라티스 볼츠만 방법

Lattice Boltzmann 방법(LBM)은 LGA(Lattice Gas Automata) 방법(Hardy-Pomeau-Pazis 및 Frisch-Hasslacher-Pomeau 모델)에서 유래한 것으로 유체 시뮬레이션을 위한 계산 유체역학(CFD) 방법의 일종이다. Navier를 해결하는 대신–스톡스 방정식 직접, 격자의 유체 밀도는 스트리밍 및 충돌(완화) 프로세스로 시뮬레이션한다.^[1] 이 방법은 모델 액체가 증기/액체 공존과 같은 일반적인 유체 행동을 직접적으로 모방하도록 만들어질 수 있고, 액체 방울과 같은 유체 시스템을 시뮬레이션할 수 있기 때문에 다양하다^[1]. 또한 다공성 매체와 같은 복잡한 환경의 유체는 직접적으로 시뮬레이션될 수 있는 반면, 복잡한 경계가 있는 다른 CFD 방법은 다루기 어려울 수 있다.

알고리즘.

LBM은 복잡한 유체 시스템을 위한 비교적 새로운^[when?] 시뮬레이션 기법으로, 컴퓨터 물리학에 대한 연구자들의 관심을 끌었다. LBM은 거시적 특성(즉 질량, 운동량, 에너지)의 보존 방정식을 숫자로 풀어내는 기존의 CFD 방식과 달리 가상 입자로 구성된 유체를 모델링하고, 그러한 입자는 이산 격자 위에서 연속적인 전파와 충돌 과정을 수행한다. LBM은 입자 특성과 국소 역학성 때문에 다른 기존 CFD 방식보다 여러 가지 장점이 있으며, 특히 복잡한 경계를 다루고, 미시적 상호작용을 통합하며, 알고리즘의 병렬화에서 그러하다.^{[citation needed]} 격자형 볼츠만 방정식의 다른 해석은 이산형-속도형 볼츠만 방정식의 해석이다. 그 후 부분 미분방정식 시스템의 수치적 해결방법은 이산지도를 낳는데, 이는 가상 입자의 전파와 충돌로 해석할 수 있다.

알고리즘에는 충돌과 스트리밍 단계가 있다. $이$는 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ , $){\displaystyle \rho({\vec{x},t$ x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 위치와$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt$ t$} 시간$의 밀도를 진화시킨다. 유체가 격자 위에 있으므로 밀도는 각 격자점에 연결된 격자 벡터의 수와 동일한$$ 수의 $성분{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle f_{i},i=0,\ldots ,a}$을(를) 가진다. 예를 들어, 2차원의 시뮬레이션에 사용되는 단순 격자의 격자 벡터를 여기에 나타낸다. 이 격자는 2차원과 9개의 벡터에 대해 D2Q9로 표시된다. 북, 동, 남, 서를 따라가는 4개의 벡터, 그리고 단위 사각형의 모서리에 4개의 벡터를 더하고 두 구성 요소가 모두 0인 벡터를 더한다. Then, for example vector ${\displaystyle {\vec {e}}_{4}=(0,-1)}$, i.e., it points due south and so has no ${\displaystyle x}$ component but a ${\displaystyle y}$ component of ${\displaystyle -1}$. So one of the nine components of the total density at the central lattice point, ${\displaystyle f_4}$${\displaystyle {}_{}(}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{4}({\vec{x},t)}}$은$($는) $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 남쪽, 격자 단위 속도로 이동하는 유체의 일부다.

그리고 유체를 적시에 진화하는 단계는 다음과 같다.^[1]

충돌 단계

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)-f_{i}({\vec {x}},t)}{\tau _{f}}}\,\!}$

유체의 분자 간의 충돌을 통해 평형까지 이완시키기 위한 Bhatnagar Gross와 Krook (BGK)^[2] 모델이다. ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{eq}}_{}^{}}$( ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f_{i}^{eq}({\vec {x},t)}$은 그곳의 현재 밀도에서 방향 i를 따라가는 평형 밀도다. 모델은 유체가 특정 시간 척도 ${\displaystyle {over}_{}}$ f$${\$displaystyle \tau_{f$에 걸쳐 국소적으로 평형을 유지한다고 가정한다. 이 시간 척도는 키네마틱 점도를 결정하는데, 크기가 클수록 키네마틱 점도가 크다.

