구조역학에서의 유한요소법

유한요소법(FEM)은 원래 구조역학의 복잡한 문제를 수치적으로 해결하기 위해 개발된 강력한 기술로, 복잡한 시스템을 위한 선택 방법으로 남아있다.FEM에서 구조 시스템은 노드라고 불리는 이산점에서 상호 연결된 일련의 적절한 유한 요소에 의해 모델링된다.원소는 두께, 열팽창 계수, 밀도, 영률, 전단률 및 포아송 비율과 같은 물리적 특성을 가질 수 있습니다.

역사

유한 방법의 기원은 변위 또는 강성 매트릭스 접근의 개념이 도입된 구조물의 매트릭스 분석으로 추적할 수 있다.유한 요소 개념은 1950년대에 공학적 방법을 기반으로 개발되었습니다.그 유한 요소 법 존 아지리스, 직장 동료들에 의해 1960년대와 1970년대의 진정한 자극제를 대학을 슈투트가르트에 의해 레이 WClough, 대학을 캘리포니아, 버클리에 의해 Olgierd Zienkiewicz, 동료들이 어니스트 힌턴. 미국, 브루스 아이언스,[3]대학을 스완지에 의해 필립 G.Ciarlet, 대학을 펜실베이니아리s; 코넬 대학에서 리처드 갤러거와 동료들에 의해.Argyris와 Clough의 작품과 같은 원작은 오늘날의 유한 요소 구조 분석 방법의 기초가 되었다.

축방향, 굽힘 및 비틀림 강성과 같은 물리적 특성을 가진 직선 또는 곡선 1차원 요소.이 유형의 요소는 케이블, 가새, 트러스, 보, 보강재, 그리드 및 프레임을 모델링하는 데 적합합니다.직선 요소에는 보통 양 끝에 1개씩 2개의 노드가 있지만 곡선 요소에는 엔드 노드를 포함한 최소 3개의 노드가 필요합니다.요소는 실제 부재의 중심 축에 배치됩니다.

멤브레인 작용(평면 응력, 평면 변형)에 의한 면내력에만 저항하는 2차원 요소 및 횡방향 전단 및 굽힘 작용(플레이트 및 셸)에 의한 횡방향 하중에 저항하는 플레이트.평면 또는 곡선 삼각형, 4변형 등 다양한 모양을 가질 수 있습니다.노드는 보통 요소 모서리에 배치되며, 더 높은 정확도를 위해 필요한 경우 요소 가장자리를 따라 또는 요소 내부에 추가 노드를 배치할 수 있습니다.요소는 실제 레이어 두께의 중간 표면에 배치됩니다.
막, 두꺼운 판, 셸, 고체 등의 축대칭 문제를 위한 토러스형 요소.요소의 단면은 앞서 설명한 유형과 유사합니다. 얇은 판과 쉘의 경우 1차원, 고체, 두꺼운 판 및 쉘의 경우 2차원입니다.
기계 부품, 댐, 제방 또는 토질량과 같은 3D 고형물을 모델링하기 위한 3차원 요소.일반적인 요소 형태로는 사면체와 육면체가 있습니다.노드는 정점에 배치되며 요소 면 또는 요소 내부에 배치될 수 있습니다.

요소 상호 연결 및 변위

요소는 외부 노드에서만 상호 연결되며, 모두 합쳐서 도메인 전체를 가능한 한 정확하게 커버해야 합니다.노드에는 변환, 회전, 특수 용도에서는 고차 도함수 변위가 포함될 수 있는 노드(벡터) 변위 또는 자유도가 있습니다.노드가 변위하면 요소 공식에 의해 지정된 특정 방법으로 요소를 드래그합니다.즉, 요소 내의 모든 점의 변위는 노드 변위로부터 보간되며, 이것이 솔루션의 대략적인 성질에 대한 주요 원인이다.

실제 고려 사항

응용 프로그램의 관점에서 다음과 같이 시스템을 모델링하는 것이 중요합니다.

대칭 또는 반대칭 조건은 모델의 크기를 줄이기 위해 이용됩니다.
특히 인접한 요소가 다른 유형, 재료 또는 두께일 경우 노드 및 바람직하게는 요소 가장자리를 따라 필요한 불연속성을 포함한 변위 적합성이 보장된다.많은 노드의 변위 호환성은 일반적으로 제약 관계를 통해 부과될 수 있다.
요소의 동작은 로컬과 글로벌 모두에서 실제 시스템의 주요 동작을 캡처해야 합니다.
허용 가능한 정확도를 얻기 위해 요소 메쉬가 충분히 미세해야 합니다.정확성을 평가하기 위해 메시는 중요한 결과가 거의 변하지 않을 때까지 미세 조정됩니다.더 높은 정확도를 위해 요소의 석면비는 가능한 한 단일성에 가까워야 하며, 더 작은 요소가 더 높은 응력 구배 부분에 사용됩니다.
대칭축상의 노드에 특별한 주의를 기울여 적절한 지지 구속조건을 부과한다.

