불연속 갤러킨법

응용 수학에서 불연속 갤러킨 방법(DG 방법)은 미분 방정식을 푸는 숫자 방법의 한 부류를 형성한다. 그것들은 유한 요소와 유한 볼륨 프레임워크의 특징을 결합하고 광범위한 적용에서 발생하는 쌍곡선, 타원형, 포물선형 및 혼합형 문제에 성공적으로 적용되었다. 특히 DG 방법은 전기역학, 유체역학 및 플라즈마 물리학과 같은 지배적인 1차 부품에 대한 문제에 상당한 관심을 받아왔다.

불연속 갤러킨 방법은 부분 미분 방정식을 수치적으로 해결하기 위한 기법으로 1970년대 초에 처음 제안되고 분석되었다. 1973년에 Reed와 Hill은 쌍곡 중성자 수송 방정식을 풀기 위해 DG 방법을 도입했다.

타원형 문제에 대한 DG 방법의 기원은 현대적 의미의 점프 벌칙과 같은 특징이 점차 발달되어 하나의 간행물로 거슬러 올라갈 수 없다. 그러나 초기 영향력 있는 공헌자 중에는 바부슈카, J-L 라이온즈, 요아힘 니체, 밀로시 즐라말 등이 있었다. 타원형 문제에 대한 DG 방법은 이미 Garth Baker에 의해 1977년 4차 방정식의 설정에서 논문으로 개발되었다. 아놀드, 브레지, 콕번, 마리니 등의 출판물에 타원형 문제에 대한 역사적 전개와 DG 방법의 도입에 대한 보다 완전한 설명이 제시되어 있다. Cockburn, Karniadakis, Shu가 편집한 진행량에는 DG 방법에 대한 여러 연구 방향과 과제가 수집되어 있다.

개요

연속 갤러킨(CG) 방법과 매우 유사하게 불연속 갤러킨(DG) 방법은 특정 모델 시스템의 약한 제형에 대해 공식화된 유한요소법이다. DG 방법은 준수하는 기존의 CG 방식과 달리 조각처럼 연속된 기능만을 시험하는 공간을 통해 작동하기 때문에 종종 준수 방법에 사용되는 유한 차원 내부 제품 하위 공간보다 더 포괄적인 기능 공간을 구성하기도 한다.

예를 들어 공간 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$rho$$}$에 "소스$$" 또는 "싱크"가$$ 없는 스칼라 미지의 연속성 방정식을 고려해 보십시오.

${\displaystyle {\frac {\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,}$

여기서 $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$의 플럭스다$.$

이제 공간 영역 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$에 대한 불연속 조각 다항식 함수의 유한 차원 공간을 고려해 보십시오. Ω h ${\$_{h$\},$ 로 표기된$$ 이산 삼각 측량 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ {\displaystyle \Oomega_${h}$

${\displaystyle S_{h}^{p}(\Oomega _{h}}=\{v_{{v_}}}\\Oomega_{p})(\Oomega _{e_{i}})\\\\ for \all \Oomega _{e_}}\}}}}}}}}}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle p^{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {e{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$) ${\displaystyle P^{p}(\Oomega _{e_{i}})$에 대해,$$$\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {e{}_{}}_{}}$ i ${\$ \Ema $_{i}}$ 요소 위에$$$$ $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle i$보다 도수가 작거나 같은 다항식 공간$$. 그런 다음 유한요소 $형상함수{\displaystyle {}_{}}$ N ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P^{}}$ ${\$}\$in P$^{p$}}$에 대해 용액은$$ 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \rho_{h}^{i}=\sum _{j=1}^{j=1}{dofs}\rho_{j}^{j}{j}}^{j}}}}}}}}}}, {\boldsymboll{x}}}}}}}}}}}}}에 대해 \quad.}$

그런 다음 마찬가지로 검정 함수를 선택하십시오.

${\displaystyle \varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},}$

연속성 방정식에 $\phi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle h_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$를 곱하고 공간 내의 부품별로 통합하면 반분산 DG 공식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.}$

스칼라 쌍곡선 보존법

스칼라 쌍곡선 보존법은 형식이다.

${\displaystyle {\begin}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&#0\qad t}0,\,x\in \R}\u(0,x)&={0}(x)\end{liged}}}}}}}}}}$

여기서 알 수 없는 스칼라 함수 $u{\displaystyle u(t}$ ${\displaystyle ,}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle u\equiv u(t,x)}$와$$$f{\displaystyle }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 함수들이 일반적으로 주어진다$$.

공간 디스커버리징

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -space는$$ 다음과 같이 디스코트된다.

