이중계

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수학에서, K $필드$ ${\displaystyle \mathbb {K}}$에 대한 이중 시스템, 이중 쌍 또는 이중성은 두 벡터 공간 $X$$$${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\$$displaystyle$ Y$}$와 K {\$displaystyle {K}$에 대한 퇴화되지 않은 이선형 맵 b${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$× ${\displaystyle Y}$ → ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K}}$에 대한 이중 시스템입니다.$$.

이중성 이론, 이중성 체계에 대한 연구는 기능적 분석의 일부입니다.그것은 심리학의 이중 체계 이론과는 별개의 것입니다.

정의, 표기법 및 규약

짝짓기

필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 쌍 또는 쌍은 트리플$({\displaystyle X,Y,b),}$ ${\displaystyle (X,$${\displaystyle Y,}$$b),}$이며, $이$는${\displaystyle }$b (${\displaystyle X,}$Y${\displaystyle ),}${\$displaystyle b (X,Y),}$로도 표시될 수 있습니다.

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이 글에서는 실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ 복소수 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 중 하나의 필드로 가정함)$$ 위에$$ $두{\displaystyle }$ 개의 벡터 공간 X$${\$displaystyle X}$ 및$$$$Y {\$displaystyle Y}$로 구성됩니다.$$

${\displaystyle \mathrm{쌍선형}}$ 맵 $b{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$× ${\displaystyle Y}$ → K ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K}}$이며$,$ 이를 쌍과 연관된 쌍선형 맵 또는 단순히 쌍의 맵/쌍선형 형태라고 합니다.

모든 $x$ ∈ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$에 대해$$정의

$모든$ ∈ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle y\in$ Y$,}$ 정의모든 $b{\displaystyle (x}$,${\displaystyle }$⋅${\displaystyle )}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$는 $Y$ ${\displaystyle Y}$에서 선형 함수이고, 모든 $b{\displaystyle (}$⋅${\displaystyle ,y)}$ ${\displaystyle$ b$(\,\cdot \,y)}$는 X ${\displaystyle X}$에서 선형 함수입니다.여기서 이들 집합 각각은 선형 함수들의 벡터 공간을 형성합니다.

b (x, ${\displaystyle$ b(x$,y)}$ 대신 ⟨ ${\displaystyle x,}$ y ⟩ ${\displaystyle x,y\rangle }$로 쓰는 것이 일반적이며$,$ 이 경우 쌍은$$(${\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩${\displaystyle }$) 대신 ⟨ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ⟩${\displaystyle X,Y\right\rangle }$로 표시됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot$ \$cdot \rangle})$
그러나 이 문서에서는 이 주제에 익숙하지 않은 독자가 혼동하지 않도록 표준 평가 맵(아래 정의)에 ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩ ${\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle }$의 사용을 예약합니다.

이중 페어링

쌍대${\displaystyle }$($,$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b}$) {\$displaystyle (X, Y, b)}$을(를) 이중 시스템, 이중 쌍 또는 ^[2]$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle${$k$$}$에 대한 이중성이라고 합니다$$. 이는 쌍대 $형식{\displaystyle }$ b$${\$displaystyle$ b$}$가 다음 두 개의 분리 공리를 만족한다는 것을 의미합니다.

1. ${\displaystyle }$$Y$ ${\displaystyle Y}$는 $X$ ${\displaystyle X}$의 점을${\displaystyle \mathrm{구분/dist}}$ingu합니다${\displaystyle .}$ X${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$가 ${\displaystyle \mathrm{b}}$${\displaystyle (}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle }$${\displaystyle \cdot )}$${\displaystyle =}$ 0 ${\displaystyle$ $b$$(x,\,\cdot$${\displaystyle }$\,)=$0}$인 경우${\displaystyle ,}$ $x$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty$${\displaystyle l}$$e$ x=$0$인 경우, 0이 아닌 ${\displaystyle 모}$${\displaystyle 든}$ $x$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$에 대해$$맵 b${\displaystyle (}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \cdot )}$${\displaystyle :}$${\displaystyle Y}$ → ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):$$Y\to \mathbb {K}}$이$($가) $동일$하게 0 ${\displaystyle 0}$이(가) 아닙니다(즉, $b{\displaystyle (x,y)}$ $≠$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$이(${\displaystyle 가}$) 존재하는 Y$$$∈$ {\$displaystyle y\in Y});$
2. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는${\displaystyle )}$ $Y$ {\$displaystyle$ Y$}$의 점을${\displaystyle \mathrm{구분/dist}}$ingu합니다$.$ ${\displaystyle 만}$${\displaystyle 약}$ y$$${\displaystyle \cdot }$ Y {\$displaystyle$y\$in$ Y$}$가${\displaystyle }$${\displaystyle b(\in ,}$${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{y}}$)$$${\displaystyle =}$ 0 {\$displaystyle$b(\,\$cdot \$${\displaystyle ,}$$,y$)=$0}$인 $경우$${\displaystyle ,}$ $y$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}${\$displaysty$${\displaystyle l}$$e y→0$인 ${\displaystyle \mathrm{경우},}${\$displaystyle$ y$\in$ Y$,}$ $지도$${\displaystyle }$b${\displaystyle (\cdot ,y}$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ = ${\displaystyle K}${\$displaystyle$ b$(\,\cdot \..y):$$X\to \mathbb {K}}$이$($가) 동일하게 $0$ ${\displaystyle 0}$이(즉, $b{\displaystyle }$(${\displaystyle x,y)}$ $≠$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$인 $x$ $∈$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$이(가) 존재합니다.

이 경우 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 퇴보하지 않는다고 하고, $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$가 X ${\displaystyle X}$ 및 Y$$ ${\displaystyle Y}$을(또는 분리된 이중성) 이중성으로 배치하고, $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) $({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X, Y, b)$의 이중성 쌍이라고 합니다$.$^[1][2]

총 부분 집합

$모든$ $x{\displaystyle }$∈ X {\$displaystyle x\in X}$에 대해 Y {\displaystyle $Y}$의 부분 집합 $S$ ${\displaystyle S}$를 total이라고 합니다$.$

$x$ = ${\displaystyle \mathrm{0을}}$의미합니다$.$ {\$displaystyle$x = 0$.$$}$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 총 부분$$ 집합은 유사하게 정의됩니다$$(각주 참조).^{[note 1]}$따라서{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 전체 부분 집합이고 Y$$ ${\displaystyle$ Y$}$인 $경우$에만 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ X$}$이(가$)$ Y ${\$displaystyle Y$}$의 점을 분리합니다$.$

직교성

$벡터$ $x$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$를 직교, b ($x$= $0 {\displaystyle x$$\perpy}$라고 합니다$.$ 두 개의 하위 집합 ${\displaystyle R}$ ⊆ X ${\displaystyle R\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle S}$ ⊆ Y ${\displaystyle S\subseteq Y}$가 직교, B${\displaystyle }$(${\displaystyle R,}$ S${\displaystyle )}$ =${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle R$$\perp$ S$}$인 경우$,$ 쓰기 $R$ ⊥ ${\displaystyle S}$ ${\$displaystyle B$(R$)$,S)=\{0$ 즉, $모든$ ${\displaystyle r}$ $∈$ R ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle r\in$ R$}$ 및 s$$$∈$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in$ S$}$에 대해 b$($$=$$0$인 경우. 벡터에 대해 직교하는 부분 집합의 정의는 유사하게 정의됩니다$.$

부분집합 $R$ ⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$의 직교 보어 또는 소멸기는

. 따라서 $R$ ⊥ ${\displaystyle R^{\perp}}$이$($가) {${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle$ R$}$인 경우에만 R ${\$displaystyle R$}$은$($는) $X$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 총 부분 집합입니다.

극집합

전체적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$은(는) $K$에 대한 쌍이 됩니다$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $부분{\displaystyle }$ 집합 ${\displaystyle A}$의 절대 극 또는 극은 집합입니다$$.^[3]

$이중적$으로$,$ Y {\$displaystyle$ Y$}$의$$부분 $집합$ B {\$displaystyle$B}의 절대 극 또는 $극$은${\displaystyle {}^{}}$B$$∘ {\$displaystyle$B^{\$circ}}$로 표시되며 다음과 같이 정의됩니다.

이 경우 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 부분 $집합$ B ${\displaystyle B}$의 절대 극은 $B$ ${\displaystyle B}$의 절대 전극 또는 전극이라고도 하며 ∘ B로 ${\displaystyle {}^{}}$할 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {}^{\circ }B.}$

극성 $B$ ∘ ${\displaystyle B^{\circ}}$는 ${\displaystyle \mathrm{반드시}}$ $0$ ∈ Y$${\$displaystyle 0\in Y}$를 포함하는 볼록 집합이어야 하며, $만약$ B$${\$displaystyle$ $B$$}$가 $균형$을 이룬다면 $B$ ∘ ${\displaystyle$ B$^{\circ}}$이고, 만약 $B$ ${\displaystyle B}$가 X ${\displaystyle X}$의 벡터 부분공간이라면, $B$ ∘ {\$displaystyle B^{\circ}}$는 $Y$의 벡터 부분공간입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$$Y.}$^[4]

${\displaystyle A}$ ⊆ X ${\displaystyle A\subseteq X}$인 경우, $A$ ∘ ∘로 표시되는 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A,}$의 양극형은 집합 ∘${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ⊥${\displaystyle {}^{}}$입니다${\displaystyle .}${\$displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp}\right).$$}$마찬가지로, $B$가 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq$ Y$}$를 $⊆$하면, $B$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$$}$의 바이폴라는 $B$ $∘ ∘$ :$=$ ${\displaystyle {}^{}}$$∘$ B )${\displaystyle {}^{}}$$∘$입니다${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ B$^{\circ \circ$ }:$=$\$left$ $({$}^{\$circ }B\right)$$^{\circ}}$

$A$ ${\displaystyle A}$가 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,}$의 벡터 부분공간이라면, $A$ ∘ = ${\displaystyle {}^{}}$ ⊥$${\$displaystyle A^{\circ$}=$A^{\perp}}$이며, 이 또한 $A$의 실제 극과 같습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle A.}$

이중 정의 및 결과

쌍$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b),}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$에서 새 쌍(${\displaystyle Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}($여기서 모든 $x$ ∈ ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle y}$ ∈ ${\displaystyle Y}$에 대해 $d$(y${\displaystyle ,x)}$ := b$x,y)} {\displaystyle d(y,x$) := $b(x$,y)}를 정의합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle x\in X\quad {\text{ and }}y\in Y.}$

이중성 이론에는 쌍(X, Y,${\displaystyle (X,Y,b)}$에 해당하는 쌍(Y${\displaystyle ,X,d)}$에 대한$$ ${\displaystyle \mathrm{정의}}$가 있다는 반복되는 주제가 있습니다.${\displaystyle (Y,X,d)}$

규약 및 정의: 쌍$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ b${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle (X, Y,$b)에 대한 정의가 주어지면$$쌍$({\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d}$)에 적용하여$$이중 정의를 $얻습니다.$ {\$displaystyle (Y,$ X,$d$$}$이$$ 규칙은 정리에도 적용됩니다.

규약:명확성이 필요하지 않은 한, 페어링(X${\displaystyle(X,Y,b)}$에 대한 정의(또는 결과)가 제공될$$ 때마다, 이 문서는 해당 이중 정의(또는 결과)에 대한 언급을 생략하지만, 그럼에도 불구하고 이를 사용합니다.

