수평선

지평선은 천체 표면 또는 그 주변의 관찰자의 관점에서 볼 때 천체의 표면을 하늘에서 분리하는 외관상의 선이다.이 선은 관련 본체의 지표면과 교차하는지 여부에 따라 모든 보기 방향을 나눕니다.

진정한 지평선은 이론적인 선으로, 지구의 바다와 같이 비교적 매끄러운 표면을 따라 있을 때만 어느 정도의 정확도로 관찰될 수 있다.많은 장소에서 이 선은 지형에 의해 가려지고 지구에서는 나무나 건물과 같은 인간의 구조물에 의해 가려질 수 있습니다.이러한 장애물이 하늘과 교차하는 것을 가시적 수평선이라고 합니다.지구에서, 해안에서 바다를 볼 때, 지평선에 가장 가까운 바다의 부분을 ^[1]앞바다라고 부른다.

진정한 지평선은 관찰자를 둘러싸고 있으며, 일반적으로 관련 천체의 완벽한 구형 모델 표면에 그려진 원으로 가정됩니다.지구와 관련하여, 진정한 지평선의 중심은 관찰자 아래 그리고 해수면 아래에 있습니다.대기 굴절 때문에 관측자와의 거리는 매일 달라지는데, 이는 기상 조건에 큰 영향을 받는다.또한, 관찰자의 눈이 해수면에서 더 높을수록, 지평선은 관찰자로부터 더 멀리 떨어져 있습니다.예를 들어, 표준 대기 조건에서, 해수면보다 1.70m(5ft 7in) 높은 눈 높이를 가진 관찰자의 경우, 수평선은 약 5km(3.1m)^[2] 거리에 있다.우주정거장과 같은 매우 높은 관점에서 관찰될 때, 지평선은 훨씬 더 멀고 지구 표면의 훨씬 더 넓은 영역을 차지한다.이 경우, 지구의 표면이 구면보다 타원체로 더 잘 모델링될 수 있기 때문에, 특히 관측자가 적도 위에 있을 때, 수평선은 더 이상 완벽한 원이 될 수 없을 것이다.

어원학

The word horizon derives from the Greek ὁρίζων κύκλος (horízōn kýklos) 'separating circle',^[3] where ὁρίζων is from the verb ὁρίζω (horízō) 'to divide, to separate',^[4] which in turn derives from ὅρος (hóros) 'boundary, landmark'.^[5]

외관 및 용도

역사적으로, 가시적 지평선까지의 거리는 오랫동안 생존과 성공적인 항해에 필수적이었다. 왜냐하면 그것은 안전과 이 범위가 암시하는 정보의 전송에 대한 명백한 결과와 함께 관찰자의 최대 시야 범위와 통신 범위를 결정했기 때문이다.이러한 중요성은 라디오와 전신의 발전과 함께 감소되었지만, 오늘날에도 시각 비행 규칙에 따라 항공기를 조종할 때, 조종사가 항공기의 코와 수평선 사이의 시각적 관계를 사용하여 항공기를 조종하는 자세 비행이라고 불리는 기술이 사용된다.조종사들은 또한 수평선을 참조함으로써 그들의 공간적 방향을 유지할 수 있다.

많은 맥락에서, 특히 원근법 그림에서, 지구의 곡률은 무시되고 수평면의 점들이 관찰자로부터의 거리가 증가함에 따라 (그림 평면에 투영될 때) 수렴되는 이론적인 선으로 간주됩니다.해수면 근처의 관측자들에게, 이 기하학적 수평선(완벽하게 평평하고 무한한 지상면을 가정한 것)과 실제 수평선(구형의 지구 표면을 가정한 것) 사이의 차이는 육안으로는 감지할 수 없다.하지만 바다를 내다보는 1000미터 언덕 위의 누군가에게 진정한 지평선은 수평선보다 약 1도 아래가 될 것이다.

천문학에서 수평선은 관찰자의 눈을 통과하는 수평면이다.이것은 수평 좌표계의 기본 평면이며, 고도가 0도인 점의 궤적입니다.기하학적 지평선과 비슷한 방법이지만, 이 맥락에서 지평선은 그림 평면상의 선이 아니라 공간상의 평면으로 간주될 수 있다.

