hp-FEM

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hp-FEM은 유한요소법(FEM)의 일반 버전이며, 가변 크기(h)와 다항식도(p)의 요소를 채용한 조각-다항식 근사치에 기초한 부분 미분 방정식을 풀기 위한 숫자 방법이다. hp-FEM의 기원은 유한요소법이 h-refine(소형분할)과 p-refine(다항식도 증가)의 적절한 조합을 사용하여 mesh를 정제할 때 기하급수적으로 빠르게 수렴된다는 것을 발견한 Barna A. Szabo와 Ivo Babushka의^{[1][2][3][4][5][6]} 선구적인 연구로 거슬러 올라간다. 지수 수렴은 대수적 비율과만 수렴하는 다른 대부분의 유한요소법에 비해 그 방법을 매우 매력적인 선택으로 만든다. hp-FEM의 기하급수적인 수렴은 이론적으로 예측되었을 뿐만 아니라 수많은 독립 연구자들에 의해서도 관찰되었다.^[7][8][9]

표준 FEM과의 차이

hp-FEM은 여러 면에서 표준(최저차순) FEM과 다르다.^[10]

• 고차 쉐이프 함수^{[example needed]} 선택: 우선 다른 형상함수를 사용하여 요소에서 더 높은 수준의 다항식을 생성할 수 있다. 그러한 세트의 선택은 강성 행렬의 조건화와 전체 솔루션 프로세스에 극적으로 영향을 미칠 수 있다. 이 문제는 처음에 바부스카 외 연구진에 의해 문서화되었다.^[11]
• 자동 hp 적응성: hp-FEM에서 원소는 여러 가지 방법으로 hp-정제될 수 있다. 한 가지 방법은 다항식을 우주에서 세분화하지 않고 단지 증가시키는 것이다. 또는 원소를 기하학적으로 세분할 수 있으며, 다양한 다항식 도표를 하위 원소에 적용할 수 있다. 요소 미세화 지원자는 2D로 100명, 3D로 1000명에 쉽게 도달할 수 있다. 따라서 요소의 오류 크기를 나타내는 하나의 숫자는 (표준 FEM의 적응성과는 대조적으로) 자동 hp-적응성을 안내하기에 충분하지 않다. 모든 요소에서 오류의 형상에 대한 더 많은 정보를 얻기 위해 참조 솔루션 또는 분석 고려사항과 같은 다른 기법을 사용해야 한다.^[12]
• 조립 및 솔루션 CPU 시간 비율: 표준 FEM에서 강직성 매트릭스는 보통 빠르게 조립되지만 상당히 크다. 따라서 일반적으로 이산형 문제의 해결은 전체 컴퓨팅 시간의 가장 큰 부분을 소비한다. 대조적으로 hp-FEM의 강성 행렬은 일반적으로 훨씬 작지만 (동일한 매트릭스 크기의 경우) 표준 FEM보다 조립에 더 많은 시간이 걸린다. 이는 대부분 더 빠른 수렴률을 활용하기 위해 표준 FEM에 비해 정밀도가 높아야 하고 따라서 순서가 더 높은 수치 4차원의 계산 비용 때문이다.
• 분석 과제: hp-FEM은 표준 FEM보다 분석적 관점에서 이해하기 어렵다.^{[according to whom?]} 이것은 타원형 문제에 대한 이산형 최대 원리(DMP)와 같은 수많은 기법과 관련이 있다. 이러한 결과는 일반적으로 메쉬에 대한 일부 제한적인 가정과 함께 조각-폴리놈 FEM 근사치는 기초 타원형 PDE와 유사한 최대 원리를 준수한다고 설명한다. 이러한 결과는 근사치가 물리적으로 허용 가능한 상태를 유지하여 음의 밀도, 음의 농도 또는 음의 절대 온도를 계산할 가능성을 남겨두지 않기 때문에 매우 중요하다. DMP는 가장 낮은 차수의 FEM에 대해 상당히 잘 이해되지만, 2개 이상의 차원에서 hp-FEM에 대해서는 전혀 알려져 있지 않다. 하나의 공간 차원에 있는 최초의 DMP는 최근에 공식화되었다.^[13][14]
• 프로그래밍 과제: 표준 FEM 코드보다 hp-FEM 솔버를 구현하는 것이 훨씬 어렵다. 극복해야 하는 여러 가지 문제에는 고차 4차 공식, 고차 형상 함수, 물리적 영역의 기본 함수와 참조 영역의 형상 함수와 관련된 연결성 및 방향 정보 등이 포함된다.^[15]