대규모 상용 소프트웨어 패키지는 종종 메쉬를 생성하는 설비와 입력 및 출력의 그래픽 표시를 제공하여 입력 데이터의 검증과 결과의 해석을 크게 용이하게 한다.

FEM-전위 공식의 이론적 개요:요소에서 시스템, 솔루션까지

FEM의 이론은 다른 관점이나 강조로 제시될 수 있지만, 구조 분석을 위한 개발은 가상 작업 원리 또는 최소 총 잠재 에너지 원칙을 통한 보다 전통적인 접근법을 따른다.가상 작업 원칙 접근법은 선형 및 비선형 재료 거동에 모두 적용 가능하기 때문에 더 일반적입니다.가상 작업 방법은 에너지 절약의 표현입니다.보수적인 시스템의 경우 일련의 가해진 힘에 의해 시스템에 추가된 작업은 구조물 구성요소의 변형 에너지 형태로 시스템에 저장된 에너지와 동일합니다.

구조 시스템에 대한 가상 변위의 원리는 외부 및 내부 가상 작업의 수학적 정체성을 나타냅니다.

{\mbox{외부 가상 작업}}=int _{V}\delta {boldsymbol {\ilon }^{T}{\boldsymbol {\sigma }},dV

(1)

즉, 외력 세트에 의해 시스템에서 수행된 작업의 합계는 시스템을 구성하는 요소에 변형 에너지로 저장된 작업과 동일합니다.

상기 방정식의 오른쪽에 있는 가상 내부 작업은 개별 요소에 대해 수행된 가상 작업의 합계를 통해 확인할 수 있습니다.후자는 각 개별 요소에 대한 반응을 설명하는 힘-변위 함수를 사용할 것을 요구한다.따라서 구조물의 변위는 개별(이산) 요소의 응답에 의해 일괄적으로 기술된다.방정식은 전체(연속체) 시스템의 반응을 설명하는 단일 방정식이 아니라 구조의 개별 요소의 작은 영역에 대해서만 작성됩니다.후자는 다루기 어려운 문제를 야기할 것이고, 따라서 유한 요소 방법의 효용성을 야기할 것이다.다음 절에서 볼 수 있듯이, Eq.(1)는 시스템에 대해 다음과 같은 지배적 평형 방정식으로 이어진다.

\mathbf {R} =\mathbf {Kr} +\mathbf {R} ^{o}

(2)

어디에

\mathbf {R}

\

mathbf

{R}

}

=

\mathbf {R}

결절력의 벡터. 시스템의 노드에 가해지는 외부 힘을 나타냅니다.

\mathbf {K}

\

displaystyle \mathbf {K} =

개별 요소의 강성 행렬의

\mathbf {k} ^{e}

효과인

\mathbf {k} ^{e}

강성 행렬 k e

\mathbf {k} ^{e}

\

displaystyle \mathbf {k}

^{

e

\mathbf {r}

\

displaystyle \mathbf {r} =

시스템의 노드 변위 벡터.

\mathbf {R} ^{o}

o

{\displaystyle \mathbf

{R}

^{o

}} =

\mathbf {R} ^{o}

등가 노드력의 벡터. 앞의 노드력 벡터 R에 이미 포함된 노드력을 제외한 모든 외부 효과를 나타낸다.이러한 외부 영향에는 분산 또는 집중 표면력, 차체력, 열 효과, 초기 응력 및 변형 등이 포함될 수 있습니다.

지지대의 구속조건을 설명하면, 노드 변위는 선형 방정식(2)의 시스템을 풀어 다음과 같이 구한다.

\mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})

(3)

이후 개별 요소의 변형률 및 응력은 다음과 같이 확인할 수 있다.

\displaystyle \mathbf {bq} = \mathbf {Bq}

(4)

\displaystyle \mathbf {Bq} = \mathbf {E} (\mathbf {\mathbf } - \mathbf {\mathbf } = \mathbf {Bq} - \mathbf ^{o} )

(5)

어디에

\mathbf {q}

q

\mathbf {q}

\

displaystyle \mathbf {q} =

노드 변위의 벡터.

