타원 경계 값 문제

수학에서 타원형 경계 값 문제는 진화 문제의 안정적 상태로 생각할 수 있는 특별한 종류의 경계 값 문제다. 예를 들어, 라플라키아인의 디리클레 문제는 난방을 켠 지 몇 시간 후에 방의 열 분포를 궁극적으로 제공한다.

미분방정식은 금속판(예를 들어)에서 열의 진화를 기술하는 열방정식부터 상대론적 방식으로 물리적 우주를 기술하는 아인슈타인의 방정식을 포함하여 유체의 이동을 기술하는 나비에-스토크스 방정식에 이르기까지 많은 종류의 자연현상을 기술한다. 이 모든 방정식이 경계값 문제임에도 불구하고 더욱 범주로 세분된다. 각 범주는 서로 다른 기법을 사용하여 분석해야 하기 때문에 이것이 필요하다. 본 기사는 선형 타원형 문제로 알려진 경계 값 문제의 범주를 다루고 있다.

경계 값 문제와 부분 미분 방정식은 둘 이상의 수량 사이의 관계를 명시한다. 예를 들어, 열 방정식에서 한 지점의 온도 변화율은 해당 지점과 인근 지점 사이의 온도 차이에 관련되므로 시간이 지남에 따라 열이 뜨거운 지점에서 냉각 지점까지 흐르게 된다. 경계 값 문제에는 공간, 시간 및 온도, 속도, 압력, 자기장 등과 같은 다른 양이 포함될 수 있다.

어떤 문제들은 시간을 수반하지 않는다. 예를 들어, 집과 나무 사이에 빨랫줄을 걸면 바람이 없을 때 빨랫줄이 움직이지 않고 약수대로 알려진 완만한 매달린 곡선을 채택하게 된다.^[1] 이 곡선 형태는 위치, 장력, 각도, 중력과 관련된 미분 방정식의 해법으로 계산할 수 있지만, 시간이 지남에 따라 모양이 변하지 않기 때문에 시간 변수가 없다.

타원 경계 값 문제는 시간 변수를 포함하지 않고 공간 변수에만 의존하는 문제의 한 종류다.

주요 예

2차원에서는 ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle x,y}$을 좌표로 한다$$. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과$($와$)$ ${\displaystyle {}_{}}$하여 $u{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle u_$${x},u_{$$xx$$}$의 첫 번째 부분파생물과 두 번째 부분파생물에 대해$$ $표기법$을 ${\displaystyle {사용}_{}}$하고${\displaystyle {}_{}}$$$y {\$displaystyle y}$에 대해서도 이와 유사한 $표기법{\displaystyle {}_{}}$ D x ${\$${\displaystyle {displaystystyled}_{}}$$}$을 $사용$할 것이다$.$$x$ {\$displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $y}$의 부분 차동 $연산자$에 대한 tyle $D_{y$$\}.$ The second partial derivatives will be denoted ${\displaystyle D_{x}^{2}}$ and ${\displaystyle D_{y}^{2}}$. We also define the gradient ${\displaystyle \nabla u=(u_{x},u_{y})}$, the Laplace operator ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}}$ and this diversity ${\displaystyle \nabla }$ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle v}$) = ${\displaystyle u_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}${\$displaystyle \nabla$ \$nabla$$$\$cdot$ ($u,v)=u_{x}+v_{y$$\}\}\}\}.$ $u$ =${\displaystyle \mathrm{}(}$∇ ∇(${\displaystyle \mathrm{}u}$ u u u u${\displaystyle }$u u u u u \ \ \$$u u \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$\$

경계 값 문제의 주요 예는 라플라스 연산자,

${\displaystyle \Delta u=f{\text{ in }\Oomega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{{}}}\partial \Oomega ;}$

여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 평면의 영역이고 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \partial \Oomega}$은(는) 해당 영역의 경계선이다. $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$f}은(는) 알려진$$ $데이터$로, 솔루션$u$ {\displaystyle $u}$은(는) 계산되어야 한다. 이 예는 다른 모든 타원 경계 값 문제와 동일한 본질적 특성을 가지고 있다.