예: 피케라 문제

Fichera 문제(Fichera 코너 문제라고도 함)는 적응형 FEM 코드의 표준 벤치마크 문제다. 표준 FEM과 hp-FEM의 성능의 극적인 차이를 보여주는 데 사용할 수 있다. 문제는 코너가 빠진 큐브다. 정확한 해법은 단일한 구배(무한 스트레스의 비유)를 중심에 두고 있다. 정확한 용액의 지식은 근사 오차를 정확하게 계산하여 다양한 수치적 방법을 비교할 수 있게 한다. 예를 들어, 이 문제는 선형 요소, 2차 요소 및 hp-FEM의 세 가지 적응형 FEM 버전을 사용하여 해결되었다.

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  피케라 문제: 단수 구배.

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  피케라 문제: 수렴 비교.

수렴 그래프는 자유도(DOF)의 함수로 근사 오차를 보여준다. DOF는 근사치를 정의하는 데 필요한 (알 수 없는) 매개변수를 의미한다. DOF의 수는 강성 행렬의 크기와 같다. 독자는 그래프를 통해 hp-FEM의 수렴이 다른 두 방법의 수렴보다 훨씬 빠르다는 것을 알 수 있다. 실제로 성능 차이가 너무 커서 선형 FEM은 합리적인 시간에 전혀 수렴되지 않을 수 있으며 2차 FEM은 hp-FEM이 약 17,000 DOF로 달성한 정확도에 도달하기 위해 수십만 또는 수백만 DOF가 필요할 수 있다. 비교적 적은 수의 DOF를 사용하여 매우 정확한 결과를 얻는 것이 hp-FEM의 주요 강점이다.

hp-FEM이 왜 그렇게 효율적인가?

매끄러운 기능은 작은 조각-선형 요소보다 큰 고차 요소를 사용하여 훨씬 더 효율적으로 추정할 수 있다. 이는 아래 그림에 설명되어 있으며, 두 개의 서로 다른 메쉬에서 디리클레 경계 조건이 0인 1D 포아송 방정식이 해결된다. 정확한 해법은 사인함수다.

• 왼쪽: 두 개의 선형 원소로 구성된 망사.
• 오른쪽: 하나의 2차 원소로 구성된 망사.

두 경우(1DOF) 모두 알 수 없는 수가 같지만, 해당 표준의 오차는 각각 0.68과 0.20이다. 이는 2차 근사치가 조각-선형 근사치보다 약 3.5배 더 효율적이었음을 의미한다. 우리가 한 단계 더 나아가서 (a) 네 개의 선형 원소를 (b) 1 사분위 원소(p=4)와 비교할 때, 두 이산형 문제 모두 세 개의 DOF를 가지지만 사분위 근사치는 약 40배 더 효율적일 것이다. 이와 같은 몇 단계를 더 수행할 때, 독자는 효율성의 격차가 매우 빠르게 열리는 것을 볼 것이다.

반대로 소형 저차 원소는 대형 고차 원소보다 특이점 등 소형 특징을 훨씬 잘 포착할 수 있다. hp-FEM은 지수 수렴으로 이어지는 이 두 가지 접근법의 최적 조합에 기초한다. 참고로 이 지수 수렴은 오차축 대 자유도로 표현된다. 실제 애플리케이션의 경우, 우리는 일반적으로 동일한 수준의 정확도에 도달하기 위해 필요한 계산 시간을 고려한다. 이 성능 지표에 대해 h- 및 hp-refinement는 유사한 결과를 제공할 수 있다. 예를 들어 (WebArchive 링크 )의 최종 수치를 참조한다. h-FEM에 비해 hp-FEM을 프로그래밍하고 병렬화하는 것이 더 어려운 즉시 hp-refine의 수렴 탁월성은 비실용적으로 바뀔 수 있다.

hp-adaptivity란 무엇인가?

일부 FEM 사이트에서는 hp-적응성을 h-적응성(다항성을 고정하는 동안 공간에 원소를 분할)과 p-적응성(다항성만 증가)의 조합으로 설명한다. 이것은 완전히 정확한 것은 아니다. 요소의 hp-refine은 다양한 방법으로 수행될 수 있기 때문에 hp-adaptivity는 h- 및 p-adaptivity와 상당히 다르다. p-refine 외에도 (h-adaptivity와 같이) 우주에서 원소를 세분화할 수 있지만, 하위 요소에는 다항식 도에 대한 많은 조합이 있다. 이것은 오른쪽 그림에 묘사되어 있다. 예를 들어, 삼각형 또는 4각형 요소를 4개의 하위 요소로 세분화하여 다항식 정도가 최대 2개까지 변화할 수 있는 경우, 3^4 = 81개의 정제 후보(다항식 비등방성 후보는 고려하지 않음)를 산출한다. 유사하게, 육면체를 8개의 하위 요소로 분할하고 다항식 정도를 최대 2개의 비율로 변화시키면 3^8 = 6,561명의 정제 후보가 나온다. 분명히 요소당 하나의 상수 값을 제공하는 표준 FEM 오류 추정치는 자동 hp 적응성을 안내하기에 충분하지 않다.