수평선까지의 거리

대기 굴절의 영향을 무시하고, 지구 표면 가까이에 있는 관측자로부터 진정한 수평선까지의 거리는 대략^[2] 이다.

$d {displaystyle d\applough {2,h,R}}$

여기서 h는 해수면 위의 높이이고 R은 지구 반지름입니다.

d를 킬로미터, h를 미터로 측정할 때 거리는 다음과 같습니다.

$d3.displaystyle d\display 3.57grt {h}},$

여기서 상수 3.57의 단위는 km/m이다^½.

d를 마일(즉, 5,280피트(1,609.344m)^[2]의 "육지 마일") 및 h로 측정할 때 거리는 다음과 같습니다.

$d약 1. { 약 1.22rt 1.22rt, 약 1.22rt; 약 1.22rt.}$

여기서 상수 1.22의 단위는 mi^½/ft이다.

이 방정식에서는 r이 약 6,371km(3,959mi)에 해당하는 완벽한 구면이라고 가정합니다.

»

대기 굴절이 없고 반지름이 R=6,371km(3,959mi)인 구형 지구가 있다고 가정하면:

• h = 1.70m(5ft 7in)의 지상에 서 있는 관측자의 경우, 수평선은 4.7km(2.9mi) 거리에 있다.
• h = 2m(6피트 7인치)인 지상에 서 있는 관찰자의 경우, 수평선은 5km(3.1m) 거리에 있다.
• 해발 30m(98ft) 높이의 언덕이나 탑에 서 있는 관찰자의 경우 수평선은 19.6km(12.2m) 거리에 있다.
• 해발 100m(330ft) 높이의 언덕이나 탑에 서 있는 관찰자의 수평선은 36km(22mi) 거리에 있다.
• 지상에서 828m(2,717ft) 높이, 해발 약 834m(2,736ft) 높이인 부르즈 칼리파 지붕에 서 있는 관찰자의 수평선은 103km(64mi) 거리에 있다.
• 에베레스트 산(고도 8,848m(29,029ft) 정상의 관측자에게 수평선은 336km(209m) 거리에 있다.
• 일반 고도 35,000피트(11,000m)로 비행하는 상용 여객기에 탑승한 관찰자의 경우, 수평선은 369km(229m) 거리에 있다.
• U-2 조종사의 경우 21,000m(69,000ft)의 서비스 천장을 비행하는 동안 수평선은 517km(321m)의 거리에 있습니다.

다른 행성들

대기 영향을 무시할 수 있는 지구형 행성과 다른 고체 천체에서는 "표준 관측자"가 지평선까지의 거리는 행성 반지름의 제곱근에 따라 달라집니다.따라서 수성의 지평선은 지구에서와 같이 관측자로부터 62% 떨어져 있고, 화성의 지평선은 73%, 달의 지평선은 52%, 미마스의 지평선은 18% 등입니다.

파생

만약 지구가 대기 굴절이 없는 특징 없는 구(구체가 아닌)라고 가정한다면, 수평선까지의 거리는 쉽게 ^[6]계산될 수 있다.

탄젠트-세컨트 정리는 다음과 같이 기술한다.

${\displaystyle \mathrm {OC}^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} }$

다음과 같이 치환합니다.

• d = OC = 수평선까지의 거리
• D = AB = 지구의 지름
• h = OB = 해수면 위의 관측자 높이
• D+h = OA = 지구의 지름 + 해수면 위의 관측자 높이,

d, D, h는 모두 같은 단위로 측정됩니다.이제 공식은

${\displaystyle d^{2}=h(D+h),\!}$

또는

${\displaystyle d=sqrt {h(D+h)}=sqrt {h(2R+h)}},$

여기서 R은 지구의 반지름입니다.

같은 방정식은 피타고라스의 정리를 통해서도 도출될 수 있다.수평선에서, 시선은 지구에 대한 접선이고 또한 지구의 반지름에 수직이다.반지름과 높이의 합을 빗변으로 하여 직각삼각형을 설정합니다.와 함께

• d = 수평선까지의 거리
• h = 해수면 위의 관측자 높이
• R = 지구의 반지름

오른쪽의 두 번째 그림을 참조하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2},\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2},\!}$

${\displaystyle d=syslogrt {h(2R+h)}}}, .$

위의 정확한 공식은 다음과 같이 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle d=sqrt {2Rh+h^{2}},},$

여기서 R은 지구의 반지름입니다(R과 h는 같은 단위여야 합니다).예를 들어 위성이 2000km의 높이에 있는 경우 수평선까지의 거리는 5,430km(3,370mi)입니다. 괄호 안의 두 번째 항을 무시하면 거리는 5,048km(3,137mi)로 7%의 오차가 발생합니다.