용액 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$과(는) 같은 모양의 금속 플레이트에서 열의 정지 또는 한계 분포로 해석할$$ 수 있다$($이 금속 플레이트는 0도로 유지되므로 디리클레 경계 조건). 함수 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $f$$}$은 플레이트의 각 지점에서 발생하는 열 발생 강도를 나타낸다$$$($아마도 ${\displaystyle \mathrm{금속}}$ $플레이트$에 전기 히터가 놓여 있어 $시간{\displaystyle }$ 경과에 따라 달라지지 않지만 $금속$ 플레이트의 공간에서는 균일하지 않을 수 있음$).$ 오랫동안 기다린 후 금속판의 온도 분포가 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 가까워진다$.$

명명법

$Let{\displaystyle }$ l ${\displaystyle u}$ =${\displaystyle u_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u_{}}$ y ${\$=au_${xx}+bu_{y}}}$ ${\displaystyle$ $a$$}$및 b ${\displaysty$ b}이$($가) 상수인$$ 경우$$ ${\displaystyle L}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$}}은$$2차 차등 연산자라고 한다. 파생상품 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ $D_$${x}$를 x ${\displaystyle$ x$}$로, $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$를 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$로 정식 교체하면 다음과 같은 표현을 얻는다$.$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$

$이{\displaystyle }$ 표현을 일정한 k ${\displaystyle k}$과$($와) 같게 설정하면 타원(a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a,b,k}$이($가{\displaystyle }$) 모두 동일한$$ 부호일 경우) 또는 하이퍼볼라$({\displaystystyle a}$와 b$${\$displaystystyle b}$이 반대 부호일$$ 경우)를 얻는다. 이런 이유에서, L{L\displaystyle}가 b를 타원;0{\displaystyle ab>0}과 쌍곡선이 b<0{\displaystyle ab<0}. 마찬가지로, 연산자 LxDx+Dy 2{\displaystyle L=D_{)}+D_{y}^{2}}포물선을 이렇게 L{L\displaystyle}가 되parab다고 하다고 한다.olic.

우리는 이제 타원성의 개념을 일반화한다. 우리의 일반화가 옳은 것인지는 분명하지 않을지 모르지만, 그것은 분석을 목적으로 필요한 대부분의 성질을 보존하고 있는 것으로 밝혀졌다.

2도 일반 선형 타원 경계 값 문제

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}, $...,x_{n}}$을 공간 변수로$$ 두십시오. Let ${\displaystyle a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x)}$ be real valued functions of ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$. Let ${\displaystyle L}$ be a second degree linear operator. 그것은

${\displaystyle Lu(x)=\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x)}$ (divergence form).

${\displaystyle Lu(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{\tilde {b}}_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x)}$ (nondivergence form)

첨자 $\cdot {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$을(를$$) $사용$하여 ${\displaystyle {공간}_{}}$ 변수$$x i {\$displaystyle$x_{$i}$에 대한 부분 파생 모델을 표시했다$.$ 두 공식은 다음과 같은 경우 동등하다.

${\displaystyle {\stackrel{}{b}}_{}}$~ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle b_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \underset{}{}}$ j ${\displaystyle \underset{}{a}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {j,}_{}}$ ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle {{}_{}}_{}{{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle {b}_{b}}(x)=b_{i}+\sum _{j}a_{ij,x_{j}}}}}(x$

${\displaystyle \mathrm{행렬}}$ 표기법에서는${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle a(x)}$을$($를$)$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\$$displaystyle x}$ 및$$ $b{\displaystyle }$($$)의 행렬$$ 값 함수를 $n$ $×$ n {\$displaystyle$ n$$$}$ $-dension$ column 벡터 값 함수로 하고$$, $그리고{\displaystyle }$ 나서 x ${\displaystystystyle x}$를 쓸 수 있다.

$displaystyle Lu=\nabla \cdot (a\nabla u)+b^{$$T}\nabla u+cu}($분전 형태).

일반성을 상실하지 않고 $매트릭스{\displaystyle }$ a$${\$displaystyle a}$이(${\displaystyle 가}$) 대칭(즉, $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$,${\displaystyle }$j , $,$ $j,$ ${\displaystyle i_{}}$$, j,$${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle j_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle a_{ij}(x)=a_{ji}(x$ 우리는 이 글의 나머지 부분에 그 가정을 할 수 있다.

상수 > 0 ${\displaystyle \alpha >0}$에대해 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 연산자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 타원형이라고 한다.

