스펙트럼원소법

수학의 주제인 부분 미분방정식의 수치해석에서 스펙트럼원소법(SEM)은 고차원 조각 다항식을 기본함수로 사용하는 유한요소법(FEM)의 공식이다. 스펙트럼 원소법은 1984년 A씨가^[1] 논문에서 소개한 것이다. T. Patera. Patera는 방법의 개발에 공로를 인정받았지만, 그의 작업은 기존 방법의 재발견이었다(개발사 참조).

토론

스펙트럼 방법은 삼각계열로 용액을 확장하는데, 주된 장점은 결과 방법이 매우 높은 순서가 있다는 것이다. 이 접근방식은 삼각 다항식이 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle L^{2}(\Oomega )}$에 대한 정형근거라는 사실에 의존한다$.$^[2] 스펙트럼 소자법은 대신 높은 수준의 조각과 다항식 기본 함수를 선택하며, 또한 매우 높은 정확도를 달성한다. 그러한 다항식들은 대개 균일하지 않은 간격의 노드에 걸쳐 직교 체비셰프 다항식 또는 매우 높은 순서의 라그랑주 다항식이다. SEM 계산 오류는 근사 다항식의 순서가 증가함에 따라 기하급수적으로 감소하므로 FEM에 비해 구조물의 자유도가 낮아지고 정확한 용액에 대한 용액의 빠른 수렴이 실현된다. 구조 건강 모니터링에서 FEM은 구조물의 큰 결함을 감지하는 데 사용할 수 있지만, 결함의 크기가 감소함에 따라 고주파파를 사용할 필요가 있다. 고주파파의 전파를 시뮬레이션하기 위해 필요한 FEM 메쉬는 매우 미세하여 계산 시간이 증가한다. 반면 SEM은 자유도가 적은 좋은 정확도를 제공한다. 노드의 불균일성은 질량 매트릭스를 대각선으로 만드는 데 도움이 되며, 이는 시간과 메모리를 절약하고 중앙 차이 방법(CDM)을 채택하는 데도 유용하다. SEM의 단점은 FEM의 유연성에 비해 복잡한 기하학을 모델링하는 데 어려움이 있다는 것이다.

모달피스 직교 다항식 기준으로 적용할 수 있지만, 대부분 노달 텐서 제품 라그랑주 기준으로 구현된다.^[3] 이 방법은 노들 포인트를 레전드레-가우스-로바토(LGL) 포인트에 배치하고, 같은 노드를 사용하여 감소된 가우스-로바토 사분법으로 갈레르킨 방법 통합을 수행함으로써 효율을 얻는다. 이러한 조합으로 모든 노드에서 질량 덩어리가 발생하도록 간소화하고 내부 지점에서 정렬 절차를 수행한다.

이 방법의 가장 인기 있는 적용 분야는 컴퓨터 유체 역학^[3] 및 지진파 전파 모델링이다.^[4]

A-사전 오차 추정치

갈레르킨 방법과 세아의 보조정리법에 대한 고전적인 분석은 여기서 유지되며, 만약 u가 약한 방정식의 해결책이라면 u는_N 대략적인 해결책이고 $u$는 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {Hs}^{}}$+${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)$${\$displaystyle u\in H^{s+1}(\Oomega$ $)\}$ :

${\displaystyle \ \ u-u_{N}\{H^{1}(\Oomega )}\leq C_{s}{n^{-s}\ u\ _{H^{s+1}(\Oomega )}}}}}}}}$

여기서 C는 N으로부터 독립적이며 s는 조각상 다항식 기준의 정도보다 크지 않다. 유사한 결과를 얻어서 더 강력한 위상에서 오류를 범할 수 있다. $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le s}$+ ${\displaystyle 1}$인 경우$([\displaystyle k\leq s+1})$

${\displaystyle \ \u-u_{N}\{H^{k}(\Oomega )}\leq C_{s,k^{k-1-s}\ u\ _{H^{s+1}(\Oomega )}}}}}}}$

N을 증가시키면서 기본 함수의 정도도 증가시킬 수 있다. 이 경우 u가 분석 함수인 경우:

${\displaystyle \ u-u_{N}\ _{H^{1}(\Oomega )}\leq C\exp(-\감마 N)}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에만 의존한다$.$

하이브리드-콜로케이션-갈러킨은 초융합 특성을 가지고 있다.^[5] SEM의 LGL 형태는 동등하기 때문에 동일한 초융합 특성을 달성한다.^[6]

개발 이력

이 방법의 가장 인기 있는 LGL 형태의 개발은 보통 마데이와 파테라 덕분이다.^[7] 그러나 10여 년 전에 개발되었다. 첫째,^[8][5] 내부 로바토 포인트에서 연산을 적용하고 요소 인터페이스에서 갤러킨과 같은 적분 절차를 사용하는 하이브리드-콜로케이션-갈러킨 방식(HCGM)이 있다. 영이^[9] 기술한 로바토갈레르킨 방법은 SEM과 동일하며 HCGM은 이러한 방법과 동등하다.^[6] 이 초기의 저작은 스펙트럼 문헌에서 무시된다.

관련 방법

• G-NI 또는 SEM-NI는 가장 많이 사용되는 스펙트럼 방법이다. 각각 G-NI 또는 SEM-NI에 대한 스펙트럼 방법 또는 스펙트럼 요소 방법의 갤러킨 제형이 수정되고 이선형 $a ($ ,$$)의 정의에서 통합 대신 가우스-로바토 통합이 사용되며$$ 기능 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에서 이들의 통합은 정합성이 된다$.$스트러트의 보조정리 같음
• SEM은 Galerkin 기반 FEM(마인드 요소법)으로, 라그랑주 기반(모양) 기능 및 동일한 노드를 사용하여 Lobatto 사분법에 의한 수치적 통합 감소.
• 가성법, 직교합법, 차등사분법, G-NI는 동일한 방법에 대해 서로 다른 명칭이다. 이 방법들은 부분적인 다항식 기본 함수가 아닌 전역적인 함수를 사용한다. 단편적인 FEM 또는 SEM 기반으로의 확장은 거의 사소한 것이다.^[6]
• 스펙트럼 요소 방법은 가우스-로바토 지점과 관련된 노달 기준 함수로 확장된 텐서 제품 공간을 사용한다. 이와는 대조적으로, p-버전 유한요소법은 수학적 안정성을 위해 근사적으로 직교하는 것으로 선택된 고차 다항식 함수에 의한 공간에 걸쳐 있다. 모든 내부 기본 기능이 존재할 필요는 없기 때문에 p-버전 유한 요소 방식은 주어진 정도까지 모든 다항식을 포함하고 자유도가 적은 공간을 만들 수 있다.^[10] 그러나 텐서-제품 특성 때문에 스펙트럼 방식에서 가능한 일부 속도 향상 기법은 더 이상 사용할 수 없다. p-version이라는 이름은 메쉬 크기 h를 줄이는 대신 근사 다항식(thus, p)의 순서를 증가시켜 정확도를 높인다는 것을 의미한다.
• hp 유한요소법(hp-FEM)은 h와 p정밀화의 장점을 결합해 지수 수렴률을 얻는다.^[11]

메모들