근사치

관측자가 지구 표면에 근접해 있는 경우, (2R + h) 항에서 h를 무시하는 것이 유효하며, 공식은 다음과 같다.

$({displaystyle d=sqrt {2Rh})}$

d와 R에 킬로미터, h에 미터, 그리고 지구의 반경을 6371 km로 취하면, 수평선까지의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$6 ${\displaystyle \sqrt{6371h}}$h / ${\displaystyle \sqrt{1000}3}$ 3.${\displaystyle 570\sqrt{}}$ h$（ displaystyle$ d \ ） 。약 { $displaystyle$ {$2$ \ $cdot 6371$\ $cdot { h$ / $1000$} \ $약$3.$570 sq$ rt${ h$} ,$$。

영국식 단위(d와 R은 법령 마일(육지에서 일반적으로 사용됨) 및 h는 피트)를 사용하여 수평선까지의 거리는 다음과 같습니다.

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \approx }$ 2 ${\displaystyle \sqrt{39}}$ ${\displaystyle \sqrt{3963\cdot }}$ h / ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{5280}}\sqrt{}1\sqrt{\mathrm{}}}$1.${\displaystyle \sqrt{5}}$ h${\displaystyle 1}$1.${\displaystyle 22\sqrt{}}$ h$$（ $displaystyle$ d $\ about$ { $2$\ $cdot 3963$\$cdot { h$ / $5280$}$$） $。약$1.$22 hrt { h} 。$

d가 해리 단위이고 h가 피트 단위인 경우 상수 계수는 약 1.06으로, 이는 종종 무시될 정도로 1에 가깝기 때문에 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$(*displaystyle d\about {h})$

이러한 공식은 h가 지구의 반지름(6371km 또는 3959mi)보다 훨씬 작을 때 사용할 수 있으며, 여기에는 산꼭대기, 비행기 또는 고고도 풍선의 모든 모습이 포함된다.주어진 상수를 사용하면 메트릭 공식과 영국 공식 모두 1% 이내로 정확합니다(더 높은 정밀도를 얻는 방법은 다음 절 참조).대부분의 인공위성과 마찬가지로 h가 R에 대해 유의한 경우 근사치는 더 이상 유효하지 않으며 정확한 공식이 필요하다.

기타 조치

원호 거리

또 다른 관계에는 지구의 곡면을 지나 수평선까지 호를 따라 있는 원거리 s가 포함된다. 라디안 단위의 θ는

$(\displaystyle s=R\gamma\;)$

그리고나서

$\displaystyle \cos \cos = \cos {frac {s} {R} = flac {R} {R+h} ,}$

를 위한 해결은

${\displaystyle s=R\cos ^{-1}{\frac {R}{R+h}}},}$

거리 s는 가시 거리 d로도 표현할 수 있다. 오른쪽의 두 번째 그림에서 보면,

${\displaystyle \tan \displays = frac {d}{R}},;}$

and을 대체하여 기부를 재배치하다

${\displaystyle s=R\tan^{-1}{\frac {d}{R}},}$

거리 d와 s는 물체의 높이가 반지름에 비해 무시할 수 있는 경우(즉, h µ R)는 거의 동일합니다.

천정각

관찰자가 상승할 때 수평 천정 각도는 90°보다 클 수 있습니다.가시적인 최대 천정 각도는 광선이 지구 표면에 접선할 때 발생합니다. 오른쪽 그림의 삼각형 OCG에서

$\displaystyle \cos \displays = frac {R} {R+h}}$

$여기$서 h$(\displaystyle$ h$)$는 지표면 위의 관찰자 높이이고$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \display)$는 수평선의 각도 기울기입니다.이 값은 다음과 같이 수평 천정 $각도{\displaystyle }$ z$\displaystyle$z와$$ 관련이 있습니다.