예를 들어, "${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$가 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$의 점을 구분한다$$"(resp, "$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$는 Y ${\displaystyle Y}$의 총 부분 집합이다")$$가 위와 같이 정의되면, 이 규칙은 즉시 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 점을 구분한다$"($resp,"${\displaystyle }$S ${\displaystyle S}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 전체 부분 집합입니다.$$

이와 같은 표기법은 $거의{\displaystyle }$ 어디에나 있으며 d.${\displaystyle$ d$.}$에 기호를 할당하는 것을 피할 수 있습니다.

규약 및 표기법:$쌍$$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X, Y,$ b)} {\displaystyle (X, Y, $b)}$ 의 정의와 표기법이 X ${\displaystyle$ X$}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}($$예$: X ${\displaystyle X}$의 Mackey 토폴로지 τ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ $b$ ${\displaystyle \tau (X,$ Y, b$)}$ 의 순서에 따라 달라지는 경우, $X$ ${\displaystyle$ $X$$}$ 및 $Y{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ Y$,}$ 의 순서를 변경하면n은$$(${\displaystyle Y,}$X${\displaystyle ,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}($예: τ ${\displaystyle (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$이(가) 실제로 토폴로지 τ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$에 적용되는 정의를 의미합니다.

예를 들어, $X$ ${\displaystyle X}$의 약한 토폴로지가 정의되면, 이 토폴로지가 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b),}$ ${\displaystyle \sigma (X,$ Y, ${\displaystyle b}$$),}$로 표시되는$$이 정의는 자동으로 쌍 $({\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X,}$ d${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$($Y$$, X,$ d$)}$에 적용되어 이 토폴로지가 위치하는 $Y{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ Y$,}$에서 약한 토폴로지의 정의를 얻습니다.σ ($Y$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,b}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \sigma$ (Y$,X,$${\displaystyle b}$$)}$로 표시됩니다. ${\displaystyle$ \$sigma$ (Y$,X,d).$$}$

$({\displaystyle X,}$${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle (X,Y)}($Y$$,X${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (Y,X)}$과(와) 식별

비록 기술적으로 부정확하고 표기법을 남용하지만, 이 글은 또한 다음과 같은 거의 유비쿼터스에 가까운 규정을 준수할 것입니다$.{\displaystyle }$ ${\displaystyle (X$${\displaystyle ,}$$Y,b$${\displaystyle )\}}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$을 (${\displaystyle Y,X,}$b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$과$({\displaystyle }$Y,X${\displaystyle ,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle )}$로 교환하여$$ 취급합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$$(Y,X,b).$$}$

예

페어링의 제한

$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$을 쌍, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,}$의 벡터 부분공간, N ${\displaystyle N}$을 $Y$의 벡터 부분공간이라고 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y.}$ 그러면$$ $({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$$$($X,$$Y,b)}$을 M${\displaystyle }$× ${\displaystyle N_{}}$으로 제한하는 것이$$ 쌍$({\displaystyle M,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$× N${\displaystyle {}_{}}$$)$입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$$e \left(M,N,b{\big \vert}_{M\times N}\right).$$}$$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle(X,Y,b)}$이(가) 이중성이면 제한이 이중성이 아닌 것일 수 있습니다($예$: Y $≠$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\},$ $N$ $=$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle$ N$=$\{$0\}).$

이 글에서는 제한$({\displaystyle M,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle N_{}}$ ${\$ N,$b{\big \vert}_{M\times$ N$}\right)}$을$({\displaystyle }$를${\displaystyle )}$ ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N,}$ $b$로 표시하는 일반적인 방법을 사용합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (M, N, b)}$

벡터공간에서의 정준이중성

$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X}$를 벡터$$ 공간이라고 가정하고${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$X #$${\$displaystyle$ X$^{\#}$가 X$${\$displaystyle X}$의 대수적 이중 공간($$$즉{\displaystyle }$, X$${\$displaystyle X}$의 모든 선형 함수의 공간)을 나타내도록$$ 합니다.$$$표준$ 이중성$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\#,}^{}c)}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$가 있는데, 여기서 $c{\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle {}^{}{\text{'})}^{}}$= ⟨ ${\displaystyle x,}$ x${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ⟩ =${\displaystyle {}^{}x\text{'}(x),}${\$displaystyle$ c$\left(x,x^{\prime }\right$)=\$left\$lang$x,x$^{\$prime }\$right$\rangle$ = ${\displaystyle {}^{}}$$^{\$prime$$}($x$${\displaystyle {)}^{}}$입니다.${\displaystyle X\t$$imes X^{\#}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $임의$의 x'${\displaystyle {}^{}}$$∈$ X${\displaystyle$ x$^{\#}\in$ X$^{\#},}$ $c$${\displaystyle }$($⋅$,${\displaystyle c\left(\,\cdot \,x^{\prime}\right)}$는 $x{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle x^{\prime}};$ 즉$,$ $c{\displaystyle }$($⋅$, ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}^{}}$' ($⋅$ )${\displaystyle }$$=$$$ . $displaystyle c\left(,\cdot \,x^{\prime}\right)$$=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }}$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이($가{\displaystyle {}^{)\mathrm{}}}$X # {\$displaystyle$ X$^{\#}}$의 벡터 부분공간이라면${\displaystyle ,}$($,$ X #, c) {\$displaystyle$ \left($X,X^{\#},c$\right$)}$에서${\displaystyle X}$× N {\$displaystyle$X$\times$ N$}$으로 제한하는 것을 표준 쌍이라고 합니다$$$.$분명히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는 $항상$ N ${\displaystyle N}$의 점을 구별하므로$,$ $표준{\displaystyle }$ 쌍은$N$ {\displaystyle $N}$이($가{\displaystyle }$) X의 점을 구분하는$$ 경우에만 이중 시스템입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X}$ 다음$$ 표기법은 현재 이중성 이론에서 거의 널리 사용됩니다.

평가 맵은 ⟨ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ⟩ = ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}x)}$ ${\displaystyle x,x^{\prime }\right\rangle$ = x$^{\prime }($$x$$)$로 표시되며$$(c {\$displaystyle$ c$}$ 대신$)$ ⟨ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ⟩ ${\displaystyle X,N\rangle }$이$($가${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{표시}}$됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (X,N,c)}$

가정:일반적인 관례와 같이, $X$ ${\displaystyle X}$가 벡터 공간이고 $N${\$displaystyle N$}이 X$,$ {\$displaystyle$ X$}$의 선형 함수의 벡터 공간이라면, 달리 명시되지 않는 한, 그것들은 표준 쌍 ⟨ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ⟩와 연관되어 있다고 가정될 것입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle.}$

$N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle N}$이 X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$# ${\$의 벡터 부분공간이면, $N$ ${\$$displaystyle$ X$}$이(가) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}($또는 동일하게$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle X,}$ N$, c$ ${\$$displaystyle N}$이(가) $X{\displaystyle }$,${\displaystyle X}$ 또는$$ 동일하게, N ${\displaystyle N}$이(가) 전체인 경우에만 N {\displaystyle N}의 점을 구분합니다$$.s, $n{\displaystyle (x)}$ = n $모든$$$∈에 대해 0 {\$displaystyle$ n($x)$=$0}$ ${\displaystyle n\in N}$은$($는) x = 0 {\$displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$=$0}$을 의미합니다.

위상 벡터 공간에서의 정준 이중성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 연속적인 $이중{\displaystyle {}^{}}$ 공간 X${\displaystyle {}^{}}$를 갖는 위상 벡터 공간(TVS)이라고$$ 가정하자$.$ {\$displaystyle$X^{\$prime }}$ 그런 다음$$, 정준$(X$ X$#,$ $c{\displaystyle }$$)$ {\$displaystyle$X${\displaystyle {\}<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;">}_{}}$ ×$'$ {\$displaystyle$X$^{\$$prime$${\displaystyle {{}^{}}_{}{{\}\}\mathrm{}}^{}}_{}}$로$${\$displaystyle$ \$left$$X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$가 $X{\displaystyle {}^{\text{'}\mathrm{}}}$의 점들을$$ 구분하는 X^{\$prime$ ${\displaystyle {}^{}}$$c{\big \vert }_{X\times$ X$^{\prime$ $}},\right)}}:$ X$'$ {\$displaystyle$X^{\$prime$$$$}}$가 X {\$displaystyle X}($예를 들어$,$ X {\$displaystyle$ X$}$가 Hausdorff 로컬 볼록 공간이라면 이 쌍은 이중성을 형성합니다.^[2]

가정:일반적으로 행해지는 것처럼, $X$ ${\displaystyle X}$가 TVS일 때마다, 달리 표시되지 않는 한, 그것이 표준 페어링$$⟨ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ⟩와 연관되어 있다고 아무런 언급 없이 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ \$left\langle X,X^{\prime }\right\rangle}$

TV의 극과 극, 극.

다음 결과는 TVS의 연속 선형 함수가 원점 근처에서 경계를 이루는 선형 함수임을 보여줍니다.

내부 제품 공간 및 복합 공액 공간

$H$ ${\displaystyle$$$H$}$가${\displaystyle }$$R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$$$또는 $H$ ${\displaystyle H}$의 차원이 $0$인 경우에만 H $\{\backslash$displaystyle$$$H$가 이중 $쌍$입니다. ${\$$displaystyle 0.}$ $여기$서 squiline form ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩ ${\displaystyle \langle \cdot,$$\cdot \rangle }$은(는) 두 번째 좌표에서는 켤레 동형이고 첫 번째 좌표에서는 동형입니다.

• $({\displaystyle H,}$ ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (H,\langle \cdot,\cdot \rangle )}$이(가) 실제 힐베르트 공간이면 $({\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H,}$ ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (H,$ H$,\langle \cdot,\cdot \rangle )}$은(는) 이중 시스템을 구성합니다.
• 만약$$(${\displaystyle H,}$ ⟨ ⋅${\displaystyle ,}$ ⋅ ⟩${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (H,\langle \cdot,\cdot \rangle )}$이(가) 복잡한 힐베르트 공간이라면$,{\displaystyle }$(${\displaystyle H,}$ H,${\displaystyle }$⋅ ⟩,${\displaystyle }$⁡$)$ {\$displaystyle (H,$ H,\$langle$ \$cdot,\cdot$ \rangle $)}$이(가) 이중 체계를 형성하는 경우는, ${\displaystyle \mathrm{흐린}}$ trivial ${\displaystyle H}$ =$0$인 경우 뿐입니다${\$$displaystyle H}$이(가) 비⋅ ⟩인 경우 $({\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H,}$ ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⟨ ⋅${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (H, H$)$,\cdot \cdot ,\cdot \rangle}$은(는) 내부 제품이 쌍선형이 아닌 squilinear이기 때문에 짝을 이루지도 않습니다$$.^[1]

$({\displaystyle H,}$ ⟨ ⋅,${\displaystyle }$⋅ ⟩${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (H,\langle \cdot,\cdot \rangle )}$이(가) 스칼라 곱셈을 갖는 복잡한 힐베르트 전 공간으로 병치 위치 또는 점 ⋅로 표시된다고 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \cdot.}$ 지도 정의

여기서 우변은 $H$의 스칼라 곱셈을 사용합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ H$.}$라고 하자. H${\displaystyle \stackrel{}{}}$¯ {\$displaystyle$ {\$overline$ {H$}}$이($가{\displaystyle )}$H, {\$displaystyle$H,}의 복소 켤레 벡터 공간을 $나타내고$, H$$¯ {\$displaystyle {\$overline {$H}}$은$$(${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle +)}$ ${\displaystyle (H,$ +)}의 덧셈군을 나타냅니다. (따라서 $H$ ¯ {\$displaystyle {\overline {}$에서 벡터 덧셈$H}}$은$($$H$ ${\displaystyle$ H$})$의 벡터 덧셈과 동일하지만 H $¯$ ${\displaystyle {\overline {H}}$의 스칼라 곱셈은 지도 $⋅ ⊥ ⋅$ $displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}($H ${\displaystyle$ H}이$($가) 부여된 스칼라 곱셈 대신)입니다.

