모멘트 방법(전자석)

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

가중 잔차의 모멘트 방법과 방법이라고도 하는 모멘트 방법(MoM)^[1]은 계산 전자석의 수치 방법이다.일반적으로 주파수 영역 방법으로서,^[a] 적절한 경계 조건을 적용하여 선형 방정식의 시스템에 적분 방정식을 투영하는 것을 포함한다.이것은 종종 표면에 대해 유한 차이와 유한 요소 방법에서처럼 이산 메쉬를 사용함으로써 이루어진다.해결책은 미리 정의된 기본 함수의 선형 조합으로 표현된다. 일반적으로 이러한 기본 함수의 계수는 미지의 발견이다.그린의 기능과 갤러킨 방법은 순간의 방법에서 중심적인 역할을 한다.

많은 어플리케이션의 경우, 모멘트 방법은 경계요소법과 동일하다.^[b]그것은 전자레인지와 안테나 공학에서 가장 흔한 방법 중 하나이다.

역사

서로 다른 엔지니어링 애플리케이션에 대한 경계 요소 방법 및 기타 유사한 방법의 개발은 1960년대 디지털 컴퓨팅의 출현과 관련이 있다.^[6]이에 앞서 제2차 세계대전 당시까지 마이크로파 주파수의 공학적 문제에 가변적 방법이 적용됐다.^[7]줄리안 슈윙거와 네이선 마르쿠비츠가 각각 이 작품들을 강의 노트와 교과서로 편찬한 반면,^[8][9] 빅토르 H. 럼시는 이러한 방법들을 1954년 '반작용 개념'으로 공식화했다.^[10]그 개념은 나중에 갤러킨 방법과 동등한 것으로 밝혀졌다.^[7]1950년대 후반, Yuen Tze Lo에 의해 일리노이 대학의 전자기 이론의 수학적 방법에 관한 강좌에서 순간의 방법의 초기 버전이 소개되었다.^[11]

1960년대에 이 방법에 대한 초기 연구 연구는 K에 의해 발표되었다.메이와 J. 반 블라델.^[12]그리고 J. H. 리치몬드.^[13]같은 10년 동안 전자석의 모멘트 방법에 대한 체계적 이론은 로저 F에 의해 크게 공식화되었다. 해링턴.^[14]"모멘트의 방법"이라는 용어는 일찍이 레오니드 칸토로비치와 글렙 P에 의해 만들어졌다.해링턴은 유사한 숫자 적용을 위한 아킬로프(Akilov)를 전자파 제형에 대한 용어를 채택했다.^[15][7]해링턴은 1968년 모멘트 방법에 관한 세미날 교과서 '모멘트 메소드별 현장 연산'을 출간했다.^[14]이 방법의 개발과 레이더와 안테나 공학에서의 그것의 적응증은 관심을 끌었다; MoM 연구는 이후 미국 정부를 지원받았다.이 방법은 1980년대 후반 미국 정부가 공공영역에 공개한 수치전자학 코드와 같은 일반화된 안테나 모델링 코드가 도입되면서 더욱 대중화됐다.^[16][17]1990년대에는 고속 멀티폴과 다층 고속 멀티폴 방법을 도입하여 수백만 개의 미지의 문제에 대한 효율적인 MoM 솔루션을 가능하게 했다.^[18][19]

RF와 마이크로파 엔지니어링에서 가장 일반적인 시뮬레이션 기법 중 하나로서, 순간의 방법은 FEKO와 같은 많은 상업용 설계 소프트웨어의 기초를 형성한다.^[20]서로 다른 궤변을 가진 많은 비상업적 및 공공 도메인 코드도 이용할 수 있다.^[21]전기공학에서 사용하는 것 외에도, 순간의 방법은 빛 산란과^[22] 플라스모닉 문제에 적용되었다.^[23][24]

배경

기본개념

이종 적분 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$L(f)=g}$

여기서 L은 선형 연산자를 나타내고, g는 알려진 강제 함수를 나타내며, f는 알 수 없는 함수를 나타낸다.f는 유한한 기본 함수의 수로 근사치를 구할 수 있다($$${\displaystyle f_{}}$ n ${\$

${\displaystyle f\sum _{n}^{{n}a_{n}f_{n}}}}}$

선형성에 의해 이 식을 방정식으로 대체하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})\관련 g}$

또한 실제 용액과 대략적인 용액의 차이를 나타내는 이 식에 대한 잔차를 정의할 수 있다.