스트리밍 단계

${\displaystyle f_{i}({\vec{x}}+{\vec{e}_{e}}_{t}=f_{t}}({\vec {x},t)\,\!}$

As ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$ is, by definition, the fluid density at point ${\displaystyle {\vec {x}}}$ at time ${\displaystyle t}$, that is moving at a velocity of ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ per time step, then at the next time step ${\$$displaystyle t+\point_{t}$는 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$+ ${\displaystyle e_{}}$→ i ${\$ {{$x}+{\vec{e}_{i}}}$까지 흐를$$ 것이다$.$

이점

• LBM은 저렴한 내장형 FPGA 및 DSP부터 GPU, 이기종 클러스터 및 슈퍼컴퓨터(느린 상호연결 네트워크 포함)에 이르기까지 대규모 병렬 아키텍처에서 처음부터 효율적으로 실행되도록 설계되었다. 복잡한 물리학과 정교한 알고리즘을 가능하게 한다. 효율성은 이전에는 접근할 수 없었던 문제(또는 불충분한 정확도로만)를 해결할 수 있기 때문에 질적으로 새로운 차원의 이해로 이어진다.
• 이 방법은 유체의 분자 설명에서 비롯되며 분자 간의 상호작용에 대한 지식에서 비롯된 물리적 용어를 직접 통합할 수 있다. 따라서 그것은 이론의 정교함과 그에 상응하는 숫자 모델의 형성 사이의 주기를 짧게 유지하기 때문에 기초 연구에 없어서는 안 될 도구다.
• 전체 시뮬레이션에서 작은 부분을 차지하는 시간 내에 자동화된 데이터 사전 처리 및 격자 생성.
• 병렬 데이터 분석, 후 처리 및 평가.
• 작은 물방울과 거품으로 완전히 해결된 다상 흐름.
• 복잡한 기하학적 구조와 다공성 매체를 통해 완전히 해결된 흐름
• 열 전달 및 화학 반응과 함께 복잡하고 결합된 흐름.

제한 사항

복잡한 유체 시스템을 시뮬레이션하는 데 있어 LBM의 인기가 증가하고 있음에도 불구하고, 이 새로운 접근법은 몇 가지 한계를 가지고 있다. 현재 공기역학에서 높은 마하 수 흐름은 LBM에게 여전히 어렵고, 일관된 열유체역학 체계는 존재하지 않는다. 그러나, 나비에와 마찬가지로.–스토크 기반 CFD, LBM 방법은 열전달(솔리드 기반 전도, 대류 및 방사선) 시뮬레이션 기능이 가능하도록 열특화 솔루션과 성공적으로 결합되었다. 다중 효소/다중 결합자 모델의 경우, 인터페이스 두께는 보통 크고 인터페이스 전체의 밀도비는 실제 유체와 비교할 때 작다. 최근 이 문제는 샨과 첸, 스위프트, 헤, 첸, 장에 의해 모델을 개선한 위안과 샤이퍼에 의해 해결되었다. 그들은 단순히 상태 방정식을 변경함으로써 밀도비 1000:1에 도달할 수 있었다. 고속 유체 흐름 모델링의 한계를 극복하기 위해 갈릴레이 변환을 적용하자는 제안이 나왔다.^[3] 그럼에도 불구하고, 지난 20년 동안 이 방법의 광범위한 응용과 빠른 발전은 마이크로 유체학을 포함한 계산 물리학에서 그것의 잠재력을 입증했다:^{[citation needed]} LBM은 크누드센의 높은 수 흐름 영역에서 유망한 결과를 보여준다.^{[citation needed]}

LGA 방식을 이용한 개발

LBM은 격자 가스자동화(LGA) 방식에서 유래한 것으로, 공간, 시간, 입자 속도가 모두 분리되어 있는 단순화된 가공 분자역학 모델이라고 볼 수 있다. 예를 들어, 2차원 FHP 모델에서 각 격자 노드는 삼각 격자 상의 6 격자 속도로 이웃에 연결된다. 주어진 격자 속도로 움직이는 격자 노드에 0 또는 1개의 입자가 있을 수 있다. 시간 간격 후에 각 입자는 그 방향으로 이웃한 노드로 이동한다. 이 과정을 전파 또는 스트리밍 단계라고 한다. 둘 이상의 입자가 서로 다른 방향에서 같은 노드에 도착하면 일련의 충돌 규칙에 따라 충돌하고 속도를 바꾼다. 스트리밍 단계와 충돌 단계가 번갈아 나타난다. 적절한 충돌 규칙은 충돌 전과 후의 입자 수(질량), 운동량 및 에너지를 보존해야 한다. LGA는 유체역학 시뮬레이션에 사용하기 위한 몇 가지 선천적인 결함으로 고통 받고 있다. 빠른 흐름에 대한 갈릴레이의 침입, 통계적 소음, 격자 크기에 따른 레이놀즈 수 스케일링 부족이다. 그러나 LGA는 반응 확산과 분자 역학 모델의 범위를 단순화하고 확장하는데 매우 적합하다.

