근본적 해결 방법

과학적 계산과 시뮬레이션에서, 기초적 해결 방법(MFS)은 기초적인 해답을 기본 함수로 사용하는 것에 기초하여 부분 미분 방정식을 푸는 기법이다. MFS는 또한 지배 방정식을 충족시키기 위해 근본적인 해결책을 사용하는 경계 요소 방법(BEM)의 주요 단점을 극복하기 위해 개발되었다. 따라서 MFS와 BEM은 모두 경계 소멸 수치 기법이며 계산 복잡성을 1차원적으로 감소시키고 무한 영역, 박벽 구조, 역방향 프로의 해법에 대한 유한 요소 및 유한 볼륨 방법과 같은 도메인 유형 수치 기법보다 특정 에지를 가지고 있다.삐걱거리다

BEM과 대조적으로, MFS는 단일한 기본 솔루션의 수치적 통합을 피하며, 내재된 메쉬프리 방법이다. 그러나 이 방법은 물리적 영역 밖의 논란의 여지가 있는 가상의 경계를 기본 해결책의 특이성을 회피하도록 요구함으로써 타협하게 되는데, 이는 실제 문제에 대한 그 적용 가능성을 심각하게 제한해 왔다. 그러나 그럼에도 불구하고 MFS는 무한 도메인 문제와 같은 일부 응용 분야에서는 매우 경쟁력이 있는 것으로 밝혀졌다.

MFS는 또한 문헌에서 전하 시뮬레이션 방법, 중첩 방법, 담수화 방법, 간접 경계 요소 방법, 가상 경계 요소 방법 등 다른 이름으로도 알려져 있다.

MFS 제형

특정 유형의 문제를 관리하는 부분 미분 방정식을 고려하십시오.

$\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\\ \left(x,y\right)\in \Oomega ,}$

$\displaystyle u=g\좌(x,y\오른쪽),\\좌(x,y\오른쪽)\partial \Oomega_{D}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}=h\left(x,y\right)\\\partial \Oomega_{N}$

where ${\displaystyle L}$ is the differential partial operator, ${\displaystyle \Omega }$ represents the computational domain, ${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$ and ${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$ denote the Dirichlet and Neumann boundary, respectively, ${\$$displaystyle \partial$ \$Oomega_{D}\cuppartial \partial$ \$Oomega$_$$$\{{\displaystyle \mathrm{}}$$N}=\partial$ \$partial \Oomega$ $\backslash$$partial$\Oomega $_{N}=\varnothing}.$

MFS는 다음과 같이 알 수 없는 함수 u의 근사치를 나타내기 위해 연산자의 기본 솔루션을 기본 함수로 채택한다.

${\displaystyle {{u}^{*}}\왼쪽(x,y\오른쪽)=\sum \limits _{i=1}^{{N}\알파 _{i}\phi \left(r_{i}\오른쪽)}}$

where ${\displaystyle r_{i}=\left\ \left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\ }$ denotes the Euclidean distance between collocation points ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ and source points ${\displaystyle \left(sx_$${i}sy_{i}\$$right{\displaystyle }$$},$,(${\displaystyle ()}$ ${\$은(는) 충족시키는 기본 솔루션이다$$.

$L\phi =\delta \,}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 Dirac 델타 함수를 나타내며$$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 알 수 없는 계수다.

소스 지점이 물리적 영역 외부에 위치하면 MFS는 기본 솔루션 특이성을 피한다. 근사치를 경계조건으로 대체하면 다음과 같은 행렬 방정식이 산출된다.

$왼쪽[{\displaystyle \left]\phi \left(\왼쪽.r)_{j}\right _{x_{i}}y_{i}\right)\\\\\\\\\frac {\fraci \phi \left(\왼쪽.r)_{j}\right _{x_{k}}\y_{k}\right)}{\\nd{{k}\\\end{nd}\cdot\\\\\\cdot\\\\\\\\\\\cdot \\\\\\cdot\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cd}\cd}\cd}\h\left(x_{k},y_{k}\오른쪽)\\\end{prot}\오른쪽),}$

여기서 (${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\$${\displaystyle i_{}}$$}\right)}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\$는 디리클레트와 너만 경계에서 각각 정렬 지점을 나타낸다. 알 수 없는 계수 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 위의 대수 방정식에 의해 고유하게 결정될 수 있다$$. 그리고 나서 우리는 물리적 영역의 어느 위치에서든 수치적 해결책을 평가할 수 있다.

역사와 최근의 발전

MFS의 이면에 있는 아이디어들은 주로 V. D. Kupradze와 M. A. 알렉시드제에 의해 1950년대 말과 1960년대 초에 개발되었다.^[1] 그러나 이 방법은 훨씬 후에 R에 의해 연산 기법으로 처음 제안되었다. 1970년대 말에 마튼과 R. L. 존스턴이 그 뒤를 이었고,^[2] 마튼, 존스턴, 그리고 그램 페어웨더가 지원서를 냈다. 그 후 MFS는 점차적으로 다양한 물리적 및 엔지니어링 문제를 해결하는 데 유용한 도구가 되었다.^[3][4][5][6]

1990년대에 M. A. Golberg와 C. S. Chen은 이종 방정식과 시간에 의존하는 문제를 다루기 위해 MFS를 확장하여 적용 가능성을 크게 확대하였다.^[7][8] 이후 개발에서는 MFS가 가변 계수를 갖는 부분 미분 방정식을 푸는 데 사용될 수 있음을 나타냈다.^[9] MFS는 역,^[10] 무한 영역, 자유 경계 문제와 같은 특정 등급의 문제에 특히 효과적이라는 것이 입증되었다.^[11]

경계 매듭법, 단수 경계법, 정규화된 망사 없는 방법 등 MFS에서 가공의 경계 문제를 치료하기 위한 기법이 개발되었다.

참고 항목

• 반지름 기준 함수
• 경계요소법
• 경계 매듭법
• 경계 입자법
• 단수경계법
• 정규화된 망사 없는 방법

참조

외부 링크

• 국제수치 시뮬레이션 소프트웨어 센터