준산술평균

수학과 통계에서 준산술 평균 또는 일반화 f-평균은 함수 $f$ $f$ 를 사용하여 산술 평균과 기하 평균과 같은 보다 친숙한 수단의 하나의 일반화 $f$ 러시아의 수학자 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)의 이름을 따서 콜모고로프(Kolmogorov)라고도 한다. 일반화된 일반화 평균보다 더 넓은 일반화다.

정의

If f is a function which maps an interval $I$ of the real line to the real numbers, and is both continuous and injective, the f-mean of $n$ numbers $x_{1},\dots ,x_{n}\in I$ is defined as $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ + $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ + $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ ( $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ ) n $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ ) ${\$ { $f(x_{1})+\cdots +f(x_{n}}}}{n}}}}}}}\오른쪽$

M_{f}({\vec{x}})=f^{-1}\왼쪽({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n1}f(x_{k}\right)}}}}

역함수 $f^{-1}$ - $f^{-1}$ ${\$ 이 존재하기 $f^{-1}$ 위해서는 f가 주입되어야 한다. $f$ ${\$ $displaystyle f}$ 은(는) 간격에 걸쳐 정의되므로 $f$ ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ( ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ) ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ + ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ + f ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ( ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ) ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ ${\$ { $f(x_{1})+\cdots$ +f(x_ ${$ $n$ }}}}{n $}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 은 $f^{-1}$ )의 도메인 내에 위치한다 $f^{-1}$

f는 주입성이고 연속성이기 때문에 f는 엄격히 단조함수이므로 f-mean은 $튜플$ x의 가장 큰 수({\ $displaystyle$ x $})$ 보다 크지도 $x$ x ${\displaysty$ x $}$ 에서 가장 작은 수("\displaysty x})보다 작지도 않다는 것을 따른다 $x$

예

$I$ $I$ $I$ = $f(x)=x$ , 실제 선 $f(x)=x$ f $f(x)=x$ ) $f(x)=x$ = x ${\displaystyle f(x)=x$ (또는 실제로 선형 함수 $x\mapsto a\cdot x+b$ $x\mapsto a\cdot x+b$ $x\mapsto a\cdot x+b$ $x\mapsto a\cdot x+b$ + $x\mapsto a\cdot x+b$ ${\displaysty x+b$ $a$ 이 $a$ 아닌 {\ $displaystystyle$ a $},$ f-mean은 산술 평균에 해당한다.
$I$ $I$ $I$ = ℝ⁺, 양의 실수 $f(x)=\log(x)$ f $f(x)=\log(x)$ ( $f(x)=\log(x)$ ) $f(x)=\log(x)$ = $f(x)=\log(x)$ $f(x)=\log(x)$ ( $f(x)=\log(x)$ ) ${\displaystyle f(x)=\log(x)},$ 이 경우 f-mean은 기하 평균에 해당한다. f-평균 속성에 따르면 결과는 1이 아닌 양수인 한 로그의 기저에 의존하지 않는다.
$I$ $I$ $I$ = ℝ⁺ 및 f $f(x)={\frac {1}{x}}$ ) $f(x)={\frac {1}{x}}$ = $f(x)={\frac {1}{x}}$ $f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\$ 인 경우 f-평균은 고조파 평균에 해당된다.
$I$ $I$ $I$ = ℝ⁺ 및 $f(x)=x^{p}$ ( $f(x)=x^{p}$ ) $f(x)=x^{p}$ = $f(x)=x^{p}$ $f(x)=x^{p}$ ${\$ f-평균은 지수 p $p$ 와 일치한다 $p$
If $I$ = ℝ and $f(x)=\exp(x)$ , then the f-mean is the mean in the log semiring, which is a constant shifted version of the LogSumExp (LSE) function (which is the logarithmic sum), ${\displaysty$ $le M_{f}(x_{1},\dots,x_{n})=\mathrm {LSE}(x_{1},\dots,x_{n}-\log(n$ $-\log(n)$ $-\log(n)$ $-\log(n)$ (n $-\log(n)$ ) $-\log(n)$ 은 로그 분할이 선형 뺄셈이기 $때문$ 에 n으로 나누는 것에 $-\log(n)$ 해당한다. LogSumExp 함수는 최대 함수에 대한 부드러운 최대값이다.

특성.

$M_{f}$ 속성은 $M_{f}$ $함수$ f ${\$ $displaystyle M_{f}$ 에 $M_{f}$ 대한 M f ${\$ $displaystyle f}$ 을(를) 유지하십시오 $f$

대칭: M $M_{f}$ ${\$ 의 값은 해당 인수가 순열된 경우 변경되지 $M_{f}$ 않는다.

Idempotency: 모든 x에 $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ f $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ , $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ … $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ , $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ ) $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ = x $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ .

단조로움: $M_{f}$ $M_{f}$ ${\$ 은(f $f$ 이 $f$ (가) 단조로움이기 때문에) 각각의 인수에 단조로움이다 $M_{f}$ .

연속성: M $M_{f}$ ${\$ 은(f $f$ 은 $f$ (는) 연속성이므로) 각각의 인수에서 연속적이다 $M_{f}$ .

대체: 원소의 다양성이 유지된다는 점을 고려할 때 평균을 변경하지 않고 원소의 하위 집합을 a priori로 평균화할 수 있다. $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ = $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ 1 $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ , $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ … $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ , $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ ) ${\displaystyle m=M_{$ f}( $x_{1},\dots$ , $x_{$ k})을(를) 사용하여 다음을 보유한다.

