파론도의 역설

Parrondo's paradox

게임 이론의 역설인 파론도의 역설은 패배 전략의 조합이 승리 전략이 된다고 설명했습니다.[1] 그것은 1996년에 역설을 발견한 그것의 창조자 후안 파론도의 이름을 따서 지어졌습니다. 좀 더 설명할 수 있는 설명은 다음과 같습니다.

한 쌍의 게임이 존재하는데, 각각은 승리보다 패배할 확률이 더 높으며, 이를 위해 게임을 번갈아 진행함으로써 승리 전략을 구성할 수 있습니다.

파론도는 물리학자 리처드 파인만이 대중화한 무작위 열 운동에서 에너지를 추출할 수 있다고 알려진 기계에 대한 생각 실험인 브라운 라쳇에 대한 그의 분석과 관련하여 이 역설을 고안했습니다. 그러나 엄격하게 분석하면 역설은 사라집니다.[2] 패론도의 역설이 발표되기 전 생물학에서는 다양한 패배 전략의 조합으로 이루어진 승리 전략이 탐구되었습니다.[3]

예시적인 예

먼저 파론도의 역설에 대한 개념을 명확히 하기 위해 간단한 예를 제시합니다. 그러나 하머와 애보트에 따르면,[4] 지난 두 가지 예(즉, 톱질 예와 동전 던지기 예)를 제외한 다른 예는 가장 엄격한 정의에서 파론도의 역설을 진정으로 보여주지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 특히 Parrondo의 역설은 점멸하는 Brownian ratchet에서 물리적으로 동기를 부여했기 때문에 이 ratchet 동작을 적절하게 유지하기 위해서는 스킵 프리 프로세스를 사용해야 하므로 +1 또는 -1 단위 페이오프 구조만 사용할 수 있습니다. 이에 대한 명시적인 설명은 동전 던지기 예를 참조하십시오.

단순한 예

다음과 같은 규칙으로 A 게임과 B 게임 두 가지 게임을 생각해 보십시오.

  1. A 게임에서는 게임을 할 때마다 1달러를 잃습니다.
  2. 게임 B에서 여러분은 얼마나 많은 돈이 남았는지를 세고, 만약 짝수라면 3달러를 따고, 그렇지 않으면 5달러를 잃게 됩니다.

주머니에 100달러부터 시작한다고 가정해 보세요. A 게임을 독점적으로 시작하면 100라운드에서 모든 돈을 잃을 것이 분명합니다. 마찬가지로 B게임을 단독으로 진행하기로 결정하면 100라운드에서 모든 돈을 잃게 됩니다.

하지만 B게임을 시작으로 A게임, B게임, B게임 등으로 게임을 진행하는 것을 고려해보세요(BABA... 2경기당 총 2달러를 꾸준히 벌게 된다는 것은 쉽게 알 수 있을 것입니다.

따라서, 각 게임이 단독으로 진행될 경우 패배 명제임에도 불구하고, B 게임의 결과는 A 게임의 영향을 받기 때문에 게임이 진행되는 순서는 B 게임이 얼마나 자주 돈을 버는지에 영향을 미칠 수 있고, 그 결과는 두 게임 중 하나가 단독으로 진행되는 경우와 다릅니다.

식물에 물주기

이제 화분에 심은 가정용 식물의 경우를 생각해 보세요. 식물로 할 수 있는 게임은 두 가지가 있습니다.

  1. 게임 A: 냄비에 계속해서 물을 붓습니다.
  2. 게임 B: 냄비에 물을 넣지 마세요.

식물을 살려두는 관점에서 보면 둘 다 게임에서 지고 있습니다. 시간이 지나면 식물이 너무 많은 물을 받아 썩거나 말라버릴 것입니다. 하지만 역설적으로, 이 식물은 신중하게 게임을 전환하고, 번갈아 가며 식물에 물을 주고, 물을 끄면 생명을 유지할 수 있습니다.

보행자 예시

식료품점에 가려고 하는 보행자의 상황을 고려해 보세요. 보행자는 두 가지 게임을 할 수 있습니다.

  1. 게임 A: 교통 상황에 상관없이 모든 길을 건너세요.
  2. 게임 B: 가만히 서 계세요.