지도 $b$ :${\displaystyle H}$× ${\displaystyle H}$ ¯ → C ${\displaystyle$ b$$:$b{\displaystyle }$( ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$)로 정의된 $H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C}$: $=$ $⟨$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ $⟩$ ${\displaystyle b(x,y):$$=\langlex,y\rangle }$은(는) 두 좌표 모두에서 선형이므로(${\displaystyle H,H}$ $¯$${\displaystyle ,\stackrel{}{}}$$⟨ ⋅$${\displaystyle ,}$ $⋅ ⟩$$)$ {\$displaystyle \left(H,{\overline$ {H$}}},\langle$ \$cdot,\$cdot \$rangle \right)}$은(는) 이중 쌍을 구성합니다.

기타 예시

• $X$ = R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$X =\$mathbb {R} ^{2},$ $Y$ = R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$Y =\$mathbb {R} ^{3},$ 모든$$(${\displaystyle x_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle 1_{}}$ ∈ X ${\displaystyle \text{및}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ∈ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)\in$ X${text{ and }}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\in$ Y$,}$라고 하자.
  $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$$

  
  그러면 $({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$는 $X$ ${\$$displaystyle$ X$}$가 Y, $displaystyle Y}$의 점을 $구별$하지만 Y {\$displaystyle Y}$는 $X$의 점을 구별하지 않는 쌍입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$ 또한 $X$ ⊥ :${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle y}$ ∈ ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle X}$ ⊥ ${\displaystyle y}$} = {${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle z}$ ∈ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}.}$ ${\displaystyle$ X$^{\perp$ } : =\{$y\in Y:X\perp$y\} =\{($0,0,z)$ : z$\in \mathbbb$${R} \}}.$
• < <∞${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0$< $p<\infty,}$ X := $^{p}(\mu),}$ Y := $L$ ${\displaystyle q^{}}$(${\displaystyle \mu )}$ ${\displaystyle$Y := $L^{q}(\mu )}$ (여기서 $q$ ${\displaystyle q}$는 ${\displaystyle \frac{1}{}}$ p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ = 1 ${\displaystyle {\tfrac {1}}$ + ${\tfrac {1}{q$}=$1}),$ $b{\displaystyle }$(${\displaystyle f,}$ g${\displaystyle }$) : = f ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle b(f,g)$ :$=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ 그렇다면 $({\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$은(는) 이중 시스템입니다.
• $X$ ${\displaystyle X}$와 Y ${\displaystyle Y}$를 동일한 $필드$ K 위의 벡터 공간이라고 하자${\displaystyle .}${\$displaystyle \mathbb {K} .}$ 그러면 이선형 $형식$ b${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ⊗ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ∗ ⊗ ${\displaystyle y}$ ∗ )${\displaystyle {}^{}}$= ⟨ x${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x}$ ⟩ ⟨ y${\displaystyle {}^{}}$ y ⟩ ${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes$ y$^{*}\right)$=$\left\left\left\left\left\left$\left $y^{\prime },$$y\right\rangle }$은(는)^[2] $X{\displaystyle }$× $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X\times Y}$와 X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$#${\displaystyle {}^{}}$× ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$# ${\$ Y$^{\#}$를 이중으로 배치합니다.
• ∈${\displaystyle }$$x$, ${\displaystyle y}$${\displaystyle }$⟩${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$:=$$∑${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$${\displaystyle i^{}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ x ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle$ x$,$$y$\$rangle$ :=\$sum$ _{i=$1$^{$}^{i}^{$i}^{i}, x${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$X에 $대하여$ x lang X$,$ {\displaystyle x,$y\rangle$ :=\sum _{$i$=1}}^{\$infty }, {\$$displaystyle$ x\$in X$,}$y$⟨ $X$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle$ y\$in X^{\beta$}}는$$이중 시스템을 구성합니다.

약한 위상

$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$가 $K$에 대한 벡터 공간의 쌍이라고 가정하자${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S}$ ⊆ ${\displaystyle S\subseteq Y}$인 $경우$, $S$ ${\displaystyle S}($$및$ b ${\displaystyle$ b$\})$에 의해 유도된 X ${\displaystyle$ X$}$의 약한 위상은 σ ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle b)}$로 표시되는 X,${\displaystyle X}$의 가장 약한 TV 위상입니다. ${\displ$$aystyle$\$sigma (X,S,b)}$ 또는 간단히 $σ$${\displaystyle }$(${\displaystyle X,S),}$ ${\displaystyle$\$sigma$${\displaystyle }$$(X,S),}$ 모든 맵 b $만들기{\displaystyle (}$$⋅$${\displaystyle ,y)}$: ${\displaystyle X}$ $→$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$ b$(\,\cdot \..y):$${\displaystyle y}$ $범위$가 S에 $걸쳐{\displaystyle }$y {\displaystyle $S}$이므로 $X\to \mathbb {K}}$ 연속입니다$.$ ${\displaystyle S}$이^[1](가) 컨텍스트에서 명확하지$$ 않으면 모든 $Y{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y로$가정해야 합니다. 이 경우$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}(Y$ ${\displaystyle$ Y$}$로 유도됨)$$에서 취약 토폴로지라고 합니다.$$$표기법$ X σ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {X,}_{}}$ ${\displaystyle {S,}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},$${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},$ $또는$ 단순히 $X$ σ ${\displaystyle X_{\sigma }($혼란이 발생할 수 없는 경우)는 약한 위상 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ b${\displaystyle }$)를 $부여받은$ X$${\$displaystyle X}$를 나타내는 데 사용됩니다${\displaystyle .}${\$displaystyle \sigma (X,S,b)}$ 중요한 것은 약한 위상이 의존한다는 것입니다.함수 $b{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ $C{\displaystyle \mathbb{},}$ ${\displaystyle \mathbb {C},}$ 및$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의$$벡터 공간 구조에 대한 일반적인$$ 위상에 대해서만 $Y$의 대수적 구조에는 적용되지 않음${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y.}$

마찬가지로, $R$ ⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$인 경우, $R$ ${\displaystyle R}($및 $b$ ${\displaystyle b})$에 의해 유도된 Y ${\displaystyle Y}$의 약한 토폴로지의 이중 정의는 σ (${\displaystyle Y,}$ $R$ $b$ ${\displaystyle \sigma (Y,$ R, b$)}$ 또는 간단히 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R)}$ ${\displaystyle \sigma (Y, R)}$로 표시됩니다(자세한 내용은 각주 참조).

정의 및 표기법: "σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b$가 위상 정의(예: σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 수렴, σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 경계, ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ σ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {X,Y,b)}_{}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle S),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)$ 등)을 의미합니다.첫 번째 공간($즉$, X ${\displaystyle X})$이$$σ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y,b)}$ 토폴로지를 전달할 때 t 정의입니다.혼란이 발생하지 $않으면{\displaystyle }$b {\$displaystyle b}$ 또는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 Y$$ ${\displaystyle Y}$에 대한 언급은 생략될 수 있습니다$$.따라서 예를 들어, $만약$ Y ${\displaystyle Y}$ "σ ${\displaystyle$$\left(a_{i}\right)_{i$=$1}^{\infty}}}$의 수열이${\$displaystyle \sigma } - conver게스" 또는 "weakly 수렴"인 경우$,$ 이것은 만약 $X$ ${\displaystyle X}$의 수열이라면, 이것이 ($Y$σ${\displaystyle (Y,}$ $X, b$에 수렴한다는 것을 의미합니다$.$ld는$$(${\displaystyle X,}$ σ ${\displaystyle (X,Y,b))}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$에 수렴함을 의미합니다.

위상 σ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle$\sigma$(X,Y,b)}$은(는) 세미노름 ${\displaystyle {py}_{}}$ 계열에 의해 결정되므로 로컬 볼록입니다.${\displaystyle {}_{}X}$ → ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p_{y}:$${\displaystyle y}$ $범위$가 y {\displaystyle y${\displaystyle \}}$ 인 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x_{}}$$to \mathbb {R}}:=$ $($):$=$ $b$${\displaystyle (}$$x,y),}$ ${\displaystyle$ $Y$$.}$ ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ $x$ $∈$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$이고$$(${\displaystyle {x_{}}_{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$가 I ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in$ I$}}$의 ${\displaystyle {}_{}}$이라면$,$$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ i $∈$ I${\$$displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in$ I$}}$$σ$${\displaystyle (X}$${\displaystyle ,Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in$ I$}}$가 (X,${\displaystyle }$${\displaystyle \sigma }$ (${\displaystyle X,Y,}$b))의${\displaystyle }$X ${\displaystyle$ X$}$로 수렴되면 $x$ ${\displaystyle x}$로 수렴됩니다.$${\$displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).$$}$그물$$(${\displaystyle {{xi}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $∈$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle \left$$($$x_{i}\right)_{i\in I}}$ $σ$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - $모든$ $y$ $∈$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle$ y$\in$ Y$,}$ $b$${\displaystyle }$(${\displaystyle {xi}_{}y)}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$가 $b$ $)$로 수렴되는$경우$에만 x {\$displaystyle$x$}$로 수렴합니다${\displaystyle .}$$}$$($ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ $∞$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i$$=$$1}^{\infty}}$인 경우, (xi)${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$$=$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ $∞$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i$$=$$1}^{\infty}}}$가 0으로 약하게 수렴하지만 0(또는 다른 벡터)으로 노름-$converge$하지 않습니다.

$({\displaystyle X}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$이(가) 쌍이고 $N$ ${\displaystyle N}$이($)$ 이중 쌍이 $되도록$$$Y {\$displaystyle$ Y$}$의 적절한 벡터 하위 공간이면 σ ${\displaystyle (X,}$$N$${\displaystyle ,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$이(가) σ ${\displaystyle (X,Y,b)}$보다 엄밀하게 더 깁니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

유계 부분집합

$X$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $S$ ${\displaystyle S}$이(가) σ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y,b)}$인 경우에만 한정됨

여기서 ${\displaystyle b}$( ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle y}$) :${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ b${\displaystyle }$( ${\displaystyle s,}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle s}$ ∈ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle$b$(S,y)$ : =\{$b (s,y)$ : $s\in$ S$\}}$

하우스도르프니스

$({\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle(X,Y,b)}$이(가) 쌍이면 다음과 같습니다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$는 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 점을 구분합니다$.$
2. ${\displaystyle \mathrm{맵시}}$ ↦ ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle }$⋅${\displaystyle ,}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle y\mapsto$ b$(\,\cdot \,,y)}$는 $X$ ${\displaystyle X}$의 대수적 이중 공간으로의 Y ${\displaystyle Y}$의 주입을 정의합니다$;$
3. ${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$은(는) 하우스도르프입니다.