1. $displaystyle \$$>\cHB \;\;\\all$ x$}$ (유전값 참조).
2. ${\$$T}u\;\;\\$all u$\in \mathb {R} ^{n$
3. ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}u_{i}u_{j}>\alpha \sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$.

타원 경계 값 문제는 다음과 같은 방정식의 시스템이다.

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \text{in}}$ ${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Oomega }($PDE) 및

${\displaystyle u}$= ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$의 ${\displaystyle \text{경우}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u=0{\text{{}}}\partial \Oomega}($경계 값)$$

이 특별한 예는 디리클레 문제다. 노이만 문제는

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \text{in}}$ ${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle Lu=f{\text{{{} in }\Oomega$$}$ 및

${\displaystyle u_{\nu }=g{\text{ on }\partial \Oomega }$

여기서 ${\$은 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \partial \Oomega}$의 바깥쪽을 가리키는$$ 방향으로 $u{\displaystyle }$ ${\displaysty u}$의 파생어$.$ 일반적으로 $B{\displaystyle }$ ${\displaysty B}$가 추적 연산자라면 경계값 문제를 구성할 수 있다.

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \text{in}}$ ${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle Lu=f{\text{{{} in }\Oomega$$}$ 및

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle u}$= g ${\displaystyle \text{on}\mathrm{}\mathrm{\omega }}$ Ω ${\displaystyle Bu=g{\text{{}\partial \Oomega$ .

이 글의 나머지 부분에서는 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 타원형이고 경계조건이${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\Omega }}${\$displaystyle u=0{\text{{}}}}$의 디리클레 조건 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$이라고 가정한다$.$

소볼레프 공간

타원 경계 값 문제의 분석에는 상당히 정교한 기능 분석 도구가 필요하다. We require the space ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$, the Sobolev space of "once-differentiable" functions on ${\displaystyle \Omega }$, such that both the function ${\displaystyle u}$ and its partial derivatives ${\displaystyle u_{x_{i}}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ 모든 사각형 통합 가능 부분파생상품은 반드시 "약한 의미에서" 정의되어야 한다는 점에서 여기서 미묘한 점이 있다(자세한 내용은 소볼레프 공간에 관한 기사 참조). 공간 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ H$^{1}$는 힐버트 공간으로서 이러한 문제들이 분석되는 용이성의 상당 부분을 차지한다.

소볼레프 공간의 세부적인 논의는 본 기사의 범위를 벗어나지만, 필요한 결과가 발생하는 대로 인용하겠다.

달리 언급되지 않는 한, 이 글의 모든 파생상품은 약한 소볼레프 의미로 해석되어야 한다. 우리는 미적분학의 고전적 파생물을 언급하기 위해 "강력한 파생상품"이라는 용어를 사용한다. 또한 공간$$$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ C$^{k$ k${\displaystyle }$= $1$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle k$$}$$배$$$ $강하게{\displaystyle }$ 다른 함수로 구성되며$,$ $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$ t 파생상품이$$ 연속적이라는 것도 명시한다.

약하거나 변동성 제형

소볼레프 공간의 언어에서처럼 경계값 문제를 던지기 위한 첫 번째 단계는 그것을 그 약한 형태로 다시 인용하는 것이다. 라플라스 문제 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta u=f}$을(를) 고려하십시오$.$ 방정식의 각 면에 "시험 함수" $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) 곱하고$$ Green의 정리를 사용하여 부품별로 통합하여 얻으십시오.

${\displaystyle -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int _{\partial \Omega }u_{\nu }\varphi =\int _{\Omega }f\varphi }$.

We will be solving the Dirichlet problem, so that ${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$. For technical reasons, it is useful to assume that ${\displaystyle \varphi }$ is taken from the same space of functions as ${\displaystyle u}$ is so we also assume that ${\displaystyle \v$$arphi =0{\text{{\partial \Oomega$$\}\}\}$ omega Ω {\$displaystyle \int _{\partial \Oomega}}}}$ 용어가$$ 제거됨

${\displaystyle A}$ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle \phi }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle A(u,\varphi )=F(\varphi )}(*)$

어디에

${\displaystyle A}$(${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle \phi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\omega \mathrm{}}_{}\mathrm{}}$u ${\displaystyle u}$ u ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathrm{\{}}$ { {$${ {\$displaystyle A(u,\varphi )=\int _\\\Oomega }\nabla u\cdot \nabla$ \navla $\varphi$}, 그리고$$

${\displaystyle F(\phi }$ )${\displaystyle }$= -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F(\varphi )=-\int _{\Oomega }f\varphi$

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 일반적인 타원 연산자일 경우 동일한 추론이 이선 형태로 이어진다.

