후치안족

Fuchsian group

수학에서 후치안 그룹은 PSL(2,R)의 이산형 부분군이다.그룹 PSL(2,R)은 쌍곡면의 등각류 그룹 또는 단위 디스크의 등각 변환 또는 상부 절반 면의 등각 변환으로 동등하게 간주될 수 있으므로, 후치안 그룹은 이러한 공간 중 하나에 작용하는 그룹으로 간주할 수 있다.There are some variations of the definition: sometimes the Fuchsian group is assumed to be finitely generated, sometimes it is allowed to be a subgroup of PGL(2,R) (so that it contains orientation-reversing elements), and sometimes it is allowed to be a Kleinian group (a discrete subgroup of PSL(2,C)) which is conjugate to a subgroup of PSL(2,R).null

후치안 그룹은 리만 표면의 후치안 모델을 만드는 데 사용된다.이 경우 그룹을 표면의 후치안 그룹이라고 할 수도 있다.어떤 의미에서 후치안 집단은 유클리드 기하학에 대해 결정학적 집단이 하는 일을 비유클리드 기하학에 대해 한다.일부 Escher 그래픽은 ( 쌍곡 기하학의 디스크 모델의 경우) 그것에 기초한다.null

일반 후치안 집단은 처음에는 앙리 푸앵카레(1882년)에 의해 연구되었는데, 그는 이 논문(Fuchs 1880년)에 동기부여를 받았으며, 따라서 라자루스 푸치의 이름을 따서 후치라고 명명하였다.null

상부 하프 평면의 후치안 그룹

H = {z in C : Im(z) > 0}을(를) 상단 하프 평면이 되도록 한다.그러면 H는 메트릭스를 부여받은 쌍곡면의 모델이다.

PSL(2,R) 그룹은 H에 선형 분수 변환(Möbius 변환이라고도 함)에 의해 작용한다.null

이 작용은 충실하며, 사실 PSL(2,R)은 H의 모든 방향 유지 등위계 그룹에 이형적이다.

후치안 그룹 γ은 PSL(2,R)의 하위 그룹으로 정의될 수 있으며, 이는 H에 불연속적으로 작용한다.그것은

  • H의 모든 z에 대해 궤도 zz = {zz : }}의 γ에는 H에 축적점이 없다.

Fuchsian이 될 γ에 대한 동등한 정의는 γ이 별개의 그룹이라는 것이며, 이는 다음을 의미한다.

  • 점-현상 수렴의 일반적인 위상에서 identity의 요소들이 아이덴티티에 수렴하는 모든 시퀀스 {}}은 결국 일정하다n. 즉, 모든 n > N, , = I, 여기서n 나는 아이덴티티 매트릭스다.

이 경우 불연속성과 불연속성은 등가지만, 이것은 (H와는 반대로) 완전한 리만 구에 작용하는 임의의 순응적 동형성의 집단의 경우에는 일반적으로 사실이 아니다.실제로 후치안 그룹 PSL(2,Z)은 이산형이지만 실수 라인에 축적점을 가지고 있다. 임 z = 0: PSL(2,Z)의 원소는 z = 0을 모든 합리적인 숫자로 운반하며, 이성 Q는 R에 밀도 있다.

일반적 정의

PSL(2,C)의 매트릭스에 의해 정의된 선형 분수 변환은 리만 구1 P(C) = C preserve ∞을 보존하지만, 상부 평면 H를 일부 열린 디스크 Δ에 보낸다.그러한 변환에 의해 결합되면 PSL(2,R)의 이산형 부분군이 Δ를 보존하는 이산형 부분군으로 전송된다.

이것은 후치안 집단의 다음과 같은 정의에 동기를 부여한다.γ ⊂ PSL(2,C)이 적절한 개방 디스크 Δ ∪ C ∪, 즉 δ(Δ) = Δ에 대하여 변함없이 작용하도록 한다. 다음 세 가지 등가 속성 중 하나라도 유지되는 경우 γ는 후치안이다.

  1. γ은 이산형 그룹이다(PSL(2,C)의 표준 위상에 관한 것).
  2. γ은 각 지점 z ∈ Δ에서 적절하게 불연속적으로 작용한다.
  3. 설정된 Δ는 γ의 불연속 Ω(γ) 영역의 하위 집합이다.

