을 부과하면, 방정식은 π가 음이 아닌 정수일 때만 해를 가지며, 해는 x = C 1 He λ x ) displaystyle 의해 C_{1}He_{\lambda }(x 여기 C1 ({ displaystyle C_{1}}
미분 방정식을 고유값 문제로 다시 쓰기
L [ u ] = u ″ − x u ′ = − λ u , {\displaystyle L[u]=u'-xu'=-\lambdau,} 에르미트 다항식 He λ displaystyle He_{\lambda}(x)} 연산자 u displaystyle [u]} 고유 함수로 이해할 수 있습니다. 이 고유값 문제는 에르미트 방정식이라고 불리지만, 이 용어는 밀접하게 관련된 방정식에도 사용됩니다. u ″ − 2 x u ′ = − 2 λ u . displaystyle u'-2'=-2\displayu. 그 = C 1 λ x ) displaystyle C_{1}H_{\lambda x 여기 C1 ({ displaystyle C_{ 무한대 로 제한되어야 하는 경계 조건을 부과한 후 상수를 나타냅니다.
위의 2차 미분 방정식에 대한 일반적인 해결책은 사실 헤르미테 다항식과 첫 번째 종류의 융합된 초기 기하학적 함수의 선형 조합입니다. 예를 들어, 물리학자의 에르미트 방정식의 경우
u ″ − 2 x u ′ + 2 λ u = 0 , displaystyle u'-2'+2\display u=0,} 일반적인 해결책은 형태를 취합니다. u ( x ) = C 1 H λ ( x ) + C 2 h λ ( x ) , {\displaystyle u(x)= C_{1}H_{\lambda }(x)+ C_{2}h_{\lambda }(x),} 여기 C1 ({1}} C2 ({ 2}) H (x)({\lambda}) h (x )(x lambda}) 후자의 함수는 h λ x = 1 F 1 λ 12 x displaystyle h_{\ _{1 }F_{1}(-{\tfrac{lambda}{2}};{\tfrac{1 }{2 }};x^{2}}, 여기 F1 (a;b;z) 번째 종류의 융합 초기 기하학적 함수 입니다. 기존의 에르미트 다항식은 아래를 참조하여 합류 초기하 함수로 표현할 수도 있습니다.
보다 일반적인 경계 조건에서 에르미트 다항식을 일반화하여 복소수 π 에 대한 보다 일반적인 분석 함수를 얻을 수 있습니다. 윤곽 적분 (Courant & Hilbert 1989) 의 관점에서 에르미트 다항식의 명시적 공식도 가능합니다.
반복 관계 확률론자의 에르미트 다항식의 순서는 또한 반복 관계를 만족시킵니다.
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − H e n ′ ( x ) . 표시({style {mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x)} 개별 계수는 다음과 같은 재귀 공식에 의해 관련됩니다. a n + 1 , k = { − ( k + 1 ) a n , k + 1 k = 0 , a n , k − 1 − ( k + 1 ) a n , k + 1 k > 0 , {\displaystyle a_{n+1,k}=displaystyle{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}} 그리고 0,0 a = 1 1,0 a = 0 1,1 a = 1.
물리학자의 다항식의 경우, 다음과 같이 가정합니다.
H n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x k , {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}} 우리는 가지고 있다. H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n ′ ( x ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x)} 표시 개별 계수는 다음과 같은 재귀 공식에 의해 관련됩니다. a n + 1 , k = { − a n , k + 1 k = 0 , 2 a n , k − 1 − ( k + 1 ) a n , k + 1 k > 0 , {\displaystyle a_{n+1,k}=syslog{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}} 그리고 0,0 a = 1 1,0 a = 0 1,1 a = 2.
에르미트 다항식은 아펠 수열을 구성합니다. 즉, 항등식을 만족시키는 다항식 수열입니다.
H e n ′ ( x ) = n H e n − 1 ( x ) , H n ′ ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) . display{style{\mathit{He}}_{n}'(x)&=n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x). \end{aligned}}} 마찬가지로 테일러 확장 에 의해 H e n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k H e k ( y ) = 2 − n 2 ∑ k = 0 n ( n k ) H e n − k ( x 2 ) H e k ( y 2 ) , H n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H k ( x ) ( 2 y ) ( n − k ) = 2 − n 2 ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) H n − k ( x 2 ) H k ( y 2 ) . {\style{aligned}{\mathit{He}}_{n}(x+y)&=\sum_{k=0}^{n}{\bin{n}{k}}{\mathit{He}}_{k}(y)&=2^{-{\frac{n}{n}}{{k}}{\math}{k}{\mathit}{x\mathrt}{k}{k}{\mathrt}{k}{k}{\math}{{\math}{k}{ H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}} H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&=2^{-{\frac{n}{2}}}\cdot \sum_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right) H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right). \end{aligned}}} 이러한 엄브럴 아이덴티티는 자명 하며 아래 에 상세히 설명된 미분 연산자 표현에 포함됩니다. H e n ( x ) = e − D 2 2 x n , H n ( x ) = 2 n e − D 2 4 x n . {\style{aligned}{\mathit{He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac{D^{2}}{2}}x^{n}},\\H_{n}&=2^{n}e^{-{\frac{2}}{4}}}x^{n}을 표시합니다. \end{aligned}}}
결과적으로, mth 미분에 대해 다음과 같은 관계가 유지됩니다.
H e n ( m ) ( x ) = n ! ( n − m ) ! H e n − m ( x ) = m ! ( n m ) H e n − m ( x ) , H n ( m ) ( x ) = 2 m n ! ( n − m ) ! H n − m ( x ) = 2 m m ! ( n m ) H n − m ( x ) . 표시{style{aligned}{\mathit{He}}_{n}^{(m)}(x)&={nfrac{n!}{(n-m)! }}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\H_{n}^{(m)}&=2^{\frac {n!}}{(n-m)! }}H_{n-m}(x)&=2^{m}m! {\binom {n}{binom} H_{n-m}(x). \end{aligned}}}
따라서 에르미트 다항식은 또한 반복 관계를 만족시킵니다.
