변동 미적분법의 직접적 방법

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미적분학.
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전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
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v t

수학에서 변주 미적분학의 직접적 방법은 1900년경 스타니스와프 자렘바와 데이비드 힐베르트가 도입한 특정 기능에 대한 미니마이저의 존재에 대한 증거를 구성하기 위한 일반적인 방법이다.^[1]그 방법은 기능 분석과 위상의 방법에 의존한다.솔루션의 존재를 입증하는 데 사용될 뿐만 아니라, 원하는 정확도로 솔루션을 계산하는 데 직접적인 방법을 사용할 수 있다.^[2]

방법

The calculus of variations deals with functionals ${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$, where ${\displaystyle V}$ is some function space and ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$.피험자의 주요 관심사는 그러한 기능의 최소제, 즉, $기능{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$${\displaystyle v}$ V$${\$displaystyle$ v$\in$ V${\displaystyle \},}$ $$를 들어 ${\displaystyle J}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ $(v)\leq J(u)\all u.$

함수가 미니마이저가 되기 위해 필요한 조건을 얻기 위한 표준 도구는 오일러-라그랑주 방정식이다.그러나 이러한 기능을 만족시키는 기능 중 최소화를 추구하는 것은 최소화의 존재가 사전에 확립되지 않은 경우 잘못된 결론을 초래할 수 있다.

미니마이저를 가지려면 기능 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) 아래로부터 경계해야 한다$$.이 말은

${\displaystyle \inf\{J(u) u\in V\}-\inft.\,}$

This condition is not enough to know that a minimizer exists, but it shows the existence of a minimizing sequence, that is, a sequence ${\displaystyle (u_{n})}$ in ${\displaystyle V}$ such that ${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u) u\in V\}.$$}$

직접 방법은 다음과 같은 단계로 나눌 수 있다.

1. $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에 대한 최소 시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(u_{n})$를 수행하십시오$.$
2. $({\displaystyle u_{}}$$$n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(u_{n}})$이(가) ${\$$displaystyle V}$의 토폴로지 τ ${\displaystyle$$u_{$$0}\$$in$ V$}$에 수렴하는 일부 부분$($ $n$)을 허용함을$$ 표시하십시오$.$
3. $위상{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \tau }$에 대해 $J{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $J}$이(가) 순차적으로 하위 반연속임을 표시하십시오$.$

이것이 미니마이저의 존재를 나타내는지 확인하려면 순차적으로 하위 세미콘틴 함수의 다음과 같은 특성을 고려하십시오.

$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$ 함수는 다음과 같은 경우 순차적으로 하위 세미콘(semiconinuous)이다$$.

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ J (${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ n ) ${\displaystyle \ge }$ J ${\displaystyle ({u\mathrm{}}_{}}$ 0 )${\displaystyle \liminf$ $_$${n\to \infty }$${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}}$$(u_{n})\geq J(u_$${0}}}}}},$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle V$}.

결론은 다음과 같다.

${\displaystyle \inf\{J(u) u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u) u\in V\}}$,

바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle J}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle inf}${ J (${\displaystyle u}$ )$$ u${\displaystyle u}$ u u u u u u u${\displaystyle \}}$ {\$displaystyle J(u_{0}=\inf\{J(u) u\in V$

세부 사항

바나흐 공간

공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가$)$ 분리 가능한 반사형 Banach $공간{\displaystyle }$ W$${\$displaystyle$W}의 하위 집합일$$ 때 직접 방법을 적용할 수 있다$.$ 이 경우 순차 Banach-Alaoglu 정리에서는 $V{\displaystyle }$ ${\\displaystyle V}$의 모든 경계된 시퀀스$u$ ${\displaystyle n_{}}$)$${\$disposition$을 포함한다는$$ 것을 암시한다.약한 위상에 대해 W ${\displaystyle$ W$}$에서 일부 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle u_{0}$에 수렴되는 ce.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $V$에서 V ${\$ V}을$($를) 순차적으로 닫아 u_{0$}$이(가$)$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 있는$$ 경우 기능$$ J :${\displaystyle }V{\displaystyle }$ →${\displaystyle R\stackrel{}{\mathbb{}}}$ $"{\$에 직접 방법을 적용할 수 있다.

1. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$은(는) 아래에서 경계로 지정되며$$,
2. $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에 대한 최소 시퀀스는 제한되며$$
3. ${\displaystyle J}$ is weakly sequentially lower semi-continuous, i.e., for any weakly convergent sequence ${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$ it holds that ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$.

두 번째 부분은 보통 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 어느 정도 성장 조건을 인정한다는$$ 것을 보여줌으로써 이루어진다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }$ for some ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle q\geq 1}$ and ${\displaystyle \beta \geq 0}$.

이 성질을 가진 기능을 때로는 강압적이라고 한다.직접법을 적용할 때 순차적으로 하위 반연속도를 보여주는 것이 가장 어려운 부분이다.일반적인 기능 등급에 대한 몇 가지 이론은 아래를 참조하십시오.

소볼레프 공간

변동의 미적분학에서 대표적인 기능은 형태의 적분이다.

