BDDC
BDDC수치해석학에서 BDDC는 유한요소법에서 발생하는 선형방정식의 큰 대칭, 양의 유한계를 풀기 위한 영역분해법이다.BDDC는 켤레 구배법에 대한 전제조건으로 사용된다.BDDC의 특정 버전은 서브도메인 모서리 값 또는 서브도메인 간 인터페이스의 가장자리 또는 면에 대한 평균값인 거친 자유도를 선택하는 것이 특징이다.다음으로 BDDC 프리 컨디셔너의 1개의 어플리케이션은 각 서브도메인에서의 국소적인 문제의 해결과 거친 자유도를 미지의 것으로 하는 글로벌한 거친 문제의 해결책을 조합한다.서로 다른 하위 도메인의 로컬 문제는 서로 완전히 독립적이기 때문에 이 방법은 병렬 컴퓨팅에 적합합니다.거친 자유도(2D, 모서리 + 모서리 또는 모서리 + 3D)를 적절히 선택하고 규칙적인 서브도메인 형상의 경우 서브도메인 수를 늘릴 때 메서드의 조건 수는 제한되며 서브도메인당 요소 수에 따라 매우 느리게 증가합니다.따라서 반복 횟수는 동일한 방식으로 제한되며, 방법은 문제의 크기와 하위 도메인의 수에 따라 잘 확장됩니다.
역사
BDDC는 FARhat [4][5]등에 의해 FETI-DP 도메인 분해 방법에 대한 초기 대안으로 크로스,[1] 도르만,[2] 프래가키스와 파파드라카키스에 [3]의해 거의 동시에 다른 저자와 다른 접근법에 의해 도입되었다.이것들은 모두 실제로 BDDC와 같은 방식이라는 증거에 대해서는, 을 참조해 주세요.이 방법의 이름은 BDD(밸런싱 도메인 분해) [8]방법의 추가 [7]개발로 이해될 수 있기 때문에 Mandel과 Dohrmann에 의해 만들어졌다.Mandel, Dohrmann 및 Tezaur는 BDDC와 FETI-DP의 고유값이 1과 동일하다는 것을 증명했으며, 이는 BDDC에는 존재할 수 있지만 FETI-DP에는 존재하지 않으므로 이들의 반복 횟수는 실질적으로 동일하다.이 사실에 대한 훨씬 더 간단한 증거는 나중에 Li와 Widlund[10], 그리고 Brenner와 [11]Sung에 의해 얻어졌다.
거친 공간
BDDC의 거친 공간은 거친 자유도의 주어진 값을 가진 에너지 최소 함수로 구성됩니다.이는 플레이트 및 [12]셸용 BDD 버전에서 모서리에 사용되는 것과 동일한 거친 공간입니다.차이점은 BDDC에서는 거친 문제가 가법적으로 사용되는 반면 BDD에서는 곱셈적으로 사용된다는 것입니다.
기계적인 설명
BDDC 방법은 종종 선형 탄성 문제를 해결하기 위해 사용되며, 탄성 구조의 변형 측면에서 가장 잘 설명될 수 있습니다.탄성 문제는 규정된 변위 및 가해지는 힘을 받는 구조물의 변형을 결정하는 것이다.유한 요소 방법을 적용한 후, 우리는 선형 대수 방정식의 시스템을 얻는다. 여기서 미지수는 요소의 노드에서의 변위이고 오른쪽은 힘에서 나온다(그리고 경계에서의 0이 아닌 사전 변위로부터, 그러나 단순성을 위해 0이라고 가정한다).
프리 컨디셔너는 우측을 취하여 대략적인 해결책을 제시합니다.예를 들어 탄성구조가 겹치지 않는 서브구조로 분할되어 있다고 가정합니다.간단히 말씀드리면, 거친 자유도는 서브도메인 모서리뿐이라고 가정해 보겠습니다.구조에 가해지는 힘이 주어졌다고 가정합니다.
BDDC 방식의 첫 번째 단계는 내부 보정입니다.내부 보정은 서브도메인과의 서브도메인 인터페이스를 제외하고 서브도메인에 가해지는 힘을 개별적으로 찾아내는 것으로 구성됩니다.각 서브도메인의 내부는 독립적으로 이동하며 인터페이스는 제로로 변형된 상태로 유지되므로 인터페이스에 꼬임이 발생합니다.구부러진 상태를 유지하기 위해 필요한 인터페이스 상의 힘은 인터페이스에 이미 주어진 힘에 더해집니다.계면 힘은 하위 도메인으로 분산된다(하위 도메인의 재료 강성에 비례하는 가중치 또는 균등하게 분산되어 더 단단한 하위 도메인이 더 큰 힘을 얻는다).
서브도메인 보정이라고 불리는 두 번째 단계는 서브도메인 모서리에서의 변위 제로 조건에 따라 각 서브도메인에서의 이러한 인터페이스 힘의 변형을 개별적으로 찾아내는 것입니다.서브도메인 보정 값은 인터페이스 전체에서 일반적으로 다르다는 점에 주의해 주세요.
서브도메인 보정과 동시에 서브도메인이 힘을 전혀 가하지 않고 동일 형상으로 가정하는 조건으로 각 서브도메인상의 각 모서리 사이에 별개로 보간된 모든 서브도메인 모서리에서의 변위로 이루어진 조보정을 산출한다.다음으로 서브도메인 보정의 경우와 마찬가지로 인터페이스의 힘이 작용하여 서브도메인 모서리에서의 조보정 값을 구합니다.따라서 계면력은 평균화되어 Galerkin 방법에 의해 거친 용액을 구한다.다시 말씀드리지만 서브 도메인인터페이스에서의 조보정 값은 일반적으로 인터페이스 전체에서 불연속적입니다.
마지막으로 서브도메인 보정과 조보정이 추가되어 서브도메인 인터페이스에 걸쳐 합계가 평균화되며, 이는 이전에 서브도메인에 힘을 분배하기 위해 사용된 가중치와 동일합니다.이것에 의해, 서브 도메인간의 인터페이스상의 BDDC 출력의 값이 표시됩니다.그런 다음 내부 보정을 반복하여 하위 도메인 내부의 BDDC 출력 값을 구합니다.
실시형태에서는 서브도메인 내의 모든 힘이 0이 되도록 반복에 대한 우측 및 초기근사를 전처리한다.위와 같이 내부 보정을 한 번 적용하면 됩니다.그러면 공역 구배를 반복하는 동안 하위 도메인 내부의 힘이 0으로 유지되므로 BDDC의 각 적용에서 첫 번째 내부 보정을 생략할 수 있습니다.
레퍼런스
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