그라데이션 디스트리밍 방법

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수치 수학에서 GDM(Gradient Discretation method)은 선형 또는 비선형, 정상 상태 또는 시간에 의존하는 다양한 종류의 확산 문제에 대한 고전적이고 최근의 수치 체계를 포함하는 체계다. 계획은 적합하거나 부적합할 수 있으며 매우 일반적인 폴리곤 또는 다면 메쉬에 의존할 수 있다(또는 메쉬가 없을 수도 있다).

GDM의 정합성을 입증하기 위해 몇 가지 핵심 특성이 필요하다. 이러한 핵심 특성은 선형 또는 비선형 타원형 및 포물선 문제에 대한 GDM의 완전한 수렴을 가능하게 한다. 고정 또는 일시적 선형 문제의 경우 GDM에 특정한 세 가지 지표(수량 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\$ ${\displaystyle S_{}}$ $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {WD}_{}}$ ${\$ 참조$)$를 기반으로 오류 추정치를 설정할 수 있다. 비선형 문제의 경우, 입증은 압축성 기법에 기초하며, 솔루션이나 모델 데이터에 대한 비물리적 강한 정규성 가정을 요구하지 않는다.^[2] GDM의 그러한 수렴 증명이 수행된 비선형 모델은 용해 물질, 다공성 매체에서의 2상 흐름을 모델링하는 스테판 문제, 지하수 흐름의 리차드 방정식, 완전 비선형 Leray—Lions 방정식으로 구성된다.^[3]

GDM 프레임워크에 들어가는 어떤 계획도 이 모든 문제들에 수렴하는 것으로 알려져 있다. 이는 특히 유한요소, 혼합 유한요소, 비적합 유한요소 및 보다 최근의 계획인 경우 불연속 갤러킨 방법, 혼합 미매틱 방법, 혼합 미매틱 방법, 노달 미매틱 유한차 방법, 일부 이산 이중성 유한 체적 체계 및 일부 다점 플럭스 근사치에 적용된다.에임즈

선형 확산 문제의 예

균일한 디리클레 경계 조건의 경계 열린 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ Ω ⊂${\displaystyle }$R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 \Oomega \subset \mathb{R} ^d$에서 포아송 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle -\Delta {\overline{u}=f,}$

(1)

여기서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$f\$in$L^{$2}(\Oomega$ $)\}.$ 이 모델에 대한 일반적인 취약 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mbox{Find }}{\overline {u}}\in H_{0}^{1}(\Omega ){\mbox{ such that, for all }}{\overline {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega ),\quad \int _{\Omega }\nabla {\overline {u}}(x)\cdot \nabla {\overline {v}}(x)dx=\int _{\Omega }f(x){\overline {v}}(x)dx.}$

(2)

간단히 말해서, 그러한 모델의 GDM은 유한차원 공간과 두 개의 재구성 연산자(함수를 위한 하나, 구배를 위한 하나)를 선택하고 (2)의 연속 요소 대신에 이러한 이산 원소를 대체하는 것으로 구성된다. 보다 정확히 말하면 GDM은 다음과 같은 경우 $3중{\displaystyle }$ D${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$, 0 ,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ )${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D$인 GD를 정의함으로써 시작한다.

• 이산 미지의 집합 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D,}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$은 유한 치수 실제 벡터 공간이다.
• the function reconstruction ${\displaystyle \Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )}$ is a linear mapping that reconstructs, from an element of ${\displaystyle X_{D,0}}$, a function over ${\displaystyle \Omega }$,
• the gradient reconstruction ${\displaystyle \nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )^{d}}$ is a linear mapping which reconstructs, from an element of ${\displaystyle X_{D,0}}$, a "gradient" (vector-valued function) over ${\displaystyle \Omega }$. This gradient reconstruc$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{L\mathrm{}}^{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {{}^{}\mathrm{\Omega }{}^{}}_{}}$) ${\displaystyle {d^{}}_{}}$ ${\$이 ${\displaystyle X_{}}$ D${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$에 표준이 되도록$$ tion을 선택해야 한다$.$

(2)의 근사치에 대한 관련 Gradient Scheme은 다음과 같이$$ 제공된다: $u{\displaystyle }$find ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$

${\displaystyle \all v_{D,0},\qquad \int _{\Oomega }\\nabla _{D}u(x)\cdot \nabla _{D}v(x)dx=\int _{\Oomega }f(x)\\\\Pi _{D}v(x)dx.}$

(3)

이 경우 GDM은 부적합한 유한요소법을 포함하는 (2)의 근사치에 대한 부적합한 방법이 된다. GDM 프레임워크에 함수 ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \nabla _{D}u}$을(를)$$display D u {\$displaystyle$\Pi _{D$}u$ 함수에서 계산할 수 없는$$ 메서드가 포함되어 있다는 점에서 역수가 참이 아니라는 점에 유의하십시오.

다음 오류 추정치는 G. Strate의 두 번째 보조정리로부터 영감을 받아,^[5] 유지된다.