${\displaystyle \mathb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\...\quad I_{k}:=\왼쪽(x_{k},x_{k+1}\오른쪽)\쿼드 {\text{for}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,}$

게다가, 우리는 다음과 같은 정의가 필요하다.

${\displaystyle h_{k}=I_{k} \...\quad h:=\sup _{k}_{k}\}\quad {\x}_{k}=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,}$

기능공간의근거

솔루션 ${\displaystyle u}$의 기능 공간에 대한 기본 표현을 도출한다$.$ 함수 공간은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle S_{h}^{p:=\\좌측\lbrace v\in L^{2}(\mathb {R} ):v{\Big }_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad{\text}}\quad p\in \mathb {N} _{0}\}$

여기서 v ${\displaystyle I_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$v$}_{$$I_{k}}}$은(는) ${\displaystyle v_{}}${\$displaystyle I_{k}}$ $간격$에 대한$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$v}의 제한을 나타내며$$$,$ ${\displaystyle p_{}}$ p ${\$은 최대 $도{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$의 다항식 공간을 나타낸다$$$.$ 인덱스 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 제공한 기본 디스커트화와의 관계를 표시해야 한다$$.$_{k$ $여기$서 v ${\displaystyle v}$이(가) 교차로 지점$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}{}_{}}$) ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에서 고유하게 정의되지 않는다는$$ 점에 유의하십시오$.$

처음에는${\displaystyle }$[ - 1, 1${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle[-1,1]}$ 간격에 특정 다항식 기반을 사용하며$,$ 레전드레 다항식$({\displaystyle P_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) $0$ N 0$${\$displaystyle(P_{n})_{n\$in \$mathb {N} _{$0$\},$ 즉}, .

${\displaystyle P_{0}=1\...\quad P_{1}(x)=x\\2}(x)={\frac{1}{1}{1}:{1}{1}(3x^{2}-1)\\\quad \dots }}}$

특히 직교 관계 참고

${\displaystyle \left\langle P_{i}P_{j}\right\angle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}\delta _{ij}\quad \all \,i,j\in \mathb {N} _{0}\,}$

간격$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1$에 대한 변환과 표준화는 함수$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 의해 달성된다.

${\displaystyle \varphi _{i}(x):={\sqrt{2i+1}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1]\}$

정형외과적 관계를 충족시키는

${\displaystyle \left\langle \varphi _{i}\varphi _{j}\right\angle _{L^{2}([0,1])}}=\delta _{ij}\quad \all \,i,j\in \mathb {N} _{0}\,}$

간격 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대한 변환은 ($$ $bar$k${\displaystyle {{}_{}{k}_{}}_{}}$ { i ) i {\$displaystyle \left({\barpi }}}_{ki}\$ri})$_{i}}}}$에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\barpi }}_{ki:={\frac{1}{\sqrt{h_{k}}}\varphi _{i}\{i}\좌측({\frac {x-x_{k}}}\우측)\quad {\text{for}}\{quad x\in I_{k}\}\}}}}$

어느 정도 충족되는

${\displaystyle \left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.}$

$∞{\$ -정상화에$$ 대해서는 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ i ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle h\sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{k_{}}{\stackrel{}{}}_{}\sqrt{{}_{}}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 정의한다.$={\sqrt{h_{k}}{\bar{\barpi }}}}}{{ki$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$ ${\$}:{1$}}-$정상화에$$ $대해{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{~}}_{}}$ ~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ :${\displaystyle }$1 ${\displaystyle \frac{\sqrt{h_{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}_{}}}{}{\stackrel{}{}\phi }_{}}$ k ${\$$={\frac{1}{\sqrt{h_{k}}}{\barpi }}}{{ki}}}, s$t.

${\displaystyle \varphi _{ki}\{L^{\\inflt }(I_{k}})=\\varphi _{I}\{L^{\inflt }([0,1]))}}=:c_{i,\infit }\quad {\text{and}}\quad \\\qlade {\\barphi }}}}}}\{L^{1}(I_{k})=\\\varphi _{i}\{L^{1}([0,1)}}=:c_{i,1}\,.}$

마지막으로 솔루션 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 기본 표현을 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{정렬}}}$

여기서 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$는 인터페이스 위치에서 정의되지 않는다는 점에 유의하십시오$$.

게다가, 프리즘 베이스는 평면형 구조물에 사용되며, 2-D/3-D 혼합이 가능하다.

