하위 가우스 분포

확률론에서 가우스 이하의 분포는 꼬리 붕괴가 강한 확률분포다.비공식적으로 가우스 미만 분포의 꼬리는 가우스 분포의 꼬리에 의해 지배된다(즉 적어도 붕괴 속도는 가우스 분포만큼 빠르다).null

형식적으로 임의 변수 X의 확률 분포는 양의 상수 C가 있는 경우 sub-Gaussian이라고 하며, v는 모든 t > 0에 대해,

\operatorname {P}(X >t)\leq Ce^{-vt^{2}.

다음과 같은 규범이 있는 가우스 이하의 랜덤 변수는 Birnbaum-Orlicz 공간을 형성한다.

\ X\ _{\psi _{2}}=\inf\{s}0\mid \operatorname {E} e^{(X/s)^{2}}-1\leq 1\}

등가정의

다음 속성은 동일하다.

X의 분포는 가우스 미만이다.
$\psi _{2}$ $\psi _{2}$ ${\$ - 조건 $\psi _{2}$ : 일부 a > 0, $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ e $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ e < < $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ \ $\operatorname {E} e^{aX^{2}}<+\infty$ \ \ \ ${$ $\ \operatorname {E}$ e^{ $aX^{2}}<+\infty }$ .
라플라스 변환 조건: 일부 B, b > 0, $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ e $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ - E $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ [ X $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ ) $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ B $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ b ${\$ e $^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])$ $}\leq Be^{\$ $lambda ^{$ $2}b$ $}}}}$ 모든 $all$ 에 대해 보류 $\operatorname {E} e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}\leq Be^{\lambda ^{2}b}$ $\lambda$
모멘트 조건: 일부 K > 0, $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ ⁡ $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ / 2 ${\$ X $^{p}\leq K^{p}p^{p/2}}:$ 모든 $\operatorname {E} |X|^{p}\leq K^{p}p^{p/2}$ p > 1
모든 n을에 연합을 조건:일부 c에 사용하여<>;0, E⁡[max{X1− E⁡는 경우 X],…, Xn− E([X]}]≤ c로그 ⁡ n{\displaystyle)\operatorname{E}[\max\{X_{1}-\operatorname{E}는 경우 X],\ldots, X_{n}-\operatorname{E}[X]년}]\leq c{\sqrt{\log n}}};여기서 X1,…, Xnc,{\displaystyle X_{1},\ $ldots ,X_{n}$ 는 X의 i.i.d 복사본이다 $X_{1},\ldots ,X_{n}$ .

참고 항목

플라티쿠르 분포

참조

Kahane, J.P. (1960). "Propriétés locales des fonctions à séries de Fourier aléatoires". Studia Mathematica. Vol. 19. pp. 1–25.[1].
Buldygin, V.V.; Kozachenko, Yu.V. (1980). "Sub-Gaussian random variables". Ukrainian Math. J. Vol. 32. pp. 483–489. [2].
Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probability in Banach Spaces. Springer-Verlag.
Stromberg, K.R. (1994). Probability for Analysts. Chapman & Hall/CRC.
Litvak, A.E.; Pajor, A.; Rudelson, M.; Tomczak-Jaegermann, N. (2005). "Smallest singular value of random matrices and geometry of random polytopes" (PDF). Advances in Mathematics. Vol. 195. pp. 491–523.
Rudelson, Mark; Vershynin, Roman (2010). "Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values". arXiv:1003.2990.
Rivasplata, O. (2012). "Subgaussian random variables: An expository note" (PDF). Unpublished.

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