\mathbf {q}

중인 요소와 관련된 시스템 변위 벡터 r의 하위 집합입니다.

\mathbf {B}

\

mathbf

{B}

}

=

\mathbf {B}

요소의 임의의 지점에서 노드 변위 q를 변형으로 변환하는 변형률-변형률 매트릭스.

\mathbf {E}

\

displaystyle \mathbf {E} =

요소의 임의의 지점에서 유효 변형을 응력으로 변환하는 탄성 매트릭스.

\mathbf {\epsilon } ^{o}

\ displaystyle \

mathbf \silon ^{

o}

\mathbf {\epsilon } ^{o}

= 원소 내 초기 변형률의 벡터.

o

\displaystyle \

mathbf ^{o}

= 요소 내 초기 응력의 벡터.

가상작업방정식 (1)을 시스템에 적용함으로써 $\mathbf {R} ^{o}$ B $(\$ $}),$ $\mathbf {k} ^{e}$ $(\$ }) 및 $\mathbf {K}$ (\ $displaystyle \mathbf {R$ $}$ $\mathbf {K}$ $^{o})$ 를 $\mathbf{R}^o$ 설정할 수 있습니다 $.$ $\mathbf {\epsilon } ^{o}$ ${\$ ${epsilon$ } $^{o$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {\sigma } ^{o}$ $displaystyle \mathbf {R}$ $\mathbf {E}$ E $\mathbf {R}$ {\ $displaystyle \mathbf {E}}$ 등의 $\mathbf {E}$ 매트릭스는 알려진 값이며 입력 데이터에서 직접 설정할 수 있습니다.

보간 또는 형상 함수

q $\mathbf {q}$ \ $mathbf$ {q} $}$ 을 $\mathbf {q}$ (를) 일반 요소의 노드 변위 벡터라고 $\mathbf {q}$ .요소의 다른 지점에서의 변위는 다음과 같이 보간 기능을 사용하여 확인할 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {u} = \mathbf {N} \mathbf {q}

(6)

어디에

\mathbf {u}

\

displaystyle \mathbf {u} =

요소의 임의의 점 {x,y,z}에서의 변위 벡터.

\mathbf {N}

N

\

보간 함수로 사용되는 형상 함수의 행렬.

등식(6)은 다른 큰 관심을 불러일으킨다.

가상 노드 변위의 함수인 가상 변위:

\displaystyle \mathbf {u} = \mathbf {N} \mathbf {q}

(6b)

요소의 노드 변위로 인해 발생하는 요소의 변형:

\displaystyle \mathbf {du} = \mathbf {DNQ}

(7)

$\mathbf {D}$ 서 D $\mathbf {D}$ \ $displaystyle \mathbf {D} =$ 선형 탄성 이론을 사용하여 변위를 변형으로 변환하는 미분 연산자의 행렬.Eq.(7)는 (4)의 행렬 B가

\displaystyle \mathbf {B} = \mathbf {DN} }

(8)

요소의 가상 노드 변위와 일치하는 가상 변형률:

\displaystyle\boldsymbol\mathbf {B}\mathbf {q}=\displaystyle\mathbf {q}

(9)

표준 요소의 내부 가상 작업

$V^{e}$ V $V^{e}$ e {\ $displaystyle$ V $^{e$ 의 일반적인 요소의 경우, 가상 변위에 의한 내부 가상 작업은 (5) 및 (9)를 (1)로 치환하여 구한다.

{\displaystyle {mbox{Internal virtual work}}=int _{V^{e}}\delta {boldsymbol {\silon }^{T}{\boldsymbol {\boldsymbol } =\delta \mathbf {q} ^{T}\int _{V^{e}}\mathbf {B} ^{T} ^{\big \{}\mathbf {E} - \mathbf {E} （ \ mathbq} } ）

(10)

요소 행렬

주로 참조의 편의를 위해 이제 일반적인 요소와 관련된 다음과 같은 행렬을 정의할 수 있습니다.

요소 강성 매트릭스

\displaystyle \mathbf {K} ^{e}=\int _{V^{e}}\mathbf {E} \mathbf {B} \mathbf {B} \,dV^{e}

(11)

등가 요소 부하 벡터

\mathbf {Q} = \int _{V^{e}} - \mathbf {B} ^{T} {\big (} \mathbf {E} \mathbf {E} ^{o} - \mathbf {o} ^{o} ^{o} \mathbig} ^{\mathbf {o} } } ^{b} } ^{big} } } } } } 、 dv} }

(12)

이러한 행렬은 일반적으로 수치 적분을 위해 가우스 직교로를 사용하여 수치적으로 평가됩니다.이러한 기능을 사용하면 (10)을 다음과 같이 간소화할 수 있습니다.

