피치의 알 수 있는 역설

Fitch's paradox of knowability

피치의 알 수 있다는 역설은 인식론적 논리의 근본적인 퍼즐 중 하나입니다. 그것은 모든 진리가 원칙적으로 알 수 있다는 지식성 논제에 도전을 제공합니다. 역설적인 것은 이 가정이 모든 진리를 알고 있다고 주장하는 전지전능의 원리를 내포하고 있다는 것입니다. 본질적으로 피치의 역설은 미지의 진리의 존재를 알 수 없다고 주장합니다. 그래서 만약 모든 진리가 알 수 있다면, 모든 진리가 사실로 알려진다는 것이 뒤따를 것입니다.

이 역설은 진실에 대한 검증주의자나 반실재론자들의 관심사인데, 이에 대해 아는 논제는 매우 그럴듯하지만,[1] 전지전능주의 원칙은 매우 믿을 수 없습니다.

이 역설은 1963년 프레데릭 피치가 발표한 "일부 가치 개념의 논리적 분석" 논문에서 작은 정리로 등장했습니다. 그의 증명은 지식의 양식적 성격과 가능성에 대한 약간의 가정만 가능합니다. 그는 또한 다른 양식으로 증명을 일반화했습니다. 1979년 W.D. 하트가 피치의 증명이 "부당하게 무시된 논리적 보석"이라고 썼을 때 다시 나타났습니다.

증명

p가 알 수 없는 진리인 문장, 즉 문장 p가 참이지만 p가 참이라는 것을 알 수 없다고 가정합니다. 그런 경우 "p문장은 알 수 없는 진리"라는 문장은 참이고, 모든 진리가 알 수 있다면 "p는 알 수 없는 진리"라는 것을 알 수 있어야 합니다. 하지만 이것은 불가능합니다. 왜냐하면 우리가 "p는 알 수 없는 진리"를 아는 순간 p가 참이라는 것을 알게 되고 p는 더 이상 알 수 없는 진리가 되지 않기 때문입니다. 그래서 "p는 알 수 없는 진리"라는 진술은 거짓이 됩니다. 따라서 "p는 알 수 없는 진리"라는 문장은 알려질 수도 없고 참일 수도 없습니다. 따라서 모든 진리를 알 수 있다면, "모든 진리" 집합은 "무언가는 알 수 없는 진리"라는 형태를 포함해서는 안 되며, 따라서 알 수 없는 진리는 없어야 하며, 따라서 모든 진리는 알 수 있어야 합니다.

이것은 모달 로직으로 공식화할 수 있습니다. K와 L은 각각 알려진 것과 가능한 것을 나타냅니다. 따라서 LK는 알 수 있는, 즉 알 수 있는 것을 의미합니다. 사용되는 촬영장비 규칙은 다음과 같습니다.

(A) Kp → p – 지식은 진리를 내포합니다.
(B) K(p & q) → (Kp & Kq) – 접속사를 안다는 것은 각각의 접속사를 안다는 것을 의미합니다.
(C) p → LKp – 모든 진리는 알 수 있습니다.
(D) from ¬p, deduce ¬Lp – 가정 없이 p가 거짓임이 입증될 수 있다면 p는 불가능합니다. (이는 필수 규칙과 동일합니다. q= ¬p가 가정 없이 참임이 입증될 수 있다면 (자동화) q는 반드시 참이므로 p는 불가능합니다.)

증명은 다음과 같이 진행됩니다.

1. K(p & ¬Kp)를 가정합니다.
2. Kp & K ¬Kp 규칙 (B)에 의해 1행부터
3. Kp 2행부터 연결 제거로
4. K ¬Kp 2행부터 연결 제거로
5. ¬Kp 규칙 (A)에 따라 4행부터
6. ¬K(p & ¬Kp) 3행과 5행부터 귀납법에 의한 귀납법, 방전 가정 1.
7. ¬LK(p & ¬Kp) 규칙 (D)에 따라 6행부터
8. p & ¬Kp 가정
9. LK(p & ¬Kp) 규칙(C)에 따라 8행부터
10. ¬(p & ¬Kp) 7행과 9행부터 귀납법에 의한 귀납법, 방전 가정 8.
11. p → Kp 재료 조건(음의 조건)에 대한 고전적인 항상성에 의해 10행부터.