고차 쉐이프 함수

표준 FEM에서는 격자 정점과 관련된 형상함수(일명 정점함수)에서만 작동한다. 이와는 대조적으로, hp-FEM에서는 에지 기능(요소 가장자리와 연관됨), 면 기능(요소 면에 대응함 – 3D에만 해당), 버블 기능(요소 경계에서 소멸되는 고차 다항식)을 추가로 고려한다. 다음 이미지는 이러한 기능(단일 요소에 제한됨)을 보여준다.

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  정점 함수.

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  에지 함수.

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  얼굴 기능.

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  버블 함수.

참고: 이러한 모든 기능은 전체 요소 내부에 정의되어 있다!

오픈 소스 hp-FEM 코드

• 좋아, 좋아II는 유한요소법을 이용하여 부분 미분 방정식을 푸는 자유 오픈소스 라이브러리다.
• 개념: SAM, ETH 취리히(스위칠란드) 및 K 그룹에서 개발된 타원 방정식을 위한 C/C++ hp-FEM/DGFEM/BEM 라이브러리 베를린 TU(독일)에서 슈미트.
• 2dhp90, 3dhp90: 타원형 문제에 대한 포트란 코드와 L이 개발한 맥스웰 방정식. 뎀코위츠 ICES, UT 오스틴에서
• PHAML: 병렬 계층적 적응 다단계 프로젝트. 적응형 메쉬 정제 및 멀티그리드 솔루션 기법을 사용하여 분산 메모리 병렬 컴퓨터 및 멀티코어 컴퓨터의 2D 타원형 부분 미분방정식의 수치해결을 위해 미국 국립표준기술원에서 개발한 유한요소 소프트웨어.
• Hermes Project: C/C++/Python library for rapid prototyping of space- and space-time adaptive hp-FEM solvers for a large variety of PDEs and multiphysics PDE systems, developed by the hp-FEM group at the University of Nevada, Reno (USA), Institute of Thermomechanics, Prague (Czech Republic), and the University of West Bohemia in Pilsen (Czech Republic) – 헤르메스 라이브러리 상단에 구축된 Agros2D 엔지니어링 소프트웨어 포함.
• PHG: PHG는 병렬 적응형 유한요소 프로그램을 개발하기 위한 도구함이다. H-, p-, hp-fem에 적합하다. PHG는 현재 중국과학원(LSEC, CAS, China)의 컴퓨터 수학 및 과학/엔지니어링 컴퓨팅 국가 핵심 연구소에서 활발하게 개발 중이다. PHG는 적합한 사면 메쉬를 다루며 적응형 국소 메시 정교화에 이등분법을 사용하고 메시지 전달에 MPI를 사용한다. PHG는 병렬화 세부사항을 숨기고, 메쉬와 유한요소 기능에 대한 공통연산을 추상적으로 제공하여 사용자가 수치 알고리즘에 집중할 수 있도록 하는 객체 지향 설계를 가지고 있다.
• MoFEM은 임의의 근사치 수준, 서로 다른 수준의 메쉬 정교화 수준을 가진 다물리학 문제의 해결을 위해 맞춤 제작된 유한 요소 분석 코드로서 고성능 컴퓨팅에 최적화되어 있다. L2,H1,H-div 및 H-curl 공간의 이종 근사 순서와 관련된 복잡성을 관리할 수 있도록 설계됨
• 스파르셀라자드는 현재 핀란드 탐페레 대학교에서 개발된 다물리학, hp-adaptive, 사용자 친화적인 오픈소스 C++ 유한요소 도서관이다. 일반 정적 및 과도적 hpFEM을 위한 임의 순서 계층적 H1 & H-curl 기능 공간과 3D 테트라헤드라 & 2D 삼각/쿼드랑글 순응적 메쉬 정교함을 결합했다.

상용 hp-FEM 소프트웨어

• StressCheck는 hp-기능이 상세한 구조해석을 지향하는 유한요소해석 툴이다.

참조