Hyperbolic coordinates

In mathematics, hyperbolic coordinates are a method of locating points in quadrant I of the Cartesian plane

${\displaystyle \{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q}$.

Hyperbolic coordinates take values in the hyperbolic plane defined as:

${\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}$.

These coordinates in HP are useful for studying logarithmic comparisons of direct proportion in Q and measuring deviations from direct proportion.

For ${\displaystyle (x,y)}$ in ${\displaystyle Q}$ take

${\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}$

and

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$.

The parameter u is the hyperbolic angle to (x, y) and v is the geometric mean of x and y.

The inverse mapping is

${\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}$.

The function ${\displaystyle Q\rightarrow HP}$ is a continuous mapping, but not an analytic function.

Alternative quadrant metric

Since HP carries the metric space structure of the Poincaré half-plane model of hyperbolic geometry, the bijective correspondence ${\displaystyle Q\leftrightarrow HP}$ brings this structure to Q. It can be grasped using the notion of hyperbolic motions. Since geodesics in HP are semicircles with centers on the boundary, the geodesics in Q are obtained from the correspondence and turn out to be rays from the origin or petal-shaped curves leaving and re-entering the origin. And the hyperbolic motion of HP given by a left-right shift corresponds to a squeeze mapping applied to Q.

Since hyperbolas in Q correspond to lines parallel to the boundary of HP, they are horocycles in the metric geometry of Q.

If one only considers the Euclidean topology of the plane and the topology inherited by Q, then the lines bounding Q seem close to Q. Insight from the metric space HP shows that the open set Q has only the origin as boundary when viewed through the correspondence. Indeed, consider rays from the origin in Q, and their images, vertical rays from the boundary R of HP. Any point in HP is an infinite distance from the point p at the foot of the perpendicular to R, but a sequence of points on this perpendicular may tend in the direction of p. The corresponding sequence in Q tends along a ray toward the origin. The old Euclidean boundary of Q is no longer relevant.

Applications in physical science

Fundamental physical variables are sometimes related by equations of the form k = x y. For instance, V = I R (Ohm's law), P = V I (electrical power), P V = k T (ideal gas law), and f λ = v (relation of wavelength, frequency, and velocity in the wave medium). When the k is constant, the other variables lie on a hyperbola, which is a horocycle in the appropriate Q quadrant.

예를 들어 열역학에서 등온 과정은 쌍곡선 경로를 명시적으로 따르고 작업은 쌍곡선 각도 변화로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 부피가 변화하는 기체의 질량 M은 가변 밀도 Δ = M / V를 가지며, 이상적인 기체 법칙은 절대 온도와 가스 밀도의 사분면에서 하이퍼볼라를 추적하도록 P = k T Δ라고 쓰여질 수 있다.

상대성 이론의 쌍곡 좌표는 역사 섹션을 참조하십시오.

통계적용

• 사분면의 인구밀도 비교연구는 인구와 면적을 포인트(1,1)로 삼는 기준국가, 지역 또는 도시지역을 선택하는 것으로 시작한다.
• 대의 민주주의에서 선출된 지역의 대표에 대한 분석은 비교를 위한 표준의 선택으로부터 시작된다. 특정한 대표 집단의 규모와 (대표의) 규모가 사분면에서 (1,1)에 해당한다.

경제 적용

경제학에는 쌍곡 좌표의 자연적 적용이 많다.

• 환율변동 분석:
  단위 통화는 ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 1 ${\displaystyle x=1$}을$($를) 설정한다$.$ $가격{\displaystyle }$ 통화가 y ${\displaystyle y}$에 해당함$.$
  $$0(\displaystyle 0(<1})$$

  
  우리는 플러스 쌍곡선 각도인> 0 ${\displaystyle u>0}$을 발견한다. 변동은 새로운 가격을 받는다.
  $$0(\displaystyle 0)$$

  
  그렇다면 u의 변화는 다음과 같다.
  $${\displaystyle \Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.}$$

  
  쌍곡선을 통해 환율 변동을 계량화하면 객관적이고 대칭적이며 일관된 척도가 나온다. $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta u}$의 수량은 통화$$ 변동에 대한 쌍곡선 움직임의 좌우 이동 길이입니다.
• 소비재 바구니 물가의 인플레이션 또는 디플레이션 분석.
• 이중집합에서 시장점유율의 변화를 수량화한다.
• Corporate stock splits versus stock buy-back.

History

The geometric mean is an ancient concept, but hyperbolic angle was developed in this configuration by Gregoire de Saint-Vincent. He was attempting to perform quadrature with respect to the rectangular hyperbola y = 1/x. That challenge was a standing open problem since Archimedes performed the quadrature of the parabola. The curve passes through (1,1) where it is opposite the origin (mathematics) in a unit square. The other points on the curve can be viewed as rectangles having the same area as this square. Such a rectangle may be obtained by applying a squeeze mapping to the square. Another way to view these mappings is via hyperbolic sectors. Starting from (1,1) the hyperbolic sector of unit area ends at (e, 1/e), where e is 2.71828…, according to the development of Leonhard Euler in Introduction to the Analysis of the Infinite (1748).

Taking (e, 1/e) as the vertex of rectangle of unit area, and applying again the squeeze that made it from the unit square, yields ${\displaystyle (e^{2},\ e^{-2}).}$ Generally n squeezes yields ${\displaystyle (e^{n},\ e^{-n}).}$ A. A. de Sarasa noted a similar observation of G. de Saint Vincent, that as the abscissas increased in a geometric series, the sum of the areas against the hyperbola increased in arithmetic series, and this property corresponded to the logarithm already in use to reduce multiplications to additions. Euler’s work made the natural logarithm a standard mathematical tool, and elevated mathematics to the realm of transcendental functions. The hyperbolic coordinates are formed on the original picture of G. de Saint-Vincent, which provided the quadrature of the hyperbola, and transcended the limits of algebraic functions.

특수 상대성에서는 주어진 적절한 시간이 지나면 다양한 속도가 도달하는 스페이스타임의 미래에는 3차원 하이퍼러페이스에 초점을 맞춘다. 스콧 월터는 1907년 11월 헤르만 민코프스키가 괴팅겐수학회와 대화하면서 잘 알려진 3차원 쌍곡 기하학을 암시했지만 4차원 기하학에는 암시하지 않았다고 설명한다^[1].^[2] 상대성에 관한 표준 입문 대학 수준의 교과서의 저자인 볼프강 린들러에 대한 찬사에서, 스페이스타임의 쌍곡 좌표를 린들러 좌표라고 부른다.

참조

• 데이비드 베토네스(2001) 미분 방정식: 이론과 응용, 254페이지 Springer-TELOS, ISBN0-387-95140-7.
• 스콧 월터(1999년). "민코우스키안 상대성 이론의 비유클리드 스타일" 제4장: 제레미 J. 그레이(ed.), 상징적 우주: 기하학과 물리학 1890-1930 페이지 91-127. 옥스퍼드 대학 출판부 ISBN 0-19-850088-2