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − n H e n − 1 ( x ) , H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) . 표시(\style{aligned}{\mathit{He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit{He}}_{n}-n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\H_{n+1}(x)&=2xH_{n-1}(x). \end{aligned}}}
이러한 마지막 관계는 초기 다항식 0 (x ) 및 1 (x ) 와 함께 다항식을 빠르게 계산하는 데 실제로 사용될 수 있습니다.
투란의 부등식은
H n ( x ) 2 − H n − 1 ( x ) H n + 1 ( x ) = ( n − 1 ) ! ∑ i = 0 n − 1 2 n − i i ! H i ( x ) 2 > 0. display{{style{mathit{H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit{H}_{n-1}(x){\mathit{H}}_{n+1}(x)=(n-1)! \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i! }}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}
또한, 다음 곱셈 정리는 다음과 같습니다.
H n ( γ x ) = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ γ n − 2 i ( γ 2 − 1 ) i ( n 2 i ) ( 2 i ) ! i ! H n − 2 i ( x ) , H e n ( γ x ) = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ γ n − 2 i ( γ 2 − 1 ) i ( n 2 i ) ( 2 i ) ! i ! 2 − i H e n − 2 i ( x ) . 스타일 표시({{aligned}) H_{n}(\gamma max)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\com ^{n-2i}(\binom {n}-1)^{i}{\frac {(2i)! }{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gammax)&=\sum_{i=0}^{\left\lfloor{{tfrac{2}}\right\rfloor}\l ^{n-2i}(\binom{i}-1)^{i}{i}{\frac{i}{i}{\frac{i! }}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x). \end{aligned}}}
명시적 표현 물리학자의 에르미트 다항식은 다음과 같이 명시적으로 쓰여질 수 있습니다.
H n ( x ) = { n ! ∑ l = 0 n 2 ( − 1 ) n 2 − l ( 2 l ) ! ( n 2 − l ) ! ( 2 x ) 2 l 짝수로 n , n ! ∑ l = 0 n − 1 2 ( − 1 ) n − 1 2 − l ( 2 l + 1 ) ! ( n − 1 2 − l ) ! ( 2 x ) 2 l + 1 홀수로 n . {\displaystyle H_{n}(x)=displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {{\tfrac {n}{2}}-l}{(2l)! \leftpx\tfrac{n}{2}}-l\right)! }}(2x)^{2l}&{\text{짝수}n,\\\displaystyle n!\sum_{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}-l}{(2l+1)! \leftpx\frac {n-1}{2}-l\right)! }}(2x)^{2l+1}&{\text{홀수 }}n. \end{cases}}}
이 두 방정식은 바닥 함수를 사용하여 하나로 결합할 수 있습니다.
H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m . {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum_{m=0}^{\left\lfloor{tfrac{n}{2}}\right\rfloor}{\frac{(-1)^{m}}{m!(n-2m)! }}(2x)^{n-2m}.}
확률론자의 에르미트 다항식 그는 2x의 거듭제곱을 π2x의 상응하는 거듭제곱으로 대체하고 전체 합에 2-.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}mw-parser-output .sfrac.tion,mw-parser-outparacion .{display:in-block;수직렬:0.num-size-smwmwtext-center;출력:mwmwmw-ser-s-s-s-center.mwtecent.m:
H e n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! x n − 2 m 2 m . {\displaystyleHe_{n}(x)=n!\sum_{m=0}^{\left\lfloor{tfrac{n}{2}}\right\rfloor}{\frac{(-1)^{m}}{m!(n-2m)! }}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}
역명시식 위의 명시적 표현식의 역수, 즉 확률론자의 에르미트 다항식 의 관점에서 단항식에 대한 표현식이다.
x n = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ 1 2 m m ! ( n − 2 m ) ! H e n − 2 m ( x ) . {\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\l floor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)! }}He_{n-2m}(x)}
물리학자 에르미트 다항식 H에 해당하는 표현식은 [6]
x n = n ! 2 n ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ 1 m ! ( n − 2 m ) ! H n − 2 m ( x ) . {\displaystyle x^{n}=displayfrac {n! }{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\l floor {tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)! }}H_{n-2m}(x)}
생성함수 에르미트 다항식은 지수 생성 함수에 의해 주어집니다.
e x t − 1 2 t 2 = ∑ n = 0 ∞ H e n ( x ) t n n ! , e 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! . 표시{style{\frac{1}{2}}t^{2}}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\mathit{He}}_{n}(x){\frac{t^{n}}{n! }},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty}H_{n}(x){\frac{t^{n}}{n! }}.\end{aligned}}}
이 동일성은 x 와 t의 모든 복소수 값에 유효하며, 전체 함수 e −z 2 x에 테일러 확장을 써서 얻을 수 있습니다(물리학자의 경우). 또한 다음과 같은 에르미트 다항식을 작성하기 위해 코시의 적분 공식을 사용 하여 (물리학자의) 생성 함수를 도출할 수 있습니다.
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = ( − 1 ) n e x 2 n ! 2 π i ∮ γ e − z 2 ( z − x ) n + 1 d z . {\displaystyle H_{n}(x)={n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{{n}}e^{-x^{2}}={n}e^{x^{2}}}{\frac {n! }{2\pi i}}\point_{\frac {e^{-z^{2}}{(z-x)^{n+1}}\,dz.}
합계에서 이것을 사용하는 것.
∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}},} 잔여물의 미적분을 사용하여 나머지 적분을 평가하고 원하는 생성 함수에 도달할 수 있습니다.
기대값 X 가 표준 편차가 1이고 기대값 이 μ인 정규 분포를 갖는 랜덤 변수라면,
E [ H e n ( X ) ] = μ의 n . {\displaystyle \operatorname{mathbb {E} \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}}.
표준 정규(기대값 0)의 모멘트는 짝수 지수의 관계에서 직접 읽을 수 있습니다.
