사이비-스펙트럴법

이산형 변수 표현(DVR) 방법이라고도 하는 ^[1]의사-스펙트럼 방법은 부분 미분 방정식의 해법에 대한 응용 수학 및 과학 계산에 사용되는 수학적 방법의 한 종류다. 그것들은 스펙트럼 방법과 밀접하게 관련되어 있지만, 4차 격자^{[definition needed]} 그리드의 함수 표현이 가능한 추가적인 의사 스펙트럼 기반에 의해 기초를 보완한다. 이것은 특정 연산자의 평가를 단순화하며, 빠른 푸리에 변환과 같은 빠른 알고리즘을 사용할 때 계산 속도를 상당히 높일 수 있다.

구체적인 사례를 통한 동기 부여

초기 가치 문제 해결

i{\frac {\partial t}\psi(x,t)={\Bigl [}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+V(x){{}}\Bigr ]}\psi(x,t),\qquad \qquad \qquad \psi(t_{0}}=\psi _{0}}}}

주기적인 조건 $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ ( $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ + $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ , t $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ ) $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ = $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ ( $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ , t $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ ) ${\displaystyle \psi (x+1,t)=\psi (x,$ $V(x)$ $\psi (x+1,t)=\psi (x,t)$ 이 구체적인 예는 잠재적 $V(x)$ ( x $V(x)$ ) ${\displaystyle V(x$ 에 있는 입자에 대한 Schrödinger 방정식이지만 구조가 더 일반적이다. 많은 실제 부분 미분방정식에서 하나는 파생상품(운동에너지 기여 등)을 포함하는 용어, 그리고 함수를 갖는 곱셈(예: 전위)을 포함한다.

스펙트럼법에서는 용액 $\psi$ $\psi$ 을(를) 적절한 기본 함수 집합(예: 평면파)으로 확장한다 $\psi$ .

\pi(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\sum _{n}c_{n}(t)e^{2\pi inx}.

동일한 계수를 삽입하고 등분하면 계수에 대한 일련의 일반적인 미분 방정식이 생성된다.

i{\frac {d}{dt}c_{n}(t)=(2\pi n)^{2}c_{n}+\sum _{k}V_{n-k}c_{k}}}}}}}}

여기서 V $V_{n-k}$ - $V_{n-k}$ ${\$ 요소는 명시적 푸리에 변환을 통해 계산된다 $V_{n-k}$ .

V_{n-k}=\int _{0}^{1}V(x)\ e^{2\pi i(k-n)x}dx.

그런 다음 $N$ $N$ base $N$ 함수로의 확장을 자르고, $c_{n}(t)$ n ( $c_{n}(t)$ ) $c_{n}(t)$ {\ $displaystyle c_{n}(t)}$ 에 대한 솔루션을 찾는 방법으로 솔루션을 얻을 수 있을 것이다. $c_{n}(t)$ 일반적으로 이 방법은 Runge-Kutta 방법과 같은 수치적 방법에 의해 이루어진다. 수치해결의 경우, 일반 미분방정식의 우측을 다른 시간 단계에서 반복적으로 평가해야 한다. 이 시점에서 스펙트럼 방법은 잠재적 용어 $V(x)$ ( $V(x)$ ) $V(x)$ 에 큰 문제가 있다 $V(x)$

스펙트럼 표현에서 $V(x)$ $){\displaystyle V(x)}$ 함수를 가진 곱셈은 벡터 매트릭스 곱셈으로 변환되는데 $V(x)$ $N^{2}$ $N^{2}$ 는 $N^{2}$ 2 $N^{2}$ {\ $displaystyle N^{2$ }}으로 스케일링된다. 또한 $V_{n-k}$ V $V_{n-k}$ n - k {\ $displaystyle V_{$ n-k}}는 미분방정식에 앞서 명시적으로 평가해야 한다 $V_{n-k}$ .e 계수를 해결할 수 있으므로 추가 단계가 필요하다.