${\displaystyle z=\display +90{}^{\display}}$

$음$이 아닌 $h$의$$경우 $z는$$$항상 90° 이하입니다.

수평선 위의 물체

관찰자가 지평선 위에 있는 물체의 꼭대기를 볼 수 있는 가장 큰 거리를 계산하려면, 그 물체의 꼭대기에 있는 가상의 관찰자의 지평선까지의 거리를 계산하고, 그것을 실제 관찰자의 지평선까지의 거리에 더합니다.예를 들어, 높이가 1.70m인 관측자가 지상에 서 있는 경우, 지평선은 4.65km 떨어져 있다.높이가 100미터인 타워의 경우, 수평선 거리는 35.7킬로미터이다.따라서 해변에 있는 관찰자는 탑이 40.35km 이상 떨어져 있지 않다면 탑의 꼭대기를 볼 수 있다.반대로 보트의 관찰자(h = 1.7m)가 인근 해안의 나무 꼭대기를 볼 수 있다면(h = 10m) 나무는 아마도 약 16km 떨어진 곳에 있을 것이다.

오른쪽에 있는 그림을 참고하여, 등대 꼭대기는 배의 돛대 꼭대기에 있는 까마귀 둥지 안에 있는 망루에 보일 것이다.

$({displaystyle D_{\mathrm {BL}}) <3.57,({\sqrt {h_{\mathrm {B}}}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L}}}}}}},})$

여기서_BL D는 킬로미터 단위이고_B h와_L h는 미터 단위입니다.

또 다른 예로, 눈이 수평 지면에서 2미터 위에 있는 관찰자가 쌍안경을 사용하여 각각 3.5미터 높이의 30층으로 구성된 먼 건물을 바라본다고 가정해 보자.그는 그가 볼 수 있는 층을 세어봤지만, 겨우 10층밖에 없다는 것을 알았다.그래서 건물의 20층 혹은 70미터는 지구의 곡률에 의해 그에게서 가려졌다.이를 통해 건물과의 거리를 계산할 수 있습니다.

$({displaystyle D\약 3.57({sqrt {2}})+{\sqrt {70})})$

약 35km에 달합니다.

지평선 위에 보이는 먼 물체의 양을 계산하는 것도 마찬가지로 가능합니다.관찰자의 눈이 해발 10미터에 있고, 그는 20킬로미터 떨어진 배를 보고 있다고 가정합니다.그의 지평은 다음과 같다.

${\displaystyle 3.57grt {10}}$

약 11.3km 떨어진 곳에 있습니다.그 배는 8.7km 더 떨어져 있다.관측자가 볼 수 있는 배의 점의 높이는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle h\about\leftfrac {8.7}{3.57}}\right)^{2}$

거의 정확히 6미터에 달합니다.따라서 관측자는 수면보다 6미터 이상 높은 배의 부분을 볼 수 있다.이 높이보다 낮은 배의 부분은 지구의 곡률에 의해 그에게서 가려진다.이 상황에서, 그 배는 선체가 침몰한 것으로 알려졌다.

대기 굴절 효과

대기 굴절 때문에 가시적 수평선까지의 거리는 단순한 기하학적 계산에 기초한 거리보다 더 멀다.만약 지면(또는 물) 표면이 그 위의 공기보다 차가우면, 차갑고 밀도가 높은 공기층이 표면 가까이에 형성되어 빛이 이동할 때 아래로 굴절되어 어느 정도까지는 지구의 곡률을 돌게 됩니다.사막에서 종종 일어나 신기루를 만들어 내는 것처럼 땅이 그 위의 공기보다 더 뜨거우면 그 반대 현상이 일어납니다.굴절에 대한 대략적인 보상으로서, 100미터 이상 거리를 측정하는 측량사는 계산된 곡률 오차에서 14%를 빼고 굴절로 인한 무작위 오차를 줄이기 위해 최소 1.5미터 이상의 시야를 확보합니다.