E [ X 2 n ] = ( − 1 ) n H e 2 n ( 0 ) = ( 2 n − 1 ) ! ! , {\displaystyle \operatorname{\mathbb {E} \left[X^{2n}\right]={n1}^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,} 여기서 (2n - 1)!! 이중 요인입니다.위의 표현식은 확률론자의 에르미트 다항식을 모멘트로 표현하는 특별한 경우입니다. H e n ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( x + i y ) n e − y 2 2 d y . display{style{mathit{He}}_{n}(x)=sqfrac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}(x+iy)^ {n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}\,dy.}
점근적 팽창 점근적으로, n → π 로서, 확장[7]
e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ 2 n π Γ ( n + 1 2 ) 코스 ( x 2 n − n π 2 ) \displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)\simfrac {2^{n}}{\sqrt}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt{n\pi}}{2})}}}-{\right}}}} 사실입니다. 더 넓은 범위의 평가와 관련된 특정 경우에는 진폭을 변경할 수 있는 계수를 포함해야 합니다. e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ 2 n π Γ ( n + 1 2 ) 코스 ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 = 2 Γ ( n ) Γ ( n 2 ) 코스 ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 , \displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)\simfrac {2^{n}}{\sqrt}\gamma \left\frac {n+1}{2}}\cos \left(xfrac {n\pi}{2}}})\left({{{\frac{\frac}{\frac}{\frac}{2}{\frac}}}{\frac}}{\frac}{\frac }}\cos \left(x440sqrt {2n}}-{\frac {n\pi}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}},} 스털링의 근사치를 사용 하여, 한계에서, 더 단순화할 수 있습니다. e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ ( 2 n e ) n 2 2 코스 ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 . 표시 스타일 e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}\right)^{\frac {n}{2}}{\cos \left(x{\sqrt {2n}}}}-{\frac {{2}}{\frac}{1}{\frac}{\frac}{{\frac}{n1}{\right}{1}{\frac}}{\frac}}{
이 확장은 양자 조화 진동자의 파동 함수를 해결하여 대응 원리의 한계에서 고전적인 근사치와 일치하도록 하는 데 필요합니다.
주파수의 변화를 설명하는 더 나은 근사치는 다음과 같습니다.
e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ ( 2 n e ) n 2 2 코스 ( x 2 n + 1 − x 2 3 − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 . 표시 스타일 e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}\cos \left(x{\sqrt {2}}\frac {2n+1}}}-{\frac {\frac {npi}}{\right}{1}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\f
가장자리 근처의 0의 간격이 일정하지 않은 것을 고려한 더 미세한 [8]
x = 2 n + 1 코스 ( φ ) , 0 < ε ≤ φ ≤ π − ε , {\displaystyle x=displaysqrt {2n+1}}\cos(\varphi),\display 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon,} 동일한 근사를 갖는. e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = 2 n 2 + 1 4 n ! ( π n ) − 1 4 ( 죄악 φ ) − 1 2 ⋅ ( 죄악 ( 3 π 4 + ( n 2 + 1 4 ) ( 죄악 2 φ − 2 φ ) ) + O ( n − 1 ) ) . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {n! }}(\pin)^{-{\frac{1}{4}}}(\sin \varphi)^{-{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\sin \left\frac{3\pi}{4}}}+\left\frac{1}{\frac{4}}\right)\left(\varphi \right)+(\right)\right). O\left(n^{-1}\right)\right)}
단조 및 전이 영역에 대해서도 유사한 근사치가 유지됩니다. 구체적으로, 만약에.
x = 2 n + 1 코시 ( φ ) , 0 < ε ≤ φ ≤ ω < ∞ , {\displaystyle x=displaysqrt {2n+1}}\cosh(\varphi),\display 0<\varepsilon \lepi \leq \omega <\infty,} 그리고나서 e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = 2 n 2 − 3 4 n ! ( π n ) − 1 4 ( 죄악의 φ ) − 1 2 ⋅ e ( n 2 + 1 4 ) ( 2 φ − 죄악의 2 φ ) ( 1 + O ( n − 1 ) ) , \displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}{\sqrt {n! }}(\pin)^{-{\frac{1}{4}}}(\sinh \varphi)^{-{\frac{1}{2}}}\cdote^{\left({\frac{n}{2}}}}+{\frac{1}{4}\right)\left(2\varphi -\varphi \right)}}\left(1O\left(1\left), 의 기간 동안 x = 2 n + 1 + t {\displaystyle x=sksqrt {2n+1}}+t} t복잡하고 경계가 있는 , 근사는 e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = π 1 4 2 n 2 + 1 4 n ! n − 1 12 ( 아이 ( 2 1 2 n 1 6 t ) + O ( n − 2 3 ) ) , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {n! }}\,n^{-{\frac{1}{12}}\left(\operatorname{Ai}\left(2^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{6}}t\right)+ O\left(n^{-{\frac{2}{3}}}\right)\right),} 여기 서 Ai는 첫 번째 종류의 Airy 함수입니다.
특수값 0 인수n (0) 에서 평가된 물리학자의 에르미트 다항식을 에르미트 수라고 합니다 .
H n ( 0 ) = { 0 홀수로 n , ( − 2 ) n 2 ( n − 1 ) ! ! 짝수로 n , {\displaystyle H_{n}(0)=sysbegin{cases}0&{\text{홀수 }}n,\(-2)^{\frac{n}{2}}(n-1)!! &{\text{짝수}}n,\end{cases}}} 이 값 n 재귀 관계 H(0) = -2(n n − 2 - 1) H(0)를 만족합니다.
확률론자의 다항식의 관점에서 이것은 다음과 같습니다.
H e n ( 0 ) = { 0 홀수로 n , ( − 1 ) n 2 ( n − 1 ) ! ! 짝수로 n . {\displaystyleHe_{n}(0)=syslogbegin{cases}0&{\text{홀수 }}n,\(-1)^{\frac{n}{2}}(n-1)!! &{\text{짝수}}n. \end{cases}}}
기타 기능과의 관계 라게르 다항식 에르미트 다항식은 라게르 다항식 의 특수한 경우로 표현할 수 있습니다.
