강성 매트릭스

타원편미분방정식의 수치해법을 위한 유한요소법에서 강성행렬은 미분방정식의 근사해법을 확정하기 위해 풀어야 하는 선형방정식의 시스템을 나타낸다.

포아송 문제에 대한 강성 행렬

단순화를 위해 먼저 포아송 문제를 고려하겠습니다.

$\displaystyle -\displayla ^{2}u=f}$

일부 도메인 δ에서 δ의 경계에서 경계 조건 u = 0에 따릅니다.유한요소법에 의해 이 방정식을 이산화하기 위해서는 경계에서도 소실되는 δ에 정의되어 있는 일련의 기저함수₁ {θ_n, ..., θ}를 선택한다.그 후 하나는 근사치입니다.

$\displaystyle u\approx u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.}$

계수₁ u, ..., u는_n 근사치의 오차가 각 기본 함수 θ에_i 직교하도록 결정됩니다.

$\displaystyle \int _{\Omega }\varphi _{i}\varphi _{i}\varphi _{i}\varphi ^{h}\varpi ^{j}\left(\int _{\Omega }\varphi ^{h}) _varpi ^{i }}$

강성행렬은 다음과 같이 정의된 n-원소 정사각형행렬 A이다.

$\displaystyle A_{ij}=\int _{\Omega}\cdot \cdla \varphi _{i}\cdot \cdla \varphi _{j},cdot}$

$성분{}_{}$ $F_{}$ i $=$ δ${}_{}{\delta }_{}$ i $d$ {\$textstyle F_{i$}=\$int$ _${\Omega}\varphi$ _${i}f,bram$로 벡터 F를 정의함으로써 계수_i u는 선형계 Au = F로 결정된다.강성 행렬은 대칭이다.A_ij = A이므로_ji 모든 고유값은 실수입니다.또한 엄밀하게 양의 행렬이므로 Au = F계에는 항상 고유한 해답이 있습니다(다른 문제에 대해서는 이러한 좋은 성질이 손실됩니다).

강성 매트릭스는 도메인에 사용되는 계산 그리드와 사용되는 유한 요소의 유형에 따라 달라집니다.예를 들어, 부분적 2차 유한 요소를 사용할 때의 강성 행렬은 부분적 선형 요소보다 자유도가 더 높습니다.

다른 문제에 대한 강성 매트릭스

다른 PDE의 강성 매트릭스 판정은 기본적으로 동일한 절차를 따르지만 경계 조건 선택에 따라 복잡해질 수 있습니다.좀 더 복잡한 예로, 타원 방정식을 생각해 보자.

${\displaystyle -\sum _{k,l}{\frac x_{k}}{\frac {\frac u}{\frac x_{l}}=f}$

여기서 A(x) = a^kl(x)는 영역의 각 점 x에 대해 정의된 양의-결합 행렬이다.우리는 로빈 경계 조건을 부과한다.

${\displaystyle -\sum _{k,l}\nu _{k}a^{frac {\frac x_{l}}=c(u-g),}$

여기서 θ는_k k번째 방향의 단위 외측 법선 벡터 θ의 성분이다.해결해야 할 시스템은

$\displaystyle \sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{}}{\frac {\frac \varphi _{k}}}{\frac \varphi _{j}{\frac x_{l}}}+int {\Omega}_Varphi}_varc}_varc } {\fi}$

그린의 정체성의 유사성을 통해 알 수 있듯이요계수_i u는 선형 방정식의 시스템을 풀어서도 찾을 수 있지만, 시스템을 나타내는 행렬은 일반적인 포아송 문제의 행렬과 확연히 다릅니다.

일반적으로, 2k 차수의 각 스칼라 타원 연산자 L에 대해, 소볼레프 공간^k H에 쌍선형 형태 B가 관련지어져 있기 때문에, 방정식 Lu = f의 약한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle B[u,v]=(f,v)}$

모든 기능 v in^k H.그러면 이 문제에 대한 강성 매트릭스는

$\displaystyle A_{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}]}$

강성 매트릭스의 실제 조립

컴퓨터에 유한요소법을 구현하기 위해서는 먼저 기초함수 집합을 선택하고 강성행렬을 정의하는 적분을 계산해야 한다.일반적으로 도메인 δ는 어떤 형태의 메쉬 생성에 의해 분리되며, 여기서 중복되지 않는 삼각형 또는 4변수로 분할되며, 이들은 일반적으로 요소라고 불립니다.기본 함수는 각 요소 내에서 어떤 차수의 다항식이 되고 요소 경계를 가로질러 연속적으로 선택됩니다.가장 간단한 선택은 삼각형 요소의 경우 부분 선형, 직사각형 요소의 경우 부분 쌍선형입니다.

요소_k T에 대한 요소 강성 행렬^[k] A는 행렬이다.

$\displaystyle A_{ij}^{k}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \cdot \varphi _{j},cdot}$

요소 강성 행렬은 대부분의 i 및 j 값에 대해 0이며, 이에 대응하는 기저 함수는 T 내에서_k 0이다.완전 강성 행렬 A는 요소 강성 행렬의 합입니다.특히 국소적으로만 지원되는 기준 함수의 경우 강성 행렬은 희박합니다.

기준 함수의 많은 표준 선택, 즉 삼각형의 부분 선형 기준 함수의 경우 요소 강성 행렬에 대한 간단한 공식이 있다.예를 들어, 부분 선형 요소의 경우 정점이 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)인 삼각형을 고려하여 2×3 행렬을 정의합니다.

$({displaystyle D=\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{2}-y_{2}-{1}-y_{1}-y_{2}-{1}-y_{1}-{1}-y_{1}-{3}-y_{2}-{1}-y_{\endmatrix})}$

그러면 요소 강성 매트릭스는

$({displaystyle A^{[k]}=frac {D^{\mathsf {T}}D}{4\operatorname {area}(T)}}).}$

미분방정식이 더 복잡할 경우, 예를 들어 불균일한 확산계수를 갖는 것으로써 요소강성행렬을 정의하는 적분을 가우스 직교로 평가할 수 있다.

강성 매트릭스의 조건 번호는 수치 그리드의 품질에 따라 크게 달라집니다.특히, 유한 요소 메쉬에서 작은 각도를 가진 삼각형은 강성 행렬의 큰 고유값을 유도하여 솔루션 품질을 저하시킨다.

레퍼런스

• Ern, A.; Guermond, J.-L. (2004), Theory and Practice of Finite Elements, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0387205748
• Gockenbach, M.S. (2006), Understanding and Implementing the Finite Element Method, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 0898716144
• Grossmann, C.; Roos, H.-G.; Stynes, M. (2007), Numerical Treatment of Partial Differential Equations, Berlin, Germany: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-71584-9
• Johnson, C. (2009), Numemerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Dover, ISBN 978-0486469003
• Zienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L.; Zhu, J.Z. (2005), The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6th ed.), Oxford, UK: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750663205