대수 방정식

수학에서, 대수 방정식 또는 다항식은 형태의 방정식이다.

P=0

여기서 P는 일부 필드(종종 유리수 필드)에서 계수를 갖는 다항식입니다.많은 저자들에게 대수 방정식이라는 용어는 단변량 방정식, 즉 하나의 변수만을 포함하는 다항식만을 가리킵니다.반면에 다항식 방정식은 여러 변수를 포함할 수 있습니다.여러 변수의 경우(다변수의 경우), 보통 다항식이라는 용어가 대수 방정식보다 선호됩니다.

예를들면,

x^{5}-3x+1=0

정수 계수를 갖는 대수 방정식입니다.

\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}-{\frac {x^{3}}{3}+xy^{2}+{\frac {1}{7}=0}

는 유리수에 대한 다변량 다항식 방정식입니다.

합리적인 계수를 갖는 일부 다항식 방정식은 동일한 유형의 계수만을 포함하는 유한한 수의 연산을 사용하여 찾을 수 있는 대수식인 해답을 가지고 있다(즉, 대수적으로 풀 수 있다).이것은 1차, 2차, 3차 또는 4차 방정식에 대해 모두 수행될 수 있지만 5차 이상의 방정식에 대해서는 일부 방정식에 대해서만 수행될 수 있습니다.일변량 대수 방정식의 실해 또는 복소해(근원 찾기 알고리즘 참조)와 여러 다변량 다항식 방정식의 공통해(다항식 시스템 참조)의 효율적으로 정확한 근사치를 계산하기 위해 많은 연구가 수행되었다.

용어.

"대수 방정식"이라는 용어는 대수의 주요 문제가 일변량 다항식 방정식을 푸는 것이었던 시기로부터 유래한다.이 문제는 19세기 동안 완전히 해결되었다; 대수학의 기본 정리, 아벨-루피니 정리, 갈로아 이론을 참조하라.

그 이후로, 대수학의 범위는 극적으로 확대되었다.특히, 그것은 n번째 근과 더 일반적으로 대수식을 포함하는 방정식의 연구를 포함한다.이것은 오래된 문제의 맥락 밖에서 대수 방정식이라는 용어를 모호하게 만든다.따라서 다항식이라는 용어는 이러한 모호성이 발생할 수 있을 때, 특히 다변량 방정식을 고려할 때 일반적으로 선호됩니다.

역사

대수 방정식에 대한 연구는 아마도 수학만큼 오래되었을 것이다: 바빌로니아의 수학자들은 기원전 2000년에 어떤 종류의 2차 방정식을 풀 수 있었다.

유리수에 대한 일변량 대수 방정식은 매우 오랜 역사를 가지고 있다.고대 수학자들은 x $x^{2}-x-1=0$ - $x^{2}-x-1=0$ x - $x^{2}-x-1=0$ $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}-x-1=0$ {\ $displaystyle$ x $^{2}-x-1=0$ 의 $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $x^{2}-x-1=0$ 의 해로 x $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ + $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 2 {\ $displaystyle$ x $=1+{\displayrt {5}}}{2}$ 와 $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 급진식 형태의 해법을 원했다.고대 이집트인들은 2차 방정식을 이런 식으로 푸는 방법을 알고 있었다.인도 수학자 브라흐마굽타 (597–668 AD)는 서기 628년에 출판된 그의 논문 Brahmasphuasasiddhannta에서 2차 공식을 명시적으로 설명했지만 기호 대신 단어로 썼다.9세기에 무함마드 이븐 무사 알-크와리즈미와 다른 이슬람 수학자들은 2차 방정식의 일반 해법인 2차 공식을 도출하여 판별자의 중요성을 인식하였다.1545년 르네상스 기간 동안, Gerolamo Cardano는 Scipione del Ferro와 Niccol tart Fontana Tartaglia의 3차 방정식과 4차 방정식에 대한 Lodovico Ferrari의 해법을 발표했다.마지막으로 닐스 헨리크 아벨은 1824년에 5도 이상의 방정식이 라디칼을 이용한 일반적인 해법을 가지고 있지 않다는 것을 증명했다.에바리스 갈루아의 이름을 딴 갈루아 이론은 적어도 5도 정도의 방정식은 라디칼에 특이해상도 없다는 것을 보여주었고, 라디칼을 사용하여 방정식이 실제로 해결 가능한지를 결정하는 기준을 주었다.