{mbox {internal virtual work}=\mathbf {q}^{T}{\big (}\mathbf {K}^{e}\mathbf {q} +\mathbf {Q}^{oe}{\big}}}}}

(13)

시스템 노드 변위에 관한 요소 가상 작업

노드 변위 벡터 q는 (인접 요소와의 호환성을 위해) 시스템 노드 변위 r의 서브셋이기 때문에 요소 행렬의 크기를 새로운 열과 0의 행으로 확장하여 q를 r로 대체할 수 있습니다.

{\displaystyle {mbox {internal virtual work}=\mathbf {r} ^{T}\left(\mathbf {K} ^{e} +\mathbf {Q} ^{oe}\right})

(14)

여기서는 단순성을 위해 요소 행렬에 동일한 기호를 사용합니다. 이제 크기가 확장되고 행과 열이 적절히 재배치됩니다.

시스템 가상 작업

모든 요소에 대한 내부 가상 작업(14)을 합하면 (1)의 오른쪽이 됩니다.

{mbox{시스템 내부 가상워크}=\sum _{e}\sum \mathbf {r}^{t}\left(\mathbf {k}^{e}+\mathbf {Q}\right}=\sum \mathbf {r}_mathbf {right}_t

(15)

(1)의 좌측을 고려하면 시스템 외부 가상 작업은 다음과 같이 구성됩니다.

결절력에 의해 수행된 작업은 R:

\displaystyle \delta \mathbf {r}^{T}\mathbf {R}

(16)

\mathbf {T} ^{e}

\mathbf {T} ^{e}

{\

mathbf {T

}

\mathbf {T} ^{e}

^{

e}

}

{

\mathbf {S} ^{e}

the the the the the the

\mathbf {S} ^{e}

the the { f f e e e e

\mathbf {f} ^{e}

e e e

e

f e f f f f f f f f f

\mathbf {f} ^{e}

。

\displaystyle \sum _{e}\int _{S^{e}\delta \mathbf {u}^{T},dS^{e}+\sum _{e}\int _{V^{e}\delta \mathbf {u}^{e},{f}

(6b)의 치환은 다음을 제공한다.

\displaystyle \delta \mathbf {q} ^{e}\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T} ^{e},d^{e}+\delta \ \mathbf {q} ^{e} \delt{e} _int^{e} _int}

또는

\displaystyle -\delta \mathbf {q}^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q}^{te}+\mathbf {Q}^{fe}\right)}

(17a)

여기서는 아래에 정의된 추가 요소의 매트릭스를 도입했습니다.

\mathbf {Q}^{te}=-\int _{S^{e}}\mathbf {N}^{T}^{e},dS^{e}}

(18a)

\mathbf {Q} ^{fe}=-\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{e},dV^{e}

(18b)

다시 말하지만, 수치 적분은 그들의 평가에 편리하다.(17a)의 q를 r로 치환하면 $\mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}$ $\mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}$ t $\mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}$ , $\mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}$ $e,$ \ $displaystyle$ \ $mathbf {Q}^{$ te},\ $mathbf {Q}^{$ fe $\mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}$ 를 얻을 수 있습니다.

\displaystyle -\delta \mathbf {r}^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q}^{te}+\mathbf {Q}^{fe}\right)}

(17b)

시스템 매트릭스 어셈블리

(16), (17b)와 (15)의 합을 더하면 : r T $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ - $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ r T $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ ( $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ t $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ + $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ e ) $=$ $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ r $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ ( $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ e $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ e ) $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ + $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$ e \ $displaystyle \ mathbfr$ { t } $^{ tf$ }가 됩니다. $ght)=\sum \mathbf {r}^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k}^{e}\right)\mathbf {r} +\sum \mathbf {r}^{T}\sum _{e}\mathbf {Q}^{oe}}}}}}$

가상 변위 $δ$ r \style $\delta \mathbf$ {r}는 $\delta\ \mathbf{r}$ $\delta \ \mathbf {r}$ 임의이므로 앞의 등식은 다음과 같이 감소합니다.

$\displaystyle \mathbf {R} =\left(\sum _{e}\right)\mathbf {r} +\sum _{e}\left(\mathbf {Q}+\mathbf {Q}+\mathbf {Q} ^{fe}오른쪽)$

(2)와 비교하면 다음과 같다.