H 2 n ( x ) = ( − 4 ) n n ! L n ( − 1 2 ) ( x 2 ) = 4 n n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n − 1 2 n − k ) x 2 k k ! , H 2 n + 1 ( x ) = 2 ( − 4 ) n n ! x L n ( 1 2 ) ( x 2 ) = 2 ⋅ 4 n n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n + 1 2 n − k ) x 2 k + 1 k ! . 스타일 표시({{aligned}) H_{2n}(x)&={n4}^{n}n! L_{n}^{\left(-{\frac{1}{2}}\right)}(x^{2}}&=4^{n}n! \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}x! L_{n}^{\left({\frac{1}{2}}\right)}(x^{2}}&=2\cdot 4^{n}n! \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k! }}.\end{aligned}}}
합류하는 초기하 함수와의 관계 물리학자의 에르미트 다항식은 포물선 원통 함수의 특별한 경우로 표현할 수 있습니다.
H n ( x ) = 2 n U ( − 1 2 n , 1 2 , x 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=2^{n} U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)} 오른쪽 반평면 에서, 여기 서 U (a, b, z) 는 트리코미의 합류 초기하학 함수입니다.유사하게, H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! n ! 1 F 1 ( − n , 1 2 ; x 2 ) , H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! n ! 2 x 1 F 1 ( − n , 3 2 ; x 2 ) , 스타일 표시({{aligned}) H_{2n}(x)&={n1)^{n}{\frac{(2n)! }{n!}}\,_{1}F_{1}{\big(}-n,{\tfrac{1}{2}};x^{2}{\big)},\H_{2n+1}&={n}{\frac{(2n+1)! }{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big(}-n,{\tfrac{3}{2}};x^{2}},\end{aligned}}}} 여기 1 F(a , b ;z ) M (a ,b ;z ) 합류 초기하학 함수입니다.
미분 연산자 표현 확률론자의 에르미트 다항식은 항등식을 만족시킵니다.
H e n ( x ) = e − D 2 2 x n , {\style{mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}x^{n}}을(를) 표시합니다. 여기 서 D는 x에 대한 미분을 나타내며 지수 는 멱급수 로 확장하여 해석됩니다.다항식에서 작동할 때 이 시리즈의 수렴에 대한 섬세한 질문은 없습니다. 왜냐하면 많은 용어가 완전히 사라지기 때문입니다.
지수의 멱급수 계수가 잘 알려져 있고, 다항식 n 계수 n 대한 구체적인 공식을 생성합니다.
바이어슈트라스 변환 와이즈 D 2 (√ 2 n Hen (x 2 x임 n 알 수 있습니다. 따라서 본질적으로 바이어슈트라스 변환은 일련의 에르미트 다항식을 상응하는 맥클라우린 시리즈 로 바꿉니다.
He(x ) = g (D )같은n g (D )n 존재한다는 것은 이러한 다항식이 어필 시퀀스를 형성한다는 진술과 또 다른 동등한 것입니다. 그것들은 항소 시퀀스이기 때문에, 그것들은 포티오리아 셰퍼 시퀀스 입니다.
등고선 적분 표현 위의 생성 함수 표현으로부터, 우리는 에르미트 다항식이 다음과 같이 등고선 적분의 관점에서 표현된다는 것을 알 수 있습니다.
H e n ( x ) = n ! 2 π i ∮ C e t x − t 2 2 t n + 1 d t , H n ( x ) = n ! 2 π i ∮ C e 2 t x − t 2 t n + 1 d t , display{style{aligned}{\mathit{He}}_{n}(x)&=displayfrac{n! }{2\pi i}}\point_{C}{\frac {e^{t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\H_{n}(x)&={nfrac {n! }{2\pi i}}\point_{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}\,dt,\end{aligned}}} 윤곽선이 원점을 둘러싸도록 합니다.
일반화 위에서 정의된 확률론자의 에르미트 다항식은 밀도 함수가 다음과 같은 표준 정규 확률 분포에 대해 직교합니다.
1 2 π e − x 2 2 , 표시{\style{frac {1}{\sqrt {2\pi}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} 기대값이 0이고 분산이 1입니다.
스케일링, 일반화된 에르미트 [9] 대해 유사하게 말할 수 있습니다.
H e n [ α의 ] ( x ) 표시({style {mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)} 분산 α, 여기 서 α는 임의의 양수입니다.이들은 밀도 함수가 다음과 같은 정규 확률 분포와 관련하여 직교합니다. ( 2 π α의 ) − 1 2 e − x 2 2 α의 . {\displaystyle (2\pi \alpha)^{-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}}. 그들은 다음과 같이 주어집니다. H e n [ α의 ] ( x ) = α의 n 2 H e n ( x α의 ) = ( α의 2 ) n 2 H n ( x 2 α의 ) = e − α의 D 2 2 ( x n ) . 표시({style\mathit {He}}_{n}^{[\alpha]})=\alpha^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt{{alpha}}}}\right)=\left\frac {n}^{\frac}}}}{\frac {{2}}}}}}{\frac{{{{}}}}}}}}}}를 표시합니다. H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac \alpha D^{2}}}\left(x^{n}\right)}
자, 만약에
H e n [ α의 ] ( x ) = ∑ k = 0 n h n , k [ α의 ] x k , {\style{mathit {He}}_{n}^{[\alpha]}(x)=\sum_{k=0}^{n,k}^{[\alpha]}x^{k}}}을(를) 표시합니다. n번째 항이 다음과 같은 다항식 수열 ( H e n [ α의 ] ∘ H e [ β ] ) ( x ) ≡ ∑ k = 0 n h n , k [ α의 ] H e k [ β ] ( x ) \displaystyle \left\mathit {He}_{n}^{[\alpha]}\colon \mathit {He}}^{[\beta]}\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha]}\,{\mathit {He}^{[\beta]}(x)}(x) 두 다항식 시퀀스의 탯줄 구성 이라고 합니다. 그것은 정체성을 만족시키는 것으로 보여질 수 있습니다. ( H e n [ α의 ] ∘ H e [ β ] ) ( x ) = H e n [ α의 + β ] ( x ) {\displaystyle \left\mathit {He}}_{n}^{[\alpha]}\timeout{mathit {He}}{[\beta]}(x)={n}^{[\alpha +\calpha ]}(x){\{n}^{{\alpha +\calpha}}}(x)} 그리고. H e n [ α의 + β ] ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H e k [ α의 ] ( x ) H e n − k [ β ] ( y ) . {\mathit {He}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum_{k=0}^{\binom {n}{k}{\mathit {He}_{k}^{[\alpha]}(x){\mathit {He}_{n-k}^{[\beta]}(y})(y)를 표시합니다. 마지막 동일성은 이 매개 변수화 된 다항식 시퀀스 패밀리를 교차 시퀀스라고 함으로써 표현됩니다. (상세 설명 순서 및 차등 연산자 표현 에 대한 위의 섹션을 참조하십시오. 차등 연산자 표현은 이를 쉽게 도출할 수 있습니다. α = β = 1 / 2 이항 유형 동일성은 #재귀 관계 에 대한 위 섹션에서 이미 발견되었습니다.)