${\displaystyle R=\sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n}-g})$

모멘트 방법의 목적은 적절한 가중치 부여 또는 시험 함수를 사용하여 수행할 수 있는 이 잔차를 최소화하는 것이므로 가중 잔차의 이름 방법을 사용하는 것이다.^[25]문제에 적합한 내부 제품을 결정한 후, 그 표현은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \sum \sum _{n}^{n}\langle w_{n},L(f_{n}})\angle \ 약 \langle w_{n}g\rangle }}$

따라서 표현식은 행렬 형식으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle [\ell _{mn}][\reason _{m}]=[g_{n}]}$

결과 행렬은 흔히 임피던스 행렬이라고 한다.^[26]기본 함수의 계수는 행렬을 뒤집어서 얻을 수 있다.^[27]미지수가 많은 대형 행렬의 경우 가속을 위해 공차 구배법 등 반복적인 방법을 사용할 수 있다.^[28]실제 필드 분포는 계수 및 관련 통합에서 얻을 수 있다.^[29]MoM에서 각 기본 함수 사이의 상호작용은 시스템의 Green 기능에 의해 보장된다.^[30]

기본 및 테스트 기능

도메인에서 알 수 없는 함수의 예상 동작을 모델링하기 위해 다른 기본 함수를 선택할 수 있다. 이러한 함수는 하위섹션 또는 전역일 수 있다.^[31]기본 함수로 Dirac 델타 함수를 선택하는 것을 포인트 매칭 또는 정렬이라고 한다.이는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 이산형$$ 포인트에 경계 조건을 적용하는 것과 일치하며, 내부 제품 연산이 번거로울 때 근사치 해결책을 얻기 위해 자주 사용된다.^[32][33]다른 하위섹션 기반 기능으로는 펄스, 조각 삼각형, 조각조각 사인파 및 옥상 기능이 있다.^[31]S. Rao, D.에 의해 소개된 삼각 패치.윌튼과 A.1982년 글리송은 ^[34]RWG 기반 함수로 알려져 있으며 MoM에서 널리 사용되고 있다.^[35]연산을 가속화하고 행렬 방정식을 줄이기 위해 특성 기반 기능도 도입되었다.^[36][37]

시험과 기준 함수는 동일한 것으로 선택되는 경우가 많다. 이를 갤러킨 방법이라고 한다.^[27]응용과 연구된 구조에 따라, 시험과 기본 기능은 수렴과 정확성을 보장하고 가능한 고차 대수 특이점을 예방하기 위해 적절히 선택되어야 한다.^[38]

적분 방정식

적용 및 탐색 변수에 따라 MoM 방사선에 서로 다른 적분 또는 정수차 방정식이 사용되며, 여러 종류의 안테나 등 얇은 와이어 구조에 의한 산란도 특수 방정식으로 모델링할 수 있다.^[39]표면 문제의 경우 공통 적분 방정식에는 전기장 적분 방정식(EFIE), 자기장 적분 방정식(MFIE),^[40] 혼합 전위 적분 방정식(MCI)이 포함된다.^[41]

박선 방정식

많은 안테나 구조를 와이어처럼 근사하게 추정할 수 있기 때문에 MoM 어플리케이션에서는 얇은 와이어 방정식이 관심사다.일반적으로 사용되는 두 개의 박선 방정식은 Pocklington과 Hallén 정수-차등 방정식이다.^[42]포클링턴의 방정식은 1897년 헨리 카본 포클링턴에 의해 소개된 연산 기법보다 앞선다.^[43]원점을 중심으로 z축과 정렬된 선형 와이어의 경우 방정식은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')\왼쪽[\frac{d^{2}}{d^{2}}}+\beta ^{2}\오른쪽)G(z,z')\right]\,dz=-j\j\omegavarepsilon E_{z}^{z}^{\cext}(p=a)$

여기서 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$ 및 ${\displaystyle$ a$}$은(는) 각각 총 길이와 두께를 나타낸다$$.${\displaystyle G}$( ${\displaystyle {}^{},}$ z ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle G(z,z')}$은 여유 공간에 대한 그린의 함수다.이 방정식은 자기 프릴을 포함한 다른 흥분 체계로 일반화될 수 있다.^[44]

Hallén 적분 방정식, E에 의해 발표.1938년 할렌은 다음과 같이 주어질 수 있다.^[45]

${\displaystyle \left({\frac{d^{d^{2}}+\nump ^{2}\right)\int_{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')G(z,z')\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\inc}}(p=a)}}$

이 방정식은 포클링턴의 방정식보다 더 품행이 단정함에도 불구하고,^[46] 일반적으로 안테나 공급점에서 델타 갭 전압 변동에 제한되며, 이는 인상적인 전기장으로 표현될 수 있다.^[44]

전기장 적분 방정식(EFIE)

