재료점법

재료점법(MPM)은 고체, 액체, 가스 및 기타 연속체의 물질의 거동을 시뮬레이션하는 데 사용되는 수치 기법이다. 특히 다상(고체-유체-가스) 상호작용 시뮬레이션을 위한 강력한 공간 탈부착 방법이다. MPM에서, 연속체 본체는 '물질적 점'으로 언급되는 다수의 작은 라그랑비아 요소들에 의해 설명된다. 이러한 재료 점은 변형 구배와 같은 구배 항만 계산하는 데 사용되는 배경 메시/그리드(background mesh/grid)로 둘러싸여 있다. 유한요소법, 유한체적법 또는 유한차이법과 같은 다른 메쉬기반의 방법과 달리, MPM은 메쉬기반의 메쉬기반의 메쉬기반의 메쉬기법이 아니며 대신 메쉬리스/메쉬프리 또는 연속기반의 입자기법으로 분류되며, 그 예는 평활입자수역학 및 근역학이다. MPM은 백그라운드 메쉬가 존재함에도 불구하고 메쉬 기반 방법(고변형 엉킴, 부착 오류 등)의 단점에 부딪히지 않아 연산 역학에서 유망하고 강력한 도구가 되고 있다.

MPM은 원래 데보라 L. 술스키, 젠 첸, 하워드 L 교수에 의해 1990년 초에 FLIP(PIC라 불리는 방법을 추가로 확장)라고 알려진 유사한 방법의 확장으로서 제안되었다. 뉴멕시코 대학의 슈라이어. 이러한 초기 개발 이후, MPM은 미국 및 세계 전역의 뉴멕시코 대학, 오리건 주립 대학, 유타 대학뿐만 아니라 국립 연구소에서도 더욱 발전되었다. 최근 MPM을 연구하는 기관들의 수는 디즈니 영화 겨울왕국에서의 MPM의 사용과 같은 다양한 출처에서 오는 인기와 인지도가 추가되면서 증가하고 있다.

알고리즘

MPM 시뮬레이션은 다음과 같은 단계로 구성된다.

(시간 통합 단계 이전)

1. 그리드 및 재료 포인트 초기화.
   1. 기하학은 각각 고유의 재료 특성과 초기 조건(속도, 응력, 온도 등)을 가진 재료 점들의 집합으로 분해된다.
   2. 구배 계산을 위한 공간을 제공하는 데만 사용되는 그리드는 일반적으로 시뮬레이션에 필요한 계산 영역의 예상 범위를 채울 수 있을 만큼 큰 영역을 커버하도록 만들어진다.

(시간 통합 단계 중 - 명시적 공식화)

1. 자재 포인트 수량은 그리드 노드에 외삽된다.
   1. Material point mass (${\textstyle m_{mp}}$), momenta (${\textstyle {\vec {P_{mp}}}}$), stresses (${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\bar {\sigma }}}}_{mp}}$), and external forces (${\displaystyle {\vec {b}}}$) are extrapolated to the nodes at the corners of the c재료 점이 있는 타원. 이는 FEM에서 사용되는 것과 동일한 표준 선형 형상 함수($$${Nn}_{}$ $d_{}$- $m_{}$ $p_{}$ ${\$를 사용하여 가장 일반적으로 이루어진다.
   2. The grid use the material point values to create the masses (${\textstyle M_{node}}$), velocities (${\textstyle {\vec {V_{node}}}}$), internal and external force vectors (${\textstyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {internal}}}}}$,$\stackrel{}{F_{node}^{\mathsf{e}\mathsf{x}\mathsf{t}\mathsf{e}}}$$\stackrel{}{{\mathsf{r}}_{}^{}}$ $\stackrel{}{{\mathsf{n}}_{}^{}}$ $\stackrel{}{{\mathsf{l}}_{}^{}}$→ ${\$ 노드에 대해:
      $${\displaystyle M_{node}=\sum _{mp}m_{mp}~~N_{mp-nd}}$$

      
      $${\displaystyle {\vec{V_{node}}={1 \over M_{node}~\sum _{mp}{\vec{P_{mp}}}~{mp-nd}}}}={1\vec {P_}~{mp-nd}}}}$$