"음의 분산" 탯줄 구성 연산 에 따라 다항식 순서가 그룹 을 형성하기 때문에, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
H e n [ − α의 ] ( x ) 표시({style {mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)} 유사하게 표시된 수열과 반대이지만 마이너스 부호가 없는 수열, 따라서 음의 분산의 에르미트 다항식을 말합니다. α > 0의 경우 , Hen α ] displaystyle {\mathit {He}} _{ }^{[-\ ]}(x) Hen α x 해당
이는 정규 확률 분포의 모멘트로 발생합니다. 기대값 μ와 분산 δ 2 갖는 정규 분포의 n번째 모멘트는
E [ X n ] = H e n [ − σ 2 ] ( μ의 ) , {\displaystyle E[X^{n}]=displaymathit {He}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu,})} 여기 서 X는 지정된 정규 분포를 갖는 랜덤 변수입니다.교차 서열 동일성의 특별한 경우는 다음과 같습니다. ∑ k = 0 n ( n k ) H e k [ α의 ] ( x ) H e n − k [ − α의 ] ( y ) = H e n [ 0 ] ( x + y ) = ( x + y ) n . \"표시 스타일 \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}{\alpha}}{\mathit {He}}(x){\mathit {He}_{n-k}^{[-\alpha]}}(y)={n}^{0}}(x+y)^{n}{n}}(x+y)^{n}{n}{n}{n}^{n}{n}{n}{n}}{n}}{n}}}{n}}}{n}}}
적용들 에르미트 함수 물리학자의 다항식에서 헤르미테 함수(흔히 헤르미테-가우스 함수라고 함)를 정의할 수 있습니다.
ψ n ( x ) = ( 2 n n ! π ) − 1 2 e − x 2 2 H n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n n ! π ) − 1 2 e x 2 2 d n d x n e − x 2 . {\displaystyle \psi_{n}(x)=\left(2^{n}n)n! {\sqrtpi}\right)^{-{\frac{1}{2}}e^{-{\frac{x^{2}}{2}}} H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n! {\sqrtpi}\right)^{-{\frac{1}{2}}e^{\frac{x^{2}}{\frac{d^{n}}{{\frac{d^{n}}}e^{-x^{2}}}} 따라서, 2 ( n + 1 ) ψ n + 1 ( x ) = ( x − d d x ) ψ n ( x ) . {\style {2(n+1)}}을(를) 표시합니다. ~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x)}
이러한 함수에는 가중치 함수의 제곱근이 포함되어 있고 적절하게 스케일링되었기 때문에 정규 분포를 따릅니다.
∫ − ∞ ∞ ψ n ( x ) ψ m ( x ) d x = δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty}\psi_{n}(x)\psi_{m}(x)\,displaystyle=\infty_{nm}} 그리고 그것들은 L(R ) 의 직교 2 이 사실은 에르미트 다항식에 대한 해당 문장과 동일합니다(위 참조).
Hermite 함수는 Whitaker 함수(Whitaker & Watson 1996 n D(z )와 밀접한 관련이 있습니다.
D n ( z ) = ( n ! π ) 1 2 ψ n ( z 2 ) = ( − 1 ) n e z 2 4 d n d z n e − z 2 2 \displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt{pi}}\right)^{\frac{1}}\psi_{n}\left\frac{2}}{\right)}={n}e^{\frac{z^{2}}}{\frac{d^{n}}}{\frac{n}}}}{\frac{\frac{\frac{z^{2}}}}}}{\frac{\frac{\frac{z^{ 다른 포물선 실린더 기능으로 연결됩니다.
에르미트 함수는 미분 방정식을 만족시킵니다.
ψ n ″ ( x ) + ( 2 n + 1 − x 2 ) ψ n ( x ) = 0. \"표시 스타일 \psi _{n}"(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi_{n}(x)=0.} 이 방정식은 양자역학에서 고조파 진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식과 동일하므로 이러한 함수가 고유 함수입니다.
