메쉬의 종류

메쉬는 작은 이산 셀에 의해 더 큰 기하학적 영역을 표현한 것이다. 메시는 일반적으로 부분 미분방정식의 솔루션을 계산하고 컴퓨터 그래픽을 렌더링하며 지리적, 지도적 데이터를 분석하는 데 사용된다. 메쉬는 공간을 방정식을 해결할 수 있는 요소(또는 셀 또는 영역)로 분할하고, 그 다음 더 큰 영역에 대한 해답에 가깝다. 요소 경계는 모델 내의 내부 또는 외부 경계 위에 놓이도록 제한될 수 있다. 고품질(더 좋은 모양) 요소는 더 나은 수치 특성을 가지며, 여기서 "더 나은" 요소를 구성하는 것은 일반적인 지배 방정식과 모델 인스턴스에 대한 특정 해법에 따라 달라진다.

공통세포모양

이차원

흔히 쓰이는 2차원 세포모양에는 두 가지 유형이 있다. 이것들은 삼각형과 사각형이다.

계산적으로 열악한 원소는 내부 각도가 날카롭거나 가장자리가 짧거나 둘 다 있을 것이다.

삼각형

이 세포 모양은 3개의 면으로 구성되어 있으며 가장 단순한 망사형 중 하나이다. 삼각형 표면 망사는 항상 빠르고 쉽게 만들 수 있다. 그것은 구조화되지 않은 그리드에서 가장 흔하다.

4각형

이 세포 모양은 그림과 같이 기본 4면이다. 그것은 구조화된 그리드에서 가장 흔하다.

4각 원소는 보통 오목하거나 오목하게 되는 것에서 제외된다.

입체

기본 3차원 원소는 사면체, 사면체 피라미드, 삼각 프리즘, 육면체다. 그들은 모두 삼각형과 4각형의 얼굴을 가지고 있다.

돌출된 2차원 모델은 프리즘 및 육각형 삼각형 및 4차측측정으로 전체적으로 표현될 수 있다.

일반적으로 3차원 사각형 면은 완전히 평면적이지는 않을 수 있다. 비평면 사각형은 두 개의 인접한 원소가 공유하는 얇은 사면체량으로 간주할 수 있다.

사면체

사면체는 4개의 정점, 6개의 가장자리를 가지며 4개의 삼각면으로 경계를 이룬다. 대부분의 경우 사면체 볼륨 메쉬는 자동으로 생성될 수 있다.

피라미드

4각형의 피라미드는 5개의 꼭지점과 8개의 가장자리를 가지고 있으며 4개의 삼각형과 1개의 4각형의 면으로 경계를 이루고 있다. 이것들은 정사각형과 삼각형 면의 요소들 사이의 전환 요소들과 다른 혼합 메쉬와 그리드에서 효과적으로 사용된다.

삼각 프리즘

삼각형 프리즘은 6개의 꼭지점과 9개의 가장자리를 가지며, 2개의 삼각형과 3개의 사각형 면으로 경계를 이룬다. 이런 유형의 레이어는 경계 레이어를 효율적으로 해결한다는 장점이 있다.

육면체

위상학적 큐브인 육면체는 정점이 8개, 가장자리가 12개 있으며, 6개의 사각형 면으로 경계를 이루고 있다. 육각 또는 벽돌이라고도 한다.^[1] 같은 세포량인 경우 육면 메쉬 내 용액의 정확도가 가장 높다.

피라미드와 삼각 프리즘 구역은 계산적으로 일부 가장자리가 0으로 줄어든 퇴화된 육면체로 간주할 수 있다. 육면체의 다른 퇴화된 형태도 나타낼 수 있다.

고급 셀(폴리헤드론)

다면체(이중) 요소는 정점, 가장자리 및 면의 개수를 가진다. 일반적으로 이웃의 수(일반적으로 10개)로 인해 셀당 더 많은 컴퓨팅 작업이 필요하다.^[2] 비록 이것이 계산의 정확성으로 보충되었다.