사이비-스펙트럼법에서 이 용어는 다르게 평가된다. Given the coefficients $c_{n}(t)$ , an inverse discrete Fourier transform yields the value of the function $\psi$ at discrete grid points $x_{j}=2\pi j/N$ . At these grid points, the function is then multiplied, $\psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)$ $\psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)$ ) $\psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)$ ( $\psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)$ $\psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)$ , t $\psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)$ ) ${\displaystyle \psi '(x_{i},t)=V(x_{i}})\psi(x_{i}t)$ 및 결과 푸리에가 변환된 역. 이렇게 하면 매트릭스 $c'_{n}(t)$ 인 $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$ $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$ $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$ n - $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$ $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$ ( $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$ ) ${\displaystyle$ $c'_{n}(t)$ 대신 사용되는 $c'_{n}(t)$ 새로운 계수 집합 c n $′$ $c'_{n}(t)$ ( $t$ $c'_{n}(t)$ ){ $n-k_{n-k}c_{k}(t)$ 를 산출한다 $\sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)$

두 방법의 정확도가 유사하다는 것을 알 수 있다. 그러나 사이비-스펙트럼법은 빠른 푸리에 변환을 사용할 수 있게 하는데, $O(N\ln N)$ 변환은 O $O(N\ln N)$ ( $O(N\ln N)$ $O(N\ln N)$ $O(N\ln N)$ N $O(N\ln N)$ ) ${\displaystyle O(N\ln$ N $)}$ 로 $O(N\ln N)$ 확장되므로 행렬 곱셈보다 훨씬 효율적이다. 또한 $V(x)$ ( $){\displaystyle V(x)}$ 기능을 추가 통합 평가 없이 직접 사용할 수 있다 $V(x)$ .

기술 토론

보다 추상적인 방법으로 의사-스펙트럴 방법은 부분 미분 방정식의 $V(x)$ 로 $f(x)$ V $V(x)$ ( $V(x)$ ) ${\displaystyle$ V $(x)}$ 과 $V(x)$ $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 의 곱셈을 다룬다. 표기법을 단순화하기 위해 시간 의존성을 떨어뜨린다. 개념적으로 다음 세 단계로 구성된다.

$f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ( $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ) $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ , f $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ( $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ) $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ = $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ V ( $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ) $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ( $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ) $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ( $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ x $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ ) {\ $displaystyle f(x),{\tilde{$ f}}}( $x)=V(x)f(x)}}}$ 는 유한한 기본 함수 집합으로 확장된다 $f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)$ (이것은 스펙트럼법이다).
주어진 기본 함수의 집합에 대해, 이러한 기본 함수의 스칼라 제품을 격자점에 대한 가중 합으로 변환하는 사분법이 모색된다.
제품은 각 격자점에 $V,f$ $V$ , $f$ $V,f$ 를 곱하여 계산한다.

기준 확장

$f,{\tilde {f}}$ f , $f,{\tilde {f}}$ ~ $f,{\tilde {f}}$ {\ $displaystyle f,{\tilde{f}}}$ 은(는) 유한 $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ 기준 $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ { $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ = 0 $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ , $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ … $\{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}$ ${\$ \} $_{n=0,\ldots ,N}}}$ 을(는)으로 $f,{\tilde {f}}$ 확장할 수 있다.

f(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x)

{\tilde {f}(x)=\sum _{n=0}^{N}{\tilde{c}_{n}\phi _{n}(x)

For simplicity, let the basis be orthogonal and normalized, $\langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\delta _{nm}$ using the inner product $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ with appropriate boundari $es$ $a,$ b ${\displaystyle a,b$ 그런 다음 계수를 구한다.

c_{n}=\langle f,\phi _{n}\angle

{\tilde{c}_{n}=\langle {\tilde {f},\phi_{n}\angle }

미적분 조금 있으면 그때 수확된다.

{\tilde{c}_{n}=\sum _{m=0}^{{N}V_{n-m}c_{m}}}}}}}

$V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ - $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ = $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ , $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ ${\displaystyle V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangele }.$ 이것은 스펙트럼법의 기초를 형성한다 $V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle$ $\phi _{n}$ ${\$ 의 기초를 4각 기준과 $\phi _{n}$ 구별하기 위해 확장을 FBR(Finited Basis Presentation)이라고 부르기도 한다.

사분법

주어진 기준 $\{\phi _{n}\}$ { $\{\phi _{n}\}$ $\{\phi _{n}\}$ ${\displaystyle \{\phi _{n$ $}\}}}$ 과 $\{\phi _{n}\}$ (와) $N+1$ + $N+1$ 1 $N+1$ 함수 개수, 즉 $N+1$ + $N+1$ $N+1$ 포인트와 $N+1$ 중량을 찾으려고 하면 된다.

