상승 체인 조건

수학에서, 상승 체인 조건 (ACC)과 하강 체인 조건 (DCC)은 어떤 대수적 구조에 의해 충족되는 미세한 특성이며, 가장 중요한 것은 특정 정류 링에서 이상이다.^[1][2][3]이러한 조건들은 데이비드 힐버트, 에미 노에더, 에밀 아르틴의 작품에서 상호 작용 반지의 구조 이론의 발전에 중요한 역할을 했다.조건 자체는 추상적인 형태로 진술할 수 있으므로, 부분적으로 주문된 집합에 대해 의미가 있다.이러한 관점은 가브리엘과 렌첼러로 인한 추상 대수적 차원 이론에 유용하다.

정의

부분적으로 주문한 세트(포셋) P는 무한정 엄격히 상승 순서가 없으면 상승 체인 조건(ACC)을 만족한다고 한다.

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }}$

P의 요소가 존재한다.^[4]동등하게,^{[note 1]} 약하게 오름차순마다

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots,}$

P의 원소들은 결국 안정화된다. 즉, 다음과 같은 양의 정수 n이 존재한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots.}$

마찬가지로 P는 P의 원소의 무한 내림차인이 없는 경우 내림차인 조건(DCC)을 만족한다고 한다.^[4] 동등하게 모든 약하강 순서가 일치한다.

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

P의 원소들은 결국 안정된다.

평.

• 종속적 선택의 공리를 가정하면, (아마도 무한) P 포셋의 내림차인 조건은 충분한 근거가 있는 P와 동등하다. P의 모든 비빈 부분집합은 최소 요소(최소 조건 또는 최소 조건이라고도 함)를 갖는다.근거가 충분한 완전 주문 세트는 순서가 잘 잡힌 세트다.
• 마찬가지로, 상승 체인 조건은 P가 충분히 근거가 있는 대화인 것과 동등하다(부양적 선택인 경우). P의 모든 비빈 부분집합에는 최대 요소(최대 조건 또는 최대 조건)가 있다.
• 모든 유한양행은 오름차순과 내림차순 사슬 조건을 모두 만족하며, 따라서 근거가 충분하고, 반론도 근거가 충분하다.

예

반지를 고려하라.

${\displaystyle \mathb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,1,2,3,\dots \}}$

정수의$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 각 이상은 일부 $숫자{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$의 모든 배수로 구성된다$.$ 예를 들어, 이상.

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,6,12,18,\dots \}}$

$6{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle$ 6$}$의 모든 배수로 구성된다$.$

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,2,2,4,6,\dots \}}$

$[\displaystyle 2}$의 모든 배수로 구성된 이상이다$.$$이상적$인 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$$}$은$($는$)$ $이상적$인 J ${\$$displaystyle 6}$의 모든 배수가 $2$ ${\displaystyle 2}$의 배수이므로 이상적인 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ J$}$은(는$)$ $이상적$인 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 포함되어$$ 있다$.$$displaystyle 2}$은(는$)$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 1$의 배수지만, 이 시점에서 더 큰 이상은 없다. $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 "토핑"했다$.$

In general, if ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ are ideals of ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ such that ${\displaystyle I_{1}}$ is contained in ${\displaystyle I_{2}}$, ${\displaystyle I_{2}}$ is contained in ${\displaystyle I_{3}}$, and$따라서$, $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {In}_{}}$= ${\displaystyle {In}_{}}$+${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ = I${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}{2}_{}}$ =${$ ${\$$displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$ 즉, 어느 정도 지나면 모든 이상이 서로 동등하게 된다.따라서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 이상은 오름차순 체인 조건을 충족하며$$, 여기서 이상은 정해진 포함에 의해 정렬된다.따라서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 노메테리아 링이다.

참고 항목

• 아티니아어
• 주요 이상에 대한 오름차순 체인 조건
• 크룰 치수
• 합치의 최대 조건
• 노메테리아누스

메모들

참조

• 아티야, M. F., I. G. 맥도날드, 정류 대수학 소개, 페르세우스 북스, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• 미치엘 헤이즈윙클, 나디야 구바레니, V. V. 키리첸코.알제브라, 반지, 모듈.클루워어 학술 출판사, 2004.ISBN 1-4020-2690-0
• 존 B. 프랄리, 빅터 J. 캣츠.추상 대수학 제1과목.애디슨-웨슬리 출판사.1967년 5월.ISBN 0-201-53467-3
• 네이선 제이콥슨기본 대수학 I.도버, 2009년ISBN 978-0-486-47189-1

외부 링크

• "Is the equivalence of the ascending chain condition and the maximum condition equivalent to the axiom of dependent choice?".