$displaysty A(u,\varphi )=\int _{\Oomega$$T}a\nabla \varphi -\int _{\Oomega }b^{$$T}\nabla u\varphi$ -$\int _{\Oomega }cu\varphi$ $\}.$

우리는 노이만 문제에 대해 논의하지 않고 비슷한 방식으로 분석된다는 점에 주목한다.

지속적이고 강압적인 이선 형태

The map ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ is defined on the Sobolev space ${\displaystyle H_{0}^{1}\subset H^{1}}$ of functions which are once differentiable and zero on the boundary ${\displaystyle \partial \Omega }$, provided we impose some conditions on ${\displaystyle a,b,c}$ 그리고 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$ 여러 가지 가능한 선택이 있지만, 이 글의 목적상 다음과 같이 가정할 것이다.

1. ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle a_{ij}(x)}$은(는) $i{\displaystyle }$,${\displaystyle \mathrm{j}}$= 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle$ i$,j=1,\dots ,n,}$에 대해 $({\$에서 계속 다를 수 있음$$
2. ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle b_{i}(x)}$은(는) i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$,$${\$displaystyle i=1,\dots ,n,}$에 대해 $({\$에 대해 연속됨$$
3. ${\displaystyle c}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle c(x)}$은(는) $\Omega {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\$bar {\$Oomega}}$에 대해 연속되며$$
4. ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 경계됨$$.

독자는 지도 $A{\displaystyle (u}$ ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle A(u,\$$varphi$ $)}$이(가) 더 이선형이고 연속형이며, 지도 $($$\phi {\displaystyle }$${\displaystyle )}$가$$$display$ {\$displaystyle$ \$varphi$}에서 선형이고$$, $f{\displaystyle }$(예:$${\$displaystysty$f})가 제곱형인지$$ 확인할 수 있다.

우리는 지도 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 모든${\displaystyle }u$에${\displaystyle {}_{}^{}}$ > 0 {\$displaystyle \$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$$>0$${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaysty u,\varphi \in H_{0}^{1}(\Oomega$ $)\}$에 대해 강압적이라고 $.$

$\displaystyle A(u,\varphi )\geq \알파 \int _{\Oomega }\nabla u\cdot \nabla \varphi.}$

${\displaystyle \mathrm{이}}$는 라플라시안(${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$= 1 ${\displaystyle \alpha =1}$ 포함$)$에 대해 사소한 사실이며, $b{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle b=0}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{c<img\; alt="b=0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/19206e7d4dab695ccb34c502eff0741e98dbdfc2"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.258ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="336">}}$ ${\displaystyle \le }$ 0 ${\displaystyle c\leq$ 0$\}$을( αu > {\$displaystystyle u^{{)$이라고 가정할 경우 타원 연산자의 경우도 해당된다.$T}au>\알파 u^{$$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 타원일 때 $T}u}$

약한 용액의 존재와 고유성

One may show, via the Lax–Milgram lemma, that whenever ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ is coercive and ${\displaystyle F(\varphi )}$ is continuous, then there exists a unique solution ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ to the weak problem (*).

추가 $A{\displaystyle (u}$ ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle A(u,\varphi )}$이(가) 대칭인 경우($즉{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ = 0$${\$displaystyle b=$0}) 대신 리에즈 표현 정리를 사용하여 동일한 결과를 나타낼 수 있다.$$

$이$는 A${\displaystyle (u}$ ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle A(u,\varphi )}$이(가) $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle H_{0}^{1$}^{1$}(\Oomega )}$에 내부 제품을 형성하고$$ 있다는 사실에 의존하고 있는데$,$ 그 자체는 푸앵카레의 불평등에 의존한다.

강력한 솔루션

우리는 약한 시스템을 해결하는$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ $){\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Displaysty$ u$})$이 있다는 것을 보여주었지만, 이 $u{\displaystyle }$ ${\displaysty u}$이(가) 강한 시스템을 해결할지는$$ 알 수 없다.