${\displaystyle W_{D}(\nabla {\overline {u}})\leq \Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\leq W_{D}(\nabla {\overline {u}})+2S_{D}({\overline {u}}),}$

(4)

그리고

${\displaystyle \vert{\overline{u}-\Pi _{D}-{D}\{L^{2}(\Oomega )}\leq C_{D}W}(\nabla {\overline {u}})+(C_{D}+1)S_{D}({\overline {u}),}$

(5)

정의:

${\displaystyle C_{D}=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\Vert \Pi _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )}}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

(6)

강제성을 측정한다(폐쇄 푸앵카레 상수).

${\displaystyle \forall \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega ),\,S_{D}(\varphi )=\min _{v\in X_{D,0}}\left(\Vert \Pi _{D}v-\varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla _{D}v-\nabla \varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\right),}$

(7)

보간 오류를 측정하는 거야

${\displaystyle \forall \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega ),\,W_{D}(\varphi )=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\left \int _{\Omega }\left(\nabla _{D}v(x)\cdot \varphi (x)+\Pi _{D}v(x)\operatorname {div} \varphi (x)\right)\,dx\right }{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

(8)

적합성의 결함을 측정한다.

근사 오차의 다음과 같은 상한과 하한을 도출할 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\begin{aigned}&#{\frac {1}{1}:{2}}[S_{D}({\overline {u}})++W_{D}(\nabla {\overline{u})]\\&\leq &\Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\\&\leq &(C_{D}+2)[S_{D}({\overline{u}})+W_{D}(\nabla {\overline{u})].\end{정렬}}}$

(9)

그 다음 방법의 수렴에 필요하고 충분한 핵심 특성은 다음 절에서 정의한 GD 계열의 강제성, GD 일관성 및 한계적합성 특성이다. 보다 일반적으로 이 세 가지 핵심 특성은 선형 문제와 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -Laplace$$ 문제와 같은 일부 비선형 문제에 대한 GDM의 수렴을 입증하기에 충분하다. 비선형 확산, 퇴화된 포물선 문제 등 비선형적인 문제에 대해서는 다음 절에 요구될 수 있는 다른 두 가지 핵심 특성을 추가한다.

GDM의 융합이 가능한 핵심 특성

(${\displaystyle D_{}}{\displaystyle }$m${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) m$m$ N ${\$m}_${m\in \m$\in{$N}}}}}}}}}}$은(일반적으로 크기가 0인 일반 메쉬의 순서와 관련됨) 위에 정의된 GD 계열이다$$.

강제성

시퀀스${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{Dm}_{}}_{}}$ ) ${\displaystyle {m\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$에 의해 정의됨)는 경계를 유지한다.

GD-일관성

For all ${\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$, ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}$ (defined by (7)).

한계적합성

For all ${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$, ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}$ (defined by (8)). 이 재산은 강제적인 속성을 내포하고 있다.

콤팩트함(일부 비선형 문제에 필요)

For all sequence ${\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$ such that ${\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}$ for all ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ and ${\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$$$ 경계가 지정되면 시퀀스$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {{Dm}_{}}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ m${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {m\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$은($으$) $){\displaystystyle L^{2}(\Obega )})$에서 비교적 콤팩트하다.$$

조각상수 재구성(일부 비선형 문제에 필요)

${\displaystyle {}_{}}$D = (${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}}$ D${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ D${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$) {\$displaystyle D=(X_{D,0$},\$Pi _{$D},\$nabla _{$D}}}을(를) 위에서 정의한 그라데이션 디스트리뷰테이션이 되게$$ 하라. The operator ${\displaystyle \Pi _{D}}$ is a piecewise constant reconstruction if there exists a basis ${\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}$ of ${\displaystyle X_{D,0}}$ and a family of disjoint subsets ${\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}$ of ${\displa$$ystyle \Omega }$ such that ${\textstyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$ for all ${\textstyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$, where ${\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}$ is the characteristic funct${\displaystyle {\Omega }_{}}$ i ${\$의 이온$.$

GDM의 완전한 수렴 증명이 있는 일부 비선형 문제

위와 같은 핵심 속성이 충족될 때 GDM이 수렴할 수 있는 몇 가지 문제를 검토한다.

비선형 정지 확산 문제

${\displaystyle -\operatorname {div}(\Lambda({\overline {u})\nabla {\overline {u})=f}$

이 경우 GDM은 강제성, GD 일관성, 한계 적합성 및 소형성 특성 하에서 수렴된다.

p-p > 1에 대한 Laplace 문제

${\displaystyle -\divname {div} \좌(\pla {\overline {u}) ^{p-2}\오버라인 {\overline {u}\오른쪽)=f}$

In this case, the core properties must be written, replacing ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ by ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$, ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ by ${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ and ${\displaystyle H_{\o$$peratorname {div} }(\Omega )}$ by ${\displaystyle W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )}$ with ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$, and the GDM converges only under the coercivity, GD-consistency and limit-conformity properties.