약한 표현 정리

다음 정리는$$(${\displaystyle X,}$ σ ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b))}$의 연속 이중 공간을 완전히 특성화하기 때문에 이중성 이론에 있어서 근본적인 중요성을 갖습니다.${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b$))}

따라서$,$ (${\displaystyle X,}$ σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ $)){\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$의 연속 이중 공간은

표준 쌍과 관련하여, $X$ ${\displaystyle X}$가 연속 이중 공간 $′{\displaystyle$ X$^{\prime }$인 TV라면, $X$ ${\displaystyle X}($즉$,$ (${\displaystyle X,}$ σ (${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {}^{}\text{'}))}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X$,$X^{\prime }\right$))\$right)}$가 하우스도르프이며, $이$는 X ${\displaystyle$ X$}$도 $반드시$ 하우임을 의미합니다.sdorff) 다음$$(${\displaystyle X{\text{'},}^{}}$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X{}^{}}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle \left(X^{\prime }),\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$의 연속 이중 공간은 $X$ ${\displaystyle$x}(즉, X {\displaystyle x$}$ 범위에 대한 $x$ ${\displaystyle x}$ 맵의 모든 "$점$ x ${\displaystyle$ x$}"$집합과 동일합니다.$x$'${\displaystyle {}^{}}$∈ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ x$^{\prime}\$in $X^{\prime$}}를$$x${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle )}$로 보내는 지도. ${\displaystyle$ x$^{\prime }(x)$이것은 일반적으로 다음과 같이 씁니다.

이러한 매우 중요한 사실은 예를$$ 들어 $'$ {\$displaystyle$ X$^{\prime }}$의 강력한 이중 토폴로지 ${\displaystyle (X{}^{}}$ $)$ {\$displaystyle \left(X^{\prime },X\right)}$와 같은 연속적인 이중 공간에서 극성 토폴로지에 대한 결과가 종종 원래 $TVS{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$에 적용될 수 있는 이유입니다$.$ 예를 들어 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$는 동일합니다$$.(${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ σ $′{\displaystyle$ \$left($${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$${\sigma }^{\prime$}\$right)^{\prime$}}인 d는 위상${\displaystyle }\beta$ $((($ X σ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ σ $'){\displaystyle \beta$\left$(X_{\sigma$}^{\prime }\$right$)^{\$prime$ },$X_${\sigma $}^{\prime }\right$)}인 d는 (${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ σ ')$′{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }^{\right)^{\prime }}$의 위상으로 대신 생각할 수 있습니다.${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ 또한 $X{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\prime}}$이${\displaystyle (}$$가$)${\displaystyle }$σ$(${\$displaystyle \left(X$^{\prime $})$보다 미세한 위상을 부여 받았다면,$X\right)}$ 그러면 $X{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\prime}}$의 연속 이중 공간은 반드시$$(${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ $σ$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ \$left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$을 부분 집합으로 포함합니다.따라서 예를 들어, $'$ {\$displaystyle X^{\prime$}}가 강력한 이중 위상을 부여받았을$$ 때(${\displaystyle {따라서}_{}^{}}$ X${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$β$'$ {\$displaystyle X_${\beta }^{\$prime }}$로 표시됨$),$예를 들어, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 강한 이중 위상 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle (({{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\beta }_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ β${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\$ \$beta$\left($X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }, X_{\beta }^{\prime }\right)}$ $$(이 위상은 강한 이중 위상이라고도 하며 t에 나타남)반사 공간 이론: 하우스도르프 국소 볼록 TV $X$ ${\displaystyle X}$는$$(${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\beta }_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$= X ${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime$ }= $X}$인 경우 반 reflex$적$이라고 하며, 또한 강한 쌍대 위상 $\beta$ ${\displaystyle (({{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\beta }_{}^{}}^{}{}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $′){\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\ri$}인 경우에는 반사적이라고 합니다.$ght)$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $X_{\beta}^{\prime}\right)}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$의 원래/시작 토폴로지와 같습니다$$.

직각좌표, 몫 및 부분공간

$({\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에 대한 쌍일 경우$:$

• ${\displaystyle {}^S}$ ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle s^{}\mathrm{pan}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}{S}^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ⊥ $=$(${\displaystyle {{\mathrm{cl}}_{}}^{}}$ $\sigma$ (${\displaystyle {{Y,}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{X,}_{}}^{}{}^{}}$b )${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle s^{}{\mathrm{pan}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{S}^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}{}^{}}$⊥ ${\displaystyle {=}^{}{S}^{}}$ ⊥⊥⊥ ${\displaystyle S^{\pe$ } = (\$operatorname {span}$ S$)^{\pe$ } =\$left(\operatorname {cl$sigma $(Y,$ X,$b)}\operatorname {span} S\right)^{\pe$ } = $S^{\perp \perp$ \$perp }$이며 이${\displaystyle {}^{}}$집합은 σ ${\displaystyle (Y,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displayst$${\displaystyle {\mathrm{yle\; \backslash }}^{}}$sigma $(Y, X,$ b$)}$ - 닫힘;
• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm{\subseteq \; S}}$ ${\displaystyle \perp }$⊥ $=$ $σ$ (${\displaystyle {X,}_{}}$ ${\displaystyle {Y,}_{}}$ ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle {}_{}\mathrm{스팬}}$ ⁡ ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle$ S$\subseteq$ S$^{\perp \per$ } =\$left(\operatorname {cl}$igma $(X,Y,b)}\operatorname {span} S\right$
  • 따라서 $S$ ${\displaystyle S}$가 σ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle X}$의 {\displaystyle $\sigma(X, Y, b)}$ - $닫힌$ 벡터 부분공간이면 ${\displaystyle {}^{}}$ ⊆ S.${\displaystyle S\subseteq$ S$^{\perp \perp}}$
• ${\displaystyle {\mathrm{만약}}_{}}$(${\displaystyle {{Si}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ I ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in$ I$}}$가 σ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma$ ($X,Y,b)}$ - $X$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 벡터 부분공간이라면,
  $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp } =\operator name {cl} _{\sigma(Y,X,b)}\left(\operator name {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right)}$$

  
  ^[1]
• $({\displaystyle {{Si}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ ${\displaystyle I_{}}${\$displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in$ I$}}$이($)$ X {\$displaystyle$ X$}$의 부분 집합 계열이면 (⋃ ${\displaystyle {\underset{}{i}}^{}}$ ∈ ${\displaystyle {\underset{}{I}}^{}}$ ${\displaystyle {{Si}_{}}^{}}$ ⊥ = ⋂ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ ${\displaystyle I_{}^{}}$ ⊥${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp$} =\$bigcap$ _${i\in I}S_{i}^{\perp}}$

$X$ ${\displaystyle X}$이(가) 정규 공간이라면, 표준 이중성 $하$에서 S${\displaystyle {}^{}}$⊥$${\$displaystyle$ $S$$^{\perp}}$은 X${\displaystyle {\text{'}}^{}}${\$displaystyle$ X$^{\prime}}$에서 정규 닫힌 상태이고, $S$ ⊥⊥ ${\displaystyle$ S$^{\perp \perp}}$은 $X$에서 정규 닫힌 상태입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$

부분공간

$M$ ${\displaystyle M}$이(가) $X$ ${\displaystyle X}$의 벡터 부분공간이라고${\displaystyle \mathrm{가정}}$하고$,$ {\$displaystyle (M,$${\displaystyle Y,}$b$)\}$이(가${\displaystyle )}$ {\$displaystyle (X,Y,$b)}에서 $M{\displaystyle }$× ${\displaystyle Y}$로의 제한을 나타내도록 하자${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle M$$\times Y$$}$ $M$의 약한 토폴로지 σ${\displaystyle (M,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$이(가) 부분공간 토폴로지와 동일합니다$.$$M$ ${\displaystyle M}$이$($가) (${\displaystyle X,}$ σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b))}$에서 상속됩니다${\displaystyle .}${\$displaystyle$(X,\$sigma (X,Y,b)).$$}$

또한$,$ (${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle Y}$/ ${\displaystyle M{}^{}}$⊥${\displaystyle {,}^{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}_{}}$)$${\$displaystyle \left(M,Y/M^{\perp }},b{\big \vert }_{M$}\$right)}$는 쌍공간($여기$서${\displaystyle }$${\displaystyle Y}$ / M${\displaystyle {}^{}}$⊥ {\$displaystyle$Y / M^{\$perp }}$는${\displaystyle {}^{}}$ / (M ⊥$)$ {\$displaystyle Y /\left(M^{\$perp $}\right$를 의미하며, 여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}M}$× Y${\displaystyle }$/ ${\displaystyle M}$ ⊥ → K ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times$ Y$/M^{\perp }\to \mathbb {K}}$는 다음과 같이 정의됩니다.

토폴로지 σ${\displaystyle (M,}$ Y${\displaystyle }$/ ${\displaystyle M{}^{}}$⊥${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp }},b{\big \vert}_{M}\right)}$이($가$) M ${\displaystyle$ M$}$이$({\displaystyle 가)}$ (X${\displaystyle ,}$ σ (${\displaystyle X,}$Y${\displaystyle ,b}$))에서 상속되는 부분공간 토폴로지와 같습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle(X,\sigma(X,Y,b)).$$}$또한$$(${\displaystyle X,}$ $σ$ ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle (X,\sigma (X, Y,b))}$가 이중 시스템이라면 $({\displaystyle M,}$ Y${\displaystyle }$/ ${\displaystyle M{}^{}}$$⊥$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp }},b{\big \vert }_{M}\right}$

몫

$M$ ${\displaystyle M}$을(를) $X$의 벡터 부분공간이라고 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$ 그러면 (${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M{}^{}}$⊥${\displaystyle {}^{}}$ b${\displaystyle }$/ M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \left(X/$${\displaystyle M}$$, M^{\perp}},b/M\right)}$은(는) $b{\displaystyle }$/ M :${\displaystyle }$X /${\displaystyle M}$× ${\displaystyle M}$ ⊥ → K ${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp}\to \mathbb {K}}$에 의해 정의됩니다.

위상 σ${\displaystyle (X/M,}$ ${\displaystyle {}^{}}$⊥${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp}\right)}$이(가$)$ $X{\displaystyle /M}$에서 (${\displaystyle X,}$ σ (${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$에 의해 유도된 일반적인 몫 위상과 동일합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X/M.}$

극과 약한 위상

$X$ ${\displaystyle X}$가 국소 볼록 공간이고 $H$ ${\displaystyle$ $H$가 연속 이중 공간 $X$', ${\displaystyle$ X$^{\prime}}$의 부분 집합이면 H ${\displaystyle H}$는$$σ${\displaystyle (X}$ ′, ${\displaystyle X{)}^{}}$ $displaystyle \left(X^{\prime$ }, X$\right)}$ - 일부 배럴 B에 대해 $H$⊆ ${\displaystyle {}^{}}$가 ${\$$displaystyle$ $H\subseteq B^{\circ$ }를 ∘하는 경우에만 한정됩니다.$$ $X{\displaystyle }$.${\displaystyle X.}$

다음 결과는 극성 토폴로지를 정의하는 데 중요합니다.