보행자가 A만 재생하면 결국 차량에 치이게 됩니다. 하지만, 그들이 B만 한다면, 그들은 결코 목적지에 도착하지 못하고 그들의 위치에서 움직이지 않을 것입니다. 파론도의 역설은 해결책을 제시합니다: 반대로, 보행자가 신호등이 지나가기를 기다릴 때마다 길을 건너면, 그들은 안전하게 식료품점으로 갈 수 있습니다.

또다른 보행자의 예

이번에는 보행자가 제시간에 사무실에 도착하려고 합니다. 두 게임은 다음과 같습니다.

  1. 게임 A: 왼발을 땅에 놓습니다.
  2. 게임 B: 오른발을 땅에 대세요.

보행자가 A나 B만 재생하면 효과적으로 한쪽 발로 뛰어다닐 것입니다. 이것은 효율적인 여행 방법이 아니며 직장에 늦을 것이기 때문에 손실 전략입니다. 엄격한 분석을 통해 두 게임을 번갈아 하는 해결책이 있음을 알 수 있습니다. 즉, 보행자가 사무실까지 걸어가거나 뛰거나 심지어 도약할 수 있습니다.

학생이 시험을 작성하는 예

학생이 객관식 검정을 작성한다고 가정합니다. 단순화를 위해 검정이 참 또는 거짓인 문장의 목록이라고 가정합니다. 시험을 준비하기 위해 학생은 두 가지 게임 또는 전략을 생각해냅니다.

  1. 게임 A: 진술이 주어지면 "true"라고 대답합니다.
  2. 게임 B: 진술이 주어지면 "거짓"이라고 대답합니다.

게임 A나 B를 고수함으로써 학생은 항상 참이라고 대답하거나, 항상 거짓이라고 대답할 것입니다. 그러나 정답 분포가 짝수에 가까울 경우 두 전략 모두 약 50%의 등급을 부여하므로 허용되지 않을 수 있습니다. 좀 더 정교한 접근법은 학생들이 두 게임을 조심스럽게 번갈아 하도록 만들 것입니다. 각각의 진술에 대해 그들은 그것이 사실인지 거짓인지를 생각하고 그에 따라 대답할 수 있습니다. 즉, 역설적으로 학생이 주제를 알고 있다면 문제와 상관없이 항상 같은 답을 추측하는 것보다 이런 방법으로 더 좋은 점수를 받을 수 있습니다.

톱니모양의 예.

그림 1

그림 1과 같이 고도가 같은 두 점 A와 B가 있는 예를 생각해 보자. 첫 번째 경우에는, 그들을 연결하는 평평한 프로필이 있습니다. 여기, 우리가 임의의 방식으로 앞뒤로 움직이는 둥근 구슬들을 가운데에 두면, 그 구슬들은 임의로 굴리지만 같은 확률로 양쪽 끝을 향해 굴러갈 것입니다. 이제 두 점 사이에 톱니 모양의 프로파일이 있는 두 번째 경우를 생각해 보십시오. 또한, 구슬은 지역 기울기에 따라 양쪽 끝으로 구릅니다. 이제 그림 2와 같이 전체 프로파일을 오른쪽으로 기울이면 이 두 경우 모두 B 쪽으로 치우치게 될 것이 분명합니다.

이제 두 프로파일을 번갈아 가며 한 프로파일에서 다른 프로파일로 번갈아 가며 시간을 신중하게 선택하는 게임을 생각해 보세요.

그림 2

점 E에서 첫 번째 프로필에 구슬 몇 개를 남기면, 그들은 점 B를 향해 우선적인 움직임을 보여주는 평면상에서 자신을 분배합니다. 그러나 두 번째 프로파일을 적용하면 일부 구슬이 C 지점을 넘었지만 D 지점을 넘지 않은 구슬이 있을 때 대부분의 구슬이 E 지점(처음에 시작한 지점)으로 되돌아갈 수 있지만 구슬이 계곡으로 굴러갈 수 있는 충분한 시간이 주어지면 A 지점으로 향하는 구슬도 있을 것입니다. 그런 다음 다시 첫 번째 프로파일을 적용하고 단계를 반복합니다(점 C, D 및 E는 이제 A에 가장 가까운 최종 계곡을 참조하도록 한 단계 이동했습니다). 첫 번째 대리석이 D점을 넘기기 전에 C점을 넘는 대리석이 없다면, 우리는 첫 번째 대리석이 D점을 넘기기 직전에 다시 시작하기 위해 두 번째 프로파일을 적용해야 합니다.