연구 분야

대수 방정식은 현대 수학의 많은 영역의 기초이다.대수적 수론은 유리(즉, 유리 계수를 갖는)에 대한 (단변수) 대수 방정식의 연구이다.갈로아 이론은 에바리스 갈로아에 의해 도입되어 대수 방정식이 라디칼의 관점에서 풀릴 수 있는지를 결정하는 기준을 규정했다.필드 이론에서, 대수적 확장은 모든 원소가 기저장 위에 있는 대수적 방정식의 근이 되도록 확장이다.초월수론은 유리수에 대한 대수 방정식의 해답이 아닌 실수에 대한 연구이다.디오판틴 방정식은 정수 해법에 관심이 있는 정수 계수를 갖는 (일반적으로 다변량) 다항식입니다.대수기하학은 다변량 다항식의 대수적으로 닫힌 분야의 해들에 대한 연구이다.

두 방정식이 동일한 해 집합을 갖는 경우 등가입니다. $특히$ , $P=Q$ $=$ Q $=$ $P-Q=0$ - Q $P-Q=0$ $P-Q=0$ （ \ $displaystyle$ P - Q $P=Q$ $=$ $P=Q$ $0$ ） $P-Q=0$ it it equations it equations 。대수 방정식 연구는 다항식 연구와 동등하다.

유리수에 대한 다항식 방정식은 항상 계수가 정수인 동등한 방정식으로 변환할 수 있습니다.예를 들어, 42 = 2·3·7을 곱하고 첫 번째 멤버로 그 항을 그룹화하면 앞서 언급한 $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ 4 + $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ - $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ 2 + $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ - $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ 7 { $displaystyle$ y ^ { $4$ } + { \ $frac$ { } {2} = $flac {xy ^$ { 3 $}$ ^ 2 + { 2 $}$

42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.

사인, 지수 및 1/T는 다항식 함수가 아니기 때문에

\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}xy+\sin(T)z-2=0}

는 네 변수 x, y, z 및 T의 유리수에 대한 다항식 방정식이 아닙니다.단, 변수 T의 기초함수 장에 걸친 변수 x, y, z의 3가지 다항식이다.

이론.

다항식

$알$ 수 없는 x의 방정식이 주어진 경우

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

}=0

$필드$ K의 계수를 가지고, $K$ 의 (E)의 해는 다항식의 $K$ 의 근이라고 동등하게 말할 수 있다.

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

+

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

n -

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

n -

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

+

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

+

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

+ 0

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

[

]{

displaystyle

P =

a

_ {

n

} +

a

_ { n - 1 }

X^

{ n - 1 } + \

dots

+ a _ {

1 X

+

0

} \

QUIN

[ X

]

필드 내의 $n차$ 다항식은 $최대$ n개의 루트를 갖는다는 것을 보여줄 수 있다.따라서 방정식(E)은 $최대$ n개의 해를 가집니다.

$K'$ 가 $K$ 의 필드 확장이면, (E)가 $K$ 의 계수를 갖는 방정식이고, $K$ 의 (E)의 해도 K $'$ 의 해라고 생각할 수 있다(일반적으로 그 반대는 성립하지 않는다).다항식 $P$ 의 파열장으로 알려진 K의 장 $확장$ 을 찾을 수 있으며, 여기서 (E)는 적어도 하나의 해를 갖는다.

실수방정식과 복소수방정식에 대한 해법의 존재

대수의 기본정리는 복소수들의 장은 대수적으로 닫힌다는 것을 말한다. 즉, 복소수 계수와 정도를 갖는 모든 다항식 방정식은 해를 가지고 있다.