마지막 줄은 p가 참이면 그것은 알려져 있다고 말합니다. p에 대한 다른 어떤 것도 가정되지 않았기 때문에 모든 진실이 알려져 있다는 것을 의미합니다.

위의 증명은 L의 성질에 대한 최소한의 가정을 사용하기 때문에 L을 F로 대체하는 것(선행의 시제 논리(TL) 참조)은 "만약 미래에 모든 진리가 알려질 수 있다면, 그것들은 이미 지금 알려져 있다"는 증명을 제공합니다.

일반화

이 증명은 K와 L의 성질에 대한 최소한의 가정을 사용하므로 다른 양식을 "알려짐"으로 대체할 수 있습니다. 조 살레르노는 "하나님에 의해 야기된" 예를 들어, 규칙 (C)는 모든 참된 사실이 하나님에 의해 야기되었을 수 있다는 것이 되고, 결론은 모든 참된 사실이 하나님에 의해 야기되었다는 것입니다. 규칙 (A)는 또한 진리를 의미하지 않는 양식을 포함하도록 약화될 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 "알려진" 대신 "합리적인 사람에 의해 믿어지는" (B로 표현되는) 독스타스틱 양식을 가질 수 있습니다. 규칙 (A)는 다음으로 대체됩니다.

(E) Bp → BBp – 이성적 믿음은 투명합니다; p가 이성적으로 믿는다면, p가 이성적으로 믿는다는 것입니다.
(F) ¬(Bp & B ¬p) – 합리적인 믿음은 한결같습니다.

이번에는 증명이 진행됩니다.

1. B(p & ¬Bp)를 가정합니다.
2. Bp & B ¬Bp 규칙 (B)에 의해 1행부터
3. Bp 2행부터 연결 제거로
4. 비비피 규칙(E)에 따라 3행부터
5. B ¬ Bp 2행부터 연결 제거로
6. BBp & B ¬ Bp 4행과 5행으로부터 접속 도입에 의해
7. ¬(BBp & B¬Bp) 규칙으로 (F)
8. ¬B(p & ¬Bp) 6행과 7행부터 귀납법에 의한 귀납법, 방전 가정 1.

마지막 줄은 앞의 증명에서 6행과 일치하고 나머지는 앞과 같이 진행됩니다. 그래서 만약 어떤 진정한 문장이 이성적인 사람에 의해 믿어질 수 있다면, 그 문장은 한 명 이상의 이성적인 사람에 의해 믿어집니다.

일부 반현실주의자들은 직관주의 논리를 사용한다고 주장하지만, 알려지지 않은 진리가 없는 것에서 모든 진리로 옮겨가는 마지막 행을 제외하고는 사실 그 증명은 직관주의적으로 타당합니다.

알 수 있는 논제

규칙 (C)는 일반적으로 사용되는 다른 논리적 원리보다 잘못이 있습니다. 이 규칙이 모든 진리를 알 수 있다는 생각을 충실히 해석하는 것은 아니며, 규칙 (C)가 무제한적으로 적용되어서는 안 된다고 주장할 수 있습니다. Kvanvig은 이것이 모달 맥락으로의 부정한 대체를 나타낸다고 주장합니다.

괴델의 정리는 수학을 유도하기에 충분한 재귀적 공리화된 시스템(예: 페아노 산술)에서 결정할 수 없는 문장이 있음을 증명합니다. 그런 맥락에서 일부 잠재적 진리는 불확실하기 때문에 "모든 진리는 알 수 있다"고 말하기는 어렵습니다.

그러나 (C')라는 지식 논문의 약한 버전을 대체할 수 있기 때문에 지식 논문을 폐기한다고 해서 반드시 역설이 해결되는 것은 아닙니다.

(다) ∃x(((x & ¬Kx) & LKx) & LK((x & ¬Kx) & LKx)) – 알 수 없는, 알 수 있는 진리가 있고, 알 수 없는, 알 수 없는 진리라는 것을 알 수 있습니다.

같은 주장은 (C')가 모순을 일으켜 알 수 있는 진리가 알려지거나 알 수 없지만 알 수 있는 진리라는 것을 알 수 없다는 것을 나타내고, 반대로 진리가 알려지지 않으면 알 수 없거나 알 수 있지만 알 수 없다는 것을 말합니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Müller, Vincent C. W.; Stein, Christian (1996). Epistemic theories of truth: The justifiability paradox investigated. Universidade de Santiago de Compostela. pp. 95–104.

참고문헌

외부 링크