약한 제형

약한 제형은 부분 미분방정식과 같은 다른 분야의 문제를 해결하기 위해 선형대수의 개념 전수를 허용하는 수학 방정식의 분석에 중요한 도구다. 약한 공식에서는 방정식이나 조건이 더 이상 절대적으로 유지될 필요가 없으며(그리고 이것은 잘 정의되지도 않는다) 대신 특정 "시험 벡터" 또는 "시험 함수"에 관해서만 약한 해결책을 가지고 있다. 강합성에서는 이러한 방정식이나 조건이 이미 충족되도록 용액 공간이 구성된다.

이 글에서는 약한 제형이 몇 가지 예에 의해 소개되고, 그 다음 해결책의 주요 정리인 Lax-Milgram 정리가 제시된다. 이 정리는 1954년에 그것을 증명했던 피터 락스와 아서 밀그램의 이름을 따서 명명되었다.

일반개념

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 바나흐 공간이 되게 하십시오$$. 우리는$$ 이 방정식의${\displaystyle u}$ {$$V {\$displaystyle u\in$ V$}$을(를) 찾고 싶다.

${\displaystyle Au=f,}$

여기서 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ V$\to$ V$'}$ 및$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 V ${\displaystyle V}$의 이중 공간이다$.$

이는 모든 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\$$displaystyle u\in V$$}$에 대해 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ {\$displaystyle v\in$V}을(를) 찾는 것과 같다$.$

$[\displaystyle [Au](v)=f(v)]}$

여기서는 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 테스트$$ 벡터 또는 테스트 함수라고 부른다.

우리는 이것을 약한 공식의 일반적인 형태로 $가져온다{\displaystyle }$. 즉, u ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}${\$displaystyle u\in$ V$}$을 찾아라$$.

${\style a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$

이선형식을 정의하여

${\displaystyle a(u,v):=[Au](v).}$

이것은 매우 추상적이므로 몇 가지 예를 들어 보자.

예제 1: 방정식의 선형 시스템

$이제{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} ^{$${\displaystyle n}$$}}$ 및$$ A${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle A:$$V\to V}$을(를) 선형 매핑하십시오. 그 다음, 방정식의 약한 공식화

${\displaystyle Au=f,}$

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u\in V$$}$에 대해 다음$$ 방정식이 유지되도록 u V ${\displaystyle v\in$V}을(를) 찾는 작업이 포함됨:

${\displaystyle \langle Au,v\angle =\langle f,v\angle ,}$

여기서 ${\displaystyle ⟨}$,, {${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle }$은 내부 제품을 의미한다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 선형 매핑이므로$$ 기본 벡터로 테스트하면 충분하며, 우리는

${\displaystyle \langle Au,e_{i}\angle =\langle f,e_{i}\angle,\quad i=1,\ldots,n.}$

실제로 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{u}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ j = 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ e$$j {\$displaystyle u$=\$sum _{j=1}^{nu_{j}e_{$j}}}}}}}}}}}을$($를) 확장하면 방정식의 행렬 형식을 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f},}$

여기서 ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, e ${$ {\$displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},$ $e\_{\displaystyle {}_{}}$${i}\angle },$ ${\displaystyle f_{}}$ = e ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle f_{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{i}=\langle f, e_{i}\angle$ $\}.$

이 약한 제형과 관련된 이선형 형태는

${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v}^{T}\mathbf {A} \mathbf {u}.}$

예제 2: 포아송 방정식

우리의 목표는 포아송의 방정식을 푸는 것이다.

${\displaystyle -\displayla ^{2}u=f,}$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ⊂${\displaystyle }$R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 경계에 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u=0}$이(가) 있는 도메인에서, 나중에$$ 솔루션 $공간{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle$V}을 지정하고자 한다. $우리$는 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ L$^{2$}} -scalar$$ 제품을 사용할 것이다.

