슈르보완법

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수치해석에서는 Issai Schur의 이름을 따서 명명된 Schur 보완방법은 반복적 하위구조화라고도 하는 비과대적 영역분해방법의 기본이자 초기 버전이다. 유한요소 문제는 겹치지 않는 서브돔으로 분할되며, 서브돔의 내부 내부에 있는 미지의 것들은 제거된다. 서브도메인 인터페이스와 관련된 미지의 나머지 슈르 보완 시스템은 결합 그라데이션 방식으로 해결된다.

방법 및 구현

포아송 방정식을 풀겠다고 가정합시다.

${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u _{\partial \Oomega}=0}$

어떤 도메인 Ω에서. 이 문제를 확인하면 N차원 선형 시스템 AU = F가 나온다. 슈르 보완 방법은 선형 시스템을 하위 문제로 분할한다. 그렇게 하려면 Ω을 인터페이스 Ω을 공유하는 두 개의 하위 도메인 Ω₁, Ω으로₂ 나누십시오. U₁, U₂ 및 U를_Γ 각 하위 도메인 및 인터페이스와 관련된 자유도가 되도록 하십시오. 그러면 우리는 선형 시스템을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$왼쪽[{\displaystyle \ft]A_{11}&0&&A_{1\감마 }\\0&A_{22}&A_{2\감마 }\A_{\Gamma 1}&A_{\Gamma 2}&A_{\Gamma \end{matrix}\오른쪽]\왼쪽[{\begin{matrix}}U_{1}\\U_{2}\\U_{\\Gamma }\end{matrix}\오른쪽]=\왼쪽[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{\\Gamma }\end{matrix}\right}$

여기서 F₁, F₂ 및 F는_Γ 각 영역에서 부하 벡터의 구성요소다.

슈르 보완 방법은 더 작은 시스템을 풀면 인터페이스에서 값을 찾을 수 있다는 점에 주목함으로써 진행된다.

${\displaystyle \Sigma U_{\Gamma }=F_{\Gamma }-A_{11}^{1}F_{1}F_{1}-A_{22}^{-1}F_{1},}}$

인터페이스 값 U에_Γ 대해, Schur 보완 매트릭스를 정의한다.

${\displaystyle \Sigma =A_{\Gamma \}-A_{{11}^{-1}A_{1\감마 }-A_{22}^{-1}A_{2}A_{2\감마 }}}}}$

중요한 것은 A ${\displaystyle {11}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$ 또는$$ $A{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {22}_{}^{}}$- 1 ${\$와 관련된 모든 수량의 계산은 각 도메인에서 분리된 디리클레 문제를 해결하는 것을$$ 포함하며, 이러한 것들은 병렬로 수행할 수 있다는 것이다. 따라서 우리는 슈르 보완 행렬을 명시적으로 저장할 필요가 없다; 그것으로 벡터를 곱하는 방법을 아는 것으로 충분하다.

일단 인터페이스의 가치를 알게 되면, 우리는 두 관계를 이용하여 내부 가치를 찾을 수 있다.

${\displaystyle A_{11}U_{1}=F_{1}-{1}-A_{1\Gamma }U_{22}U}\qquad A_{22}U_{2}=F_{2}-A_{2\Gamma }}}}}}$

둘 다 병행할 수 있어

슈르 보어에 의한 벡터 곱셈은 푸앵카레-스테클로프 연산자의 이산형 버전으로, 디리클레트 대 노이만 매핑이라고도 한다.

이점

이 방법에는 두 가지 이점이 있다. 첫째, 디리클레 문제의 해결책인 서브돔의 내부 미지의 제거가 병행될 수 있다. 둘째, 슈르 보어에게 전달하면 조건 수가 감소하므로 반복 횟수가 감소하는 경향이 있다. 라플라스 방정식이나 선형 탄성 같은 2차적 문제의 경우, 시스템의 행렬에는 순서 1²/h의 조건 번호가 있으며 여기서 h는 특성 요소 크기다. 그러나 슈어 보완 장치는 주문 1/h의 조건 번호만 가지고 있다.

공연의 경우, 슈르 보완 방법은 최소한 대각선 전제조건인 전제조건과 결합된다. 노이만-노이만 방법과 노이만-디리클레 방법은 특정한 종류의 전제조건이 있는 슈르 보완 방법이다.