결국 점 A에서는 구슬이 나오지만, 점 B에서는 구슬이 없다는 것은 쉽게 이해할 수 있습니다. 따라서 A 지점에 구슬이 있는 것을 승리로 정의하고 B 지점에 구슬이 있는 것을 패배로 정의하면, 우리는 (정확하게 선택된 시간에) 두 게임을 하는 것을 번갈아 하면서 분명히 승리합니다.

동전 던지기의 예

파론도의 역설을 보여주는 세 번째 사례는 도박 분야에서 도출됩니다. 다음과 같은 규칙으로 A게임과 B게임 두 가지 게임을 하는 것을 고려해 보세요. 편의상 게임을 하기 직전 t에서 {\ C_{t를 우리의 수도로 정의합니다.

  1. 게임에서 이기면 1달러를 벌고 지면 1달러를 포기해야 합니다. t에서 이기면 Ct+ = +1 {\} = }+ 단계 t에서 지면 Ct + 1 {\displaystyle C_{t+1} = C_{t}-1}이 됩니다.
  2. 게임 A에서는 P 1 = (-ϵ {\displaystyle P_{1} = (1/2) -\epsilon }을 이길 확률이 있는 편향된 코인 1을 던집니다. 여기서 ϵ {\displaystyle \epsilon }은 약간의 작은 양의 상수입니다. 이것은 분명히 장기적으로 지는 게임입니다.
  3. 게임 B에서 우리는 먼저 자본이 어떤 M 의 배수인지를 결정합니다 만약 그렇다면, 는 P2= ( /- ϵ {\displaystyle P_{2} = (1/ 10)-\epsilon }일 확률로 편향된 코인 2를 던집니다. 그렇지 않다면, 우리는 또 다른 편향된 코인 3을 던집니다. =(/ 4 ) - ϵ {\displaystyle P_{3} = (3 / 4) -epsilon}. 모듈로 M {\displaystyle M}의 역할은 래칫 치아에서와 같은 주기성을 제공합니다.

A 게임을 함으로써 우리는 장기적으로 거의 틀림없이 질 것이 분명합니다. Harmer와 Abbott는 을 통해 = 3 {\displaystyle M = 3} 및 ϵ = 0.005, {\displaystyle \epsilon = 0.005,} 게임 B도 거의 확실하게 패배하는 게임임을 보여줍니다. 실제로 게임 B는 마코프 체인이며, 상태 전이 행렬(다시 M=3)을 분석한 결과 코인 2를 사용할 때의 정상 상태 확률은 0.3836, 코인 3을 사용할 때의 정상 상태 확률은 0.6164입니다. 코인 2가 40% 가까이 선택되면서 B게임의 성과에 불균형적인 영향을 미쳐 패배 게임으로 귀결됩니다.

그러나 이 두 게임에서 지는 게임이 A의 두 게임에 이어 B의 두 게임(AABBAABB...)과 같이 서로 다른 순서로 진행될 때, 역설적으로 두 게임의 조합은 승리하는 게임입니다. A와 B의 모든 순서가 번갈아 나오는 것이 게임을 이기는 결과를 낳는 것은 아닙니다. 예를 들어, A의 한 게임과 B의 한 게임(ABAB...)은 지는 게임이고, A의 한 게임과 B의 두 게임(ABAB...)은 이기는 게임입니다. 이 동전 던지기의 예는 파론도의 역설의 표준적인 예가 되었습니다. 두 게임 모두 개별적으로 플레이할 때 패배하고 특정한 순서로 플레이할 때 승리하는 게임이 됩니다.