      
      ${\displaystyle {\vec {F_{node}^{n 내부}}=\sum _{mp}~{\bar {\bar {\sigma }}}~{mp}~\nabla N_{mp-nd}}}$
      $${\displaystyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {외부}}=\sum _{mp}{b}~{mp-nd}}}$$

      
2. 동작 방정식은 격자 위에서 해결된다.
   1. 뉴턴의 제2법칙은 노달가속도를 얻기 위해 해결된다(${\displaystyle \stackrel{}{{An}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{o_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{d_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{e_{}}}$→ ${\$
      $${\displaystyle {\vec{A_{node}}}={\vec {F_{node}^{외부}+{\vec {F_{node}^{내부}}}}} \over M_{node}}}}}}}}}}}}}}}}$$

      
   2. 새로운 노달 속도가 $$된다(${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{{\mathrm{Vn}}_{}}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{o_{}}}}$d${\displaystyle \stackrel{}{}}$e →$$~ {\$displaystyle${\$tilde {\\vec$ {$V_{$node$}}}).$
      $${\displaystyle {\tilde {\vec {V_{node}}}={\vec {V_{node}}+{\vec {A_}}\mathrm {d}t}$$

      
3. 파생 항은 중요한 포인트로 다시 추론된다.
   1. Material point acceleration (${\displaystyle {\vec {a_{mp}}}}$), deformation gradient (${\displaystyle {\mathcal {\bar {\bar {F_{mp}}}}}}$) (or strain rate (${\displaystyle {\bar {\bar {{\dot {\varepsilon }}_{mp}}}}}$) depending on the strain theory used) 이전과 유사한 형상 함수를 사용하여 주변 노드로부터 외삽된다(${\displaystyle {Nn}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$- ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$
      $${\displaystyle {\vec{a_{mp}}=\sum _{nd}{nd}{node}}~{n_{nd-mp}}}$$

      
      ${\displaystyle {\bar {{\bar {{\dot}{{mp}}}}=\sum _{nd}~{nd}{node}}\ndla N_{nd-mp}+(V_{node}\ndla N_{nd-mp})^{T}]}$
   2. 재료 지점의 변수: 위치, 속도, 균주, 스트레스 등은 선택한 통합 방식과 적절한 구성 모델에 따라 이 비율로 업데이트된다.
4. 그리드의 재설정.

   이제 재료 지점이 다음 단계에서 완전히 업데이트되므로, 그리드는 다음 시간 단계가 시작될 수 있도록 재설정된다.

PIC/MPM의 역사

PIC는 원래 유체 역학의 문제를 해결하기 위해 고안되었으며, 할로우에 의해 1957년 로스 알라모스 국립 연구소에서 개발되었다.^[1] 최초의 PIC 코드 중 하나는 1986년^[2] 브라켓빌이 만들어 그 이후 지속적으로 개발되고 있는 FLIP 프로그램이었다. 1990년대까지 PIC 방법은 주로 유체역학에서 사용되었다.

솔스키, 첸, 슈라이어는 솔리드 다이내믹스의 침투 문제를 더 잘 시뮬레이션해야 한다는 필요성에 자극받아 1993년 샌디아 국립 연구소의 자금 지원을 받아 PIC를 개편하고 MPM을 개발하기 시작했다.^[3] 원래의 MPM은 바덴하겐 외 에 의해 더욱 확장되었다. 미세한 흐름의 시뮬레이션을 가능하게 ^[4]하는 마찰 접촉과 ^[5]Nairn에 의해 명시적인 균열과^[6] 균열 확산(LUR)이 포함된다.

최근에는 극소극 코세라트 연속체를^[7] 기반으로 한 MPM 구현을 통해 사일로 방전 등 고단층 흐름을 시뮬레이션하고 있다. MPM의 사용은 최근 토양 역학의 큰 변형 문제에 대한 수치적으로 안정적인 분석을 제공하는 준정적 암묵적 MPM 해결기의 개발로 지질 공학으로 더욱 확대되었다.^[8]

매년 MPM 사용에 관한 워크숍이 미국 각지에서 열린다. 2009년 4월 2일과 3일에 오레곤 주립대학, OR의 Corvallis에서 제5회 MPM 워크숍이 개최되었다.