DG-구성표

보존법은 시험기능을 곱하고 시험구간에 대한 통합으로 그 취약한 형태로 변모한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\partial _{t}u+\partial _ᆮf(u)&, =0\\\Rightarrow \quad\left\langle\partial _{t}u,v\right\rangle _ᆰ(I_{k})}+\left\langle\partial _ᆱf(u),v\right\rangle _ᆲ(I_{k})}&=0\quad{\text{에}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad\left\langle\partial _{t}u,{\tilde{\varphi}}_{해법.}\right\ra.ngle_{나는^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{정렬}}}$

부분 통합을 사용함으로써 1은

${\displaystyle {\frac {d}{\mathrm {d}{}{\mathrm {d} t}{d}}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\barphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k}){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{정렬}}}$

인터페이스에서의 플럭스는 다음과$$ 같은 수치 $플럭스{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$에 의해 근사치된다.

${\displaystyle g_{k}^{-}}-}u_{k}^{+}\}\###{k}^{k}^{pm }}=u(t,x_{k}^{k}^{\pm }}}\}}}$

여기서 ${\displaystyle u_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}}$± ${\$은(는) 왼쪽 및 오른쪽 측면 한계를 나타낸다$$. 마지막으로 DG-Scheme은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{정렬}}}$

스칼라 타원 방정식

스칼라 타원 방정식은 형식이다.

${\displaystyle {\regated}-\regated _{xx}u&=f(x)\in(a,b)\u(x)&=g(x)\,\display{\text},\computer x=a,b\end{liged}}}}}}}}$

이 방정식은 정상 상태 열 방정식이며, 여기서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은 온도가 된다$$. 공간 디스커트화는 위와 같다. 우리는 간격${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle(a,b)}$이(가) $길이{\displaystyle }$ h ${\displaystyle N$$+1}$ 간격의$$ $N{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$로 분할된$$ 것을 기억한다$.$

$점프$${\displaystyle }$[${\displaystyle }$jump ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [{}\cdot {}]$ 및 노드$$${\displaystyle }$x ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ $\{}\$$cdot$ 평균 기능$$$:$

${\displaystyle [v]{{x_{k}^{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}}{x_{k}}}}}}=0.5(v(x_{k}^{k}-})+v(x_{-}).$

내부 페널티 불연속 갤러킨(IPDG) 방법은 다음과 같다: find $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$ 충족$$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h}}=\ell(v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})}$

여기서 이린어는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\partial \mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 형성한다$$.

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}}$

그리고

${\displaystyle A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}}$

선형 형태 ${\displaystyle \ell }$과${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${$${\$displaystyle \ell$ _${\partial$ }은$($는) 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \ell(v_{h})=\int_{a}^{b}fv_{h}}}$

그리고

${\displaystyle \ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}}$

패널티 파라미터 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$은(는) 양의 상수다$$. 그것의 가치를 높이면 불연속 용액의 점프를 줄일 것이다. 대칭 내부 페널티 갤러킨 방법의 경우$$ $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$이라는 용어는${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$과 같도록 선택되었으며 비대칭$$ 내부 페널티 갤러킨 방법의$$ 경우${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$+1}과 같다.

직접불연속 갤러킨법

직접 불연속 갈레르킨(DDG) 방식은 확산 문제 해결을 위한 새로운 불연속 갈레르킨 방식이다. 2009년 류씨와 옌볜은 확산방정식 해결을 위한 DDG 방식을 처음 제안했다.^[1][2] 이 방법은 불연속 갤러킨법과 비교했을 때 이 방법이 갖는 장점은 직접 불연속 갤러킨법이 중간 변수를 도입하지 않고 함수의 수치유속과 첫 번째 파생항목을 직접 취함으로써 수치형식을 도출한다는 것이다. 우리는 여전히 이 방법을 사용함으로써 합리적인 수치의 결과를 얻을 수 있고, 파생 과정이 더 간단하고, 계산량이 크게 줄어든다.

직접 불연속 유한요소법은 불연속 갤러킨법의 한 분야다.^[3] 주로 문제를 변동형식으로 변환, 지역단위 분할, 기본함수 구성, 불연속 유한요소 방정식 형성 및 해결, 수렴 및 오차분석 등이 포함된다.

예를 들어, 비선형 확산 방정식을 생각해 보십시오. 1차원:

${\displaystyle U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)}$, in which ${\displaystyle U(x,0)=$$U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)}$

공간 디스커버리징

먼저$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle I{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$- ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle \mathrm{1...}}$${\$$I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{1}:{2}}},\x_{j+{\frac{1}{1}:{1}}\right),j=1...$${\displaystyle N_{}}$$\right\}}$ 및$$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$- ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\$+{1}\$frac{1}:{2}}-x_{j-{\frac{1$}:{1}2$\}\}.$ 따라서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 공간 분석을 완료했다$.$ 또한 x= j< x ${\$를 정의한다

$우리$는 $U{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ U}에 대한$$ 근사치 $u{\displaystyle }$ ${\$$}$을(를) 찾기를 원하며$$, $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ $∈$[$0,T\오른쪽],$$u{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x ${\$ {$V}$$_{\deltax$},$$.