LGA에서 LBM으로 전환하게 된 주된 동기는 격자 방향으로 부울 입자 번호를 앙상블 평균, 이른바 밀도 분포 기능으로 대체함으로써 통계적 소음을 제거하고자 하는 욕망이었다. 이 교체에 수반되는 이산 충돌 규칙도 충돌 운영자로 알려진 연속적인 기능으로 대체된다. LBM 개발에서 중요한 단순화는 충돌 연산자를 BGK(Batnagar-Gross-Krook) 이완 용어와 근사하게 하는 것이다. 이 격자 BGK(LBGK) 모델은 시뮬레이션을 더 효율적으로 만들고 전송 계수의 유연성을 허용한다. 한편, LBM 체계는 연속적인 볼츠만 방정식의 특별한 탈증식 형태로도 간주할 수 있는 것으로 나타났다. 채프만-엔스코그 이론에서 지배적 연속성과 나비에를 회복할 수 있다.–LBM 알고리즘의 방정식을 추출한다.

선반 및 DnQm 분류

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격자 볼츠만 모델은 입방형 및 삼각형, 그리고 이산형 분포 함수에 잔여 입자를 포함하거나 포함하지 않고 다수의 서로 다른 격자에서 작동할 수 있다.

다른 방법을 격자별로 분류하는 일반적인 방법은 DnQm 체계다. 여기서 "Dn"은 "n 치수"를, "Qm"은 "m 속도"를 의미한다. 예를 들어 D3Q15는 입방체 격자의 3차원 격자형 볼츠만 모델이며, 나머지 입자가 존재한다. 각 노드는 결정형을 가지고 있으며 15개의 노드에 입자를 전달할 수 있다. 즉, 표면을 공유하는 6개의 인접 노드, 코너를 공유하는 8개의 인접 노드,^[4] 그리고 그 자체. (D3Q15 모델에는 가장자리를 공유하는 12개의 인접 노드로 이동하는 입자가 포함되어 있지 않으며, 이러한 입자를 추가하면 "D3Q27" 모델이 생성된다.)

공간과 시간으로서의 실제 양은 시뮬레이션에 앞서 격자 단위로 변환해야 한다. 레이놀즈 수량과 마찬가지로 비차원적인 수량은 그대로 유지된다.

격자 단위 변환

In most Lattice Boltzmann simulations ${\displaystyle \delta _{x}\,\!}$ is the basic unit for lattice spacing, so if the domain of length ${\displaystyle L\,\!}$ has ${\displaystyle N\,\!}$ lattice units along its entire length, the space unit is simply defined as ${\displaystyle \delta _$${x}=L/N$ 격자형 볼츠만 시뮬레이션에서의 속도는 일반적으로 음속의 측면에서 주어진다. 따라서 이산 시간 단위는 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ t =${\displaystyle {}_{}\Delta \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{C_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ $displaystyle \delta _{t}={\fracta _{x}}{C_{s}}\,\!}$로 지정할 수 있으며$,$ 여기서 ${\displaystyle {분모}_{}}$ C s$${\$displaystyc_C_{s}}}}$는 소리의 물리적 속도다$$.^[5]

다공성 미디어 역학에서 볼 수 있는 것과 같은 소규모 흐름의 경우, 실제 음속으로 작동하면 받아들일 수 없을 정도로 짧은 시간 단계를 초래할 수 있다. 따라서 격자 마하 수를 실제 마하 수보다 훨씬 큰 수치로 올리고, 레이놀즈 수를 보존하기 위해 점도를 높임으로써 이를 보완하는 것이 일반적이다.^[6]