${\displaystyle Lu=f{\text{{{}}}\Oomega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{{}}}\partial \Oomega ,}$

더욱 짜증나는 것은 $우리$는 ${\displaystyle {{}_{}{}_{}}_{}}$ ${\$$displaystyle u}$이(가) L$u$ ${\$$displaystyle$ $u_{x_{i}x_{j}}}$의 표현들이 의미 없어 보이는$$ 것을 확신할 수 없다는 것이다. 상황을 바로잡는 방법은 여러 가지가 있는데, 그 주된 방법은 규칙성이다.

규칙성

두 번째 순서의 선형 타원 경계 값 문제에 대한 정규성 정리가 형태를 취한다.

정리 (일부 조건) 솔루션 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ H$^{2}(\Oomega$ $)\}$에 있는$$ 경우, 두 번째 파생 모델이 정사각형 통합 가능한 "두 배 다른" 함수의 공간이다.

정리의 결론이 유지되기에 필요하고 충분한 것으로 알려진 간단한 조건은 없지만, 다음과 같은 조건이면 충분하다고 알려져 있다.

1. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 경계는 C ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2}}$또는$$
2. ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 볼록하다.

∂${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \partial \Oomega}$이(가) $조각{\displaystyle {}^{}}$ C 2 ${\$ C$^{2}}$인 경우, ${\displaystyle u}$이(가) $실제로{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystystyle H^{$2}}인 것을 유추해 보면 유혹할 수 있지만, 유감스럽게도 그것은 거짓이다$.$

거의 모든 솔루션

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle u\in$ H$^{2}(\$$Displaystyle$u})(\$Oomega )}$의 경우, $u{\displaystyle }$ ${\$displaystyle u$}$의 두 번째 파생상품은 거의 모든 곳에서 정의되며$$, 그 경우 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Lu=f}$은 거의$$ 모든 곳에서 정의된다.

강력한 솔루션

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 경계가 매끄러운 다지관이고$$ f$${\$displaystyle f}$가 강한 의미에서는 무한히 다른 것이라면 $u{\displaystyle }$ ${\displaysty u}$도 강한 의미에서는 무한히 다른 것이라는$$ 것을 더 증명할 수 있다. 이 경우 파생상품의 정의가 강한$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$= f ${\displaystyle Lu=f}.$

The proof of this relies upon an improved regularity theorem that says that if ${\displaystyle \partial \Omega }$ is ${\displaystyle C^{k}}$ and ${\displaystyle f\in H^{k-2}(\Omega )}$, ${\displaystyle k\geq 2}$, then ${\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}$, together with a Sobolev imbedding theorem saying that functions in ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ are also in ${\displaystyle C^{m}({\bar {\Omega }})}$ whenever ${\displaystyle 0\leq m<k-n/2}$.

수치해결

예외적인 상황에서 타원형 문제를 명시적으로 해결하는 것은 가능하지만, 일반적으로는 불가능한 과제다. 자연적인 해결책은 타원형 문제를 더 간단한 것으로 어림짐작하고 이 간단한 문제를 컴퓨터로 해결하는 것이다.

우리가 열거한 좋은 특성 때문에(우리가 열거하지 않은 많은 특성들뿐만 아니라), 선형 타원 경계 값 문제에 대한 매우 효율적인 숫자 해결기가 있다(예: 유한 요소 방법, 유한 차이 방법 및 스펙트럼 방법 참조).

고유값 및 고유값

또 다른 소볼레프 임베딩 정리에서는 포함 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ H$^{1}\subset L^{2$}}은$$콤팩트한 선형 지도라고 기술하고 있다. 콤팩트한 선형 연산자를 위한 스펙트럼 정리가 갖추어져 다음과 같은 결과를 얻는다.

