노이만-노이만 방법

수학에서 Neumann-Neumann 방법은 하위 도메인들 사이의 인터페이스 양쪽의 각 하위 도메인에서 Neumann 문제를 해결하기 때문에 그렇게 명명된 도메인 분해 전제자들이다.^[1] 모든 도메인 분해 방법과 마찬가지로, 반복 횟수가 하위 도메인의 수와 함께 증가하지 않도록, Neuman-Neumann 방법은 거친 문제의 해결이 요구되어 글로벌 커뮤니케이션을 제공한다. 균형 영역 분해는 특별한 종류의 거친 문제를 가진 Neumann-Neumann 방법이다.

보다 구체적으로, 우리가 포아송 방정식을 해결하고자 하는 도메인 Ω을 고려한다.

${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u _{\partial \Oomega}=0}$

어떤 기능 f에 대해서. 도메인을 공통 경계 γ인 2개의 겹쳐지지 않는 하위 도메인 Ω과₁ Ω으로₂ 나누고 u와₁ u를₂ 각 하위 도메인에서 u의 값이 되도록 한다. 두 하위 도메인 사이의 인터페이스에서, 두 솔루션은 일치 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle u_{1}=u_{2},\qquad \cHB_{n_{1}u_{1}=\n_{2}}:$

여기서 $n{}_{}$ $i_{}$ ${\$은(는) 각 하위 도메인에서 γ에 대한 단위 정규 벡터다.

일치 조건을 만족하는 각 u의_i 근사치(i=1,2)에 대해 k=0,1,...를 반복하는 반복적인 방법은 우선 디리클레 문제를 해결하는 것이다.

${\displaystyle -\Delta u_{i}^{(k)=f_{i}\;{\text{in}}\;;;\Oomega _{i}\qquad u_{i}^{k}} _{\partial \Oomega }=0,\quad u_{i}^{k}} _{\Gamma }=\lambda ^{(k)}}}}}}}}}}}}}}$

γ의 일부 함수 λ에^(k) 대해, 여기서 λ은⁽⁰⁾ 값싼 초기 추측이다. 그리고 나서 우리는 두 개의 노이만 문제를 해결한다.

${\displaystyle -\delta \psi _{i}^{i}=0\;{\text{in}\;;;;\Omega _{i},\qquad \psi _{i}^{(k)} _{\partial \Omega }=0,\quad \partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)} _{\Gamma }=\omega (\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}).}$

그리고 나서 우리는 설정함으로써 다음 반복을 얻는다.

${\displaystyle \lambda ^{(k+1)}=\lambda ^{{{1}-\omega(\theta _{1}\psi _{1}^{1}+\{2}\psi _{2}^{k}}\\\text{}}}\\\\감마 }}}}$

일부 파라미터의 경우 Ω, θ₁ 및 θ₂.

이 절차는 슈르 보완 방법에서 발생하는 방정식의 반복적 해법에 대한 리처드슨 반복으로 볼 수 있다.^[2]

이 연속적인 반복은 유한 요소 방법에 의해 입증될 수 있으며, 컴퓨터에서 병렬로 해결할 수 있다. 더 많은 하위 영역으로의 확장은 간단하지만, 슈르 보완 시스템의 전제조건으로 언급된 이 방법을 사용하는 것은 하위 영역의 수에 따라 확장될 수 없기 때문에 글로벌 거친 해결이 필요하다.

참고 항목

• 노이만-디리클레트법

참조