물질적 함의 역설

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물질적 함의 역설은 직관적으로 거짓이지만 $조건부$ 결합을 물질적 조건부로 해석하는 논리 체계에서 $참으로$ 취급되는 공식집합이다$.$ 물질적 함축적 해석에서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 참이고$$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) 거짓이 아닌 한 조건부 공식 $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\rightarrow$ Q$}$은 참이다$$. 자연어 조건도 같은 방식으로 이해됐다면 '나치가 제2차 세계대전에서 승리하면 모두가 행복할 것'이라는 문장이 맞는 셈이다. 그러한 문제의 결과는 겉으로 보기에 올바른 논리에 대한 가정으로부터 나온다는 점에서 역설이라고 불린다. 그들은 고전적 논리와 의미와 추리에 대한 강한 직관 사이의 불일치를 보여준다.^[1]

관여의 역설

역설 중에서 가장 잘 알려진 것으로서, 그리고 가장 형식적으로 간단한 것으로서, 수반의 역설은 최고의 소개를 만든다.

자연어에서 수반되는 역설의 예는 다음과 같다.

비가 오고 있다.

그리고

비가 오지 않는다.

그러므로

조지 워싱턴은 악당들로 이루어져 있다.

이것은 항상 일관되지 않은 전제들이 주장을 타당하게 만든다는 고전적 논리의 법칙인 폭발의 원리에서 발생한다. 즉, 일관되지 않은 전제는 어떤 결론도 암시한다. 이는 위와 같은 논리가 논리적으로 타당한 주장이기는 하지만 건전하지 않기 때문에 역설적으로 보인다(그 전제가 모두 사실인 것은 아니다).

건설

타당성은 고전적 논리에서 다음과 같이 정의된다.

주장(전제와 결론의 일치)은 모든 전제가 진실이고 결론이 거짓인 가능한 상황이 있는 경우에만 유효하다.

예를 들어 유효한 인수가 실행될 수 있음:

비가 오면 물이 존재한다(1차 전제)

비가 온다(2차 전제)

물이 존재함(결합)

이 예에서는 결론이 거짓인 동안 전제가 참인 가능한 상황은 없다. counterexample이 없기 때문에 인수는 유효하다.

그러나 그 전제들이 일관성이 없는 주장을 구성할 수 있다. 이는 모든 전제가 진실이고 따라서 모든 전제가 진실이고 결론이 거짓인 가능한 상황은 없을 것이기 때문에 유효한 논거에 대한 시험을 만족시킬 것이다.

예를 들어 일치하지 않는 전제가 있는 인수가 실행될 수 있다.

확실히 비가 오고 있다 (제1전제, 참)

비가 오지 않는다 (제2전제, 거짓)

조지 워싱턴은 라크로 만들어졌다. (Conclusion)

두 가지 전제가 모두 사실일 수 있는 가능한 상황은 없기 때문에, 결론이 거짓인 동안 전제가 사실일 수 있는 상황은 확실히 없다. 그래서 그 주장은 결론이 무엇이든 타당하다. 일관되지 않은 전제들은 모든 결론을 암시한다.

단순화

고전적 역설 공식은 공식과 밀접하게 연관되어 있고

• $(p\displaystyle)(p\land q)\to p}$

다소 쉽게(예: 수입에 의한 (1)로부터) 역설 공식에서 파생될 수 있는 단순화의 원리. 게다가, "만약..."이라는 영어를 대표하는 물질적 함의를 사용하려고 하는 것에는 심각한 문제가 있다. 그렇다면..." 예를 들면 다음과 같은 추론이 유효하다.

1. $\displaystyle (p\to q)\land (r\to s)\ \vdash \(p\to s)\lor(r\to q)}$
2. $\displaystyle (p\land q)\to r\\vdash \(p\to r)\lor (q\to r)}$

하지만 이것을 "if"를 사용하여 영어 문장으로 다시 매핑하는 것은 모순을 준다. 첫 번째는 "존이 런던에 있다면 그는 영국에 있고, 파리에 있다면 그는 프랑스에 있다. 그러므로 (a) 존이 런던에 있으면 프랑스에 있고, (b) 파리에 있으면 영국에 있는 것이 사실이다." 물질적인 암시를 이용하여, 존이 정말로 런던에 있다면, (그가 파리에 있지 않기 때문에) (b)는 사실이고, 반면에 그가 파리에 있다면 (a)는 사실이다. 그는 양쪽에 있을 수 없기 때문에 적어도 (a)나 (b) 중 하나라도 참이라는 결론은 유효하다.

하지만 이 방법은 "만약..."과 일치하지 않는다. 그 다음 ..."는 자연어로 사용된다. "존이 런던에 있다면 그는 영국에 있을 것"이라고 말할 가능성이 가장 높은 시나리오는 존이 어디에 있는지 모르지만, 그럼에도 불구하고 그가 런던에 있다면 그는 영국에 있다는 것을 아는 것이다. 이 해석에 따르면 두 가지 전제는 모두 사실이지만 결론의 두 조항은 모두 거짓이다.

두 번째 예는 "스위치 A와 스위치 B가 모두 닫히면 불이 켜진다. 따라서 스위치 A가 닫혀 있으면 불이 켜져 있거나 스위치 B가 닫혀 있으면 불이 켜져 있는 것이 사실이다." 여기서, "만약..."의 가장 유력한 자연어 해석. 그 다음 ..." 문장은 "스위치 A가 닫힐 때마다 조명이 켜지고" "스위치 B가 닫힐 때마다 조명이 켜진다"이다. 다시 말하지만, 이 해석에 따르면 결론의 두 조항은 거짓일 수 있다(예를 들어, 직렬 회로의 경우, 두 스위치가 모두 닫혀 있을 때만 켜지는 조명이 있다).

참고 항목

• 상관 관계가 인과 관계를 의미하지 않음
• 반사실
• 거짓 딜레마
• 가져오기-내보내기
• 역설의 목록
• 모더스 포넨스
• 달은 초록 치즈로 만들어졌다.
• 관련 논리는 이러한 역설들을 피하려는 시도에서 생겨났다.
• 공허한 진리

참조

• 베넷, J. 컨디션에 대한 철학 가이드. 옥스퍼드: 클라렌던 프레스. 2003.
• 조건부, 에드 프랭크 잭슨. 옥스퍼드: 옥스퍼드 대학 출판부. 1991.
• 에트케멘디, J. 논리적 결과의 개념. 케임브리지: 하버드 대학 출판부. 1990.
• "Strict implication calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 샌포드, D. 만약 P가 있다면 Q: 조건과 추론의 기초. 뉴욕: 루트리지. 1989.
• 사제, G. 케임브리지 대학 출판부의 비클래식 논리에 대한 소개. 2001.