혼합물 시뮬레이션

이동 및 변형 가능한 인터페이스 때문에 다중 효소/다중 요소 흐름을 시뮬레이션하는 것은 항상 기존 CFD에 대한 도전이었다. 보다 근본적으로 다른 단계(액체와 증기) 또는 구성 요소(예: 기름과 물) 간의 인터페이스는 액체 분자 간의 특정 상호작용에서 비롯된다. 따라서 이러한 미시적 상호작용을 거시적 네비어(Navier)에 구현하기는 어렵다.-스토크 방정식. 그러나 LBM에서 미립자 운동학자는 충돌 연산자를 수정하여 기초적인 미세한 상호작용을 통합하는 비교적 쉽고 일관된 방법을 제공한다. 여러 LBM 다중 효소/다중 제안자 모델이 개발되었다. 여기서 위상 분리는 입자 역학으로부터 자동으로 생성되며 기존의 CFD 방식처럼 인터페이스를 조작하기 위해 특별한 처리가 필요하지 않다. 다중 효소/다중 요소 LBM 모델의 성공적인 적용은 인터페이스 불안정성, 버블/드롭릿 역학, 고체 표면의 습식, 계면 슬립, 드롭릿 전기 유압 변형 등 다양한 복잡한 유체 시스템에서 찾을 수 있다.

저마차 수 체계에서 상당한 밀도 변화를 수용할 수 있는 가스 혼합 연소 시뮬레이션을 위한 격자 볼츠만 모델이 최근 제안되었다.^[7]

이러한 측면에서 LBM은 (기존 CFD와 비교했을 때) 더 큰 필드 집합을 다루기 때문에, 반응성 가스 혼합물의 시뮬레이션은 대규모 세부 연소 메커니즘에 관한 한 메모리 수요 측면에서 몇 가지 추가적인 난제를 제시한다는 점에 주목할 필요가 있다. 그러나 이러한 문제는 체계적인 모델 축소 기법을 사용하여 해결할 수 있다.^[8][9][10]

열 격자-볼츠만 방식

현재(2009년) 열 격자-볼츠만 방식(TLBM)은 다중 속도 접근법,^[11] 수동 스칼라 접근법,^[12] 열 에너지 분배의 세 가지 범주 중 하나로 분류된다.^[13]

나비에의 파생– 이산 LBE의 방정식 강조

이산 격자 볼트만 방정식(사용되는 충돌 연산자로 인한 LBGK 방정식이라고도 함)으로 시작한다. 우리는 먼저 LBE 좌측에 대한 2차 테일러 시리즈 확장을 한다. 이는 개별 LBE를 복구할 수 없기 때문에 단순한 1차 테일러 확장보다 선택된다. 2차 테일러 시리즈 확장을 수행할 때 파생상품 제로 기간과 오른쪽 첫 번째 기간이 취소되어 테일러 확장 및 충돌 운영자의 1, 2차 파생상품 조건만 남게 된다.

${\displaystyle f_{ni}({\vec{x}}+{\vec{e}_{i}\i}\i_{t}}_{t}}}{\vec{x}},t)+{\frac {\pau _{f}}{eq}-f_{i}}}}{i}{i}}}}}}{i}}}}}}}{i}{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{i}}}}}}}}$

단순성을 위해 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f_{i}({\vec {x},t)}$을(를) ${\displaystyle f_{}}$ i ${\$로 입력하십시오$.$ 그 다음 약간 단순화된 테일러 시리즈 확장은 다음과 같으며, 여기서 ":"는 다이애드 사이의 콜론 제품이다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla f_{i}+\left({\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial t^{2}}}\right)={\frac {1}{\tau }}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

입자 분포 함수를 평형 및 비균형 성분으로 확장하고, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) Knudsen 번호인 Chapman-Enskog 확장을 사용함으로써, 테일러 확장 LBE는 다음과 같은 적절한 연속 방정식을 얻기 위해 Knudsen 번호의 다른 크기의 순서로 분해할 수 있다.

${\displaystyle f_{i}=f_{i}^{\text{eq}}+Kf_{i}^{\text{neq}},}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{neq}}=f_{i}^{(1)+Kf_{i}^{i}^{(2)+O(K^{2})}$

평형 분포와 비균형 분포는 거시적 변수에 대한 다음과 같은 관계를 만족시킨다(이러한 분포는 입자 분포에서 거시적 수준으로 스케일하기 위해 "정확한 형태"가 되면 나중에 사용된다.

