위험 우위

위험 우위 성과급 우위
게임 이론의 솔루션 개념
관계
부분 집합	나시 평형
의의
제안자	존 하사니, 라인하르트 셀텐
에 사용됨	비협조 게임
예	사슴 사냥

위험 우위성과 보상 우위는 게임 이론에서 내시 평형(NE) 솔루션 개념의 두 가지 관련 개선으로, 존 하사니와 라인하르트 셀텐이 정의한다. 나시 평형은 게임에서 파레토가 다른 모든 나시 평형보다 우월할 경우 보상이 지배적인 것으로 간주된다.¹ 평형률 사이에서 선택에 직면했을 때, 모든 플레이어는 평형률이 적어도 다른 내시 평형률만큼 각 선수에게 제공하기 때문에 평형률에 동의할 것이다. 반대로, 내시 평형은 유인력의 분지가 가장 크면(즉, 덜 위험하다) 위험 지배적인 것으로 간주된다. 이는 플레이어가 다른 플레이어의 행동에 대해 불확실성을 가질수록 그에 상응하는 전략을 선택할 가능성이 높다는 것을 의미한다.

그림 1의 보상 매트릭스는 두 명의 순수한 내시 평형을 가진 게임의 단순한 2인 2 전략 예를 제공한다. 전략 쌍(Hunt, Hunt)은 다른 순수 NE(Gather, Gather)에 비해 두 플레이어 모두 보수가 높기 때문에 보수가 우세하다. 한편, (Gather, Gather) 리스크가 지배적인 것은 (Hunt, Hunt) 다른 플레이어의 행동에 불확실성이 존재한다면, 수집은 더 높은 기대수익을 제공할 것이기 때문이다. 그림 1의 게임은 스태그 헌트라고 불리는 잘 알려진 게임 이론적 딜레마다. 공동행동(사냥)은 모든 선수가 기술을 겸비하면 더 높은 수익을 내지만, 다른 선수가 사냥에 도움이 되는지 알 수 없다면, 수집이 다른 선수와의 조정에 의존하지 않기 때문에 식량 제공을 위한 더 나은 개별 전략으로 판명될 수 있다는 것이 그 근거다. 또 다른 사람과 경쟁하면서 모이는 것보다 혼자 모이는 것을 선호한다. 죄수의 딜레마처럼, 그것은 신뢰할 수 있는 약속이 없을 때 집단행동이 실패할 수 있는 이유를 제공한다.

Hunt Gather Hunt 5, 5 0, 4 Gather 4, 0 2, 2 Fig. 1: Stag hunt example

H G H A, a C, b G B, c D, d Fig. 2: Generic coordination game

Formal definition

The game given in Figure 2 is a coordination game if the following payoff inequalities hold for player 1 (rows): A > B, D > C, and for player 2 (columns): a > b, d > c. The strategy pairs (H, H) and (G, G) are then the only pure Nash equilibria. In addition there is a mixed Nash equilibrium where player 1 plays H with probability p = (d-c)/(a-b-c+d) and G with probability 1–p; player 2 plays H with probability q = (D-C)/(A-B-C+D) and G with probability 1–q.

Strategy pair (H, H) payoff dominates (G, G) if A ≥ D, a ≥ d, and at least one of the two is a strict inequality: A > D or a > d.

Strategy pair (G, G) risk dominates (H, H) if the product of the deviation losses is highest for (G, G) (Harsanyi and Selten, 1988, Lemma 5.4.4). In other words, if the following inequality holds: (C – D)(c – d)≥(B – A)(b – a). If the inequality is strict then (G, G) strictly risk dominates (H, H).²(That is, players have more incentive to deviate).

If the game is symmetric, so if A = a, B = b, etc., the inequality allows for a simple interpretation: We assume the players are unsure about which strategy the opponent will pick and assign probabilities for each strategy. If each player assigns probabilities ½ to H and G each, then (G, G) risk dominates (H, H) if the expected payoff from playing G exceeds the expected payoff from playing H: ½ B + ½ D ≥ ½ A + ½ C, or simply B + D ≥ A + C.