시스템 강성 행렬은 요소의 강성 행렬을 합산하여 구합니다.
$\mathbf {K} =\sum _{e}\mathbf {k} ^{e$
등가 노드력의 벡터는 요소의 부하 벡터를 합산하여 구합니다.
$\displaystyle \mathbf {R} ^{o}=\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)$

실제로 요소 행렬은 확장되거나 재배치되지 않습니다.대신 시스템 강성 $\mathbf {K}$ K $(\$ $displaystyle$ ${k}_{ij}^{e}$ $\mathbf {K})$ 는 $\mathbf{K}$ ${K}_{kl}$ ${K}_{kl}$ ${k}_{ij}^{e}$ l $(\$ $})$ 에 ${k}_{ij}^e$ ${K}_{kl}$ ${k}_{ij}^{e}$ ${k}_{ij}^{e}$ 를 추가하여 ${k}_{ij}^{e}$ 됩니다. 여기서 첨자는 ${q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}$ , kl은 요소의 노드 ${q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}$ ${q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}$ 을 의미합니다. ${q}_{i}^{e},$ { $q}_{j}^{e}$ 는 ${q}_{i}^e, {q}_{j}^e$ 각각 시스템의 노드 변위 r ${r}_{k},{r}_{l}$ , ${r}_{k},{r}_{l}$ ${\$ $\mathbf {R} ^{o}$ { $r}$ _ ${$ $r}_{l$ 과(와) 일치합니다. 마찬가지로 $o$ {\ $displaystyle \mathbf {R$ $}^{o$ }}은 $\mathbf {R} ^{o}$ ${Q}_{i}^{e}$ 를 $추가$ 하여 조립됩니다. $}^{$ o ${R}_{k}^{o}$ } ${q}_{i}^{e}$ 서 $qi$ { $displaystyle {q}_$ ${$ i}^{e ${q}_{i}^{e}$ }}는 ${r}_{k}$ k { $displaystyle$ {r} $_{$ k ${r}_{k}$ 과(와) 일치합니다. ${K}_{kl}$ ${K}_{kl}$ k ${k}_{ij}^{e}$ l ${K}_{kl}$ { $display$ style { $k}_{$ $ij}^{e}}$ 을 ${k}_{ij}^e$ ${K}_{kl}$ (를) 직접 추가하면 절차 이름이 ${k}_{ij}^{e}$ Strongity Method(직접 강성 방법)로 지정됩니다.

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레퍼런스

^ 프레임 구조의 매트릭스 해석, Jr. 제3판윌리엄 위버, 제임스 MGere, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN 978-0-412-07861-3, 1966
^ 매트릭스 구조 해석 이론, J. S. Przemieniki, 뉴욕 맥그로힐 북 컴퍼니, 1968
^ Hinton, Ernest; Irons, Bruce (July 1968). "Least squares smoothing of experimental data using finite elements". Strain. 4 (3): 24–27. doi:10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x.
^ 아가리스, J.H와 Kelsey, S. Energy donoms and Structural Analysis Butterworth Scientific 출판물, 런던, 1954
^ 클러프, R.W., "평면 응력 해석의 유한 요소"제2회 전자계산 ASCE 컨퍼런스, 피츠버그, 1960년 9월

[1] 프레임 구조의 매트릭스 해석, Jr. 제3판윌리엄 위버, 제임스 MGere, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN 978-0-412-07861-3, 1966

[2] 매트릭스 구조 해석 이론, J. S. Przemieniki, 뉴욕 맥그로힐 북 컴퍼니, 1968

[3] Hinton, Ernest; Irons, Bruce (July 1968). "Least squares smoothing of experimental data using finite elements". Strain. 4 (3): 24–27. doi:10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x.

[4] 아가리스, J.H와 Kelsey, S. Energy donoms and Structural Analysis Butterworth Scientific 출판물, 런던, 1954

[5] 클러프, R.W., "평면 응력 해석의 유한 요소"제2회 전자계산 ASCE 컨퍼런스, 피츠버그, 1960년 9월

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목차

역사

요소 상호 연결 및 변위

실제 고려 사항

FEM-전위 공식의 이론적 개요:요소에서 시스템, 솔루션까지

보간 또는 형상 함수

표준 요소의 내부 가상 작업

요소 행렬

시스템 노드 변위에 관한 요소 가상 작업

시스템 가상 작업

시스템 매트릭스 어셈블리

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