$({\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$이(가) 쌍이고 $A$ ⊆ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\subseteq X$인 경우$:$

1. $A$ ${\displaystyle A}$의 극성 $A$ ∘ ${\displaystyle$ A$^{\circ}}$는$$(${\displaystyle Y,}$ σ${\displaystyle }$(${\displaystyle Y,}$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$)의 닫힌 부분 집합입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$
2. (a) A ${\displaystyle A$ (b) $A$ ${\displaystyle A}$의 볼록 선체$;$ (c) $A$ ${\displaystyle A}$의 균형 선체$;$ (d) σ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - $A$ ${\displaystyle A}$의 폐쇄$;$ (e) σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 볼록 균형 선체의 폐쇄${\displaystyle A.$$}$
3. 양극성 정리:$A$ ∘ ∘${\displaystyle {,}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $A$$,}$로 표시되는 A,${\$$displaystyle$ A$^{\circ \circ}}$의 양극형은 σ${\displaystyle (}$X${\displaystyle ,Y}$,${\displaystyle \sigma$(X$,Y,b)}$ - A의 볼록 $균형$ 선체 폐쇄입니다.${\displaystyle A.}$
   • 특히 양극성 정리는 "이중성을 연구하는 데 필수적인 도구"입니다.^[4]
4. ${\displaystyle A}$은${\displaystyle (}$는) $\sigma {\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y,b)}$ - 경계입니다.${\$$displaystyle$ $A$$^{\circ}}$이(가) $Y$에서 흡수되고 있는 경우에만 {\$displaystyle$ Y$.}$
5. 또한 $Y$ ${\displaystyle Y}$가 $X$ ${\displaystyle X}$의 점을 구분하는 경우, $A$ ${\displaystyle$ A$}$는 σ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \sigma$ ($X, Y,$ b$)}$ - σ${\displaystyle (X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \sigma (X, Y, b)}$ - 완전 경계인 경우에만 경계가 설정됩니다.

$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$이(가) 쌍이고 τ$${\$displaystyle$ \$tau$}이(가) $이중성$과 $일치$하는 X ${\$displaystyle $X}$의 로컬 볼록 토폴로지인 경우$$X {\$displaystyle X}$의 $하위$ 집합$$B {\$displaystyle B}$이$($$가$${\displaystyle )}$ 일부${\displaystyle }$σ${\displaystyle (Y}$, X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b)}$의 극성 ${\displaystyle (X,\tau )}$의 배럴입니다. ${\displaystyle$ $B}$이(가) 일부 τ(Y, X, b) {$isplaystyle \sigma (Y,X,b)}$ - $Y$의 경계$$ 부분 집합 ${\displaystyle Y.}$

전치

쌍을 기준으로 선형 맵의 전치

$({\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$과$$(${\displaystyle W,Z,c)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$을(를) $K$ ${\displaystyle \mathbb {K}}$과(를) 쌍으로 하고, $F{\displaystyle :X}$→ ${\displaystyle W}${\$displaystyle F:X\to W}$을(를) 선형 맵이라고 합니다.

모든 $z$ ∈ ${\displaystyle Z}$에${\displaystyle }$대해$${\$displaystyle z\in$ Z$,}$ $c{\displaystyle }$(${\displaystyle F}$ ( ⋅ ${\displaystyle ),z}$ )${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle K}${\$displaystyle$ c$(F(\,\cdot \, z):$$X\to \mathbb {K}}$은(는) $x$ $↦$ ${\displaystyle c}$( ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x),}$ z${\displaystyle }$)로 정의된$지도입니다.$ {\$displaystyle$ x\$mapsto c ( F$( x$),$ z ${\displaystyle ).}$$}$$다음{\displaystyle }$ 조건을 $만족$하면 F {\displaystyle F$}$의$$전치 또는 인접이 잘 정의된다고 합니다$$.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$는 $Y$ ${\displaystyle Y}($또는 ${\displaystyle 이}$와 동등하게,${\displaystyle }$$마피$ ${\displaystyle \mapsto }$ b${\displaystyle (\cdot ,}$y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle y\mapsto$ b$(\,\cdot \..y)}$와 $Y$ ${\displaystyle$ $X^{\#}$는 대수적 이중 $X$ #${\displaystyle$ X^{})로 구분하고,
2. ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle F}$ (${\displaystyle }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle Z}$ )${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle }$⋅,${\displaystyle }$Y${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle c ($F$(\,\cdot \,, Z )\subseteq$ b $(\,\cdot \,$Y$),$ $여기$서 c${\displaystyle }$( ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle \cdot ),}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle )}$ :${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ {${\displaystyle c}$( ${\displaystyle F}$ $(,\cdot \,$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$c$(F (\,\cdot \,$Z ${\displaystyle )}$ : =\$cdot$ \, Z ) : $z\in$ Z$\},$${\displaystyle }$$b$ ${\displaystyle (\cdot ,Y}$${\displaystyle )}$ :$=${${\displaystyle }$${\displaystyle b}$(⋅, y ) ${\displaystyle :}$ y $\cdot$ Y } {\$displaystyle b (\,\cdot$ \, y ${\displaystyle )}$ : = {b$(,\,\cdot$ \, y ) : y$\in$ Y${\displaystyle \}}$: . {b (,\,\cdot $\,$ y ) : y$\in Y$${\displaystyle \}}$ : ∈.

이 경우, $임의$의 z${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle Z}${\$displaystyle z\in$ Z$}$에 $대하여$ $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle F}$( ⋅${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle }$⋅${\displaystyle ,}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ c $(F$(\,\$cdot$\, z ) = b (\cdot \,\cdot \,y$)}$와 같은 $고유$한 (조건 2$)$ y$$∈ Y {\$displaystyle y\in$ Y$}$가 존재하며, 여기서 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 이 요소는 t ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle z}$)로 표시됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z$ ).$}$선형$$ 맵을 정의합니다.

$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$ $F$$}$및 ($W, Z$${\displaystyle ,}$ c${\displaystyle$ (W, Z, c) {\$displaystyle$ (W,$, c)}$에 대해 F {\displaystyle F$}$의 전치 또는 인접이라고 합니다($$이것은 에르미트 인접과 혼동되어서는 안 됩니다).${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ {}^{$t}F}$이(가) 잘 정의되기 위해서는 위에서 언급한 두 조건(즉, "전치가 잘 정의되어 있다") 또한 필요하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.모든 $z$ ∈ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle z\in$ Z$,}$에 대해 ${\displaystyle {}^{}(z)}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z)}$에 대한 정의 조건은

그것은,모든 $x$ ∈ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X.}$

이 글의 앞부분에 언급된 규칙에 따르면, 이것은 또한 형식 $Z$ → ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Z\to$ Y$,}$ $X$ → ${\displaystyle Z}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X\to Z,}$ $W$ → Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle W\to Y,}$ $Y$ → ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle Y\to W,}$ 등의 선형 맵의 전치를 정의합니다(자세한 내용은 각주 참조).

전치부의 특성

전체적으로$,$ (${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ 및$$(${\displaystyle W,Z,c)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$이(가) $K$ ${\displaystyle \mathbb {K}}$ 및 $F{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$이(는) 전치 ${\displaystyle {}^{}:}$ ${\displaystyle Z}$ → Y ${\displaystyle {}^{t}F:$$Z\toY}$이(가) 잘 정의되었습니다.

• ${\displaystyle {}^{t}F:$$Z$$\toY}$는 ${\displaystyle \mathrm{주입형}}$입니다(${\displaystyle 즉,}$ ker $σ$ t${\displaystyle }$F $=$${\displaystyle }${$}$ {\$displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F$$=$\{$0$ F ${\displaystyle F}$의 범위가$$(${\displaystyle W,}$ $⁡$ (${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle Z,}$ c ${\displaystyle )}$에서 밀집되어 있는 경우에만 해당됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right))\right}$
• ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$이(가) 잘 정의된 경우 ${\displaystyle {\mathrm{tF}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$의 전치도 잘 정의된 경우 tF = F${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {}^{tt}F$=$F.}$
• $({\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle a}$)${\displaystyle (U,V,a)}$을(를) $K$ ${\displaystyle \mathbb {K}}$에 대한 쌍이고 $E{\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$ → X ${\displaystyle E:$$U\toX}$은(는) 전치 ${\displaystyle {}^{}}$이 E${\displaystyle :}$ ${\displaystyle Y}$$→$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{t}E$인 선형 맵입니다$.$$Y\toV}$이(가) 잘 정의되었습니다.그런 다음 $F$ ∘ ${\displaystyle E}$의 전치${\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$→$$W , {\$displaystyle$ F$\circ:$${\displaystyle (F}$$∘$ E$$)인 U$\to$ W,}:${\displaystyle Z}$ $→$ ${\displaystyle V}$,${\displaystyle {}^{t}(F\circ$ E$):$$Z\toV,}$이(가) 잘 정의되었으며 ${\displaystyle {}^{}F}$ $∘$ E )${\displaystyle }$$=$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $∘$ t ${\displaystyle {}^{}}$입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ$ E) $=$ {}^{$t}E\circ {}^{t}F.}$
• $F{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$가 벡터 공간 동형이면 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}:}$ ${\displaystyle Z}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{t}F:$$Z\toY}$은(는) 객관적이고, $F{\displaystyle {-1}^{}}$의 전치(transpose${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle W}$ $→$${\displaystyle X}$ , {\$displaystyle$ F$^{-1}:$$W\to X,},$ 즉 ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) :${\displaystyle Y}$ $→$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):$$Y\toZ,}$이(가) 잘 정의되었으며 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ $=$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ F${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right$)$=$\$left({}^{t}F\right)^{-1}}$
• $S$를 ⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$라고 하고 $S$를 ∘ ${\displaystyle S^{\circ$}가 $A$$,$${\displaystyle A,}$의 절대극을 나타내면 다음과 같습니다.
  1. ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle }$S${\displaystyle )}$]${\displaystyle {\circ }^{}}$ $=$ ( ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle ({}^{}{}^{}}$ ∘${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle [F(S)]^{\cir$ } =\$left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right$
  2. 일부 $T$ ⊆ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle T\subseteq$ W$,}$에 $대해$ F${\displaystyle (S)}$가 T ${\displaystyle F(S)\subseteq$ $T$$}$를 ⊆하면, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}({}^{}}$ ∘)${\displaystyle {}^{}}$⊆ S ∘ {\$displaystyle${}^{$t}F\$left$(T$^{\$circ$}\$right)\subseteq$S^{\$circ$};
  3. $T$ ⊆ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T\subseteq W}$가 T ${\displaystyle {}^{}({}^{}}$ ∘)${\displaystyle {}^{}}$⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ ∘${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$인 경우, $F{\displaystyle (S)}$ ⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ ∘ ∘ $displaystyle F(S)\subseteq$ T$^{\circ \circ$ $\};$
  4. $T$ ⊆ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T\subseteq W}$와 ${\displaystyle S}$ ⊆ X ${\displaystyle S\subseteq X}$가 약하게 닫힌 디스크라면, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}({}^{}}$ ∘)${\displaystyle {}^{}}$⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ ∘ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$인 $경우$에만, F${\displaystyle (S)}$ ⊆$${\$displaystyle F($S)\$subseteq T$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp}}}$

이러한 결과는 절대 극을 대신하여 실제 극을 사용할 때 유지됩니다.

$X$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$가 표준 $이중성$ 아래의 정규 공간이고 F: X → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ F$:X\to Y}$가 연속 ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 맵이면 ‖ F ‖ = ‖ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle F}$‖ . {\$displaystyle$\ $F\$=$\left\}^{t}F\right\}$

약한 연속성

${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 맵 $F{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → W ${\displaystyle F:X\to W}$는 약하게 연속적입니다$(({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X,$ Y,$b)}$ 및 $({\displaystyle W,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle (W, Z,$ c$)$ {\displaystyle (W, Z, $c$인 경우 F${\displaystyle :}$(${\displaystyle X,}$ σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b)}$→ ${\displaystyle (W,Z,}$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle$ F$:(X,\sigma (X,Y,b)\to (W,Z,c)}$는 연속적입니다.