격자 분류

구조화된 그리드

구조화된 그리드는 정기적인 연결로 식별된다. 가능한 요소 선택은 2D의 사각형, 3D의 육면체다. 이 모델은 인접 관계가 스토리지 배치에 의해 정의되기 때문에 공간 효율성이 매우 높다. 구조화되지 않은 그리드에 비해 구조화된 그리드의 다른 장점들은 더 나은 수렴과 높은 분해능이다.^{[3] [4] [5]}

비정형 그리드

비정형 그리드는 불규칙한 연결로 식별된다. 컴퓨터 메모리에 2차원 또는 3차원 배열로 쉽게 표현할 수 없다. 이것은 해결사가 사용할 수 있는 모든 가능한 요소를 허용한다. 구조화된 메시에 비해, 이 모델은 이웃 관계의 명시적인 저장을 요구하기 때문에 공간 비효율적일 수 있다. 이 격자는 일반적으로 2D로 삼각형을, 3D로 4차원을 사용한다. ^[6]

하이브리드 그리드

하이브리드 그리드는 구조화된 부분과 구조화되지 않은 부분의 혼합물을 포함한다. 구조화된 메쉬와 구조화되지 않은 메쉬를 효율적으로 통합한다. 규칙적인 기하학의 그러한 부분들은 구조화된 그리드를 가질 수 있고 복잡한 부분들은 구조화되지 않은 그리드를 가질 수 있다. 이 그리드는 그리드 선이 블록 경계에서 일치할 필요가 없다는 것을 의미하는 부적합할 수 있다. ^[7]

메쉬 품질

메쉬는 더 정확한 용액을 더 빨리 계산하면 품질이 더 높은 것으로 간주된다. 정확성과 속도가 팽팽하다. 망사 크기를 줄이면 항상 정확도가 높아지지만 계산 비용도 증가한다.

정확도는 탈고 오류와 솔루션 오류 모두에 따라 달라진다. 디스커트화 오류의 경우, 주어진 메쉬는 공간의 이산적 근사치로서 방정식이 정확히 해결되었을 때 조차도 대략적인 해결책을 제공할 수 있다.(컴퓨터 그래픽 레이 추적에서, 발사되는 광선의 수는 디스커트화 오류의 또 다른 원천이다.) 솔루션 오류의 경우, PDE의 경우 전체 메쉬에 걸쳐 많은 반복이 필요하다. 계산은 방정식이 정확히 풀리기 전에 일찍 종료된다. 메쉬 요소 유형의 선택은 디스커트화 및 솔루션 오류 모두에 영향을 미친다.

정확도는 원소의 총수와 개별 원소의 모양에 따라 달라진다. 각 반복의 속도는 원소의 수에 따라 (선형으로) 증가하며, 필요한 반복 횟수는 국소 원소의 형태와 크기에 비해 국소 솔루션 가치와 구배 등에 따라 달라진다.

용액정밀도

굵은 망사는 용액이 상수일 경우 정확한 용액을 제공할 수 있으므로, 정밀도는 특정 문제 사례에 따라 달라진다. 솔루션 그라데이션이 높은 부위에서는 메쉬를 선택적으로 정교하게 다듬어 충실도를 높일 수 있다. 요소 내에서 보간된 값을 포함한 정확도는 요소 유형과 모양에 따라 달라진다.

수렴율

각 반복은 계산된 솔루션과 실제 솔루션 사이의 오차를 줄인다. 수렴 속도가 빠르다는 것은 반복 횟수가 적으면서 오차가 작아진다는 것을 의미한다.

열등한 품질의 그물망에는 유체 흐름을 위한 경계층과 같은 중요한 특징이 누락될 수 있다. 디스커버리징 오차는 클 것이고 수렴 속도는 손상될 것이다. 해결책은 전혀 수렴되지 않을 수도 있다.

그리드 독립성

충분한 반복이 주어질 경우 디스케이트 및 솔루션 오류가 충분히 작을 경우 솔루션은 그리드에 구애받지 않는 것으로 간주된다. 이것은 비교 결과를 알기 위해 필수적이다. 메쉬 융합 연구는 원소를 정제하고 정제된 용액을 거친 용액과 비교하는 것으로 구성된다. 추가 정제(또는 기타 변경)가 용액을 크게 변경하지 않는 경우, 메쉬는 "독립 그리드"이다.

메쉬 유형 결정

정확도가 가장 중요한 경우 육각 망사가 가장 선호된다. 메쉬의 밀도는 모든 흐름 특징을 포착하기 위해서는 충분히 높아야 하지만, 동시에 흐름의 불필요한 세부사항을 포착할 정도로 높아서는 안 되며, 따라서 CPU에 부담을 주고 더 많은 시간을 낭비해야 한다. 벽이 존재할 때마다 벽과 인접한 망사는 경계층 흐름을 해결할 수 있을 정도로 미세하며 일반적으로 삼각형, 사면체, 피라미드보다 사면체, 육면체, 프리즘 세포를 선호한다. 흐름이 완전히 발달하고 1차원적인 곳에서 쿼드 셀과 육각 셀을 늘릴 수 있다.