만약 지구가 달과 같이 공기가 없는 세계였다면, 위의 계산은 정확했을 것이다.그러나 지구에는 온도와 압력에 따라 밀도와 굴절률이 크게 달라지는 대기가 있다.이로 인해 공기가 빛을 다양한 범위로 굴절시켜 수평선의 외관에 영향을 미칩니다.보통, 지구 표면 바로 위에 있는 공기의 밀도는 더 높은 고도에 있는 공기 밀도보다 더 높습니다.이것은 높은 고도보다 표면 근처에서 굴절률을 더 크게 만들어 대략 수평으로 이동하는 빛을 아래로 ^[7]굴절시킵니다.그러면 실제 수평선까지의 거리가 기하학적 공식으로 계산된 거리보다 커집니다.표준 대기 조건에서는 차이가 약 8%입니다.이렇게 하면 위에서 사용한 메트릭 공식에서 3.57의 계수가 약 3.^[2]86으로 변경됩니다.예를 들어, 관찰자가 해수면 1.70m 위에 있는 해안가에 서 있다면, 수평선 위에 주어진 간단한 기하학적 공식에 따르면 4.7km 떨어져 있어야 한다.사실, 대기 굴절은 관찰자가 300미터 더 멀리 볼 수 있게 해주며, 관찰자로부터 5킬로미터 떨어진 진짜 지평선을 이동시킨다.

이 보정은 대기 조건이 표준에 가까울 때 상당히 좋은 근사치로 적용될 수 있으며 종종 적용된다.상황이 비정상적일 경우 이 근사치는 실패합니다.굴절은 온도 구배의 영향을 강하게 받습니다. 온도 구배는 특히 물 위에서 매일 크게 달라질 수 있습니다.극단적인 경우, 보통 봄철에 따뜻한 공기가 찬물 위에 있을 때, 굴절은 빛이 수백 킬로미터 동안 지표면을 따라가게 할 수 있습니다.예를 들어 사막에서는 표면이 매우 뜨겁기 때문에 뜨겁고 밀도가 낮은 공기가 차가운 공기 아래에 있는 것과 같은 반대 조건이 발생합니다.이것은 빛을 위쪽으로 굴절시켜 지평선의 개념을 다소 무의미하게 만드는 신기루 효과를 일으킨다.따라서 비정상적인 조건에서의 굴절 효과에 대한 계산된 값은 ^[2]근사치일 뿐입니다.그럼에도 불구하고, 위에서 설명한 단순한 근사치보다 더 정확하게 계산하려는 시도가 있었다.

가시 파장 범위를 벗어나면 굴절이 달라집니다.레이더(예: 300~3mm 파장, 즉 1과 100GHz 사이의 주파수의 경우)의 경우, 지표 공식에서 4.12의 계수를 제공하는 유효 반지름을 얻기 위해 지구 반지름에 4/3을 곱할 수 있다. 즉, 레이더 지평선은 기하학적 지평선을 15%, 시야를 7% 초과한다.시각적 경우 굴절이 대기 조건에 따라 달라지므로 4/3 인자는 정확하지 않습니다.

통합 방식: 스위어

대기의 밀도 프로파일이 알려진 경우, 수평선까지의 거리 d는 다음과 같이 주어진다^[8].

$\displaystyle d=개요R}_{\text{E}}\left(\psi +\delta \오른쪽),}$

여기서_E R은 지구의 반지름, θ는 지평선의 기울기, θ는 지평선의 굴절이다.침하량은 꽤 간단하게 측정된다.

$\displaystyle \cos \psi = frac {{R}_{\text{\text}E}}{\mu }_{0}}{\left({R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }},},}$

여기서 h는 지구 위의 관측자의 높이, μ는 관측자의 높이에서₀ 공기의 굴절률, μ는 지구 표면에서 공기의 굴절률이다.

굴절은 다음 요소의 통합에 의해 발견되어야 한다.

$\displaystyle =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {{\text{d}}\mu }},},}$

여기서${\displaystyle }\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \phi \,\!)$는 지구의 중심을 통과하는 선과 광선 사이의 각도입니다.각도 θ와${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \phi,\!)$는 다음과 같이 관련되어 있습니다.

$\displaystyle \phi = 90{\displays }-\psi,}$

간단한 방법:어리다

위에서 설명한 1차 근사치와 기본적으로 동일한 결과를 생성하는 훨씬 단순한 접근방식은 기하학적 모델을 사용하지만 반지름 Rµ = 7/6_E R을 사용한다.수평선까지의 거리는 다음과 같습니다^[2].

${\displaystyle d=syslogrt {2R^{\prime }h}},}$

지구의 반지름을 6371km로 계산하면 d는 km, h는 m이다.