패러독스 해결

명백한 역설은 마르코프 체인,[6] 점멸 래칫,[7] 시뮬레이션 어닐링 [8]및 정보 이론을 포함한 여러 가지 정교한 접근 방식을 사용하여 설명되었습니다.[9] 명백한 역설을 설명하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다.

  • While Game B is a losing game under the probability distribution that results for modulo when it is played individually ( modulo is the remainder when is divided by 기대치가 긍정적인 상태가 적어도 하나 있기 때문에 다른 배포판에서 승리하는 게임이 될 수 있습니다.
  • B 게임의 결과 분포는 플레이어의 자본에 따라 달라지기 때문에 두 게임은 독립적일 수 없습니다. 만약 그렇다면, 어떤 순서로든 그것들을 플레이하는 것도 질 것입니다.

M M의 역할에 초점이 맞춰졌습니다. 오로지 게임 A와 게임 B 사이의 의존성을 유도하여 게임 B가 긍정적인 기대를 가지고 있는 상태에 플레이어가 진입할 가능성이 높아 게임 A의 손실을 극복할 수 있도록 하는 역할을 합니다. 이러한 이해를 통해 역설은 다음과 같이 해결됩니다. 개별 게임은 컴파운드 게임을 할 때 실제로 접하는 것과 다른 분포에서만 지고 있습니다. 요약하면, Parrondo의 역설은 의존성이 독립성이라는 순진한 가정 하에서 이루어진 확률론적 계산을 어떻게 파괴할 수 있는지를 보여주는 한 예입니다. 이 점에 대한 보다 자세한 설명은 몇 가지 관련 사례와 함께 Philips and Feldman에서 찾을 수 있습니다.[10]

적용들

파론도의 역설은 게임 이론에서 광범위하게 사용되며 공학, 인구 역학,[3] 재무 위험 등에 대한 적용이 활발한 연구 분야입니다. 파론도의 게임은 원래 게임이 상호작용하는 게임 중 적어도 하나의 보상을 플레이어의 자본에 의존하도록 요구하기 때문에 주식 시장에[11] 투자하는 것과 같은 실용적인 용도는 거의 없습니다. 그러나 게임은 원래 형태에 국한될 필요가 없으며 현상을 일반화하는 작업이 계속됩니다. 휘발성 펌핑과 두 봉투 문제의 유사성이[12] 지적되었습니다. 중앙값 장기 수익률이 마이너스인 개인 투자가 중앙값 장기 수익률이 플러스인 분산된 포트폴리오로 쉽게 결합될 수 있음을 증명하기 위해 단순한 금융 교과서 모델이 사용되었습니다.[13] 마찬가지로 여러 게임 간에 베팅을 분할하면 부정적인 중앙값 장기 수익률을 긍정적인 것으로 바꿀 수 있다는 것을 증명하기 위해 최적의 베팅 규칙을 설명하는 데 자주 사용되는 모델이 사용되었습니다.[14] 진화 생물학에서 박테리아 무작위 위상 변이와[15] 덜 정확한 센서의[16] 진화 모두 역설의 관점에서 모델링되고 설명되었습니다. 생태학에서는 특정 유기체가 유목과 식민지 행동 사이에서 주기적으로 교대하는 것이 역설의 징후로 제시되었습니다.[17] 역설의[18] 결과로 다세포 생존을 모델링하는 데 흥미로운 응용과 그것의 실현 가능성에 대한 흥미로운 논의가 있었습니다.[19][20] 파론도의 역설의 응용은 신뢰성 이론에서도 찾아볼 수 있습니다.[21]

이름.

파론도의 역설에 관한 초기 문헌에서는 파론도 효과를 수학적 용어로 이해할 수 있다는 점에서 '파라독스'라는 단어가 적절한 기술인지에 대한 논의가 이루어졌습니다. '파라독사적' 효과는 볼록 선형 조합으로 수학적으로 설명될 수 있습니다.

하지만, 이 주제에 대한 선도적인 연구자인 데릭 애보트는 이러한 맥락에서 '파라독스'라는 단어의 사용과 관련하여 다음과 같은 답을 제공합니다.