왜도, 매끈함, 가로 세로 비율 등을 기준으로 메쉬의 적합성을 결정할 수 있다. ^[8]

왜도

격자의 왜도는 망사 품질과 적합성을 나타내는 적절한 지표다. 큰 왜도는 보간된 지역의 정확도를 떨어뜨린다. 격자의 왜도를 결정하는 방법에는 세 가지가 있다.

등변량 기준

이 방법은 삼각형과 사면체에만 적용되며 기본 방법이다.

${\displaystyle{\text}}{{\frac{\text}{최적 셀 크기{{\text}}}}}}$

정규화된 등변각으로부터의 편차에 기초함

이 방법은 모든 세포와 얼굴 모양에 적용되며 거의 항상 프리즘과 피라미드에 사용된다.

${\displaystyle{\text}{{90}}}}{\max 왼쪽[{\frace}-90}{90}},{\frac {90-\theta _{90}}}}}}}}}}}$

등각형 꼬치

질에 대한 또 다른 일반적인 척도는 등각형 스큐에 기초한다.

${\displaystyle{\text}}}}}}{\max 왼쪽[{\fracta_{max}-\theta_{e}}}{\fracta_{e}-{min}-{e}}}}}}}{\ta _{e}}}}}}}\right}}}}}}]$

여기서:

${\displaystyle {\theta m}_{}}$ a ${\displaystyle x_{}}$ $displaystyle \theta _{max}\,}$은(는) 면이나 셀에서 가장 큰 각도,

${\displaystyle {\theta m}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle \theta _{min}\,}$은(는) 얼굴이나 셀에서 가장 작은 각도,

${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ $displaystyle \theta _{e}\,}$은 등각형 얼굴 또는 셀의 각도, 즉 삼각형의 경우 60, 사각형의 경우 90이다.

'0'의 왜도는 가장 좋은 것이고, '0'의 왜도는 거의 선호되지 않는다. 육각 및 4각 셀의 경우 왜도가 0.85를 초과해서는 안 된다.

삼각형 셀의 경우 왜도는 0.85를 초과하지 않아야 하며, 사각 셀의 경우 왜도는 0.9를 초과하지 않아야 한다.

부드러움

사이즈 변화도 매끄럽게 해야 한다. 셀 크기가 갑자기 커지면 근처 노드에서 오류가 발생할 수 있으므로, 셀 크기가 갑자기 뛰지 않아야 한다.

가로 세로 비율

그것은 세포에서 가장 짧은 면에 대한 가장 긴 면의 비율이다. 이상적으로는 최상의 결과를 보장하려면 1과 같아야 한다. 다차원 흐름의 경우 1에 가까워야 한다. 또한 셀 크기의 국소적 변화는 최소여야 한다. 즉, 인접한 셀 크기가 20% 이상 달라져서는 안 된다. 가로 세로 비율이 크면 허용할 수 없는 크기의 보간 오류가 발생할 수 있다.

메쉬 생성 및 개선

망사 생성 및 그리드 생성 원리를 참조하십시오. 2차원에서 플립과 스무딩은 빈약한 망사를 좋은 망사로 적응시키기 위한 강력한 도구다. 플립은 두 개의 삼각형을 결합하여 4각형을 형성한 다음 다른 방향으로 4각형을 분할하여 두 개의 새로운 삼각형을 생성하는 것을 포함한다. 플립은 왜도와 같은 삼각형의 품질 측정을 향상시키기 위해 사용된다. 메쉬 스무딩은 메쉬 정점의 위치를 조정하여 요소 형태와 전체적인 메쉬 품질을 개선한다. 메쉬 평활에서는 메쉬의 위상이 불변으로 유지됨에 따라 선형 시스템의 0이 아닌 패턴과 같은 핵심 특징이 보존된다. 라플라시안 스무딩은 가장 일반적으로 사용되는 스무딩 기법이다.

참고 항목

• 메쉬 생성
• 비정형 그리드
• 정규 격자
• 연선 격자법

참조

외부 링크

• 유한요소 주기율표