정리 $A{\displaystyle (u}$ , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle A(u,\varphi )}$이(가) 강압적이고 연속적이며 대칭적이라고 가정하자. 지도 $S{\displaystyle }$: f${\displaystyle }$→ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S:f\rightarrow u}$에서 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\$$displaystyle$ $L^{2}(\Oomega )}$까지의 지도 S : ${\displaystyle f}$ → u}는$$ 소형 선형 $지도$다. It has a basis of eigenvectors ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots \in H^{1}(\Omega )}$ and matching eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots \in \mathbb {R} }$ such that

1. ${\displaystyle Su_{k}=\lambda _{k}u_{k}k=1,2,\dots ,}$
2. ${\displaystyle {\lambda k}_{}}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\오른쪽 화살표$ 0$}$을(를) $k{\displaystyle }$→ $∞$ {\$displaystyle k\오른쪽$ 화살표 $\infty$ $\},$
3. ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$≩ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\gneq$ 0$\;\;\all k$
4. ${\displaystyle \int _{\Oomega }u_{j}u_{k}=0}$ 언제든지 $(\displaystyle j\neq k}$ 그리고
5. ${\displaystyle \int _{\Oomega }u_{j}u_{j}=1}$ 대체적으로 $\displaystyle j=1,2,\display \,}$

시리즈 솔루션 및 응급처치의 중요성

고유값과 고유 벡터를 계산했다면 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$= f ${\displaystyle Lu=f}$의 "명확한" 솔루션을 찾을 수 있다$.$

${\displaystyle u=\sum _{k=1}^{\infit }{\hat{u}}(k)u_{k}}}$

공식으로

${\displaystyle {\hat {{u}(k)=\fda _{k}{\hat {f}(k),\;\;k=1,2,\cHB }$

어디에

${\displaystyle {\f}(k)=\int_{\Oomega }f(x)u_{k(x)\,dx.}$

(Fourier 시리즈 참조)

시리즈는 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 수렴한다$.$ 수치 근사치를 이용하여 컴퓨터에 구현되는 것을 스펙트럼법이라고 한다.

예

문제를 고려하라.

${\displaystyle u}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x x - ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$,${\displaystyle }$y ) = x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u-u_{xx}-u_{y}=f(x,$${\displaystyle \mathrm{y}}$$)=xy}$ =${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="u-u\_\{\{xx\}\}-u\_\{\{yy\}\}=f(x,y)=xy"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/65ae0708842880e3d4dc3450b2608b7ad8466fcc"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:28.938ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="477">}}$, ${\displaystyle 1\times }$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (0,1)\reason (0,1),}$

${\displaystyle u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0\;\;\forall (x,y)\in (0,1)\times (0,1)}$ (Dirichlet conditions).

판독기는 고유 벡터가 정확히

${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \pi }$ k ${\displaystyle y}$) {\$displaystyle u_{jk}(x,y)=\sin(\pi jx)\sin(\pi ky$ j${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystysty$ j,$$j, $\k\n}$

고유값으로

${\displaystyle \lambda _{jk}={1 \over 1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2}.}$

$g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)=x}$의 Fourier 계수는 테이블에서 조회할 수 있으며$$, $g{\displaystyle \hat{}}$(${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$= (${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle 1\frac{{}^{}}{}}$)${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi n}}{}}${\$displaystyle {\g}(n)={(-1)^{n+$1}$\pin$ 그러므로,

${\displaystyle {\f}(j,k)={(1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk}}$

해답을 양보하는

${\displaystyle u(x,y)=\sum _{j,k=1}^{{j+k+1}^{j+k+1} \pi ^{2}jk^{2}+\pi ^{2}}\sin(\pi jx)\sin(pi ky).}$

최대 원리

최대 원칙에는 많은 변형이 있다. 우리는 간단한 것을 준다.

정리 (최대 원리가 약함) Let ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\bar {\Omega }})}$, and assume that ${\displaystyle c(x)=0\;\forall x\in \Omega }$. Say that ${\displaystyle Lu\leq 0}$ in ${\displaystyle \Omega }$. Then ${\displaystyle \underset{x\in \overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u(x)=\underset{x\in }{max}}$${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\partial }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\Omega }}}$ ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \max _{x\in${\$bar {\\\Oomega }}u$=\$max _{x\in \partial \Oomega }u($x$)\}.$ 즉, 경계에서 최대값을 얻는다.

강력한$$ 최대 원리는 $($ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \lneqq }$ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{y}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\in }}}$ ∂ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\Omega }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}(y}$)$${\$displaystyle u($x)\$lneq \max _{y\$in \$partial \Oomega }u(y)}$ $x{\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\$$displaystystyle$ x$\in$ \in $\$$Oomega$$$}에$$ 대해 결론을$$ 내릴 수 있다.

참조

추가 읽기

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.