FTCS 제도

수치해석에서 FTCS(Forward Time Centered Space) 방법은 열 방정식과 유사한 포물선 부분 미분 방정식을 수치적으로 해결하는 데 사용되는 유한 차이 방법이다.^[1] 시간상 1차적 방법, 시간상 명시적 방법이며 열방정식에 적용하면 조건상 안정적이다. 첨부 방정식, 또는 보다 일반적으로 쌍곡 부분 미분 방정식의 방법으로 사용할 경우, 인공 점도를 포함하지 않으면 불안정하다. 약칭 FTCS는 패트릭 로체(Patrick Roache)가 처음 사용하였다.^[2]^[3]

방법

FTCS 방식은 시간의 중심적 차이와 전진 오일러 방식을 기반으로 시간상 1차 융합, 공간상 2차 융합이 가능하다. 예를 들어, 한 차원에서는 부분 미분 방정식이 다음과 같은 경우

{\frac {\partial u}{\partial t}=F\left(u,x,t,{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\오른쪽)

그런 다음 $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ , $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ t $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ ) $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ = $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$ $displaystyle u(i\,\Delta x,n\,\Delta$ t $)=u_{i}^{n}\,}$ 에 의해 전진 오일러 방법이 주어진다 $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}^{n}\왼쪽(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\오른쪽)}

$F$ $F$ 함수는 중심 차이 체계를 사용하여 공간적으로 식별되어야 한다 $F$ . 이는 이전 시간 수준 $){\$ $displaystyle$ $u_{i}^{n+$ 1}의 $u$ $u$ ${\$ $displaystyle$ $u$ $}$ 값이 알려진 $(n)$ 경우 u $u_{i}^{n+1}$ + $u_{i}^{n+1}$ ${\$ $u$ }{n+1 $}$ 을 명시적으로 $계산$ 할 수 있다는 명시적 방법이다 $u_{i}^{n+1}$ . FTCS 방법은 명시적이기 때문에 계산적으로 저렴하다.

그림: 1차원 열 방정식

확산 문제에는 FTCS 방식이 적용되는 경우가 많다. 예를 들어, 1D 열 방정식의 경우,

{\displaystyle {\frac {\fract t}}{\fract t}=\property {\fract ^{2}u}{\propert x^{2}}:

FTCs 체계는 다음과 같이 제공된다.

{\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}}{\delta t}}{\frac{\na }{\delta x^{2}}}}\좌측(u_{i+1}-{n}^{n_{i-1}^{n}오른쪽}).

또는 $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ = $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ t Δ $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$ ${\$ :

u_{n}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{n1}^{n1}{n1}^{n}\right)}}

안정성

폰 노이만 안정성 분석을 사용하여 도출한 바와 같이, 1차원 열 방정식에 대한 FTCS 방법은 다음 조건이 충족되는 경우에만 수적으로 안정적이다.

r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\delta x^{2}}:}\leq {\frac {1}{2}.

즉, $\Delta x$ $\Delta x$ $\Delta x$ 및 $\Delta x$ $\Delta t$ $\Delta t$ $\Delta t$ 의 선택은 위의 조건을 충족해야 $\Delta t$ FTCs 제도가 안정적일 수 있다. FTCS 방법의 주요 단점은 큰 확산도 $\alpha$ $\alpha$ 의 문제인 경우 만족스러운 단계 크기가 너무 작아서 실용적일 수 없다는 것이다 $\alpha$

쌍곡선 부분 미분 방정식의 경우, 선형 시험 문제는 포물선 미분 방정식의 올바른 선택인 열 방정식(또는 확산 방정식)과 반대로 상수 계수 부착 방정식이다. 이러한 쌍곡선 문제의 경우, $\Delta t$ t $\Delta t$ {\ $displaystyle \Delta$ t $}$ 을(^[4]를) 선택해도 불안정한 계획이 된다는 $\Delta t$ 것은 잘 알려져 있다.

참고 항목

참조

^ John C. Tannehill; Dale A. Anderson; Richard H. Pletcher (1997). Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer (2nd ed.). Taylor & Francis. ISBN 1-56032-046-X.
^ Patrick J. Roache (1972). Computational Fluid Dynamics (1st ed.). Hermosa. ISBN 0-913478-05-9.
^ Patrick J. Roache (1998). Computational Fluid Dynamics (2nd ed.). Hermosa. ISBN 0-913478-09-1.
^ LeVeque, Randall (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00924-3.

[1] John C. Tannehill; Dale A. Anderson; Richard H. Pletcher (1997). Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer (2nd ed.). Taylor & Francis. ISBN 1-56032-046-X.

[2] Patrick J. Roache (1972). Computational Fluid Dynamics (1st ed.). Hermosa. ISBN 0-913478-05-9.

[3] Patrick J. Roache (1998). Computational Fluid Dynamics (2nd ed.). Hermosa. ISBN 0-913478-09-1.

[4] LeVeque, Randall (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00924-3.

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