PIC/MPM 응용 프로그램

PIC 또는 MPM 방법의 사용은 크게 두 가지 범주로 나눌 수 있다. 첫째, 유체 역학, 플라즈마 물리학, 자기유체역학, 다중효소 응용을 포함하는 많은 응용이 있다. 응용 프로그램의 두 번째 범주는 고체 역학의 문제들로 구성된다.

유체 역학 및 다중 경로 시뮬레이션

PIC 방법은 해빙 역학,^[9] 생물학적 연조직의 침투,^[10] 기체로 채워진 캐니스터의 단편화,^[11] 대기 오염물질의 분산,^[12] MPM과 분자 역학을 결합하는 멀티스케일 시뮬레이션,^[13][14] 유체-기억 상호작용 등 광범위한 유체-고체 상호작용 시뮬레이션에 사용되어 왔다.^[15] 또한 PIC 기반 FLIP 코드는 자기유체역학 및 플라즈마 처리 도구에서 적용되었으며, 천체물리학 및 자유표면 흐름에서 시뮬레이션이 적용되었다.^[16]

UCLA의 수학학과와 월트 디즈니 애니메이션 스튜디오가 공동으로 노력한 결과, MPM은 2013년 컴퓨터 애니메이션 영화 '겨울왕국'에서 눈을 시뮬레이션하는 데 성공했다.^[17][18][19]

고체 역학

MPM은 또한 균열 전파뿐만 아니라 충격, 침투, 충돌 및 반동을 시뮬레이션하기 위해 고형 역학에도 광범위하게 사용되어 왔다.^[20][21] 토양 기계학 분야에서 항공사가 널리 사용되는 메서드:;그리고, hardeni한 토지 압력 distribution,[30]다짐을 설계하기 위해 과립 흐름, 민감한 clays,[22]landslides,[23][24][25]silo 유출, 더미 운전,fall-cone test,[26][27][28][29]양동이 속, 재료의 실패의quickness 시험을 모의 실험하는데 사용해 왔다.쇼핑을 했다. 현재 세포벽 접점을 포함한 세포 수준의 횡압축 시뮬레이션과 같은 목재 역학 문제에 사용되고 있다.^[31] 이 작품은 또한 목재 과학 기술 협회로부터 올해의 서류상으로 조지 마라 상을 받았다.^[32]

PIC/MPM 코드 분류

수치적 방법의 맥락에서의 MPM

수치 방법의 한 부분집합은 메쉬프리 방법이며, 이는 "최소한 필드 변수 보간에서 사전 정의된 메쉬가 필요하지 않다"는 방법으로 정의된다. 이상적으로 메쉬프리 방법은 "주어진 임의의 영역에서 모든 종류의 경계 조건에 따라 부분 미분방정식에 의해 지배되는 문제를 해결하는 과정 전체에 걸쳐" 메쉬를 사용하지 않는다. 하지만, 기존 방법은 이상적인 것이 아니며 적어도 이러한 점들 중 하나에서 실패한다. 때로는 입자법이라고도 불리는 메쉬리스 방식은 "어떤 원소 메시와도 연결되지 않은 지점(입자)에서 상태 변수의 이력이 추적되고, 그 왜곡이 수학적 난관의 원인"이라는 공통적인 특징을 공유한다. 이러한 다양한 해석에서 알 수 있듯이, 일부 과학자들은 MPM을 메쉬가 없는 방법이라고 생각하는 반면, 다른 과학자들은 그렇지 않다. 그러나, 모든 사람들은 MPM이 입자법이라는 것에 동의한다.

임의의 라그랑지안 오일러리안(ALE) 방법은 MPM을 포함하는 수치적 방법의 또 다른 하위 집합을 형성한다. 순수하게 라그랑지안 방법은 공간을 초기 서브볼륨으로 디스카운트하는 프레임워크를 사용하며, 이 프레임워크의 흐름 경로가 시간에 따라 도표로 작성된다. 반면에 순수하게 오일러식 방법은 재료의 움직임이 계산 내내 공간에 고정된 메쉬에 비례하여 기술되는 체계를 채택한다. 이름에서 알 수 있듯이 ALE 방법은 참조의 라그랑지안과 오일러지안 프레임을 조합한다.