다음 결과는 전치 지도의 존재가 약한 위상과 밀접한 관련이 있음을 보여줍니다.

약한 위상과 표준 이중성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 벡터$$ 공간이고 $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$# ${\$ X$^{\#}$가 대수적 이중이라고 가정합니다.그런 다음 $모든$σ$$(X, X # ) {\${\displaystyle displaystyle}$\$left$ - X {\displaystyle $X}$의 경계 부분 집합은 유한 차원 벡터 부분 공간에 포함되며 $X$ ${\displaystyle X}$의 모든 벡터 부분 공간은 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ X${\displaystyle {}^{}}$#${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$ - 닫힙니다.

완성도가 약함

만약$$(${\displaystyle X,}$ σ ${\displaystyle (X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$)$${\$displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$가 완전한 위상 벡터 공간이라면, $X$ ${\displaystyle X}$가 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ -완전이거나 (모호가 발생할 수 없는 경우) 약완전입니다.바나흐 공간은 표준 위상에서 완전함에도 불구하고 약하게 완전하지 않은 공간이 존재합니다.^[1]

$X$ ${\displaystyle X}$이(가) 벡터 공간이면 표준 이중성 하에서 $({\displaystyle X{}^{}}$#,${\displaystyle {}^{}}$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\#,}^{}X}$)${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$이(가) 완성됩니다.반대로, $Z$ ${\displaystyle Z$${\displaystyle {\}}^{}}$가 연속적인 $이중$ 공간 Z$',$ {\$displaystyle$Z^{\$prime}}$인 하우스도르프 국소 볼록 TV라면$,$ (${\displaystyle Z,}$ σ${\displaystyle }$(${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$가 완료된 경우에만, Z =${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}^{}}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$Z=\$left(Z^{\prime }\right)}$가 완료된 경우에만,$^{\#}}$ 즉, 지도 $Z$ $→$ (${\displaystyle {{\text{'})}^{}}^{}}$# ${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)$인 경우에만 해당됩니다.$^{\#}}$$z$ $∈$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle$ $z$$\in Z}$를 $z$ ${\displaystyle$ z$}($즉, $z$ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ $↦$ $z$의 평가 맵으로 전송하여 정의된 ${\displaystyle$ z$^{\prime }\mapsto$ z$^{\prime }(z)$는 바이젝션입니다$.$

특히, 표준 이중성과 관련하여, $Y$ ${\displaystyle Y}$가$$$X{\displaystyle {}^{}}$#$${\$displaystyle$ X$^{\#}$의 벡터 부분공간이라면, Y$${\$displaystyle$X}가 X${\displaystyle ,}${\$displaystyle X,}$의 점들을 분리하는$$(${\displaystyle Y,}$ σ ${\displaystyle (Y,}$ $))$ {\$displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$가 완료된 $경우$에만 ${\displaystyle Y$=$X^{\#}$ 다르게 말하면, 있습니다.$X$σ $X$$X^{\#}}$이$($가) 하우스도르프이고 (즉, 점별 수렴의 토폴로지) Y$${\$displaystyle Y}$가 완전하도록 X${\displaystyle {}^{}}$# ${\$$displaystyle$의 ${\neq$ X^{}가${\displaystyle }$존재하지 않습니다.따라서, 하우스도르프 국소 볼록 TV $X$ ${\displaystyle X}$의 연속 이중 공간 $′{\displaystyle$ X$^{\prime }}$가 약* 위상을 부여받았을 때, $X$ ′${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$# ${\displaystyle$ $X$$^{\sigma$ $}^{\prime$ $}}(즉$,$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 선형 함수가 연속인$$ 경우에만 해당).

대수적 이중의 부분공간과 Y의 동일시

$X$ ${\displaystyle X}$가 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 점을 구별하고 $Z$ ${\displaystyle Z}$가 주입 ${\displaystyle y}$ ↦ b${\displaystyle }$(⋅,${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle$ y$\mapsto$ b $(\,\cdot \,y)}$의 범위를 나타내는 경우, $Z$ ${\displaystyle Z}$는 $X$ ${\displaystyle X}$의 대수적 이중 공간의 벡터 부분 공간이고 쌍$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X, Y, b)}$은(는) 캐논이 됩니다.표준 페어링 ⟨ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Z}$ ⟩ ${\displaystyle X,Z\rangle }($${\displaystyle 여기}$서 ⟨ $x$$,$ ⟩ := x${\displaystyle {}^{}x))}${\$displaystyle x$,x$^{\prime$}\$right\rangle$ :=$x^{\prime }(x))$는 자연 평가 맵입니다.특히, 이 상황에서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$의 대수적 이중 공간의 벡터 부분 공간이고 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$는 평가 맵이라고 일반성을 잃지 않고 가정할 것입니다.

관례: 흔히, $y$ ↦ ${\displaystyle b}$(⋅,${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle y\mapsto$ b $(\,\cdot \,y)}$가 주사적일 때마다(특히 $({\displaystyle X,Y}$,$)$ {\$displaystyle$($X$$,$ Y,$b)}$가 이중 쌍을 이룰 때), 일반성을 잃지 않고 Y$${\$displaystyle$ $X$$,}$가$$$X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X,}의 대수적 이중 공간의 벡터 부분 공간이라고 가정하는 것이 일반적입니다.$aystyle$ b$}$는 자연 평가$$ 맵이며, 또한 X'로 $Y$ ${\displaystyle$ Y$}$를 나타냅니다${\displaystyle {.\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\prime$}}

완전히 유사한 방식으로, $만약{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle$ Y$}$가 X$${\$displaystyle X$}의 점들을 구별한다면$$$$, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$가 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$의 대수적 이중 공간의 벡터 부분 공간으로 식별되는 것이$$ 가능합니다.^[2]

대수적 인접성

${\displaystyle {}^{}}$이 표준 이중성 ⟨ ${\displaystyle X,}$ X #${\displaystyle {}^{}}$⟩ ${\displaystyle X,$${\displaystyle {}^{}}$$^{\#}\right\rangle }$ 및 ⟨ ${\displaystyle W,}$ W #${\displaystyle {}^{}}$⟩${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \left\$lang$le$ W$,W^{\#}\right\rangle ,}$ 선형 맵 $F{\displaystyle :X}$ → W ${\displaystyle F:X\to$ W$}$의 전치는 항상 잘 정의됩니다.이 전치환은 $F$ ${\displaystyle F}$의 대수적 인접이라고 하며 $F{\displaystyle {}^{}}$# ${\displaystyle$ F$^{\#}};$즉, $F$ #${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ F${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ #${\displaystyle {}^{}}$→ X ${\displaystyle F^{\#}$= ${}^{t}F:$$W^{\#}\to X^{\#}}$ 이 경우, $모든$ $w{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ $∈$ W ${\displaystyle {\#}^{}}$에 대하여${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ w$^{\prime }\in$ W$^{\#}}$ $F$${\displaystyle {}^{}}$#${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\text{'})}^{}}$$=$ ${\displaystyle {}^{}}$'${\displaystyle {}^{}}$$∘$ F${\displaystyle$ $^{\#}\left($${\displaystyle {}^{}}$$^{\prime }\right$) $=$ $w^{\prime }\circ$ $F$${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}:$

또는 동등하게, 모든 ${\displaystyle x}$∈ ${\displaystyle X}$에 ${\displaystyle \text{대하여}}$ F${\displaystyle {}^{}}$#${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle w{\text{'}}^{}}$)${\displaystyle }$( x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}\text{'}{}^{}}$( ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x$)=$w^{\prime }(F(x))\quad {\text{모든 }}x\in$ X$.}$

예

만약 일부 정수 $n$에 대하여 $X$ = ${\displaystyle Y}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$X = Y =\$mathbb {K}^{n},$${\displaystyle$ n$,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle }${${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E$}}=\$left\{$${\displaystyle e\_}$${1},\ldots,e_{n}\right$$\}$인 $경우$, 이중 기저 $E{\displaystyle {}^{}}$= {${\displaystyle e_{}^{}}$1${\displaystyle \text{'},}$ …, e $},$ {\$displaystyle${\$mathcal {E}^{\prime$ },\$left\{e_{1}^{\prime },\ldots,e_{n}^{\prime }\riots$$ght\},}$ $F$${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ $→$ $Kn {\displaystyle$ F$:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}$는 선형 연산자이며, $E$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}$에 $대한$ F ${\displaystyle F}$의 행렬 표현은 M :$=$${\displaystyle }$(${\displaystyle {fi,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}),}$ ${\displaystyle$ M:$=$\$left(f_{i,j}\right},$ $M$ ${\displaystyle M}$의 전치는 행렬 표현입니다.${\displaystyle {}^{}}$$F{\displaystyle {}^{\#\mathrm{}}}$의 ${\displaystyle {\mathcal{E}}^{}}$${\displaystyle {\text{'}}^{\mathrm{}}}$ ${\$${\displaystyle$ F$^{\#}.$$}$

연속성과 개방성이 약함

⟨${\displaystyle }$X, ${\displaystyle Y}$⟩$$${\displaystyle$ X$,$${\displaystyle {}^{}}$$\right\rangle$} 및$$⟨${\displaystyle W}$, ${\displaystyle Z}$⟩${\displaystyle }$${\displaystyle$ W$,Z\rangle$}이$($따라서 Y ⊆${\displaystyle }$$X$ #${\displaystyle$ Y$\subseteq X^{\#}$ 및 Z ⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ # ${\displaystyle$ Z$\subseteq W^{\#})$이중 시스템이며 F : $X{\displaystyle }$→${\displaystyle W}$ ${\displaystyle$ F:$X\to W}를$선형 맵이라고 가정합니다.그러면 $F{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → W ${\displaystyle F:X\to W}$는 다음과 같은 동등한 조건을 만족하는 경우에만 약하게 연속입니다.

1. ${\displaystyle F}$ :${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle (W,}$ σ ${\displaystyle (W,}$ Z${\displaystyle ))}$ ${\displaystyle$ F$:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$는 연속입니다;
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. F, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ :${\displaystyle Z}$ → ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {}^{t}F$의 전치:$⟨$${\displaystyle }$${\displaystyle X}$에 대해 ${\displaystyle Z\backslash }$$to Y,},$ $Y는 {\displaystyle$X,Y$\right\$rangle}을$$$⟩$하고 $⟨$ W, ${\displaystyle Z}$$⟩$ ${\displaystyle$ W$,Z\rangle$}이$($가) 잘 정의되어 있습니다.