${\displaystyle \rho =\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}},}$

${\displaystyle \rho {u}=\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}}{\vec{e}}}}}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}\qquad {\text{}{}}{}k=1,2,}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k){\vec{e}_{i}.}$

Chapman-Enskog 확장:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=K{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}+K^{2}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\qquad {\text{for }}t_{2}({\text{diffusive time-scale}})\ll t_{1}({\text{convective time-scale}}),}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial x}=K{\partial x_{1}.}$

확장된 평형 및 비균형을 테일러 팽창으로 $대체$하고 K ${\displaystyle K}$의 서로 다른 순서로 분리함으로써 연속 방정식은 거의 파생된 것이다$.$

$K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ K$^{0}$ 주문의 경우$$:

${\displaystyle {\frac {\frac {\f_{i}^{\text{eq}}{{1}}}}{\becc{e}}}}+{{1}f_{i}^}}}}=-{\frac {f_{i}^(1)}}}{\tau}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

$K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ K$^{1}$ 주문의 경우$$:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla f_{i}^{(1)}+{\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}^{\text{eq}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}^{\text{eq}}{\message t_{1}^{1}^{2}}=-{\frac {f_{i}^{(2){\tau }}}}.}$

그 후, 일부 대수식으로 제2 방정식을 단순화하고 제1 방정식을 다음과 같이 할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\left[{\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{(1)}\right]=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

입자 분포 함수와 위의 거시적 특성 간의 관계를 적용하면 질량과 운동량 방정식이 달성된다.

${\displaystyle {\frac {\reship \rho}{\reshold t}+\cdla \cdot \rho {\vec{u}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\vec {u}{\partial t}+\nabla \cdot \Pi =0.}$

모멘텀 플럭스 텐서 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$에는 다음과 같은 형식이 있다.

${\displaystyle \Pi_{xy}=\sum _{i}{\vec {e}_{i}}{e}}\{eq}}+\좌(1-{\frac {1}{1}{2\tau }\right)f_{i}^{{{{i}}}}}\ri}\ri}오른쪽}}}}}}},}}$

where ${\displaystyle {\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$ is shorthand for the square of the sum of all the components of ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ (i. e. ${\displaystyle \textstyle$$\left(\sum _{x}}{\vec{e}_{$ix}\$right)^{$2}=\$sum _{x$}\sum $_{y}{\vec{e}}{ix}}{\vec}}{iy}})$과 평형 입자 분포는 Navier에 필적이어야 한다.–스토크 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c_{s}^{2}}}+{\frac {({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c_{s}^{4}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2c_{s}^{2}}}\right).}$

평형 분포는 작은 속도 또는 작은 마하 숫자에 대해서만 유효하다. 평형 분포를 플럭스 텐서 안으로 다시 삽입하면 다음과 같다.

${\displaystyle \Pi \pi \{xy}^{xy}^{i}{\vec{e}}{\vec {e}_{iy}f_{i}^{eq}=p\delta _{xy}+\rho u_{y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(1)}=\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{(1)}=\nu \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

마침내, 나비에르호는–밀도 변동이 작다는 가정 하에 Stokes 방정식을 복구한다.

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {u}}_{x}}{\partial t}}+\nabla _{y}\cdot {\vec {u}}_{x}{\vec {u}}_{y}\right)=-\nabla _{x}p+\nu \nabla _{y}\cdot \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

이러한 파생은 첸과 도올렌의 작품을 따른다.^[14]

시뮬레이션을 위한 수학 방정식

The continuous Boltzmann equation is an evolution equation for a single particle probability distribution function ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ and the internal energy density distribution function ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t$$)}}($He 등)은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle \partial _{t}f+({\vec {e}\cdot \nabla )f+F\partial _{v}f=\Oomega(f),}$

${\displaystyle \partial _{t}g+({\vec {e}\cdot \nabla )G+G\partial _{v}f=\Oomega(g),}$

여기서 $g{\displaystyle (x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle i}$ ,${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$ g$({\vec$ {$x},{\vec {e}_{i$},$t$${\displaystyle \}\}}$은(는) $f{\displaystyle (x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle i{}_{}}$) ${\displaysty f({\vec {x},{\vec}_{i},t)$와 관련이 있다$$.