MPM/PIC 하위분류

PIC 방법은 기초적인 부분 미분방정식(PDE)의 강한 형태 정렬 또는 약한 형태 디스커트화에 기초할 수 있다. 강한 형태에 근거한 것을 적절히 유한 볼륨 PIC 방법이라고 한다. PDE의 약한 형태 분리에 기초한 사람들은 PIC 또는 MPM이라고 불릴 수 있다.

MPM 해결사는 문제를 1, 2, 3개의 공간 차원으로 모델링할 수 있으며 축대칭 문제도 모델링할 수 있다. MPM은 모델링할 문제의 유형에 따라 준정적 또는 동적 운동 방정식을 해결하기 위해 구현될 수 있다. MPM의 여러 버전에는 일반화 보간 방법; 입자 영역 보간 방법;^[34] 대류화 입자 최소 제곱 보간법이 있다.^[35]

MPM에 사용된 시간 통합은 명시적이거나 암묵적일 수 있다. 암묵적 통합의 이점은 큰 시간 스텝에도 안정성이 보장된다는 것이다. 반면에 명시적 통합은 훨씬 더 빨리 실행되며 구현이 더 쉽다.

이점

FEM과 비교

MPM은 FEM과 달리 주기적 재매개 단계와 상태 변수의 재매핑이 필요하지 않으므로 대형 재료 변형 모델링에 더 적합하다. MPM에서 메쉬 포인트가 아닌 입자는 계산 상태에 대한 모든 정보를 저장한다. 따라서 각 계산 주기 후 원래 위치로 되돌아가는 메쉬에 의한 수치 오류 결과가 없으며, 리메싱 알고리즘이 필요하지 않다.

MPM의 입자 기반은 균열 전파 및 기타 불연속성을 FEM보다 더 잘 다룰 수 있게 하는데, 이는 물질의 균열 전파에 메쉬 방향을 부과하는 것으로 알려져 있다. 또한, 입자 방법은 역사에 의존하는 구성 모델을 더 잘 다룰 수 있다.

순수 입자 방식과 비교

MPM 노드는 일반 그리드에 고정되어 있기 때문에 그라데이션의 계산은 사소한 것이다.

2개 이상의 단계를 가진 시뮬레이션에서 입자는 그리드를 통해 동일한 신체의 다른 입자와 상호작용할 수 있고 다른 고체 및 유체와 상호작용할 수 있기 때문에 실체 간의 접촉을 탐지하는 것이 오히려 쉽다.

MPM의 단점

MPM은 입자 데이터뿐만 아니라 메시를 사용하기 때문에 다른 방법보다 저장 면에서 더 비싸다. MPM은 각 MPM 계산 단계가 끝날 때 그리드를 재설정하고 다음 단계가 시작될 때 다시 초기화해야 하기 때문에 FEM보다 연산적으로 더 비싸다. 일반화된 보간법(GIMP)을 사용하여 이 효과를 최소화할 수 있지만 MPM에서 입자가 메쉬의 경계를 통과할 때 모의 진동이 발생할 수 있다. FEM과 같은 MPM에서 메쉬의 크기와 방향은 계산 결과에 영향을 미칠 수 있다. 예를 들어, MPM에서 변형률 국소화는 메쉬 정교화에 특히 민감한 것으로 알려져 있다. FEM에서 발생하지 않는 MPM의 한 가지 안정성 문제는 통합 지점 수(물질 지점)가 셀에서 일정하게 유지되지 않기 때문에 셀 교차 오류와 Null-space 오류다^[36].

메모들

외부 링크

• 우발 화재 및 폭발 시뮬레이션 센터 - MPM 코드 사용 가능
• NairnMPM – 오픈 소스
• MPM3D - 오픈 소스(MPM3D-F90) 및 무료 평가판(MPM3D)
• Taichi - 물리 기반 컴퓨터 그래픽 라이브러리 – 오픈 소스 MPM 코드 사용 가능
• Anura3D 오픈 소스 – Anura3D MPM Research Community의 지질학 문제 및 토양-물 구조 상호작용용 소프트웨어