따라서 실제 계수를 갖는 1도 이상의 모든 다항식 방정식은 복잡한 해를 갖는다.한편, x $x^{2}+1=0$ + $x^{2}+1=0$ $x^{2}+1=0$ {\ $displaystyle x^{2$ }+ $1=$ 0 $x^{2}+1=0$ }과 $x^{2}+1=0$ 방정식은 R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}}$ 의 $\mathbb {R}$ 를 갖지 않는다(해상은 $상상$ 의 단위 i와 $-i$ ).

실제 방정식의 실제 해는 직관적이지만( $곡선$ y = $P (x)$ 가 x축과 교차하는 점의 x-계수), 실제 방정식에 대한 복잡한 해법의 존재는 놀랍고 시각화하기 어려울 수 있습니다.

단, 홀수 차수의 단수 다항식은 반드시 실수 근을 가져야 합니다. $x$ 의 관련 다항식 함수는 연속적이며, x가 $-\infty$ $가까워질수록$ - $-\infty$ ${\$ {\ $displaystyle$ -\ $infty$ $}$ 및 $-\infty$ $+\infty$ + $+\infty$ aches $displaystyle$ +\infty $+\infty$ $}$ 에 $-\infty$ 접근합니다.따라서 중간값 정리에 따라 x의 $값$ 을 0으로 가정해야 합니다.다항식 방정식의 해이다.

갈로아 이론과의 연관성

계수의 함수로서 4보다 작거나 같은 차수의 실수 다항식 또는 복소 다항식의 해를 제공하는 공식들이 존재한다.아벨은 5도 이상의 방정식에 대해 일반적으로 (4개의 산술 연산만을 사용하고 루트를 구함) 그러한 공식을 찾는 것은 불가능하다는 것을 보여주었다.갈로아 이론은 주어진 다항 방정식에 대한 해답이 라디칼을 사용하여 표현될 수 있는지 여부를 결정할 수 있는 기준을 제공한다.

수치 방정식의 명시적 해법

접근

1차 방정식의 실재 또는 복소수 방정식의 명시적 해법은 사소하다.더 높은 $차수$ 의 방정식을 풀면 관련 다항식을 인수분해하는 것으로 감소한다. 즉, 형태에서 다시 쓰기(E)

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

x -

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

1)

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

(

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

-

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

)

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

{ {

displaystyle

a

_

{

n

（ x - z _ { n } } \

scaps

( x -

z

_ { n } =

0

} ,

여기서 솔루션은 $z_{1},\dots ,z_{n}$ 1, $z_{1},\dots ,z_{n}$ $z_{1},\dots ,z_{n}$ n $(\$ 입니다.문제는 $z_{i}$ 를 ${$ 로 $z_{i}$ 표현하는 것입니다.

이 접근방식은 계수와 솔루션이 통합 도메인에 속하는 경우에 더 일반적으로 적용됩니다.

일반적인 기술

팩터링

만약 학위 n의 방정식 P())=0일 합리적인 뿌리 α다, 관련된 다항식 X–α 또는 Xk – αk은 형태적의 선형 조합으로 P(X)– P(α) 쓰면서 P(X))(X– α)Q(X)(P(X을 분리 함으로써)형식을 해 주기 위해 X표로 지우다 빼면 반영될 수 있– α. Solving P())=0은 학위 – 1방정식 Q())=0를 해결하는데. 슬을 감소시킨다.e $예$ 를 들어, 대/ $소문자$ n = 3이다.

하위지배적 용어 제거

$n차$ 방정식을 풀려면

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

}=0

일반적인 예비 단계는 $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ - $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ 을 $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ 하는 $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ 입니다 $.$ x $=$ y - $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ - 1 n a - 1 n a _ $displaystyle$ x = y - { \ $frac$ { $a _$ { n - $n$ - { n - $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ 1 $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ }}}}을 $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ 하면 방정식(E)이 됩니다.

a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}x+b_{0}=0

}=0

레온하르트 오일러는 사례 $n$ = $3$ 에 대해 이 기술을 개발했지만, $사례$ n = $4$ 에도 적용할 수 있다.