${\displaystyle \langle u,v\angle =\int_{\Oomega}uv\,dx}$

우리의 약한 모습을 이끌어내기 위해서. $그러면{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}$과(와) 다른 기능을 사용하여 테스트해 보십시오$.$

${\displaystyle -\int _{\Oomega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Oomega }fv\,dx.}$

Green의 ID를 사용하는 부품에 의한 통합과 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}${\$displaystyle \partial \Oomega}$의${\displaystyle }v{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle v=0}$을(를$)$ 가정하여 이 방정식의 왼쪽을 보다 대칭적으로 만들 수 있다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Oomega }fv\,dx.}$

이것은 보통 포아송 방정식의 약한 공식이라고 불리는 것이다. 해결책을 찾을 공간$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$을(를) 아직 지정하지 않았지만, 최소한 이 방정식을 쓸 수 있어야 한다. 따라서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 기능이 경계에 0이고$$ 사각형 통합 파생 모델이 있어야 한다. The appropriate space to satisfy these requirements is the Sobolev space ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ of functions with weak derivatives in ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ and with zero boundary conditions, so we set ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$.

우리는 할당을 통해 일반 양식을 얻는다.

${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Oomega}\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$

그리고

${\displaystyle f(v)=\int _{\Oomega }fv\,dx.}$

락스-밀그램 정리

이것은 이선형식의 대칭 부분의 특성에 의존하는 Lax-Milgram 정리의 공식이다. 그것은 가장 일반적인 형태가 아니다.

$V{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle V}$을(를) Hilbert 공간과 $a{\displaystyle }$($$, ${\displaystyle \cdot }$) {\$displaystyle$ a$(\$cdot ,\$cdot )}$에 이선형 형태로 두십시오$$$.$

1. 경계$$: ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle u}$ , v${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle C}$u ${\displaystyle u}$ u u ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle a(u,v) \leq C\$\ \$v\}$ 및
2. 강압적: $a{\displaystyle }$ (${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Vert }$ u ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle a(u,u)\geq c\ u\$^{$2}.$$}$

그런 다음, 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$에 대해 식에 고유한$$ 솔루션 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle u\in V}$이(가) 있다.

${\style a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$

그리고 그것은 유지된다.

${\displaystyle \ \leq {1}{c}\ f\ _{V'}.}$

예제 1에 적용

여기서 Lax-Milgram 정리의 적용은 분명 필요한 것보다 강력한 결과지만, 우리는 여전히 그것을 사용할 수 있고 이 문제를 다른 사람들이 가지고 있는 것과 같은 구조를 줄 수 있다.

• 경계성: $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$의 모든 이선형 폼이 경계로 되어$$ 있다. 특히, 우리는

  $\displaystyle a(u,v) \leq \ \,\ \,\ \,\v\}$

• 강제성: 이것은 $실제로{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$A}의 고유값의 실제 $부분$이 c ${\displaystyle$c}보다 작지$$ 않다는 것을 의미한다$.$ 이는 특히 고유값이 0이 아니라는 것을 의미하기 때문에 시스템을 해결할 수 있다.

게다가, 우리는 견적을 받는다.

${\displaystyle \ \leq {1}{c}\f\,}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $c}$은(는$)$ 고유값 $A$의 최소 실제 부분이다$.$

예제 2에 적용

여기서, 앞에서 언급했듯이, $우리$는 표준으로$$ V${\displaystyle }$= H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$($){\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Oomega )}$을 선택한다.

${\displaystyle \ v\ _{V}=\\\nabla v\ ,}$

여기서 오른쪽의 ${\displaystyle {표준}^{}}$은 $L{\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$}}$$- $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 대한 표준$$(이것은 Poincaré 불평등에 의한$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대한 참된 규범을 제공한다).$$ But, we see that ${\displaystyle a(u,u) =\ \nabla u\ ^{2}}$ and by the Cauchy–Schwarz inequality, ${\displaystyle a(u,v) \leq \ \nabla u\ \,\ \nabla v\ }$.

따라서, $모든{\displaystyle }$ f ${\displaystyle \in [{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$에 대해$,$ 고유한 솔루션 ${\displaystyle u}$∈ V ${\displaysty u\in$ V$}$이 있으며, 우리는 포아송 방정식의 추정치를$$ 가지고 있다.

$\displaystyle \\bla u\ \leq \ f\ _{[]H_{0}^{1}(\Oomega )]}.}$

참고 항목

• 바부슈카-락스-밀그램 정리
• 라이온스-락스-밀그램 정리

참조

• Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954), "Parabolic equations", Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, pp. 167–190, doi:10.1515/9781400882182-010, MR 0067317, Zbl 0058.08703

외부 링크

• Lax-Milgram 정리에 관한 MathWorld 페이지