슈바르츠 교대법

Schwarz alternating method

수학에서 슈바르츠 교번법 또는 교번법은 헤르만 슈바르츠가 1869–1870년에 정합 지도 이론에서 도입한 반복법이다. 각각의 디리클레 문제를 해결할 수 있는 복잡한 평면에서 두 개의 겹치는 영역을 고려해 볼 때, 슈바르츠는 그들의 교차점이 적절하게 잘 작동한다면, 그들의 결합에서 디리클레 문제를 해결하기 위한 반복적인 방법을 설명했다. 이것은 1850년대에 리만이 제기하고 1907년 코에베와 푸앵카레에가 처음으로 엄격하게 해결한 통일화 문제에 대한 공헌으로 슈바르츠에 의해 개발된 여러 건설적인 순응 지도 기법 중 하나였다. 그것은 두 지역의 교차점이 원반이나 환상일 경우, 두 지역의 연합을 각각 통일하는 방법을 알고 있는 것을 획일화하는 방안을 제공했다. 1870년부터 칼 노이만도 이 이론에 기여했다.

1950년대에 슈바르츠의 방법은 두 개의 겹치는 하위 도메인의 결합인 도메인에서 타원 경계 값 문제의 해결책을 찾기 위한 반복적인 방법으로 부분 미분 방정식 이론에서 일반화되었다. 그것은 두 하위 영역의 경계 값 문제를 차례로 해결하는 것을 포함하며, 항상 대략적인 해결책의 마지막 값을 다음 경계 조건으로 한다. 수치해석에서는 도메인 분해법으로서 승법 슈바르츠법(첨가 슈바르츠법에 반하여)이라는 이름으로 사용된다.

역사

DDM 원본 로고: 1870년 H. A. 슈바르츠가 고려한 문제의 표현. 파란색 직사각형은 원래 사각형이었다.

그것은 처음에 H. A. 슈바르츠에[1] 의해 공식화되었고 이론적 도구로 작용했다: 일반 2차 타원 부분 미분 방정식의 수렴은 훨씬 후인 1951년에 솔로몬 미클린이 처음으로 증명했다.[2]

알고리즘

슈바르츠가 고려한 원래 문제는 원과 부분적으로 겹치는 사각형으로 구성된 영역에 대한 디리클레트 문제(라플레이스의 방정식)였다. 두 개의 하위 영역 중 하나(사각형 또는 원)에서 디리클레 문제를 해결하려면 국경에서 해결책의 가치를 알아야 한다. 국경의 일부가 다른 하위 도메인에 포함되기 때문에, 디리클레 문제는 두 하위 도메인에서 공동으로 해결해야 한다. 반복 알고리즘이 도입된다.

  1. 사각형에 포함된 원의 경계 부분에 용액을 먼저 추측한다.
  2. 원의 디리클레 문제 해결
  3. (2)의 용액을 사용하여 사각형의 경계에 있는 용액의 근사치를 구한다.
  4. 사각형의 디리클레 문제 해결
  5. (4)의 용액을 사용하여 원의 경계에 있는 용액의 근사치를 구한 다음 (2) 단계로 이동하십시오.

수렴할 때, 겹치는 부분의 해법은 사각형이나 원 위에서 계산했을 때 동일하다.

최적화된 슈바르츠 방법

수렴 속도는 서브도메인 간 중복의 크기와 전송 조건( 서브도메인 간 인터페이스에 사용되는 경계 조건)에 따라 달라진다. 적응된 전송 조건을 선택하여 슈바르츠 방법의 수렴 속도를 높일 수 있다. 이 방법을 Optimized 슈바르츠 방법이라고 한다.[3]

참고 항목

메모들

  1. ^ 그의 논문 보기 (슈워즈 1870b)
  2. ^ 논문 참조(Mikhlin 1951): 후기 저서에서 같은 작가가 포괄적인 박람회를 열었다.
  3. ^ Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), "Optimized Schwarz Methods", 12th International Conference on Domain Decomposition Methods (PDF)

참조

오리지널 페이퍼

정합성 매핑 및 조화 함수

PDE 및 수치 분석

외부 링크