이차 방정식

a $ax^{2}+bx+c=0$ + $ax^{2}+bx+c=0$ + $ax^{2}+bx+c=0$ $ax^{2}+bx+c=0$ {\ $displaystyle$ ax $^{2}+bx+c=0}$ $ax^{2}+bx+c=0$ 의 $ax^{2}+bx+c=0$ 2차 방정식을 풀기 위해서는 $\Delta =b^{2}-4ac$ $\Delta =b^{2}-4ac$ $\Delta =b^{2}-4ac$ - $\Delta =b^{2}-4ac$ $\Delta =b^{2}-4ac$ \ $displaystyle \Delta$ = $b^{2}-4ac$ 로 정의된 판별 δ를 계산합니다.

다항식의 실제 계수는 다음과 같습니다.

$\Delta >0$ > $\Delta >0$ { $displaystyle$ \ $Delta$ > $0$ } $\Delta >0$ 인 경우 2개의 다른 실제 루트;
$\Delta =0$ $\Delta =0$ { $displaystyle$ \ $Delta$ = $0$ }인 경우 하나의 실제 이중 루트;
$\Delta <0$ < $\Delta <0$ \ $displaystyle$ \ $Delta$ < $0$ 인 경우 실제 루트는 없지만 2개의 복잡한 켤레 루트가 있습니다.

입방정식

입방정식을 푸는 가장 잘 알려진 방법은 라디칼의 관점에서 뿌리를 쓰는 것이다.

4차 방정식

일부 솔루션 방법에 대한 자세한 내용은 다음을 참조하십시오.

치른하우스 변환(일반적인 방법, 성공을 보장하지 않음)
Bezout 방법(일반 방법, 성공을 보장하지 않음)
Ferrari 방법(도 4에 대한 해결책)
오일러 방법(차수 4에 대한 용액)
라그랑주 방법(도 4에 대한 용액)
데카르트의 방법(도 2 또는 4에 대한 해결책)

$a\neq 0$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ 4 + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ 3 + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ 2 + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $=$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ $({$ $displaystyle$ ax $^{$ $4$ $bx^{3}+cx^{2}+$ display $+e=$ $0$ $})$ 은 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ 2차 $방정식$ a\ $neq$ 0 $(displaystyle$ a\neq 0) 또는 2차 방정식이다.

일부 입방정식과 사분방정식은 삼각함수나 쌍곡함수를 사용하여 풀 수 있다.

고차 방정식

Evariste Galois와 Niels Henrik Abel은 독립적으로 일반적으로 5도 이상의 다항식은 라디칼을 사용하여 해결할 수 없다는 것을 보여주었다.일부 특정 방정식은 5도 및 17도의 사이클로토믹 다항식과 관련된 해법을 가지고 있습니다.

반면 찰스 에르미트는 5차 다항식이 타원함수를 사용하여 해결 가능하다는 것을 보여주었다.

그렇지 않으면, 뉴턴의 방법과 같은 근원 찾기 알고리즘을 사용하여 근에 대한 수치적 근사치를 찾을 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

대수 함수
대수적 수
루트 파인딩
선형 방정식(도 = 1)
2차 방정식(도 = 2)
입방정식(도 = 3)
4차 방정식(도 = 4)
5차 방정식(도 = 5)
6차 방정식 (도 = 6)
패혈증 방정식 (도 = 7)
선형 방정식 체계
다항식 체계
선형 디오판틴 방정식
링 위의 선형 방정식
보통 이변량 n차 곡선을 결정하기에 충분한 점 수에 대한 Cramer의 정리(대수 곡선)

레퍼런스

"Algebraic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Algebraic Equation". MathWorld.

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