고두노프의 계책

수치해석과 계산유체역학에서 고두노프의 계획은 부분 미분 방정식을 풀기 위해 1959년 S. K. 고두노프가 제안한 보수적인 수치다.이 방법은 각각의 세포간 경계에서 정확하거나 대략적인 리만 문제를 해결하는 보수적인 유한 볼륨 방식이라고 생각할 수 있다.고두노프의 방법은 그 기본 형태에서 공간과 시간 모두에서 정확한 순서가 우선이지만 고두노프의 방법은 고차원의 방법을 개발하기 위한 기본 구도로 사용될 수 있다.

기본 구성표

고전적인 유한 볼륨 방법 프레임워크에 따라, 우리는 유한 집합의 이산 미지의 추적을 추구한다.

${\displaystyle Q_{i}^{n}={\frac {1}{{1}{\Delta-x}\int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}q(t^{n}x)\,dx}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$- ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$/ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{low}}_{}}$+ (${\displaystyle \mathrm{i}}$- ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle \Delta }$ x ${\displaystyle x_{i-1/2}}=x_{\text{low}+\왼쪽(i-1/2\오른쪽)$$\Delta x}$ 및 ${\displaystyle t^{}}$ = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ t ${\displaystyle$ $^{n}=n\Delta$ t$}$는 쌍곡선 문제에 대한$$ 개별 점 집합을 형성한다.

${\displaystyle q_{t}+(f(q)_{x}=0,}$

여기서 지수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$과 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은 각각 시간과 공간의 파생값을 나타낸다$$.제어 볼륨${\displaystyle }$[${\displaystyle {\mathrm{xi}}_{}}$ - 1 / 2 , x${\displaystyle {}_{}}$i${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$/${\displaystyle [x_{i-1/2},x_{i+1/2}]$에 대해 쌍곡선 문제를 통합하면$$ 공간 셀 평균에 대한 MOL(Method of line) 공식화 방법을 얻게 된다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}Q_{i}(t)=-{\frac {1}{\fraca x}}\f(q(t,x_{i+1/2}})-f(t,x_{i-1/2})\right),}}$

첫 번째 순서의 역방향 유한 볼륨 방법에 대한 고전적 설명. (c.f. Levelque - 쌍곡선 문제에 대한 유한 볼륨 방법)

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle t^{}}${\$displaystyle t=$t^{$n}}$부터${\displaystyle {}^{}}t{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$t$$+ 1 {\$displaystyle t=t^{$n$$$+1$}까지의 정확한 시간 통합은 정확한 업데이트 공식을 산출한다$$.

${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-{\frac {1}{\Delta x}}\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right)\,dt.}$

고두노프의 방법은 각각의 시간 적분을 대체한다.

${\displaystyle \int_{t^{n}^{t^{n+1}f(q(t,x_{i-1/2})\,dt}$

미지의 $Qi{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ Q_{$i}^{n$}}{n$}}$에 대해 완전히 분리된 업데이트 공식을 생성하는 Forward 오일러 방식으로$.$ 즉, 우리는 다음과의 통합을 근사치로 한다.

${\displaystyle \int_{t^{n}^{t^{n+1}f(q(t,x_{i-1/2})\,dt\약간 \Delta tf^{\downarrow }}}}\{i-1}^{n}}}오른쪽),}$

여기서 $f{\displaystyle {}^{}{q}_{}}$ l ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$) ${\$ f$^{\downarrow }\\좌측(q_{l},q_{r}\right)$은 리만 문제의 정확한 해결책에 대한 근사치다$$.일관성을 위해 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle f^{\downarrow }}(q_{l},q_{r})=f(q_{l})\cHB {\text{{}}}({}})$

그리고 그 $↓{\$은(는) 첫 번째 주장에서 증가하고, 두 번째 주장에서는 감소하고 있다$$.f ()> 0 ${\displaystyle$ f$'(q)>0$의 스칼라 문제에 대해서는 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\downarrow }^{}}$(${\displaystyle q_{}}$ l ,${\displaystyle {}_{}{q}_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle {}_{}}$ l ) = f (q ${\displaystyle l_{}}$) ${\displaystyle f^{downarrow }}(q_{r})=f(q_{l$

완전한 고두노프 체계는 대략적인 또는 정확한 리만 해결사의 정의를 요구하지만, 그것의 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\lambda \left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),\quad \lambda ={\frac {\Delta t}{\Delta x}},\quad {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}=f^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right)}$

선형문제

선형 ${\displaystyle \mathrm{문제}}$의 경우${\displaystyle ,}$ 여기서 f${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ ) =$q$ {\$displaystyle$ f$(q)=$aq$\},$ 일반성의 손실 없이, 는 >{\$displaystyle$ a$>0$ 상승된 고두노프 방법이 다음을 산출한다고 가정한다.