$F$ ${\displaystyle F}$가 약하게 연속이면 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ::}$ (${\displaystyle Z,}$ σ${\displaystyle }$( ${\displaystyle Z,}$ W${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle Y,}$ σ${\displaystyle }$( ${\displaystyle Y,}$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle {}^{t}F ::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$는 연속이고 t ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{tt}F$=$F}$

A 맵 $g$ :${\displaystyle A}$ → B ${\displaystyle$ g$$:$g{\displaystyle :}$ ${\displaystyle A}$ $→$ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ $⁡$ g ${\displaystyle$ g$:인$ 경우 위상 공간 $사이$의 A$\to$ B$}$는 상대적으로 열려 있습니다.$A\to \operatorname {Im} g}$은(는) 열린 매핑이며, 여기서 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$$⁡$ ${\displaystyle g}${\$displaystyle \operatorname {Im} g}$은(는${\displaystyle )}$ $g$의$$범위입니다. {\$displaystyle g.}$

⟨$X$, ${\displaystyle Y}$⟩${\displaystyle }$${\displaystyle$ X$,Y$\rangle} 및 lang$$W,${\displaystyle Z}$ ⟨${\displaystyle$ \⟩$le$ W$,Z\rangle$}이(가$)$ 이중 시스템이고 F:${\displaystyle X}$ →${\displaystyle }$W ${\displaystyle$ F:$X\to$W$}이($가$)$ 약한 연속 선형 맵이라고 가정합니다.그러면 다음이 동치입니다.^[1]

1. ${\displaystyle F}$ :${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle (W,}$ σ${\displaystyle }$(${\displaystyle W,}$ Z${\displaystyle ))}$ ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$가 상대적으로 열려 있습니다;
2. ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$의 범위가 σ${\displaystyle (Y,X)}$ ${\displaystyle \sigma(Y,X)}$ - $Y$ ${\displaystyle Y}$에서 닫힙니다$.$
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker}F)^{\perp}}$

더 나아가,

• ${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{t}F}$이(가) 사사적인 경우에만 ${\displaystyle F:X\to W}$이(가) 사사적입니다.
• ${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$는 t ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ::}$ (${\displaystyle }$${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle Y,\sigma }$($$Y, X ) {\displaystyle ${}^{t}F:(Z,\sigma$ ($Z,W))\to$ (Y$,\sigma$ ($X))}$가 상대적으로 열려 있고 주입된 경우에만 주관적입니다.

TV 간 지도 전환

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 약하게 연속인 경우에만 두 TV 간 맵의 전치가 정의됩니다.

$만약$ F${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ F$:X\to$ Y$}$가 두 하우스도르프 국소 볼록 위상 벡터 공간 사이의 선형 맵이라면:

• $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 연속이면 약한 연속이고 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$은(는) 매키 연속이면서 강한 연속입니다.
• $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 약한 연속이면 Mackey 연속이면서 강한 연속입니다(아래 정의됨).
• $F$ ${\displaystyle F}$이(가) 약하게 연속이면 ${\displaystyle {}^{}}$가${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}F$인 경우에만 연속입니다$.$$^{\prime }\to X^{\prime }}$는 Y' ${\$ Y$^{\prime }$의 $등연속{\displaystyle {}^{}}$ 부분집합을 X'의${\displaystyle {}^{}}등연속{\displaystyle {}^{}}$ 부분집합으로 매핑합니다. ${\displaystyle$ X$^{\prime }}$
• $X$ ${\displaystyle X}$ 및 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 정규 공간이면 F ${\displaystyle$ F$}$은(는) 약한 연속성이 있는 경우에만 연속적이며, 이 경우 ‖ ${\displaystyle F}$ ‖ = ‖ t ${\displaystyle {}^{}}$ ‖입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$\ $F\$ =\$left\}^{t}F\right\ .}$
• $F$ ${\displaystyle F}$가 연속이면 $F$:${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$는 F ${\displaystyle F}$가 약하게 열려 있는 경우(즉, $F$ :${\displaystyle }$( ${\displaystyle X,}$σ ( ${\displaystyle X{}^{}}$→ (${\displaystyle Y,}$σ ( Y${\displaystyle$F:\$left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right$)\right$)\left(Y,\$sigma \$left$(Y,Y^{\$prime }\$right$)\$right$)}$가 \left(Y,Y$^{\$prime $}\$right)\$right$)\left(Y,\$sigma$ \left$(Y,Y$^{\right)\right)}가 상대적으로 열려 있는 경우에만 상대적으로 열려 있습니다.) 및 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \operator$ name ${Im} {}^{t}F$={}^{$t}F\left(Y^{\prime }\right)}$의 모든 등연속 부분 집합은 $Y{\displaystyle {\text{'}}^{}}$의 일부 등연속 $부분$ 집합의 이미지입니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ Y$^{\prime }$
• $만약$ F ${\displaystyle$ F$}$가 연속 주입이라면, $F{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$ F$:X\to Y}$는 TVs-embedding(또는 위상 임베딩)이며, X${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$의 모든 등연속 부분 집합이 $Y{\displaystyle {\text{'}}^{}}$의 일부 등연속 $부분$ 집합의 이미지인 경우에만 해당됩니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ Y$^{\prime }$

측정가능성 및 분리가능성

$X$ ${\displaystyle$ X${\displaystyle {\}}^{}}$를 연속 이중 공간 $X$' ${\displaystyle$ X$^{\prime}}$인 국소 볼록 공간이라 하고, $K$를 ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ⊆이라 합니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle K\subseteq$ X$^{\prime}}$

1. $K$ ${\displaystyle K}$가 등연속이거나 σ${\displaystyle (X{}^{}}$ X${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime }, X\right)}$ - compact이고, $D$ ⊆ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\$$displaystyle D\subseteq$ X$^{\prime }$이(가) ${\displaystyle \mathrm{스팬}}$ σ D {\$displaystyle \operatorname {span} D}$가 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X}$에서 조밀한 경우, $K$ ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle 상속}$하는 부분공간 ${\displaystyle 토폴로지}$(X${\displaystyle {\text{'},}^{}{}^{}}$⁡${\displaystyle )}$${\displaystyle ,{}^{}D}$)${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$는 $K$ ${\displaystyle K}$이$({\displaystyle X{}^{}}$′${\displaystyle ,}$${\displaystyle {}^{}\sigma (X{}^{}X)}$에서 상속받는 부분공간 토폴로지와 동일합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).$$}$
2. $X$ ${\displaystyle X}$가 분리 가능하고 $K$ ${\displaystyle K}$가 등연속이면 (${\displaystyle X}\text{'},$ σ ${\displaystyle (X{}^{}}$ X${\$displaystyle K), {\$displaystyle \left(X^{\prime }),\sigma \left(X^{\prime }, X\right)\right)}$에 의해 유도된 부분공간 토폴로지가 부여되었을 때 $K{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle K,}$는 측정 가능합니다.
3. $X$ ${\displaystyle X}$이(가) 분리 가능하고 미터링 가능하다면,$$(${\displaystyle X{}^{}}$′,${\displaystyle {}^{}}$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X{}^{}}$′, ${\displaystyle \left(X^{\prime }),\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$은(는) 분리 가능합니다.
4. $X$ ${\displaystyle X}$이(가) 정규 $공간$이라면$,$ X {\$displaystyle$ $X$$}$의 연속 이중 공간 호출이 ${\displaystyle X}{\displaystyle {\prime ,}^{}}$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X{}^{}}$ ${\displaystyle X}$′)에 의해 유도된 부분 공간 위상이 주어졌을 때 측정 가능한 경우에만 X {\$displaystyle$ X$}$를 분리할 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime }),\sigma \left(X^{\prime }, X\right)\right}.$
5. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 연속 이중 공간이 분리 가능한 정규 공간이라면 X ${\displaystyle X}$은(는) 분리 가능합니다.

Polar topology 및 topology

약한 위상으로만 시작하여 극 집합을 사용하면 다양한 국소 볼록 위상이 생성됩니다.그러한 위상은 극지 위상이라고 불립니다.약한 위상은 이 범위에서 가장 약한 위상입니다.

전체적으로$$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$은(는) $K$ ${\displaystyle \mathbb {K}}$에 대한 쌍이 되며, $G${\$displaystyle${\$mathcal {G}}$은(는) $X$의$$σ${\displaystyle (X,Y,}$b$)$ {\$displaystyle$ \$sigma (X,Y$,b$)}$ 경계 부분 집합이 비어 있지 않은 집합이 됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X}$

극지위상

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분$$ 집합 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\mathcal {G}}$이(가) 주어졌을 때$,$$G$ ${\$ $${$}}(및$ b {\displaystyle $b$$또는$ G {\displaystyle ${\mathcal {G}}-$$Y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Y}$의 위상은 Y {\$displaystyle Y}$의 고유한 위상 벡터 공간(TVS) 위상입니다$.$

원점에서 이웃의 하위 기반을 형성합니다.^[1]$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 이 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 토폴로지가$$ 부여되면 Y로_{${\displaystyle {\mathcal {G}}}$} 표시됩니다.모든 극지위상은 반드시 국소적으로 볼록합니다.^[1]$G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$이(가) 부분 집합 포함에 대한 방향 집합일 때($즉{\displaystyle ,}$ 모든 ${\displaystyle G}$에${\displaystyle }$대해 ${\displaystyle K}$∈ G {\$displaystyle$G,$K\in$ {\$mathcal$ {G$}}}$에 ${\displaystyle K}$∈ G {\$displaystyle$ K$\in$ {\$mathcal$ {G$}}$이($가$) ${\displaystyle \mathrm{존재}}$하여 ${\displaystyle G}$ ⊆ H$$∪ K {\$displaystyle G\cup$ H\$subseteq$ K$\})$ 0에 있는 이 인접 부분 기저는 실제로 0에 인접 기저를 형성합니다.

다음 표에는 보다 중요한 극지 토폴로지의 일부가 나와 있습니다.

표기법:δ (X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$ \$Delta$ (X$,Y,b)}$가 Y ${\displaystyle$ Y}의$$극성 토폴로지를 나타내는 경우 이 $토폴로지$가 부여된 Y ${\displaystyle$ Y}는 Y$$δ (${\displaystyle Y_{}}$${\displaystyle {,}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {X,}_{}}$ ${\displaystyle$ Y_${\$Delta ($Y,X,$${\displaystyle b_{}}$$)},$${\displaystyle Y_{\$Delta ($Y,X)},$ 또는 $간단히$ Y δ {\$displaystyle$ Y_${\Delta$ }($예$$:$ σ (Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,b)}$ $displaystyle$ Y_{\Delta })로 표시됩니다$.$$Ystyle$\$sigma(Y,X,b)}$ $σ$ $=$${\displaystyle \Delta$ $=$\$sigma$}을(를) 사용하여 $Y$ $σ$${\displaystyle (}$${\displaystyle {Y,X,b}_{}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma$ ($Y$${\displaystyle {,}_{}}$$X,b$${\displaystyle {)\},}_{}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)},$ ${\displaystyle Y_{\sigma }$의 $σ$이 $부여$된 Y ${\displaystyle Y}$ ${\$displaystyle Y$(X$ {\$displaystyle$ \$sigma$($X,Y,$b)}을$($를) 나타냅니다.

${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}X}$ ("...에 균일한 수렴의 topology")	표기법	이름("Topology of...")	대체명
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한 부분 집합 $($또는 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - $X$ ${\displaystyle X}$의 유한 부분 집합의 닫힌 디스크 선체)	${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyles(X,Y,b)}$	점별 수렴/simple 수렴	약한/약한* 토폴로지
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 콤팩트 디스크	${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$		매키 위상수학
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 소형 볼록 부분 집합	${\displaystyle \gamma (X,Y,b)}$	콤팩트 볼록 수렴
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 콤팩트 부분 집합 (또는 균형 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 콤팩트 부분집합)	${\displaystyle c(X,Y,b)}$	콤팩트 컨버전스
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - 경계 부분 집합	${\displaystyle b(X,Y,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,Y,b)}$	유계 수렴	강력한 위상학 가장 강한 극지위상

극지 위상 관련 정의

연속성

$선형$ 맵 $F{\displaystyle :}$${\displaystyle }$${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$는 매키 연속$(({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X, Y,$ b$)}$ 및$$(${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle Z,}$ c${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (W, Z,$ c$)$ {\displaystyle${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$,${\displaystyle b}$)$$→${\displaystyle }$(${\displaystyle W,Z,}$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,Z,c)}$가 연속이면 매키 연속입니다.