${\displaystyle J(u)=\int _{\Oomega }F(x,u(x),\nabla u(x)dx}$

where ${\displaystyle \Omega }$ is a subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle F}$ is a real-valued function on ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$.$J$ ${\displaystyle J}$의 인수는 다른 함수 $u{\displaystyle }$ :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$\Oomega \to \mathb{R} ^{m$과(와) Jacobian $\nabla {\displaystyle \mathrm{}u}$ u${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \nabla u(x)}$는 ${\displaystyle m}$ n ${\displaystym mn}$ -vector로$$ 식별된다$$.

When deriving the Euler–Lagrange equation, the common approach is to assume ${\displaystyle \Omega }$ has a ${\displaystyle C^{2}}$ boundary and let the domain of definition for ${\displaystyle J}$ be ${\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$.이 공간은 우월적 규범을 부여받았을 때 바나흐 공간이지만 반사적이지 않다.직접법을 적용할 때, 기능은 대개 > 1 ${\displaystyle$ W$^{1,p}(\Oomega ,\mathb${$R}$$$^{$m})$의 Sobollev $W$ 1,${\displaystyle {}^{}{p}^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)에서 정의되는데, 이 공간은 반사형 Barnach $공간$이다$그런{\displaystyle }$ 다음$$J {\$displaystyle J}$ 공식에서$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 파생상품을 약한 파생상품으로 받아들여야 한다$$.다음 절에서는 위 유형의 기능 하한 반연속성에 관한 두 가지 이론을 제시한다.

순차적으로 낮은 통합의 반연속성

변동의 미적분학에서 많은 함수들이 형식이기 때문에

${\displaystyle J}$(${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Omega }$ F${\displaystyle }$( x ,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle u}$(${\displaystyle }$) d${\displaystyle }$x ( ) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle$ J$(u)=\int _\\Oomega }F(x,u(x),\nabla u(x)dx}$, ,

where ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ is open, theorems characterizing functions ${\displaystyle F}$ for which ${\displaystyle J}$ is weakly sequentially lower-semicontinuous in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ with ${\displayst$$yle p\geq$ 1$}$은(는) 매우 중요하다$$.

일반적으로 다음이 있다.^[3]

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 다음 속성을 가진 함수라고$$ 가정하십시오.

1. 함수$({\displaystyle y}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle (y,A)\mapsto F(x,y,A)}$는 거의 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle x\in \Oomega}$에 대해 연속적이다$.$
2. 함수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F(x}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle x$${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ $F$${\displaystyle (x}$$,$$,A$$)}$는$mathb {R}^{m}\time \mathb {R}^{mn$에 대해 측정 가능하다.
3. There exist ${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ with Hölder conjugate ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ and ${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$ such that the following inequality holds true for almost every ${\displaystyle x\$$in \Omega }$ and every ${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$: ${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),$$A\rangele +b(x)}$여기, $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$( ${\displaystyle x),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle a(x),$$A\rangele }$은($$는)${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ $a(x)}$ 및$$ ${\displaystyle$ A$}$의 Probenius 내부 제품을 $의미한다.$

함수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F(x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$이(가) 거의$$ 모든 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaysty x\\in \Oomega}$ 및 모든$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ y$\in \mathb$ {$R}{{}}}}m$

그런 다음 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) 순차적으로 약하게 낮은 반연속적이다.

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1$} 또는$$ $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1}$일 때 다음과$$ 같은 역방향 정리가 유지된다^[4].

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 연속적이며$$ 충족된다고 가정하십시오.

${\displaystyle F(x,y,A) \leq a(x, y , A )}$

for every ${\displaystyle (x,y,A)}$, and a fixed function ${\displaystyle a(x,y,A)}$ increasing in ${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle p}$, and locally integrable in ${\displaystyle x}$. If ${\displaystyle J}$ is sequentially weakly lower semi-continuous, then for any giv${\displaystyle \mathrm{en}}{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \times }$ R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ $함수$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mapsto }$ F${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle A)}$ ${\displaysty A\mapsto F(x,y,A)$는 볼록스이다$$.

In conclusion, when ${\displaystyle m=1}$ or ${\displaystyle n=1}$, the functional ${\displaystyle J}$, assuming reasonable growth and boundedness on ${\displaystyle F}$, is weakly sequentially lower semi-continuous if, and only if the function ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ is볼록하게 하다

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이 모두 1보다 크면 볼록성, 즉 다원성과 퀘이콘벡스성에 대한 볼록성의 필요성을 약화시킬 수 있다.^[5]

메모들

참조 및 추가 판독

• Dacorogna, Bernard (1989). Direct Methods in the Calculus of Variations. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
• Fonseca, Irene; Giovanni Leoni (2007). Modern Methods in the Calculus of Variations: ${\displaystyle L^{p}}$ Spaces. Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
• Morrey, C. B., Jr.: Morrey, C. B., Jr.: Morrey, Multiple Integals in the Micculation of Vi스프링거, 1966년 (2008년) 베를린 ISBN 978-3-540-69915-6.
• 진디치 네차스:타원 방정식 이론의 직접적 방법. (트랜슬)A에 의해 1967년 프랑스 원본으로부터.쿠프너와 G.Tronel), 2012년 스프링거, ISBN 978-3-642-10455-8.
• T. Roubíček (2000). "Direct method for parabolic problems". Adv. Math. Sci. Appl. Vol. 10. pp. 57–65. MR 1769181.