Hermite 기능: 0(파란색, 솔리드), 1(주황색, 점선), 2(녹색, 점선), 3(빨간색, 점선), 4(보라색, 솔리드) 및 5(갈색, 점선)
ψ 0 ( x ) = π − 1 4 e − 1 2 x 2 , ψ 1 ( x ) = 2 π − 1 4 x e − 1 2 x 2 , ψ 2 ( x ) = ( 2 π 1 4 ) − 1 ( 2 x 2 − 1 ) e − 1 2 x 2 , ψ 3 ( x ) = ( 3 π 1 4 ) − 1 ( 2 x 3 − 3 x ) e − 1 2 x 2 , ψ 4 ( x ) = ( 2 6 π 1 4 ) − 1 ( 4 x 4 − 12 x 2 + 3 ) e − 1 2 x 2 , ψ 5 ( x ) = ( 2 15 π 1 4 ) − 1 ( 4 x 5 − 20 x 3 + 15 x ) e − 1 2 x 2 . 표시({style{aligned}\psi_{0}(x)&=\pi ^{-{\frac{1}{4}}\,e^{-{\frac{2}}x^{2}},\psi_{1}(x)&={sqrt{2},\pi^{{{{\frac{1}}}{\frac{2}}\x,\frac{\rti^{2}{\pi^{\x}{\pi}{\frac{\pi,\pi^{\frac{1}{4}}\right ^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac{1}{2}}x^{2}},\\psi_{4}(x)&=\left(2xsqrt {6}}})^{-1},\pi^{\frac{1}\right},\left(4x4})^{2}{x\frac{\frac{\frac}}{\x\frac}}{\x\x\fac}{\x \end{aligned}}}
Hermite 기능: 0(파란색, 단색), 2(주황색, 점선), 4(녹색, 점선) 및 50(빨간색, 단색) 재귀 관계 에르미트 다항식의 재귀 관계에 따라, 에르미트 함수는 다음과 같이 정의됩니다.
ψ n ′ ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) − n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{n}'(x)=slotsqrt({frac {n}{2}})\,\psi_{n-1}(x)-{\sqrt({frac {n+1}{2}}})\psi_{n+1}(x)} 그리고. x ψ n ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) + n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) . {\displaystyle x\psi_{n}(x)=slotsqrt({frac {n}{2}})\,\psi_{n-1}(x)+{\sqrt({frac {n+1}{2}}})\psi_{n+1}(x)}
임의의 양의 정수 m에 대해 임의의 mth 도함수로 첫 번째 관계를 확장하면 다음과 같습니다.
ψ n ( m ) ( x ) = ∑ k = 0 m ( m k ) ( − 1 ) k 2 m − k 2 n ! ( n − m + k ) ! ψ n − m + k ( x ) H e k ( x ) . 표시 스타일 \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {frac {n!}{(n-m+k)! }}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x)}
이 공식은 He와 δ n 대한n
크라메르 부등식 실수 x에 대하여, 에르미트 함수는 하랄드 [10] [11] [12] 인한 다음의 경계를 만족합니다.
ψ n ( x ) ≤ π − 1 4 . 표시({style\bigl}\psi_{n}(x){\bigr}\leq \pi^{-{\frac{1}{4}}).
에르미트는 푸리에 변환의 고유 함수로서 기능합니다. 에르미트 함수 δ n (x )연속 푸리에 변환 F의 고유 함수 집합입니다. 이것을 보려면 물리학자 버전의 생성 함수를 가져와서 e −1 / 2 x 2 곱합니다. 이것이 주는
e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 x 2 H n ( x ) t n n ! . {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty}e^{-{\frac {1}{2}x^{2}}}x^{2}}} H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n! }}.}
왼쪽의 푸리에 변환은 다음과 같습니다.
F { e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 } ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i x k e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 d x = e − 1 2 k 2 − 2 k i t + t 2 = ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 k 2 H n ( k ) ( − i t ) n n ! . {\style{aligned}{\mathcal{F}}\left\{e^{-{\frac{1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}\right\}(k)&={\infty}^{\infty}e^{-ixk}{\frac{1}}{xt^{\frac}{2}{\t^2}{t^{\t}{\frac^{t^{t}}{t}}}}{\frac}{\t}{t^ }}\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac{1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac{(-it)^{n}}{n! }}.\end{aligned}}}
오른쪽의 푸리에 변환은 다음과 같습니다.
F { ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 x 2 H n ( x ) t n n ! } = ∑ n = 0 ∞ F { e − 1 2 x 2 H n ( x ) } t n n ! . 표시({style {\mathcal {F}}\left\sum _{n=0}^{\infty}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}} H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n! }}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac{1}{2}}x^{2}} H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n! }}.}
왼쪽과 오른쪽의 변형된 버전에서 t 의 거듭제곱을 동일하게 하면 결국 산출됩니다.
F { e − 1 2 x 2 H n ( x ) } = ( − i ) n e − 1 2 k 2 H n ( k ) . 표시({style {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}} H_{n}(x)\right\}=httpsi)^{n}e^{-{\frac{1}{2}}k^{2}}H_{n}(k)}
따라서 에르미트 함수 δn (x )(R ) 의 직교 2 푸리에 변환 [13] 대각선화 합니다.
에르미트 함수의 위그너 분포 n차 에르미트 함수의 위그너 분포 함수는 n차 라게르 다항식 과 관련이 있습니다. 라게르 다항식은
L n ( x ) := ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k , {\displaystyle L_{n}(x): =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}{\frac {(-1)^{k}}{k! }}x^{k},} 발진기 라게르 함수로 이어짐 l n ( x ) := e − x 2 L n ( x ) . {\displaystyle l_{n}(x): =e^{-{\frac{x}{2}}} L_{n}(x)} 모든 자연 정수 n에 대하여, 다음을 보는 것은 간단합니다[14] W ψ n ( t , f ) = ( − 1 ) n l n ( 4 π ( t 2 + f 2 ) ) , {\displaystyle W_{\psi_{n}}(t,f)={n}l_{n}{\big(}4\pi(t^{2}+f^{2}){\big)},} 여기서 x ∈ L 2 (R ,C )함수 W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ 2 ) x ( t − τ 2 ) ∗ e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x\left(t+{\frac{\frac{2}}\right)\,x\left(t-{\frac{\frac{2}}}\right) ^{*}\,e^{-2\piii\beta f}\,d\beta} 이것은 1946년 Hip Groenewold가 그 의 박사 [15] 양자 조화 진동자에 대한 근본적인 결과입니다. 그것은 위상 공간에서 양자 역학의 표준 패러다임입니다.
두 다항식 군 사이에는 추가적 인 관계가 있습니다 .