Another way to calculate the risk dominant equilibrium is to calculate the risk factor for all equilibria and to find the equilibrium with the smallest risk factor. To calculate the risk factor in our 2x2 game, consider the expected payoff to a player if they play H: ${\displaystyle E[\pi _{H}]=pA+(1-p)C}$ (where p is the probability that the other player will play H), and compare it to the expected payoff if they play G: ${\displaystyle E[\pi _{G}]=pB+(1-p)D}$. The value of p which makes these two expected values equal is the risk factor for the equilibrium (H, H), with ${\displaystyle 1-p}$ the risk factor for playing (G, G). You can also calculate the risk factor for playing (G, G) by doing the same calculation, but setting p as the probability the other player will play G. An interpretation for p is it is the smallest probability that the opponent must play that strategy such that the person's own payoff from copying the opponent's strategy is greater than if the other strategy was played.

Equilibrium selection

A number of evolutionary approaches have established that when played in a large population, players might fail to play the payoff dominant equilibrium strategy and instead end up in the payoff dominated, risk dominant equilibrium. Two separate evolutionary models both support the idea that the risk dominant equilibrium is more likely to occur. The first model, based on replicator dynamics, predicts that a population is more likely to adopt the risk dominant equilibrium than the payoff dominant equilibrium. The second model, based on best response strategy revision and mutation, predicts that the risk dominant state is the only stochastically stable equilibrium. Both models assume that multiple two-player games are played in a population of N players. The players are matched randomly with opponents, with each player having equal likelihoods of drawing any of the N−1 other players. The players start with a pure strategy, G or H, and play this strategy against their opponent. In replicator dynamics, the population game is repeated in sequential generations where subpopulations change based on the success of their chosen strategies. In best response, players update their strategies to improve expected payoffs in the subsequent generations. The recognition of Kandori, Mailath & Rob (1993) and Young (1993) was that if the rule to update one's strategy allows for mutation⁴, and the probability of mutation vanishes, i.e. asymptotically reaches zero over time, the likelihood that the risk dominant equilibrium is reached goes to one, even if it is payoff dominated.³

Notes

• ^1 A single Nash equilibrium is trivially payoff and risk dominant if it is the only NE in the game.
• ^2 Similar distinctions between strict and weak exist for most definitions here, but are not denoted explicitly unless necessary.
• ^3 Harsanyi and Selten (1988) propose that the payoff dominant equilibrium is the rational choice in the stag hunt game, however Harsanyi (1995) retracted this conclusion to take risk dominance as the relevant selection criterion.

참조

• 새뮤얼 보울스: 미시경제학: 행동, 제도 및 진화, 프린스턴 대학교 출판부, 페이지 45-46 (2004) ISBN0-691-09163-3
• 드류 푸덴버그와 데이비드 K. 레빈: 게임에서의 학습 이론, MIT 출판부, 페이지 27 (1999) ISBN 0-262-06194-5
• John C. Harsany: "완전한 정보가 있는 게임을 위한 새로운 균형 선택 이론", 게임 및 경제 행동 8, 페이지 91–122(1995)
• 존 C. 하사니와 라인하르트 셀텐: 게임의 평형선정 일반론, MIT 프레스 (1988) ISBN 0-262-08173-3
• 칸도리 미치히로, 조지 J. 메일라트 & 라파엘 롭: "게임에서 배우는 것, 돌연변이, 그리고 롱런하는 에필리브리아", 에코모아 61, 페이지 29–56 (1993) 추상적
• 로저 B. 마이어슨: 게임 이론, 갈등 분석, 하버드 대학교 출판부, 페이지 118–119 (1991) ISBN 0-674-34115-5
• 래리 새뮤얼슨: 진화적 게임과 평형선정, MIT 프레스 (1997) ISBN 0-262-19382-5
• H. Peyton Young: "협약의 진화", Econometrica, 61, 페이지 57–84 (1993) 추상적
• H. Peyton Young: 개인 전략 및 사회 구조, 프린스턴 대학교 출판부(1998) ISBN 0-691-08687-7