전기장 적분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\hat {n}}\times {\overrightarrow {E}}^{\text{inc}}({\overrightarrow {r}})={\hat {n}}\times \int _{S}\left[jk\eta {\overrightarrow {J}}({\overrightarrow {r}}')G({\overrightarrow {r}},{\overrightarrow {r}}')+{\frac {\eta }{jk}}\left\{\nabla _{s}'\cdot {\overrightarrow {J}}({\overrightarrow {r}}')\right\}\nabla 'G({\overrightarrow {r}},{\\overrightarrow{r}}\right]\,dS'}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{inc}}_{}}$ ${\$은(는) 입사 또는 인상된 전기장이다.${\displaystyle }$G${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$, r ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle G(r,r')}$은 Helmholtz 방정식의 녹색 함수이며, ${\displaystyle \eta }$은 파형 임피던스를 나타낸다$$.경계 조건은 정의된 PEC 표면에서 충족된다.EFIE는 제1종류의 프레드홀름 적분 방정식이다.^[40]

자기장 적분 방정식(MFIE)

MoM에서 일반적으로 사용되는 또 다른 적분 방정식은 자기장 적분 방정식(MFIE)으로, 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle -{\frac{1}{2}}J(r)+{\n}\time \point _{S}J(r')\time \nabla 'G(r,r')\,dS'={\n}\text}{\text}}(r)}$

MFIE는 종종 두 번째 종류의 프레드홀름 적분 방정식으로 공식화되며 일반적으로 잘 표현된다.그럼에도 불구하고, 제형은 그 용도를 제한하는 닫힌 표면을 사용해야 한다.^[40]

기타 제형식

MoM을 위한 다양한 표면 및 부피 적분 제형이 존재한다.많은 경우에 EFIE는 로렌츠 게이지 조건의 사용을 통해 혼합 전위적분 방정식(MFIE)으로 변환된다. 이는 자기 벡터 및 스칼라 전위 사용으로 특이점의 순서를 줄이는 것을 목표로 한다.^[47][48]유전체 산란 계산에서 내부 공명 문제를 우회하기 위해 복합장 적분 방정식(CFIE)과 포기오—Miller—Chang—Harrington—Wu—Tsai(PMCHWT) 제형도 사용된다.^[49]또 다른 접근방식인 부피 적분 방정식은 부피 원소의 분리가 필요하며 종종 계산적으로 비싸다.^[50]

MoM은 또한 물리적 광학^[51] 이론과 유한 요소 방법과 통합될 수 있다.^[52]

그린의 기능

마이크로 스트라이프나 패치 안테나 등 평면적으로 변형된 구조물의 전파를 분석하려면 이러한 기하학적 특성에 고유한 공간 영역 그린의 기능이 파생되어야 한다.^[48][53]그럼에도 불구하고, 이것은 소머펠트 통합 경로에 정의된 스펙트럼 그린의 함수의 역행클 변환을 포함한다.이 적분은 분석적으로 평가할 수 없으며, 그 수치적 평가는 종종 발진성 알맹이와 적분들의 천천히 수렴되는 성질 때문에 계산적으로 비싸다.^[54]준정적·표면극 구성요소의 추출에 이어, 이러한 통합은 프론의 방법이나 일반화된 기능연필법을 통해 폐쇄형 복합 지수로서 근사치를 얻을 수 있으므로, 공간 그린의 기능은 소머펠트 아이덴티티와 같은 적절한 정체성의 활용을 통해 도출할 수 있다.^[55][56][57]이 방법은 계산 전자석 문헌에 이산 복합 영상법(DCIM)으로 알려져 있는데, 그린의 기능은 사실상 복잡한 거리 내에 위치한 이산 수의 영상 쌍극점과 근사치가 되기 때문이다.^[58]관련 그린의 기능을 폐쇄형 그린의 기능이라고 한다.^[56][57]원통형 구조물에 대해서도 이 방법을 확장했다.^[59]

DCIM과의 조합뿐만 아니라 합리적인 기능 장착 방법을 사용하여 닫힌 형태 Green의 기능에 근사치를 적용할 수도 있다.^[60][61][57]또는 폐쇄형 그린의 기능은 가장 가파른 하강 방법을 통해 근사치를 구할 수 있다.^[62]단계적 배열과 같은 주기적 구조의 경우, Ewald 합계는 주기적 Green 함수의 계산을 가속화하기 위해 종종 사용된다.^[63]

참고 항목

• 경계요소법
• 특성 모드 분석
• 이산 쌍극자 근사치
• 고속 다공법
• 유한요소법
• 다단계 고속 다중 홀 방법

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Balanis, Constantine A. (2012). Advanced Engineering Electromagnetics (2 ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-58948-9.
• Chew, W. C.; Michielssen, E.; Song, J. M.; Jin, J. M., eds. (2001). Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics. Artech House. ISBN 9781580531528.
• Davidson, David B. (2005). Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83859-7.
• Gibson, Walton C. (2021). The method of moments in Electromagnetics (3rd ed.). Chapman & Hall. ISBN 9780367365066.
• Harrington, Roger F. (1993). Field Computation by Moment Methods. IEEE Press. ISBN 9780470544631.
• Kinayman, Noyan; Aksun, M. I. (2005). Modern Microwave Circuits. Norwood: Artech House. ISBN 9781844073832.