선요소

기하학에서 선요소 또는 길이요소는 비공식적으로 메트릭 공간에서의 극소 변위 벡터에 관련된 선분이라고 생각할 수 있다.차호 길이라고 생각되는 선 요소의 길이는 미터법 텐서의 함수이며 ${\displaystyle d}$ s$\displaystyle$$ds$로 표시됩니다.

선 요소는 물리학, 특히 시공간이 적절한 메트릭 ^[1]텐서와 함께 곡선의 의사-리만 다양체로 모델링되는 중력 이론(특히 일반 상대성 이론)에서 사용된다.

일반 제제

선 요소 및 호 길이의 정의

극미한 변위 d선소 ds의 제곱의 다차원 또는 유사 리만 리만 다양체(물리학은 보통 로오 렌쯔 형 매니폴드에)의coordinate-independent 정의는"길이의 사각"({\displaystyle d\mathbf{q}}의 평방미터의[2](의사 리만 manifolds 아마 부정적으로).uare 루트를 사용하여 곡선 길이를 계산해야 합니다.

여기서 g는 미터법 텐서이고, ·는 내적을 나타내며, dq는 (의사) 리만 다양체상의 무한소수치이다.$곡선{\displaystyle q}$(${\displaystyle }$)$$)(\$displaystyle$q(\$lambda$를 파라미터화함으로써${\displaystyle }$^[3]q( ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1$$)(\$displaystyle$$$q$(\lambda$$$_${1})$와${\displaystyle }$q( ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$2$$) $사이$의 $곡선{\displaystyle }$ 길이의 호 길이를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle s=\int _{1}^{\displayda _{2}\right}=\int _{\displayda _{1}^{\displayda _{}{\displayda _{d}}d\displayda _{d}{dcrfrac{d}{d}}, {dfracd}, {d}, {d}$

의사 리만 다양체에서 곡선의 합리적인 길이를 계산하려면, 극소 변위가 어디에서나 같은 부호를 갖는다고 가정하는 것이 가장 좋다.$예$를 들어, 물리학에서 타임라인 곡선을 따른 선 요소의 제곱은 (${\displaystyle }$-${\displaystyle }$+$$+ +$$+ + + + +$$) 시그니처$$ 규칙에서) 음수이고 곡선을 따라 선 요소의 제곱근의 음수 제곱근은 곡선을 따라 이동하는 관찰자의 적절한 시간을 측정합니다.이 관점에서 메트릭은 선 요소 외에 표면 요소 및 볼륨 요소 등도 정의합니다.

미터법 텐서를 사용한 선 요소의 제곱 식별

${\displaystyle d\mathbf{}}$q {\$displaystyle$ d$\mathbf {q}$는 임의의 "호 길이의 제곱" ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle$ ds$^{2}}$는 메트릭을 완전히 정의하기 $때문$에 일반적으로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle$ ds$^{$2$$}}에 대한 식을 제안적이지만 장력이 아닌 메트릭 텐서 자체의 정의로 고려하는 것이 최선이다.표기법:

${\displaystyle ds^{2}=g}$

메트릭을 사용한 호 $길이{\displaystyle }$ d ${\displaystyle {}^{}}$의 제곱({$displaystyle$ ds$^{2}})$의 식별은 n차원 일반 곡선 좌표 = (q²³, q, qⁿ, ..., q)에서¹ 보다 쉽게 확인할 수 있으며, 여기서 메트릭 텐서와 일치하는 대칭 순위^[4][5] 2 텐서로 작성된다.

${\displaystyle {}^{}}$ s ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ $=$ ${\displaystyle g}$ { $displaystyle ds$^ {2} =$$g$$_ { $ij } dq$^ { j } $=$ g$$}

여기서 지수 i와 j는 값 1, 2, 3, ..., n을 취하며 아인슈타인의 합계 규칙을 사용한다.(의사) 리만 공간의 일반적인 예로는 3차원 공간(시간 좌표를 포함하지 않음)과 실제로 4차원 시공간이 있다.

유클리드 공간의 선 요소

다음으로 메트릭에서 회선 요소를 찾는 예를 나타냅니다.

데카르트 좌표

가장 단순한 선 요소는 데카르트 좌표에 있습니다. 이 경우 메트릭은 크로네커 델타일 뿐입니다.

${displaystyle g_{ij}=\display_{ij}}$

(여기서 j = 1, 2, 3) 또는 행렬 형태(i는 행을, j는 열을 나타낸다):

$\displaystyle [ g _ { ij } = pmatrix 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 1 \ end { pmatrix }$

일반 곡선 좌표는 데카르트 좌표로 감소합니다.