\langle \phi _{n}\phi _{m}\angle =\sum _{i=0}^{}N}w_{i}\phi _{n}(x_{i}){\overline {\phi _{m}(x_{i}})}\qquad \qquad n,m=0,\ldots,N

특별한 예로는 다항식의 경우 가우스 사분법, 평면파의 경우 이산 푸리에 변환이 있다. 격자점 및 중량 $x_{i},w_{i}$ $x_{i},w_{i}$ , $x_{i},w_{i}$ i ${\$ 은(는) 기본 및 숫자 $N$ $N$ 의 함수임을 $x_{i},w_{i}$ 강조해야 한다 $N$

4각형은 격자점에서의 값을 통해 $f(x),{\tilde {f}}(x)$ $f(x),{\tilde {f}}(x)$ f $f(x),{\tilde {f}}(x)$ ( $f(x),{\tilde {f}}(x)$ ) , $f(x),{\tilde {f}}(x)$ ~ $f(x),{\tilde {f}}(x)$ ( $f(x),{\tilde {f}}(x)$ ) ${\displaystyle$ f( $x),{\tilde{f}}(x)}$ 의 대체 숫자표현을 허용한다. 이 표현은 때때로 이산형 변수 표현(DVR)으로 표시되며, 기초의 확장과 완전히 동등하다.

f(x_{i}}=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x_{i})}

c_{n}=\langle f,\phi _{n}\angle =\sum _{i=0}^N}w_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}

곱하기

$V(x)$ 다음 각 격자점에서 V $($ ) {\ $displaystyle$ V $(x)}$ 함수의 곱셈을 수행한다 $V(x)$ .

{\tilde{f}(x_{i})=V(x_{i}f(x_{i}).

이것은 일반적으로 추가적인 근사치를 도입한다. 이를 확인하기 위해 ${\tilde {c}}_{n}$ c ${\tilde {c}}_{n}$ ~ ${\tilde {c}}_{n}$ ${\$ {\ $tilde{c}_{n$ :

{\tilde{c}_{n}=\langle {f},\phi_{n}\n}\랑글 =\sum _{i}w_{i}{\tilde{f}(x_{i})}{\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}=\sum _{i}w_{i}V(x_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}

그러나 스펙트럼법을 사용하는 경우 동일한 ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ 는 ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ c ~ ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ = ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ v V ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ n ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ ⟩ ${\displaystyle {\tilde{c}_{n$ }=\ $langle Vf$ ,\ $phi _{$ n}\n}\rangele $}}$ 가 된다 ${\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle$ 따라서 사이비-스펙트럼법은 추가 근사치를 도입한다.

\langle Vf,\phi _{n}\rangele \가까이 \sum _{i}W_{i}V(x_{i}f)(x_{i}}}}{\overline {\phi _{n}(x_{i}})}.

제품 $V$ $f$ $Vf$ 을(를) 주어진 유한한 기본 함수 집합으로 나타낼 수 있는 $Vf$ 경우, 선택한 사분법으로 인해 위의 방정식이 정확하다.

특별한 유사성 계획

푸리에법

주기 $[0,L]$ [ $[0,L]$ L $[0,L]$ $[0,L]$ 이(가) 있는 주기적인 경계 조건이 시스템에 부과되는 $[0,L]$ 경우, 기준 함수는 평면 파형에 의해 생성될 수 있다.

\phi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt{L}e^{-\imath k_{n}x}}}}

$k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ = ( $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ - 1) $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ / $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ / L $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ 과 함께 $k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L$ 여기서 $\lceil \cdot \rceil$ $\lceil \cdot \rceil$ $\lceil \cdot \rceil$ \ $\displaystyle \lceil$ \cdot \ $rceil }$ 은 천장 함수다 $\lceil \cdot \rceil$ .

$n_{\text{max}}=N$ $n_{\text{max}}=N$ = $n_{\text{max}}=N$ $n_{\text{max}=N$ 에서 컷오프의 4각형은 이산 푸리에 변환에 의해 주어진다 $n_{\text{max}}=N$ . The grid points are equally spaced, $x_{i}=i\Delta x$ with spacing $\Delta x=L/(N+1)$ , and the constant weights are $w_{i}=\Delta x$ .