${\displaystyle d\약 3.86grt {h}},;}$

d는 mi, h는 ft,

$({displaystyle d} 약 1.32m2rt {h}),}$

Young의 방법의 결과는 Sweeer의 방법의 결과와 매우 비슷하고 여러 가지 용도로 충분히 정확합니다.

수평선 곡률

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지구 표면 위의 한 지점에서 수평선은 약간 볼록한 것처럼 보인다; 그것은 원호이다.다음 공식은 이 시각적 곡률$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \kappa$ $고도{\displaystyle }$h(\$displaystyle$ h$)$ 및 지구의 $반지름{\displaystyle }$R(\$displaystyle$ R$)$ 사이의 기본적인 기하학적 관계를 나타냅니다.

$= ( + { \ { } { } \ \ }\ displaystyle \ kappa = rt { left ( 1 + { \ frac { h } { R } \ right )^2} - 1 \ } \ } \ } \ }$

곡률은 라디안 단위의 곡률 각도 반지름의 역수입니다.1.0의 곡률은 지구 표면에서 약 2,640km(1,640mi)의 고도에 해당하는 57.3°의 각 반지름의 원으로 나타납니다.일반 여객기의 순항 고도인 고도 10km(6.2mi; 33,000ft)에서 수평선의 수학적 곡률은 약 0.056으로 원의 중심 바로 위 56cm에서 볼 수 있는 반경 10m의 원의 테두리와 동일하다.그러나 대기에 의한 빛의 굴절과 시야면 위의 고도를 감소시키는 높은 구름층에 의한 수평선의 흐림 때문에 겉으로 보이는 곡률은 그보다 적다.

★★★★

수평선은 그래픽 원근법 과학에서 그림 평면의 주요 특징입니다.화상평면이 지면과 수직이며 P가 화상평면상의 아이포인트 O의 수직투영이라고 가정하면 수평선은 P를 통과하는 수평선으로 정의된다.P점은 그림과 수직인 선의 소실점이다.S가 수평선상에 있는 또 다른 점이라면, 그것은 OS에 평행한 모든 회선의 소실점입니다.그러나 Brook Taylor(1719)는 O와 지평선에 의해 결정되는 수평면이 다른 평면과 같다고 지적했다.

예를 들어, 수평선의 용어는 학습자의 개념을 수평면의 평면으로 한정하고, 평면이 다른 평면의 그림보다 더 쉽고 쉽게 묘사할 수 있는 특정한 특권을 누린다고 상상하게 만드는 경향이 있습니다.하지만 이 책에서 나는 지평선의 비행기와 다른 어떤 ^[9][10]비행기와도 상관없다...

평행선이 먼 곳에서 모이는 독특한 원근법 기하학은 평행선이 만나는 무한대에 점을 배치하는 투영 기하학의 발전을 자극했다.미술의 기하학(2007)에서, 커스티 안데르센은 사라지는 점이 지평선에 있을 필요는 없다고 언급하면서, 원근법과 과학의 진화를 1800년까지 묘사했다.존 스틸웰은 "수평"이라는 제목의 장에서 투영 기하학이 어떻게 선 교차점에 대한 현대 추상 연구인 입사 기하학으로 이어졌는지를 설명했다.스틸웰은 또한 "대수의 법칙이란 무엇인가?"라는 제목의 섹션에서 수학의 기초에 과감히 뛰어들었다.칼 폰 슈타우트가 한 분야의 공리를 도출한 "점들의 대수"는 20세기에 해체되어 다양한 수학적 가능성을 낳았다.스틸웰 주

100년 전의 이 발견은 수학계가 아직 완전히 흡수하지는 않았지만 수학을 뒤집을 수 있는 것으로 보인다.기하학을 대수학으로 바꾸는 추세에 저항할 뿐만 아니라, 기하학과 대수학 둘 ^[11]다 이전에 생각했던 것보다 더 단순한 기초를 가지고 있다는 것을 암시한다.

「」도 .

읽기 ★★★★★★★★★★★★★★」

• Young, Andrew T. "Dip of the Horizon". Green Flash website (Sections: Astronomical Refraction, Horizon Grouping). San Diego State University Department of Astronomy. Retrieved April 16, 2011.