즉, 이 세 가지 중 어느 하나라도 후치안 집단의 정의로서 역할을 할 수 있고, 다른 하나는 이론으로서 뒤따르는 것이다.불변적인 적절한 부분집합 Δ의 개념은 중요하다; 소위 Picard 그룹 PSL(2,Z[i])은 별개의 것이지만 리만 구체에서는 어떤 디스크도 보존하지 않는다.실제로 푸치안 그룹인 모듈형 그룹 PSL(2,Z)도 실수 라인에 불연속적으로 작용하지 않고 합리적인 숫자에 축적점을 두고 있다.마찬가지로 Δ가 불연속 영역의 적절한 부분집합이라는 생각이 중요하다. 그렇지 않을 때는 하위집단을 클라인 그룹이라고 부른다.null

불변 도메인 Δ를 오픈 유닛 디스크 또는 상부 하프 평면으로 사용하는 것이 가장 일반적이다.null

리미트

이산 작용 때문에 γ의 작용에 따른 상부 하프 평면에 있는 점 z의 궤도 γz는 상부 하프 평면에 축적 지점이 없다.그러나 실제 축에는 한계점이 있을 수 있다.λ(γ)을 γ의 한계 집합, 즉 z ∈ H에 대한 γz의 한계점 집합으로 한다.그 다음 ((γ) r R ∪ ∞.한계 집합은 비어 있거나, 하나 또는 두 개의 점을 포함하거나, 무한 숫자를 포함할 수 있다.후자의 경우 두 가지 유형이 있다.

첫 번째 유형의 후치안 그룹은 한계 집합이 닫힌 실선 R ∪ ∞인 그룹이다.이는 지수 공간 H/TH가 유한 부피를 가지지만, 제1종 무한 공동 부피의 후치안 그룹이 있을 경우 발생한다.null

그렇지 않으면 후치안 집단은 제2종이라고 한다.동등하게, 이것은 한계 집합이 R ∪ ∞ 어디에도 밀도가 없는 완벽한 집합인 그룹이다. 어느 곳이 밀도가 높지도 않기 때문에, 이것은 어떤 한계점이 한계 집합에 있지 않은 오픈 집합에 임의적으로 가깝다는 것을 암시한다.즉, 한계 집합은 칸토어 집합이다.null

후치안 집단의 유형은 클라인 집단으로 간주할 때 그 유형과 같을 필요는 없다: 사실 모든 후치안 집단은 그들의 한계 집합(클라인 집단으로서)이 일부 원 안에 포함된 리만 구체의 적절한 하위 집합이기 때문에 제2 유형의 클라인 집단이다.null

예

후치안 그룹의 예는 모듈형 그룹 PSL(2,Z)이다.이것은 선형 부분 변환으로 구성된 PSL(2,R)의 부분군이다.

여기서 a, b, c, d는 정수다.지수 공간 H/PSL(2,Z)은 타원곡선의 모듈리 공간이다.null

다른 푸치안 그룹에는 각 정수 n > 0에 대한 그룹 γ(n)이 포함된다.여기서 γ(n)은 행렬의 항목이 있는 위 형식의 선형 부분 변환으로 구성된다.

ID 매트릭스 모듈로 n과 일치한다.

공동 콤팩트 예로는 (일반, 회전) (2,3,7) 삼각형 그룹이 있으며, 다른 후르비츠 그룹뿐만 아니라 클라인 쿼틱과 맥베이트 표면의 푸흐시안 그룹을 포함하고 있다.보다 일반적으로, 모든 쌍곡선 폰 다이크 그룹(방향 보존 등위계에 해당하는 삼각형 그룹의 지수 2 부분군)은 후치안 그룹이다.null

이들은 모두 일류의 후치안 그룹이다.null

  • PSL(2,R)의 모든 쌍곡 및 포물선 순환 부분군은 후치안이다.
  • 타원형 순환 부분군은 유한한 경우에만 후치안이다.
  • 모든 아벨리안 푸치안 집단은 순환적이다.
  • 어떤 후치안 그룹도 Z × Z에 대해 이형성이 없다.
  • Ⅱ를 비아벨리안 푸치안 그룹이 되게 하라.그 다음 PSL(2,R)에서 γ의 노멀라이저는 Fuchsian이다.

메트릭 속성

h가 쌍곡선 요소인 경우, 상반면에서의 작용의 번역 길이 L은 관계에 의한 2×2 행렬로서의 h의 추적과 관련이 있다.

유사한 관계가 해당 리만 표면의 시스템홀에 대해 유지되며, 후치안 그룹이 비틀림 없이 공동 압축된 경우.null

참고 항목

참조