계수의 조합 해석 분산 1의 에르미트 다항식 He n x )계수 k 싱글톤 k 2 설정 된 n-원소의 (순차 없음) 파티션 수입니다. 이와 동등하게, 정확 하게 k개의 고정점을 가진 n개의 요소 집합, 즉 k개의 꼭짓점이 드러나지 않는 n개의 꼭짓점에 대한 완전 한 그래프의 일치 수입니다(실제로 헤르미테 다항식은 이러한 그래프의 일치 다항식입니다). 계수의 절대값의 합은 싱글톤과 쌍, 이른바 전화번호 로 분할된 총 수를 제공합니다.
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (OEIS 의 시퀀스 A000085 이 조합 해석은 다음과 같이 완전 한 지수 벨 다항식과 관련될 수 있습니다.
H e n ( x ) = B n ( x , − 1 , 0 , … , 0 ) , 표시({style {mathit {He}}_{n}(x)= B_{n}(x,-1,0,\ldots,0),} 여기 i 0 은 모두 2 입니다.
이 숫자들은 에르미트 [16]
T ( n ) = H e n ( i ) i n . {\displaystyle T(n)=displayfrac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}
완전성 관계 에르미트 다항식의 크리스토펠-다르부 공식 은 다음과 같다.
∑ k = 0 n H k ( x ) H k ( y ) k ! 2 k = 1 n ! 2 n + 1 H n ( y ) H n + 1 ( x ) − H n ( x ) H n + 1 ( y ) x − y . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)H_{n+1}(y)-}{x}.
게다가, 위의 에르미트 함수에 대한 다음의 완전성 동일성은 분포 의 의미에서 유지됩니다.
∑ n = 0 ∞ ψ n ( x ) ψ n ( y ) = δ ( x − y ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\psi_{n}(x)\psi_{n}(y)=\displaystyle(x-y),} 여기서 γ 는 디랙 델타 함수, γn (x y )R y x 2 대한 르베그 측도를 나타내며 수평 축에 대한 투영이 일반적인 르베그 측도가 되도록 정규화되었습니다.
이 분포 항등식은 Mhler의 공식 에서 u → 1 Wiener(1987) 를 따릅니다. -1 < u < 1
E ( x , y ; u ) := ∑ n = 0 ∞ u n ψ n ( x ) ψ n ( y ) = 1 π ( 1 − u 2 ) 해외의 ( − 1 − u 1 + u ( x + y ) 2 4 − 1 + u 1 − u ( x − y ) 2 4 ) , 표시 스타일 E(x,y;u): =\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)=sqrtpi {{{u^{2}}}}}{\exp \left{\frac{1-u}}}{4},{\frac{x+y}}}{\frac{\right^{u}}}{\frac{\frac{\frac{\frac{1}}}{\x}}}{\frac{\x 이는 종종 분리 가능한 [17] [18] ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) H n ( y ) n ! ( u 2 ) n = 1 1 − u 2 e 2 u 1 + u x y − u 2 1 − u 2 ( x − y ) 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n! }}\left()\frac{u}{2}}\right) ^{n}=nbfrac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}}}
함수(x , y ) → E (x , y u)는 R의 이변량 2 때 y = x 주위 따라서
∑ n = 0 ∞ u n ⟨ f , ψ n ⟩ ⟨ ψ n , g ⟩ = ∬ E ( x , y ; u ) f ( x ) g ( y ) ¯ d x d y → ∫ f ( x ) g ( x ) ¯ d x = ⟨ f , g ⟩ \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\psi_{n}\rangle \rangle \psi_{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}},dy,\to \int f(x){\overline {g(x)}},\langle =\langle} f 때
이것은 f가 에르미트 함수로 L(R ) 의2 일련의 벡터의 합으로 표현될 수 있다는 것 을 산출합니다.
f = ∑ n = 0 ∞ ⟨ f , ψ n ⟩ ψ n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty}\displayle f,\psi_{n}\rangle \psi_{n}}
E(x ,y ;u ) 에 대한 가우스 함수 의 푸리에 변환 이 반복적으로 사용됩니다.
ρ π e − ρ 2 x 2 4 = ∫ e i s x − s 2 ρ 2 d s 위해서 ρ > 0. 표시 스타일 \rho \rho \sqrt }e^{-{\frac \rho ^{2}}{4}}=\inte^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}\,ds\text{for }\rho > 0}.
에르미트 다항식은 다음과 같이 표현됩니다.
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( 1 2 π ∫ e i s x − s 2 4 d s ) = ( − 1 ) n e x 2 1 2 π ∫ ( i s ) n e i s x − s 2 4 d s . \"표시 스타일 H_{n}(x)={n}e^{x^{2}}{\frac{d^{n}}}{\left\frac{2}}\inte^{isx-{\frac{sqrt{pi}}}\inte^{n}}\frac{{n}}\frac{{\rta}}\frac{nta^{{n}}}{nt}}{{\rta}}}{\frac}}}{{\frac}}}}}}{\frac
H(x ) 와n H(y ) 에 대한n
E ( x , y ; u ) = ∑ n = 0 ∞ u n 2 n n ! π H n ( x ) H n ( y ) e − x 2 + y 2 2 = e x 2 + y 2 2 4 π π ∬ ( ∑ n = 0 ∞ 1 2 n n ! ( − u s t ) n ) e i s x + i t y − s 2 4 − t 2 4 d s d t = e x 2 + y 2 2 4 π π ∬ e − u s t 2 e i s x + i t y − s 2 4 − t 2 4 d s d t , 표시{\stylebegin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{u^{n}}{2^{n}n! {\sqrt{pi}}}, H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac{x^{2}+y^{2} }}{2}}\&=nbfrac{e^{\frac{x^{2}+y^{2} }}{2}}{4\pirt{pi}}\iint \left(\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{2^{n}}}{isx+ity-{s^{2}}}}{4}}}-{\frac{t^{2}}},\dt&{{\frac{\frac{\frac{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac{\frac}{\frac{ }}{2}}{4\pirt{pi}}\iinte^{-{\frac{ust}{2}}\,e^{isx+ity-{\frac{s^{2}}}{4}}-{\frac{t^{2}}}}\,ds,dt,\end{aligned}}}} 그리고 이것은 대체 하에서 가우스 커널의 푸리에 변환을 다시 사용하여 원하는 ID 결과의 해상도를 산출합니다. s = σ + τ 2 , t = σ − τ 2 . {\displaystyle s={sqrt {2}},\displayt={sqrt {2}},\displaystyle s=sqrt {2}}.