${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3}}=(x,y,z),\rightarrow \,d\mathbf {r} =(x,dy,dz)}$

그렇게

$\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=blocker^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

직교 곡선 좌표

모든 직교 좌표에 대해 메트릭은 다음과 ^[6]같이 지정됩니다.

${\displaystyle [g_{ij}=pmatrix {1}^{2}&0\\0&h_{2}^{2}&0&h_{3}^2}\end{pmatrix}}$

어디에

$\displaystyle h_{i}=\left {frac\mathbf {r}{\display q^{i}}\right }$

i = 1, 2, 3은 척도 요인이므로 선 요소의 제곱은 다음과 같습니다.

${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}$

이들 좌표에 포함되는 선 요소의 예를 ^[7]다음에 나타냅니다.

좌표계	(q1,q2,q,q3)	미터법	선요소
데카르트어	(x, y, z)	$\displaystyle [ g _ { ij } = pmatrix 1 & 0 \ 0 & 1 \ \ \ end { pmatrix }$	${\displaystyle ds^{2}=syslog^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$
평면 폴라	(r, ))	${\displaystyle [g_{ij}}=syslog {pmatrix}1&0&r^{2}\\end {pmatrix}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \^{2}}$
구면 폴라	(r, ,, ))	$\displaystyle [ g _ { ij } = pmatrix 1 & 0 \ 0 & r^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ \ \ \ \ end { pmatrix }$	$\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta\^{2}\sin^{2}\theta\d\phi\^{2}$
원통형 폴라	(r, θ, z)	${\displaystyle [g_{ij}=syslog {pmatrix}1&0\0&r^{2}&0&1\end{pmatrix}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \^{2}+dz^{2}}$

일반 곡선 좌표

$차원{\displaystyle }$ n${\displaystyle ,}$ { ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle i_{}}$}({$displaystyle$ n$,\{\hat {b}}_{i$의 공간의 임의의 베이스가 주어지면 메트릭은 베이스 벡터의 내부 곱으로 정의됩니다.

${\displaystyle g_{ij}=\displayle {hat {b}_{i}, {\hat {b}}_{j}\rangle }$

$여기$서 1${\displaystyle i}$i , ${\displaystyle jn}$n \ $displaystyle$ 1 \ $leq$i ,$j$ \ $leq$ n$$the$$ the is is is is is is （$i$ i $j$） 。

좌표 $기준{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ b${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \frac{^\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ x$$ (\$displaystyle {b}_{i$}) =$frac$ (\$frac)$ {\$frac x^{i})$

좌표기준은 미분기하학에서 정기적으로 사용되는 특수한 유형의 기준입니다.

4d 시공간에서의 라인 요소

밍코프스키 시공간

민코프스키 메트릭은 다음과 같습니다.^[8][9]

$\displaystyle [g_{ij}=\pm {pmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&1&0&1\\end {pmatrix}$

기호 중 하나를 선택하면 두 개의 규칙이 모두 사용됩니다.이는 평평한 공간에만 적용됩니다.좌표는 4개의 위치에 의해 지정된다.

$\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},x^{2},x^{3}),\rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r})}$

라인 요소는 다음과 같습니다.

$\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )}$

슈바르츠실트 좌표

슈바르츠실트 좌표에서${\displaystyle 좌표}$는 (${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle ,}$ ,$$ ) { $displaystyle \left$ ($t$ , r , $\theta$ , $\phi \$right ) $\}$ 입니다$.{\displaystyle }$

${\displaystyle [g_{ij}=pmatrix{2}-a(r)^{2}&0&0&b(r)^2}&0&0\0&0&0&r^{2}\sin^{2}\ta\end{pmatrix}}$

(3D 구면 극좌표에서의 메트릭과 유사합니다.)

라인 요소는 다음과 같습니다.

${\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}+b(r)^2},dr^{2}+r^{2},d\theta^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta,d\phi^{2}.}$

일반 시공간

시공간에서 선 요소 ds의 제곱에 대한 좌표 독립적 정의는 다음과 같습니다.^[10]

$\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x}\cdot d\mathbf {x}=g(d\mathbf {x}, d\mathbf {x})}$

좌표 측면:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \display }squals^{\alpha }squals^{\display}}$

이 경우 α와 β 지수는 0, 1, 2, 3에 걸쳐 시공간적으로 실행된다.

시공간 간격 - 시공간에서 임의로 닫힌 두 이벤트 간의 분리 측정값입니다.특수상대성이론에서는 로렌츠 변환에서는 불변이다.일반 상대성 이론에서는 임의의 가역 미분 좌표 변환에서는 불변이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 벡터의 공분산 및 반분산
• 제1기초형식
• 통합 및 측정 이론 항목 목록
• 미터법 텐서
• 리치 미적분
• 지수 상승 및 하강

레퍼런스