로그 평균

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수학에서 로그 평균은 두 개의 음수가 아닌 숫자의 함수인데, 이것은 그들의 차이를 그들의 몫의 로그로 나눈 것과 같다. 이 계산은 열과 질량 전달과 관련된 공학 문제에 적용된다.

정의

로그 평균은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\reasoned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln(y)-\ln(x)}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

양수 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,y}$의 경우$.$

불평등

두 숫자의 로그 평균은 산술 평균보다 작지만 지수를 가진 일반화 평균은 기하 평균보다 3분의 1이 크며, 숫자가 동일하지 않으면 기하 평균보다 크다. 이 경우 세 평균은 모두 숫자와 같다.

${\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.}$^[1][2][3]

파생

미분학의 평균값 정리

평균값 정리에서는 x와 y 사이의 간격에 값 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$이(가) 존재하며 여기서 파생상품 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 secant 선의 기울기와 같다$$.

${\displaystyle \xi \in (x,y):\f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}}}}$

로그 평균은 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln$}을(를) f$${\$displaystyle f$}에$$ 대체하고$$$$ 해당 파생 모델과 유사하게 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ln}$의 값으로 구한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }={\frac {\ln(x)-\ln(y)}{x-y}}}}}$

▼ ${\displaystyle \xi}$에 대한 해결$:$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln(x)-\ln(y)}}}$

통합

로그 평균은 지수 곡선 아래의 영역으로도 해석할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d}t\\[3pt]={}&\왼쪽.{\frac {x}{\ln \left\frac {y}{x}\right)}\left\frac {y}{x}\right)^{t}\오른쪽 _{t=0}^{1}={}={}{\frac {x}{\ln \leftfr\frac\frac {y}{x}\right)}}}\왼쪽 \frac {y}{x}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln \leftflat\frac {y}{x}}\오른쪽)}}\\[3pt]={}&#{\frac {y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}}\end{aigned}}}}}}$

면적 해석은 로그 평균의 일부 기본 특성을 쉽게 파생할 수 있다. 지수함수는 단조적이므로 길이 1의 간격에 걸친 적분은 x ${\displaystyle x}$과 y ${\displaystyle y}$로 경계된다$.$ 적분 연산자의 동질성은 평균 연산자로 전달된다$.$ 즉, ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) =${\displaystyle C}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L $(cx,cy)=cL(x,y)}.$

두 개의 다른 유용한 적분 표현은

, 그리고

일반화

미분학의 평균값 정리

로그의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n+$$1}$ 파생상품에 대한 분할된 차이에 대한 평균값 정리를 고려하여${\displaystyle }n{\displaystyle }$ + ${\displaystyle 1}$ 변수에$$ 대한 평균값을 일반화할 수 있다$.$

우리는 얻는다.

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,\x_{n}={\sqrt[{-n}]{-n}}{(-1)^{(n+1)n\n\ln \left(\왼쪽[x_{0}}},\dots ,\,x_{n}\rig}\rig]\rig)\rig)}}}$

여기서 ${\displaystyle \ln ([}$ ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}])}$ ${\$은 로그의 구분된 차이를 나타낸다$$.

${\displaystyle \mathrm{n}}$= 2 ${\displaystyle n=2}$의 경우$$

$displaystystyle L_{\text{\$$$$MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left(\left(y-z\right)\ln \left(x\right)+\left(z-x\right)\ln \left(y\right)+\left(x-y\right)\ln \left(z\right)\right)$$}}}}$.

적분

그 통합 해석 또한 더 많은 변수 있지만, 다른 결과가 있기 마련이 개괄될 수 있다. )S와 함께 simplex S{S\textstyle}을 감안할 때{(α 0,…,α n):(α 0+⋯+α nx1)∧(α 0≥ 0)∧ ⋯ ∧(α n≥ 0)}{\textstyle S=\{\left(\alpha_{0}일 경우 ,\,\dots ,\,\alpha_{n}\right):.\left(\alpha_{0}일 경우 +\dots +\alpha_{n}=1\right)\land \left(\alpha_{0}일 경우 \geq 0\right)\land \dots}}과 측정하는 올바른 방법은 심플렉스 할당합니다 α{\textstyle \mathrm{d}\alpha}1의 볼륨, 우리는을 얻d \left(\alpha_{n}\geq 0\right)\ \land.

${\displaystyle L_{\text{나는}}\left(x_{0}일 경우 ,\,\dots{n},\,x_ \right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha_{0}}\cdot \,\cdots(x_{n}^{\alpha_{n}})\mathrm{d}\alpha}.$

이것은 지수 함수의 분단된 차이를 사용하여 단순화될 수 있다.

나는 나는= n(x0,…,)n)!exp⁡[ln ⁡(x0, …, ln ⁡(x의 nx]{\displaystyle L_{\text{.나는}}\left(x_{0}일 경우 ,\,\dots{n},\,x_ \right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}일 경우 \right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}.

$\mathrm{예제}$ n$$= 2 ${\textstyle n=2$}

${\displaystyle L_{\text{$$I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}}$.

다른 수단에 대한 연결

• 산술 평균: $L{\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$,${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$y ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$)${\displaystyle \frac{{}^{}L}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$, y${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$= x${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$오른쪽$)}{L(x,y)}}}{{\frac$ {$x+y}{$2}{$2$}}}}}}}}{2}$}}}$

• 기하 평균: $L{\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$( x$,$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{y}{}}}$) ${\displaystyle \sqrt{\frac{L}{}}}$( ${\displaystyle \sqrt{\frac{\frac{1}{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{x\frac{\mathrm{}}{}}{}}}$, 1 ${\displaystyle \sqrt{\frac{\frac{y}{}}{}}}$)${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$= ${\displaystyle x\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{y}}$ ${\$sqrt {\$l\$left(x$,y\right)}{$$L\왼쪽({\frac {1}{x},{\frac {1}{y}}\오른쪽)$$}}}={\sqrt{xy}}}$

• 조화 평균: L${\displaystyle \frac{(}{}}1{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{x}{}}{}}$ ,${\displaystyle \frac{\frac{1}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$) ${\displaystyle \frac{L}{(1\frac{\mathrm{}}{}}}$ x ${\displaystyle \frac{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}{}}$, 1 ${\displaystyle \frac{\frac{{y\mathrm{}}^{}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{{}^{}}{}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \frac{2\frac{\mathrm{}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{x}{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\frac{1}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{y\frac{\mathrm{}}{}}{}}$ ${\$ {$L\left({\frac {1}{x},{\$frac {1$}{y}\오른쪽)}{{\$$frac$ {$1}{$1}}}}}}{{{\frac}}}}}}}}{{$L\왼쪽({\$$frac {1}{x^{2}},{\frac {1}{y^{2}}\오른쪽)$$}}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}+{\frac {1}{y}}}}}$

참고 항목

• 로그와 관련된 다른 평균은 기하 평균이다.
• 로그 평균은 스톨라스키 평균의 특별한 경우다.
• 로그 평균 온도 차이
• 로그 의미 부여

참조

인용구

참고 문헌 목록

• 오일필드 용어집: 용어 '로그 평균'
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean Inequality". MathWorld.
• 스톨라스키, 케네스 B: 로그 평균의 일반화, 수학 매거진, 제48권, 제2권, 1975년 3월, 페이지 87–92