${\$$=\\좌측\{v\in L^{2}\좌측(0,1\우측):$${v }_{I_{j}}\in P^{k}\왼쪽(I_{j}\right),\j=1,...$$,N\\right$ ${\displaystyle P^{}{I}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ P$^{k}\왼쪽(I_{j}\right})$은 K {\$displaystyle k}$에서 $등급$이 ${\displaystyle k}$보다 낮은$$ $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 다항식 공간이다$.$

계획의 공식화

플럭스: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle :=}$ h (${\displaystyle }$U${\displaystyle }$, ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$)${\displaystyle }$= a${\displaystyle }$( U${\displaystyle }$) ${\displaystyle U_{}}$ x ${\$rift$)(오른쪽)=a\left(U\right)$$U_{x$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$: 방정식의 정확한 해법.

다음 방정식을 얻으려면$$ 평활 함수 $v{\displaystyle {v\mathrm{}}^{}}$ H ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ,${\displaystyle 1}$) ${\$오른쪽$)$으로 곱하십시오.

${\displaystyle \int_{I_{j}}}$$U_{t}vdx-h_{j+}{\frac {1}{1}:{2}}:v_{j+{\frac {1}{1}:{2}}:}+h_{j-{\frac {1}{1}}}+\int a\좌측(U\right)$$U_{x}v_{x}dx=0}$,

${\displaystyle \int _{I_{j}U\좌측(x,0\우측)v\좌측(x\우측)dx=\int _{I_{j}}}U_{0}\왼쪽(x\오른쪽)v\왼쪽(x\오른쪽)dx}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은 임의로, 방정식의 정확한$$ $해법{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$은 대략적인 해법 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$로 대체된다$.$ 즉, 우리가 필요한 수치 해법은 미분 방정식을 풀어서 얻는다.

수적 플럭스

DDG 방법의 정확성을 위해서는 적절한 수적 플럭스를 선택하는 것이 중요하다.

수치 유량은 다음 조건을 만족시킬 필요가 있다.

♦ $h{\displaystyle }$= b (${\displaystyle u_{}}$) ${\displaystyle x_{}}$= a (${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle u{}_{}}$ x ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$ h$={b\left(우측)}_{x}=a\$left$(우측)u_{x}}}$와 일치한다.

♦ x ${\displaystyle j_{}}$+ ${\displaystyle {\frac{1}{}}_{}}$ 2 ${\$2}}: 숫자 플럭스는 단일 값에서 보수적이다$.$

♦ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2$}}$$-안정성$$;

③ 방법의 정확도를 높일 수 있다.

따라서 수적 플럭스에 대한 일반적인 계획은 다음과 같다.

${\displaystyle {\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]}$

이 플럭스에서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 인접한 두 계산 단위에서 다항식의 최대 순서다$$. ${\displaystyle 【】}$ $[\$은(는) 통합 기능이다$$. Note that in non-uniform grids, ${\displaystyle x}$ should be ${\displaystyle \left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)}$ and ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$ in uniform grids.

오차 추정치

정확한 솔루션 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$과(와) 숫자 솔루션 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 사이의 오류가 ${\displaystyle e}$= ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e=u-U}$임을$$ 표시하십시오.$$

우리는 다음과 같은 규범으로 오차를 측정한다.

${\displaystyle \left \left \left v(\cdot ,t)\right \right \right ={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}}$

and we have ${\displaystyle \left \left \left U(\cdot ,T)\right \right \right \leq \left \left \left U(\cdot ,0)\right \right \right }$,${\displaystyle \left \left \left u(\cdot ,T)\right \right \right \leq$$\왼쪽 \왼쪽 \왼쪽 U(\cdot ,0)\오른쪽 \오른쪽 \오른쪽 \}$

참고 항목

• 갤러킨법

참조

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• G. Baker, 부적합 원소를 사용한 타원 방정식의 유한 요소 방법, 수학. 계산서 31 (1977), 번호 137, 45–59.
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• W. Mai 등, "비교 오류를 제어하는 2-D/3-D 하이브리드 불연속 Galerkin 시간 영역 방법에 대한 간단한 업데이트 기준" IEEE Trans. 전자레인지. 이론 기술, 제66권, 제4권, 페이지 1713–1722, 2018년 4월.
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