${\displaystyle g({\vec{x},{\vec{e}_{i}}}={\frac {({\vec {{e}-{\vec{u}})^{2}}:ff\vec {x},{\vec}_{i}},},}},},},},}$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) $외력{\displaystyle \mathrm{}}$,$Ω$ {\displaystyle $\Oomega}$은(는) 충돌 적분, $e{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ {$e}($문헌에서도$$ $\xi {\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\vec {\xi}})$은 현미경 속도다. 외부 힘 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 아래 관계에 의한 $온도{\displaystyle }$ 외부$$힘 G {\$displaystyle$ G$}$과(와) 관련이 있다$$. 자신의 모델에 대한 일반적인 테스트는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 Rayleigh-Bénard 대류다$.$

${\displaystyle F={\frac {{\vec {G}\cdot({\vec {e}-{\vec {u}})}{{\vec}}{{u}}}}{{\vec}}}}}{\vecRT}}f^{\text{eq}},}$

${\displaystyle {\vec{G}=\beta g_{0}(T-T_{avg}){\vec {k}.}$

밀도 ${\displaystyle \rho$ $\},$ 속도 $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ $온도{\displaystyle }$ T ${\displaystytle T}$와 같은 거시 변수를 밀도 분포 함수의 모멘트로 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle \rho =\int f\,d{\vec {e},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}=\int {\vec}f\,d{\vec {e},}$

${\displaystyle {\frac {\rho DRT}{2}}=\rho \epsilon =\int g\,d{\vec {e}}.}$

격자형 볼츠만 방법은 격자형 격자형 및 속도 공간(예: $e{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle x_{}{}_{}}$, e${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle y_{}}$ $){\displaystyle {\vec {e}$_{i$}=({\vec {e}_{ix},{$vec}}},{$vec}},$ {$e}_{iy})$으로 공간을 제한함으로써 이 방정식을 입증한다.$$ 예를 들어 D2Q9, D3Q15 및 D3Q19의 미시적 속도는 다음과 같이 제시된다.

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0)&i=0\\(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)&i=1,2,3,4\\(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,13,14\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\pm 1),(0,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

질량 밀도와 내부 에너지 밀도에 대한 단상 탈증식 볼트만 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle f_{x}({\vec{x}}+{\vec {e}_{i}\properties_{t}-f_{\vec},t)++F_{i}=\오메가(f),}$

${\displaystyle g_{x}({\vec{x}}+{\vec {e}_{i}\properties _{t}-g_{\vec},t)++G_{i}=\오메가(g)}$

충돌 운영자는 종종 BGK 충돌 운영자가 다음과 같은 보존 법칙을 만족한다는 조건에서 대략적으로 추정한다.

${\displaystyle \Oomega(f)={\frac {1}{\f}}(f_{i}^{\text{eq}-f_{i}),}$

${\displaystyle \Oomega(g)={\frac {1}{\tau_{g}(g_{i}^{\text{eq}-g_{i})).}$

충돌 연산자 $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{iq}}_{}^{}}$ ${\$에는 이산형 평형 입자 확률 분포 함수가^[clarify] 있다$$. D2Q9와 D3Q19에서는 D, R, T가 각각 치수, 범용 기체 상수, 절대 온도인 연속 및 이산 형태의 압축 불가능한 흐름을 이하에 나타낸다. 연속형에서 이산형까지 부분적인 파생은 단순한 파생에서 두 번째 순서 정확도를 통해 제공된다.

${\displaystyle f^{\text{eq}={\frac {\rho}}{D/2}}:e^{-{\frac {({\vec}-{\vec{u})^{2}}:{{{\vec}}}}}:{2}}:{{2}}:00}RT}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{{D/2}}e^{-{\frac{{\vec{e}}^{2}}:{2}}:{{\vec{e}}}}}}^{2}}:{{2}}:00}RT}}}e^{\frac {{\vec{e}{\vec{u}}}{{\vec{u}}}{{}}}}{RT}-{\frac {{\vec{u}}^{2}}:{2}RT}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{{D/2}}e^{-{\frac{{\vec{e}}^{2}}:{2}}:{{\vec{e}}}}}}^{2}}:{{2}}:00}RT}}}\왼쪽(1+{\frac {{\vec{e}}{\vec{u}}}}{{\vec}}{{}}}}{RT}}+{\frac{{\vec{e}}{\vec{u}}^{2}}:{2}{{2}(RT)^{2}}-{\frac {{\vec{u}^{2}}:{2}}RT}}+...\right)}$