선형 및 비선형 열 방정식

${\displaystyle \partial _{t}{\overline {u}-\operatorname {div}(\Lambda({\overline {u})\nabla {\overline {u}=f}$

이 경우 GDM은 강제성, GD 일관성(공간 문제에 적응), 한계 적합성 및 소형성(비비선형 사례의 경우) 특성 하에서 수렴된다.

퇴화된 포물선 문제

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 및$\beta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \zeta }$이(가) 저하되지 않는 Lipschitz 연속 기능이라고$$ 가정하십시오.

${\displaystyle \partial _{t}\beta({\overline {u})-\Delta \zeta({\overline {u}})=f}$

이 문제의 경우, 강제성, GD-일관성(공간 문제에 적응), 한계적합성 및 소형성 속성에 더하여 조각처럼 일정한 재구성 특성이 필요하다.

GDM인 몇 가지 수치적 방법의 검토

아래의 모든 방법은 GDM의 첫 번째 네 가지 핵심 특성(동행성, GD-일관성, 한계적합성, 콤팩트성)과 어떤 경우에는 다섯 번째 핵심 특성(부분 상수 재구성)을 만족한다.

갤러킨 방법 및 유한요소법 준수

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle V_{h}\subset H_{0}^{1$}{1$}(\Oomega )}$을(를$$) 유한기준$({\displaystyle }$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${$ display { display display display $display$ display display $display$ display display$i _{i}_{i$in I}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{i\i\}}}}}}}}}}}}}} $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 Galerkin 방법은 GDM을 정의하는 방법과 동일하다$$.

• ${\displaystyle X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathb {R}^{I}}}$
• ${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}}}$
• ${\displaystyle \nabla \{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.}$

In this case, ${\displaystyle C_{D}}$ is the constant involved in the continuous Poincaré inequality, and, for all ${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$, ${\displaystyle W_{D}(\varphi )=0}$ (defined by (8)). 그 다음에 (4)와 (5)는 세아의 보조마사가 암시한다.

The "mass-lumped" ${\displaystyle P^{1}}$ finite element case enters the framework of the GDM, replacing ${\displaystyle \Pi _{D}u}$ by ${\textstyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$, where ${\displaystyle \Omega _$${i}}$은(는) ${\displaystyle i\in I}$에 의해 색인된 정점에 있는 이중 셀로$,$ 질량 덩어리를 사용하면 조각처럼 일정한 재구성 특성을 얻을 수 있다.

부적합한 유한요소

On a mesh ${\displaystyle T}$ which is a conforming set of simplices of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, the nonconforming ${\displaystyle P^{1}}$ finite elements are defined by the basis ${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$ of the functions which are affine in any ${\displaystyle K\in T}$$(\displaystyle K\in T$ 이며, 메쉬의 주어진 면 중력 중심에서 다른 면에서는 모두 1과 0이다(이러한 유한 원소는 스톡스 및 Navier-Stokes 방정식의 근사치를 위해 [Crozeix et al]^[6]에서 사용된다. 그 다음, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{}{i}_{}}$ i$${\$displaystyle \nabla$\$psi$ _${i}}$는 각 단순x에서 동일한 조각상수함수라는 ${\displaystyle {의미}_{}}$에서$$$must{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$의 "파단된 그라데이션"으로 이해해야 한다는$$ 점을 제외하고, GDM 프레임워크는 Galerkin 방법과 동일하게 입력한다. 심플렉스 내 아핀 함수의 그라데이션까지.

혼합 유한요소

혼합 유한요소법은 두 개의 이산공간을 정의하는데 있는데, 하나는$'$의 근사치를 위한 것이고 다른$$ 하나는 u$'$의 근사치인 u'{\$displaystyle{\overline{u}$에 대한 것이고$,$^[7] 다른 하나는 이 근사치들 사이의 이산관계를 이용하여 GDM을 정의하기에 충분하다. 낮은 수준의 Raviart를 사용하여.–Thomas basis 함수를 통해 조각과 같은 상수 재구성 특성을 얻을 수 있다.

불연속 갤러킨법

불연속 갤러킨 방법은 요소에서 다른 요소로의 점프를 요구하지 않고 조각으로 된 다항 함수에 의한 근사적인 문제로 구성된다.^[8] 분산형 구배에 점프 용어를 포함시켜 GDM 프레임워크에 연결되며, 분배 의미에서의 구배 정규화 역할을 한다.

모사 유한차법 및 노달모사 유한차법

이 방법군은 [브레지 외]^[9]에 의해 도입되어 [립니코프 외]^[10]에서 완성된다. 다면 메쉬의 많은 종류를 사용하여 타원형 문제를 근사하게 계산할 수 있다. 그것이 GDM 프레임워크에 들어간다는 증거는 [Droniou et al]^[2]에서 이루어진다.

참고 항목

• 유한요소법

참조

외부 링크

• Jérronme Droniou, Robert Eymard, Tierry Gallouet, Cindy Guichard, Raphael Herbin의 Gradient Discretation 방법