M_{f}(x_{1},\dots,x_{k},x_{k+1},\dots,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots,m} _{k{text{time}}},x_{k+1},\dots ,x_{n}}})

파티셔닝: The computation of the mean can be split into computations of equal sized sub-blocks: ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=$ $M_{f}(M_{f})(x_{1},\dots,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),\dots,M_{f}(x_(n-1)\cdots,x_{n\cdot k}}}}}}.$

자가 분배: 모든 준산술 $평균$ 에 $M$ 두 변수: $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ , $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ ( $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ , $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ ) $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ = $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ ( $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ , $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ M ( x ), $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ ( $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ , $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ ) ${\displaystyle M (x,$ M $(y,z)=M(x,y),$ M $(x,z$

중위수: For any quasi-arithmetic mean $M$ of two variables: $M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))$ .

균형 조정: For any quasi-arithmetic mean $M$ of two variables: $M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)$ .

Central limit theorem : Under regularity conditions, for a sufficiently large sample, ${\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))$ $\}}}}$ 은(는) 대략 정상이다 ${\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}$ .^[1] 유사산술 수단의 일반화인 바즈락타레비치 수단에 대해서도 유사한 결과를 얻을 수 있다.^[2]

스케일 인바이어런스: The quasi-arithmetic mean is invariant with respect to offsets and scaling of $f$ : ${\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))$ $\Rightarrow \ forall x\ M_{f}(x)=$ $M_{g}(x)}$ .

특성화

준산술 평균(즉, 이러한 특성을 만족하는 각 함수는 일부 함수 f에 대한 f-mean)을 특징짓는 몇 가지 다른 속성 집합이 있다.

내적성은 본질적으로 준산술적 수단을 특성화하기에 충분하다.^[3]^{: chapter 17}
자기분배성은 본질적으로 준산술적 수단을 특성화하기에 충분하다.^[3]^{: chapter 17}
대체: 콜모고로프는 대칭성, 고정점, 단조성, 연속성, 대체의 5가지 특성이 준산술적 수단을 완전히 특성화한다는 것을 증명했다.^[4]
균형 조정: 흥미로운 문제는 이 조건(대칭성, 고정점, 단조성 및 연속성 특성과 함께)이 평균이 준산술이라는 것을 내포하는지 여부다. 게오르크 아우만은 1930년대에 해답은 일반적으로 아니라고 했지만,^[5] $M$ $M$ 을 분석 함수로 추가 $M$ 가정할 경우 그 해답은 긍정적이라는 것을 보여주었다.^[6]

동질성

평균은 일반적으로 동질적이지만 대부분의 함수 $f$ $f$ 의 경우 f-mean은 동일하지 않다 $f$ 실제로, 유일한 동종의 준산술 평균은 검정력 평균(기하 평균 포함)이다. 하디-리틀우드- 참조.폴리야, 68쪽

동질성 속성은 일부(동종) $평균$ C $C$ 에 의해 입력 값을 정규화함으로써 달성할 수 있다 $C$

M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\좌측({\frac {f\{x_{1}:{Cx}\우측)+\cdots +f\좌측({\frac {x_{n}}{Cx}}}\우측)}}{n}\오른쪽)

그러나 이러한 변경은 단조성과 평균의 분할 특성을 위반할 수 있다.

참조

^ de Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?". The American Statistician. 70 (3): 764‒776. doi:10.1080/00031305.2016.1148632. hdl:20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c.
^ Barczy, M. and Burai, P. (2019). "Limit theorems for Bajraktarević and Cauchy quotient means of independent identically distributed random variables". arXiv:1909.02968 [math.PR].CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ ^a ^b Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989). Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge: Cambridge Univ. Press.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ Grudkin, Anton (2019). "Characterization of the quasi-arithmetic mean". Math stackexchange.
^ Aumann, Georg (1937). "Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1937 (176): 49–55. doi:10.1515/crll.1937.176.49. S2CID 115392661.
^ Aumann, Georg (1934). "Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte". Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften: 45–81.

안드레이 콜모고로프(1930) "평균의 개념에 대하여" (Kluwer 1991년) — 144–146페이지.
안드레이 콜모고로프(1930) 수르 라 개념 드 라 모옌. 아티 아카드 Naz. Lincei 12 페이지 388–391.
존 비비(1974) "평균의 Axiomatisation of the 평균과 단조로운 시퀀스의 추가 일반화" 글래스고 수학적 저널, 15권, 페이지 63–65.
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Polya, G. (1952) 불평등. 2부. 케임브리지 유니브 1952년, 캠브리지의 프레스.

참고 항목

[1] Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?". The American Statistician. 70 (3): 764‒776. doi:10.1080/00031305.2016.1148632. hdl:20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c.

[2] Barczy, M. and Burai, P. (2019). "Limit theorems for Bajraktarević and Cauchy quotient means of independent identically distributed random variables". arXiv:1909.02968 [math.PR].CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[:0-3] Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989). Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge: Cambridge Univ. Press.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[4] Grudkin, Anton (2019). "Characterization of the quasi-arithmetic mean". Math stackexchange.

[5] Aumann, Georg (1937). "Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1937 (176): 49–55. doi:10.1515/crll.1937.176.49. S2CID 115392661.

[6] Aumann, Georg (1934). "Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte". Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften: 45–81.

[1]

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[3]

[4]

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