$허용{\displaystyle }$ c${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{R}}$ T ${\$ c$={\sqrt {3$$RT}}$이(가) 최종 결과를 산출함:

${\displaystyle f_{i}^{eq}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {3{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c^{2}}}+{\frac {9({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c^{4}}}-{\frac {3({\vec {u}})^{2}}{2c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle g^{eq}={\frac {\rho({\vec}-{\vec{u}})^{2}{{D/2}}:e^{\frac{{\e}-{\vec}}}{\vec}}{{\vec}}}}}:{2}}:{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{RT}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\base}4/9&i=0\\\1/9&i=1,2,3,4\\1/36&i=5,6,7,8\\\\case}}}}}}$

${\displaystyle \i}={\case}1/3&i=0\\\1/18&i=1,2, ...5,6\1/36&i=7,8,17,18\\\\end{case}}}}}$

단일 구성 요소 흐름에서 이미 많은 작업이 수행되었으므로, 다음의 TLBM에 대해 논의한다. 멀티미디어/멀티파아제 TLBM도 단순히 하나의 구성요소보다 더 흥미롭고 유용하다. 현재 연구와 일치하려면 시스템의 모든 구성 요소 집합(예: 다공성 미디어의 벽, 다중 유체/가스 등)을 정의하십시오. ${\displaystyle }$$\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \PSI }$ 요소 ${\displaystyle {with}_{}}$ j ${\$$j}.$

${\displaystyle f_{ni}^{\bec{x}}+{\bec{e}}\properties _{t}-f_{t}^{\bec{x},t)+++F_{i}={\frac {1}{\f}^{{f}^{\sigma }}}}(f_{i}^{}^{\sigma }})(\rho ^{{\sigma }}}}, v^{\sigma }}}}}}}}$

이완 매개 $$인 ${\displaystyle f_{}^{}}$ f ${\displaystyle {j_{}}_{}^{}}$ j${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}${\$displaystyle \tau _{f$}^{{f}^{$j}\\!}$은$($는) 키네마 점성 , f ${\displaystyle {f_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $style \nu _{f}^{$j}\$sigma _{j},\!}$과(는$)$ 관계가 있다.

${\displaystyle \nu_{f}^{{f}^{j}=(\tau_{f}^{f}}{f}^{j}-0.5)c_{s}^{2}\c_{t}.}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle f_{i}\,\!}$의 순간은 해당 지역에 보존된 양을$$ 제공한다. 밀도는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \rho =\sum _{\\\sum _{i}f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho \epsilon =\sum _{i}g_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho ^{\reho}=\sum _{i}f_{i}^{\ma }\,\!}$

가중 평균 속도 $u{\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\prime }^{}}}$→ $displaystyle {\vec {u'}\,\!}$및 로컬 운동량은 다음과 같다.

${\displaystyle {\vec {u'}}=\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)/\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)}$

${\displaystyle \rho ^{\bechma ^}{\bech{u^{\bechma }}}{i}^{i}}}\sum _{i}f_{i}^{\bech{e}_{i}}}.}$

${\displaystyle v^{\sigma}={\vec {u'}+{\frac {\tau_{f}^{f}{\rho^{\sigma}}}{\vec{F}^{\sigma }}}}}}}}}}}}}}}{\vec {F}}}{\sigma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

평형 속도 v $displaystyle v^{\sigma }\,\!}$에 대한 위의 방정식에서$$$F{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\sigma }^{}}$ $displaystyle {\bec}^{{$F}^{\$sigma }\,\}$ 항은$$ 구성 요소와 다른 구성 요소 사이의 상호 작용력이다. 유체-유체, 유체-가스 등이 어떻게 상호작용하는지를 결정하는 튜닝 매개변수인 만큼 여전히 많은 논의의 대상이 되고 있다. 프랭크 외 이 힘 항의 현재 모델을 나열하십시오. 일반적으로 사용되는 파생어는 군스텐센 크로다이내믹 모델, 액체/증기 시스템과 이항 유체 모두에 대한 스위프트의 자유 에너지 기반 접근법, 분자간 상호작용 기반 모델, 이나무로 접근법, 리와 린 접근법이다.^[15]

다음은 여러 저자가 제시한 $F$${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\sigma }^{}}$ $displaystyle {\vec{F}^{\sigma }\,\!}$에 대한 일반적인 설명이다.^[16][17]