참고 항목 메모들 ^ Laplace (1811). "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultats des observations" [Memoire on definite integrals and their application to probabilities, and especially to the search for the mean which must be chosen among the results of observations]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France (in French). 11 : 297–347. ^ Laplace, P.-S. (1812), Théorie analytique des probabilités [Analytic Probability Theory ], vol. 2, pp. 194–203 외브르 ^ Tchébychef, P. (1860). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [On the development of single-variable functions]. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (in French). 1 : 193–200. 외브르 501–508년 에 수집되었습니다.^ Hermite, C. (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [On a new development in function series]. C. R. Acad. Sci. Paris (in French). 58 : 93–100. 외브르 2세, 293–303년에 수집되었습니다.^ Tom H. Koornwinder, Roderick S. C. Wong, Roel of Koek et al. (2010 ), Abramowitz & Stegun . ^ "18. Orthogonal Polynomials, Classical Orthogonal Polynomials, Sums" . Digital Library of Mathematical Functions . National Institute of Standards and Technology. Retrieved 30 January 2015 .^ Abramowitz & Stegun 1983, 페이지 508–510, 13.6.38 및 13.5.16 .^ Szegő 1955, 201페이지^ Roman, Steven (1984), The Umbral Calculus , Pure and Applied Mathematics, vol. 111 (1st ed.), Academic Press, pp. 87–93, ISBN 978-0-12-594380-2 ^ Erdelyi et al. 1955 , 페이지 207.^ Szegő 1955 .^ Indritz, Jack (1961), "An inequality for Hermite polynomials", Proceedings of the American Mathematical Society 12 (6): 981–983, doi :10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2 MR 0132852 ^ 이 경우 푸리에 변환의 단일 버전을 사용했으므로 고유값 은 (-i )n 입니다. 그런 다음 정체성의 후속 해결은 푸리에 변환의 분수를 포함한 검정력을 정의하여 사실상 뮐러 커널 인 분수 푸리에 변환 일반화를 사용합니다. ^ Folland, G. B. (1989), Harmonic Analysis in Phase Space , Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08528-9 ^ Groenewold, H. J. (1946). "On the Principles of elementary quantum mechanics". Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode :1946Phy....12..405G . doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4 . ^ Banderier, Cyril; Bousquet-Mélou, Mireille ; Denise, Alain; Flajolet, Philippe ; Gardy, Danièle; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "Generating functions for generating trees", Discrete Mathematics 246 (1–3): 29–55, arXiv :math/0411250 doi :10.1016/S0012-365X(01)00250-3 , MR 1884885 , S2CID 14804110 ^ 멜러, F. G. (1866), "Ueber die Entwicklungineer function von beliebigielen Variabelnach Lapaceschen Functionenhöher Ordnung" [고차 라플라스 함수에 따라 임의로 많은 변수의 함수의 개발에 대하여], 저널 푸어 라이네 운드와 수학 (독일어) (66) 161-176, 0075-0066, 0076, 0000256 0066).1720년.페이지 174, 예를 들어 (18) 및 페이지 173, 예를 들어 (13)을 참조하십시오. ^ Erdelyi et al. 1955 , 페이지 194, 10.13 (22). 레퍼런스 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Courant, Richard ; Hilbert, David (1989) [1953], Methods of Mathematical Physics , vol. 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4 Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions (PDF) , vol. II, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-019546-2 Fedoryuk, M.V. (2001) [1994], "Hermite function" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Koornwinder, Tom H. ; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Laplace, P. S. (1810), "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des observations", Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347 Oeuvres 12, 페이지 357-412 , 웨이백 머신 에서 2016-03-04 영어 번역 보관 완료 .Shohat, J.A.; Hille, Einar; Walsh, Joseph L. (1940), A bibliography on orthogonal polynomials , Bulletin of the National Research Council, vol. Number 103, Washington D.C.: National Academy of Sciences Suetin, P. K. (2001) [1994], "Hermite polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Szegő, Gábor (1955) [1939], Orthogonal Polynomials , Colloquium Publications, vol. 23 (4th ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1023-1 Temme, Nico (1996), Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics , New York: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3 Wiener, Norbert (1958) [1933], The Fourier Integral and Certain of its Applications (revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9 Whittaker, E. T. ; Watson, G. N. (1996) [1927], A Course of Modern Analysis ISBN 978-0-521-58807-2
외부 링크
용어가 존재할 때);
상수를 나타냅니다.![{\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd28acebdaa110fabe3992f687f29423254a55c)
미분 ![{\displaystyle L[u]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9c063b9635642e2c719ab2f27e1b4fc735d1bd)
상수이고, 
물리학자의 에르미트 다항식(제1종)이고, 
물리학자의 에르미트 함수(제2종)입니다.후자의 함수는 h
1 
![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f12afb3e2db62fb4c2a7c6ea30014f11c8e357)
![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5640650a71aa33680e2529c54882afa0fbdc07f8)
![{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7d3dc47d2f1a25f9e61c4a0d9a60976f021ce4)
![{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec45b353cde5a18ef5ca157d862ed11ab9a1aa0)
![{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d00c2194c7a0e26daee299039223b64576944)
![{\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9a80efc2653d0a0139901ef0f6ea8b1eb8920b)
![{\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8683ca448e692a11a7322016cb9b707d06e1cf86)
![{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5837bee35f542fb84d2764739a7cf5f6591f90f)
![{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e953dd07ad84827d7a870102e8a19128eb68083)
![{\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab66ca02db7af719827686cd7142869ac0cfef5)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd6245fd2ed6ba654bfd193ac51a918a474b8ea)
위키미디어 커먼즈의 에르미트 다항식 관련 매체