파론도의 역설은 정말로 "파라독스"일까요? 물리학자들은 보통 그런 것들에 대해 걱정하지 않는 반면, 수학자들은 때때로 이 질문을 합니다. 가장 먼저 지적할 점은 '패론도의 역설'은 '브레이스의 역설'이나 '심슨의 역설'과 마찬가지로 이름에 불과하다는 점입니다. 두 번째로, 이러한 이름의 역설들의 대부분의 경우와 마찬가지로, 그것들은 모두 실제로 명백한 역설입니다. 사람들은 이런 경우에 "명백한"이라는 단어를 입에 담기 때문에 떨어뜨리고, 어쨌든 그것은 명백합니다. 그래서 아무도 이것들이 엄밀한 의미에서 역설이라고 주장하지 않습니다. 넓은 의미에서 역설은 단순히 반직관적인 것입니다. 파론도의 게임은 적어도 몇 달 동안 집중적으로 연구하기 전까지는 확실히 직관에 어긋납니다. 진실은 우리가 이 게임들을 연구하면서 여전히 우리를 기쁘게 할 새로운 놀라운 것들을 발견하고 있다는 것입니다. 저는 한 수학자가 게임은 항상 그에게 명백한 것이므로 "파라독스"라는 단어를 사용해서는 안 된다고 불평한 적이 있습니다. 그는 천재이거나 애초에 그것을 제대로 이해하지 못했습니다. 어느 경우든 그런 사람들과 논쟁할 가치가 없습니다.[22]

참고 항목

참고문헌

  1. ^ a b Harmer, G. P.; Abbott, D. (1999). "Losing strategies can win by Parrondo's paradox". Nature. 402 (6764): 864. doi:10.1038/47220. S2CID 41319393.
  2. ^ Shu, Jian-Jun; Wang, Q.-W. (2014). "Beyond Parrondo's paradox". Scientific Reports. 4 (4244): 4244. arXiv:1403.5468. Bibcode:2014NatSR...4E4244S. doi:10.1038/srep04244. PMC 5379438. PMID 24577586.
  3. ^ a b Jansen, V. A. A.; Yoshimura, J. (1998). "Populations can persist in an environment consisting of sink habitats only". Proceedings of the National Academy of Sciences USA. 95 (7): 3696–3698. Bibcode:1998PNAS...95.3696J. doi:10.1073/pnas.95.7.3696. PMC 19898. PMID 9520428..
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  8. ^ Harmer, G. P.; Abbott, D.; Taylor, P. G. (2000). "The Paradox of Parrondo's games". Proceedings of the Royal Society of London A. 456 (1994): 1–13. Bibcode:2000RSPSA.456..247H. doi:10.1098/rspa.2000.0516. S2CID 54202597.
  9. ^ G. P. Harmer, D. 애보트, P.G. 테일러, C.E.M. 피어스 및 J.M.R. 파론도, 정보 엔트로피 및 파론도의 이산 시간 래칫, Proc. 호수의 확률적 및 혼돈적 역학, 영국 앰블사이드, P.V.E. McClintock, Ed., 미국 물리학 연구소, 2000
  10. ^ 토마스 K. 필립스와 앤드류 B. Feldman, Parrondo's Paradox is not Paradoxic, Social Science Research Network(SSRN) Working Papers, 2004년 8월
  11. ^ Iyengar, R.; Kohli, R. (2004). "Why Parrondo's paradox is irrelevant for utility theory, stock buying, and the emergence of life". Complexity. 9 (1): 23–27. doi:10.1002/cplx.10112.
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  20. ^ Cheong, Kang Hao; Koh, Jin Ming; Jones, Michael C. (2019-02-21). "Do Arctic Hares Play Parrondo's Games?". Fluctuation and Noise Letters. 18 (3): 1971001. Bibcode:2019FNL....1871001C. doi:10.1142/S0219477519710019. ISSN 0219-4775. S2CID 127161619.
  21. ^ Di Crescenzo, Antonio (2007). "A Parrondo paradox in reliability theory" (PDF). The Mathematical Scientist. 32 (1): 17–22.[영구적 데드링크]
  22. ^ Abbott, Derek. "The Official Parrondo's Paradox Page". The University of Adelaide. Archived from the original on 21 June 2018.

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외부 링크