${\displaystyle Q_{i}^{n}^{n1}^{n}-\nu \left(Q_{i}^{n}-Q_{i-1}^}\오른쪽),\quad \nu =a{\frac {\Delta t}{\Delta x},},},}$

안정성에${\displaystyle }$Δ t ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ t Δ x$$ 1 {\$displaystyle \nu =\left$ a${\frac {\Delta t}{\Delta x}}\rightleq$ 1$}$을(를) 필요로 하는 고전적인 1차 순서의 역방향 유한 볼륨 구조를 산출한다$.$

3단계 알고리즘

Hirsch에 이어, 이 계획은 다음과 같이 $알려진{\displaystyle }$ $t{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$n${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$의$$Δ t {\$displaystyle t=(n+1$)\$Delta$ t$\,}$에서 t${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ {$t$n$\delta$ t}\,}에서 용액을 얻기 위한 세 가지 뚜렷한 단계를 포함한다.

Step 1 Define piecewise constant approximation of the solution at ${\displaystyle {t=(n+1)\Delta t}\,}$. Since the piecewise constant approximation is an average of the solution over the cell of size ${\displaystyle {\Delta x}\,}$, the spatial error is of order ${\displaystyle {\Delta x}\,}$, and 그러므로 결과 계획은 우주에서 정확한 1차 순서가 될 것이다.이 근사치는 이산형 값이 셀 위에 있는 상태 변수의 평균을 나타내는 유한 체적 방법 표현에 해당한다는 점에 유의하십시오.평균 세포 값에 대한 정확한 관계는 필수 보존법에서 얻을 수 있다.

2단계 셀 인터페이스에서 로컬 리만 문제에 대한 솔루션을 얻으십시오.이것이 전체 절차의 유일한 물리적 단계다.접점의 불연속부는 국소적으로 보존 방정식을 만족시키는 파동의 중첩 위치에서 해결된다.원래의 고두노프 방법은 리만 문제들의 정확한 해법에 근거하고 있다.그러나 대안으로 대략적인 해결책을 적용할 수 있다.

3단계 시간 간격 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ $displaystyle {\Delta$ t$}\,}$ 이후의 상태 변수 평균$.$ 2단계 ${\displaystyle \mathrm{이후}}$에 얻은${\displaystyle }$상태 변수는 시간 간격 Δ t ${\displaystyle$ {\Delta t$}\,}$ 동안 파장 확산으로 인한 새로운 조각 상수 근사치를 정의하여 각 셀에 걸쳐 평균을 산출한다$.$me 간격 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ $displaystyle {\Delta t}\,}$은(는) 인터페이스에서 방출되는 파동이 인접한 인터페이스에서 생성되는 파동과 상호 작용하지 않도록 제한해야 한다$$.그렇지 않으면 세포 내부의 상황은 리만 문제와 상호 작용하는 것에 의해 영향을 받을 것이다.${\displaystyle {이}_{}}$는 ${\displaystyle {}_{}}$ < > /2 [\$displaystyle a_{\max$ }$\Delta t<\Delta x/2\,},$ 여기서 최대 {\$displaystyle a_{\max$} $\},}$은(는) 로컬 Jacobian 매트릭스의 셀 고유값에서 얻은 최대 파형 속도다.

제1단계와 제3단계는 오로지 수학적 성질에 불과하며, 제2단계 물리단계인 진화단계와는 별개로 투영단계라고 볼 수 있다.따라서 물리적 입력에 영향을 주지 않고 수정할 수 있으며, 예를 들어 각 셀 내부의 조각별 선형 변동에 의해 조각별 상수 근사치를 대체하여 MUSCL 방식과 같은 2차 공간정확한 체계를 정의하게 된다.

참고 항목

• 고두노프의 정리
• 고해상도 계획
• 락스 프리드리히스법
• MUSCL 방식
• 세르게이 K.고두노프
• 총 변동 감소
• Lax-Wendroff 정리
• AUSM

참조

• Godunov, S. K. (1959). "Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики" [A Difference Scheme for Numerical Solution of Discontinuous Solution of Hydrodynamic Equations]. Mat. Sbornik. 47: 271–306. MR 0119433. Zbl 0171.46204. 번역된 미국 공동 홍보.JPRS 7226, 1969
• Hirsch, C. (1990). Numerical Computation of Internal and External Flows. Vol. 2. Wiley. ISBN 0-471-92452-0.
• Leveque, Randy J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6.

추가 읽기

• Laney, Culbert B. (1998). Computational Gasdynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57069-7.
• Toro, E. F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Tannehill, John C.; et al. (1997). Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer (2nd ed.). Washington: Taylor and Francis. ISBN 1-56032-046-X.
• Wesseling, Pieter (2001). Principles of Computational Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.