오류에 대한 논의를 위해, 두 평면파의 곱은 다시 평면파라는 점에 유의하십시오. $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ + $c\leq a+b$ = $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ = $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ = ϕ c = ϕ c \ $pi \phi$ _ ${a}+\phi$ _{b}=\ $phi _{c},$ $c\leq a+b$ c $\phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}$ }} $c\leq a+b$ + b ${\displaystyleq a+b$ Thus, qualitatively, if the functions $f(x),V(x)$ can be represented sufficiently accurately with $N_{f},N_{V}$ basis functions, the pseudo-spectral method gives accurate results if $N_{f}+N_{V}$ basis functions are used.

평면파의 팽창은 종종 질이 나쁘고 수렴하기 위해 많은 기본 기능을 필요로 한다. 단, 기본 팽창과 그리드 표현 사이의 $N\ln N$ 은 N $N\ln N$ n $N\ln N$ {\ $displaystyle$ N $\ln$ N $}$ 로 양호한 확장성을 갖는 Fast Fourier 변환을 사용하여 수행할 수 있다 $N\ln N$ 그 결과 평면파는 사이비-스펙트럴 방법으로 접하는 가장 일반적인 확장 중 하나이다.

다항식

또 다른 공통적인 확장은 고전적인 다항식이다. 여기서 가우스 사분법을 사용하는데, $w_{i}$ 사분법을 사용하며 $,$ 가우스 사분법을 사용하며, 가우스 사분법을 사용하며 $x_{i}$ , 가우스 사분법에서는 항상 wi{\ $displaystyle w_{i}}}$ 와 $w_{i}$ 같이 $x_{i}$ x ${\$ 를 찾을 수 있다.

\int _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=0}^{N}w_{i}p(x_{i})

2 $2N+1$ + $(\displaystyle 2N+1}$ 이하인 $p(x)$ $2N+1$ 모든 다항식 $p(x)$ ) $p(x)$ 에 대해 고정. 일반적으로 체중 $w(x)$ ( x $w(x)$ ) {\ $displaystyle$ w $(x$ )}과 범위 $a$ ,b {\ $displaystyle$ a, $b}$ 이(가) 특정 문제에 대해 선택되며 $a,b$ , 다른 형태의 사각형 중 하나로 이어진다. To apply this to the pseudo-spectral method, we choose basis functions $\phi _{n}(x)={\sqrt {w(x)}}P_{n}(x)$ , with $P_{n}$ being a polynomial of degree $n$ with the property

\int _{a}^{b}w(x)P_{n}P_{m}(x)dx=\delta _{mn}.

이러한 $\phi _{n}$ 조건에서 ${\$ 스칼라 제품 $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ $g$ = $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ ( $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ ) $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ ( $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ ) $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ \ $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ \ $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$ $\$ x \ x $\langle f,\int _{a^{b}f(x){\overline {g(x$ 이 기본값은 사분점(squirature points)과 함께 의사-스펙트럼 방법에 사용될 수 있다.

오류에 대한 논의를 위해, $f$ $f$ 이 $f$ (가) $N_{f}$ $N_{f}$ {\ $displaystyle N_{f}$ 기본 $N_{f}$ 함수로 잘 표현되고 $V$ ${\displaystyle V$ }이 $V$ (가) N $N_{V}$ {\ $displaystyle N_{V}$ 의 다항식으로 잘 표현되면 해당 제품이 첫 $N_{f}+N_{V}$ N $N_{f}+N_{V}$ $N_{f}+N_{V}$ {\ $displaystytype$ }로 확장될 수 있다 $N_{V}$ $N_{f}+N_{V}$ 기본 $N_{f}+N_{V}$ 함수, 의사-스펙트럴 방법은 그만큼 많은 기본 함수에 대해 정확한 결과를 제공할 것이다.

그러한 다항식은 몇 가지 표준 문제에서 자연적으로 발생한다. 예를 들어, 양자 고조파 오실레이터는 헤르미테 다항식(Hermite polyomials)에서 이상적으로 확장되며, 자코비-폴리항식을 사용하여 전형적으로 회전 문제에서 나타나는 관련 레전드르 함수를 정의할 수 있다.

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