${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 맵 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ → W ${\displaystyle F:X\to W}$는 강력하게 연속적입니다$(({\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle (X, Y, b)}$ 및$$(${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle (W,$ Z,$c)$ {\displaystyle (W, Z, c$)\}$인 경우 F :${\displaystyle }$(${\displaystyle X,\beta }$(${\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b)}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle c}$)$${\$displaystyle$ F$:(X,\beta (X, Y,$ b$)\to (W,\beta (W, Z,$ c$)}$는 연속적입니다.

유계 부분집합

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합은 약하게 경계지어집니다(resp).$({\displaystyle X,}$ σ ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle (X,\sigma (X$${\displaystyle ,}$ $Y$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$$))}($${\displaystyle X,}$ τ${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, b${\displaystyle (X,\tau (X, Y,$ b$)),$ $({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b}$)${\$displaystyle (X,\$beta (X,$Y, b))}) {\$displaystyle (X,\$beta (X, Y, b$))}($X,\displaystyle (X,\b))에서 경계가 되는 경우 Mackey 유계, 강유계).

한 쌍과 호환되는 토폴로지

$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$$$($X,Y,b)}$이(가$$)$$K {\$displaystyle$ \$mathbb$ {K$}}$에 대한 쌍이고 ${\${$T$$}}$이(가) X${\displaystyle$ ${\mathcal {$T}에 대한 벡터 토폴로지라면 $T$ ${\$ {\mathcal {T$}$이(가) 쌍의 토폴로지이며, 로컬인 경우$$ 쌍$({\displaystyle X,}$Y${\displaystyle ,b)}$ ${\displaystyle$ ($X,Y,b)}$과(와) 호환(또는 일치)됩니다.$만약$ (${\displaystyle X,}$ T )${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle }$⋅${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$) 의 연속 이중 공간이라면${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \left(X$, ${\mathcal {T}}\right$) = $b(\,\cdot \, Y).}$$만약$ X {\displaystyle $X}$가 Y {\displaystyle $Y}$의 점들을 구별한다면, $Y$ ${\displaystyle$ Y}를 X ${\displaystyle X$의 대수적 이중의 벡터 부분 공간으로 식별함으로써, 정의 조건은 다음과 같습니다:$$(${\displaystyle {X,}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \left(X$, ${\mathcal {T}}\right)^{\prime$ } ${\displaystyle =}$ $Y.}$ 일부 저자(예: [Trèves 2006] 및 [Schaefer 1999])는 쌍의 위상도 하우스도르프여야 하며, $만약$ Y$${\$displaystyle Y}$가 X$${\$displaystyle X}($ 저자들이 가정하는)의 점을 구분한다면 그렇게 해야 합니다.

약한 위상 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \sigma ($${\displaystyle X,}$ Y,$b)}$는 쌍 (X, Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle (X, Y, b)}($약한 표현 정리에 표시됨)과 호환되며 실제로 그러한 위상 중 가장 약한 것입니다.이 쌍과 호환되는 가장 강력한 토폴로지가 있으며 그것이 바로 Mackey 토폴로지입니다.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 반사적이지 않은 정규 공간이면 연속 이중 공간의 일반적인 정규 토폴로지는 이중성$({\displaystyle N{}^{\text{'},\mathrm{}}N}$)과 호환되지 않습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \left(N^{\prime },$ N\$right)}$

매키-아렌스 정리

다음은 이중성 이론에서 가장 중요한 정리 중 하나입니다.

다음은 Mackey 토폴로지${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y}$, b ), ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$이며${\displaystyle ,}$ 이는 모든 τ (${\displaystyle X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ - $Y$의 콤팩트 디스크를 $호출$합니다$.$ {\$displaystyle$ Y$,}$는 X {\$displaystyle X}$에서 가장 강력한 로컬 볼록 토폴로지로 쌍$({\displaystyle X,Y,b)}$과 호환됩니다${\displaystyle .}$ ${\displays$$유형(X,Y,b).$$}$주어진 위상이 매키 위상과 동일한 국소$$ 볼록 공간을 매키 공간이라고 합니다.위의 매키-아렌스 정리의 다음 결과를 매키-아렌스 정리라고도 합니다.

매키 정리, 통, 닫힌 볼록 집합

$X$ ${\displaystyle X}$가 TVS($R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$ $또는$ C ${\displaystyle \mathbb {C}$ $\}$ 위의 경우, 반공백은 $X$의 일부 $실수$ r ${\displaystyle r}$과 일부 연속 실수 선형 함수 $f$ ${\displaystyle f}$에 대한$${$x$∈ ${\displaystyle X}$:$$ ($x$ )$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ x$}$ 형식의 집합입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X}$

위의 정리는 국소 볼록 공간의 닫힌 부분 집합과 볼록 부분 집합이 연속 이중 공간에 전적으로 의존한다는 것을 의미합니다.$결과적$으로, 닫힌 부분 집합과 볼록 부분 집합은 이중성과 호환되는 모든 위상에서 동일합니다. 즉$,$ T {\$displaystyle${\$mathcal$ {T$$$}}$ 및$L{\displaystyle \mathcal{}}$ {\$displaystyle${\$mathcal$ {L$}}$이(가$$) 동일한 연속 이중$$ 공간을 $갖는{\displaystyle }$X {\$displaystyle$$$X$}$의 국소 볼록 위상이라면,$그러면{\displaystyle \mathcal{}}$ L ${\$ 토폴로지에서$$ 닫힌 $경우$에만 X {\displaystyle X}의 볼록 부분 $집합$이 $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 토폴로지에서$$ 닫힙니다$$.이는 $X$ ${\displaystyle X}$의 볼록 부분 집합의 $T$ ${\mathcal {T}}$ - 클로징이 $L$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}$ - 클로징 및 $X$의 T ${\displaystyle {\mathcal {T}$ - 클로징 디스크 $A$ ${\displaystyle A},$${\displaystyle X,}$ $A$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ∘ ∘.${\$$displaystyle$ $A^{\circ \circ}}$ 특히 $B$인 경우에 해당됩니다$.$$playstyle B}$은${\displaystyle (}$는$)$ X {\$displaystyle X}$의 부분 집합이고, $B$ ${\displaystyle B}$은(는${\displaystyle )}$X ${\displaystyle \{\backslash displaystyle\mathcal{}}$$($X, ${\mathcal {L})}$의 배럴입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (X$, ${\mathcal {L})$의 배럴인 경우에만$$ 해당됩니다.$}$^[1]

다음 정리는 배럴(즉, 닫힌 흡수 디스크)이 약한 경계 부분 집합의 극성임을 보여줍니다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 위상 벡터 공간인 경우:^[1][10]

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 흡수 및 균형 부분 집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 각 볼록 ${\displaystyle \mathrm{콤팩트}}$ 부분$$집합을 흡수합니다(즉, $rB$ {\displaystyle rB$}$에 해당 집합이 포함되도록$$ 실수 r >0 ${\displaystyle r$> 0}이($가)$ 존재함).
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프이고 국부적으로 볼록인 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 배럴은 $X$의 모든 볼록 유계 전체 부분 집합을 흡수합니다$. {\displaystyle$X}

이 모든 것은 이중계 이론의 중심 정리 중 하나인 매키 정리로 이어집니다.간단히 말해, 경계 부분 집합은 동일한 이중성과 호환되는 두 하우스도르프 국소 볼록 위상에 대해 동일하다고 말합니다.

예

유한 수열의 공간

$X$ ${\displaystyle X}$를 충분히 큰${\displaystyle {{모든}_{}}_{}^{}}$ $i$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ ri${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{i$}=\$left(r_{i}\right)_{i$=$1}^{\infty$ $}}$가 되도록 모든 ${\displaystyle {\mathrm{스칼라}}_{}^{}}$ 수열의 공간을 X {\displaystyle X}라고 합니다. ${\displaystyle i.$$}$$Y$ $=$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$Y $=$ X$}$라고 하고 이선형 맵 $b$를${\displaystyle X}$× ${\displaystyle X}$ $→$ K ${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K}}$로 정의합니다.

그런 다음${\displaystyle }$σ (${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ b${\displaystyle )}$ =$$τ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ b${\displaystyle )}$. ${\displaystyle$\sigma $(X,X,b$) =\$tau (X,X,b).$$}$또한 부분 집합 $T$ $⊆$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$는 $σ$${\displaystyle (X,}$ ${\displaystyle X,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \sigma(X,X,b)}$ - 경계(resp)입니다.${\displaystyle }$β (${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaysty$(X$,X,b)$nded${\displaystyle {}_{}^{}}$ 수${\displaystyle 열}$ $m$ =${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$=${\displaystyle {}_{}^{}}$∞ ${\displaystyle$${\displaystyle \mathrm{m\_\{\backslash bul}}$$l$${\displaystyle e}$$t$ }=\$left$(m_{$i}\right$${\displaystyle )}$_${i=1}^{\$$infty$}}의$$양의 실수로 모${\displaystyle 든}$ ${\displaystyle t_{}}$= ($t{\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$$$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{i\; =}}$ ∞ ∈ $T {\displaystyle$${\displaystyle \mathrm{t\_\{\backslash bul}}$$l$${\displaystyle e}$$t$ }=\$left(t_{i}\rig$)$ht)_{i=1}^{\infty}\in T}$ 및 모든 인덱스 $i$ ${\displaystyle$ i$}($${\displaystyle resp}$. 및 $m$ $∙ ∈$ X ${\displaystyle m_{\$$bullet$}\$in$ X$}).$

이는 $X${\$displaystyle X}$의 부분 집합 중 강한 경계가 없는 약한 경계($즉$, σ${\displaystyle }$${\displaystyle (}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ $)$ {\$displaystyle \sigma$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$$)$ ${\$displaystyle \$beta (X, X, b)}$ - 경계가 있는 $부분$ 집합이 있음을 나타냅니다.

참고 항목

• 생체 직교계
• 이중공간 – 수학에서 선형의 벡터공간
• 이중 토폴로지
• 이중성 (수학) – 수학의 일반 개념 및 작동
• 내부 제품 – 점 제품의 일반화; Hilbert spaces를 정의하는 데 사용됨 리디렉션 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
• L-semi-inner 제품 – 모든 Normed Space에 적용되는 내부 제품 일반화
• 쌍 구성 – 링 위의 모듈에 대한 쌍선형 맵위키데이터 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• Polar set – (이중 페어링에서) 듀얼의 특정 포인트로 경계를 이루는 모든 포인트의 부분 집합
• 극지 위상 – 경계 부분 집합의 일부 부분 집합에서 균일한 수렴의 이중 공간 위상
• 환원성 이중쌍
• 강력한 이중 공간 – 유계 집합에 균일한 수렴의 위상을 부여한 연속 이중 공간
• 강력한 토폴로지(극성 토폴로지) – 경계 집합에서 균일한 수렴의 토폴로지가 부여된 연속 이중 공간 방향 전환 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
• 선형 맵의 공간위 위상
• 약한 위상 – 수학 용어

메모들

참고문헌

서지학

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• 마이클 리드와 배리 사이먼, 현대 수학 물리학의 방법, 제1권, 기능 분석, 제III.3절학술출판사, 샌디에고, 1980.ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schmitt, Lothar M (1992). "An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem". Houston J. Of Math. 18: 429–447.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

외부 링크

• 이중성 이론