${\displaystyle {\vec{F}^{}}=-\psi ^{\sigma }{\vec{x}}\sum _{\sigma _{j}}}H^{\sigma \sigma \sigma _{j}({\vec{x}},{\vec{x}})\sum _{i}\\psi^{j}{\vec}+{\vec{e}_{i}}}}}}}{\vec{e}_{i}\,\!}$

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})\,\!}$ is the effective mass and ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')\,\!}$ is Green's function representing the interparticle interaction with ${\displaystyle {\vec {x}}'\,\!}$ as the neighboring site. 만족 $H{\displaystyle ({\stackrel{}{}}^{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, x →${\displaystyle {\stackrel{}{}\prime }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle H({\stackrel{}{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) $displaystyle$ H$({\vec{x},{\vec}}}=$$H$$({\vec{x}),{\vec{x}}\,\!},$ 여기서$$ →, x →)> ${\vec{x},{\vec}}},\}$는 반발력을 나타낸다. D2Q9 및 D3Q19의 경우 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left {\vec {x}}-{\vec {x}}'\right \leq c\\0&\left {\vec {x}}-{\vec {x}}'\right >c\\\end{cases}}}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left {\vec {x}}-{\vec {x}}'\right =c\\h^{\sigma \sigma _{j}}/2&\left {\vec {x}}-{\vec {x}}'\right ={\sqrt {2c}}\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

샨과 첸이 제안한 유효 질량은 단일 성분 다중 효소 시스템에 다음과 같은 유효 질량을 사용한다. 상태 방정식도 단일 성분과 다중효소의 조건에서 주어진다.

${\displaystyle \c{x}}=\reshold (\rho ^{\buffma }=\rho_{0}^{\0}\ft[1-e^]{0}/\rho_{0}^{\buffa }\}\,\!}$

${\displaystyle p=c_{s}^{2}\rho +c_{0}h[\put ({\vec{x}}}})^{2}\,\!}$

So far, it appears that ${\displaystyle \rho _{0}^{\sigma }\,\!}$ and ${\displaystyle h^{\sigma \sigma _{j}}\,\!}$ are free constants to tune but once plugged into the system's equation of state(EOS), they must satisfy the thermodynamic relationships at the critical point such that ${\displaystyle (\mathrm{\partial }P/\mathrm{\partial }\rho {)}_{}}$$T$$T}=(\partial ^{2}P/\partial {\rho ^{2}})_{{{{}}{{{}}{{}}}}}{$${\displaystyle {}_{}}$$}=0\,\!},$ p$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle p_{}}$ $displaystyle p=p_{c}\,\!}.$EOS의 경우 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle c_{0}\,\!}$은(는) D2Q9와 D3Q19의 경우 3.0이고$$ D3Q15의 경우 10.0이다.^[18]

이후 위안과 샤이퍼에^[19] 의해 효과적인 질량 밀도를 변경하여 다중효소 흐름을 보다 정확하게 시뮬레이션할 필요가 있음을 보여주었다. 이들은 샨과 첸(SC), 카르나한-스타링(C–S), 판데르발스(vdW), 레드리히-Kwong(R–K), 레드리히-Kwong Soave(RKS), 펑-로빈슨(P–R) EOS를 비교했다. 그들의 결과는 SC EOS가 불충분하고 C-S, P-R, R-K, RKS EOS가 단일 구성요소의 다중 효소 흐름을 모델링하는 데 있어 모두 더 정확하다는 것을 보여주었다.

인기 있는 등온 래티스 볼츠만 방법은 이것만이 보존량이다. 열 모델은 또한 에너지를 절약하므로 추가적인 보존량이 있다.

${\displaystyle \rho \rho uu=\sum _{i}{{i}{\vec{e}}{\vec{e}_{i}}.}$

적용들

지난 몇 년 동안 LBM은 다양한 길이와 시간 규모로 문제를 해결하는 강력한 도구임이 입증되었다. LBM의 응용 분야로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 다공성 미디어 흐름
• 바이오메디컬 플로우즈
• 지구과학(토양 여과).
• 에너지 과학(연료 전지^[20]).

외부 링크

• LBM 방법
• ELBM(Entibility Lattice Boltzmann Method)
• dsfd.org: 격자 볼츠만 방법의 이론과 적용에 대한 발전이 논의되는 연례 DSFD 컨퍼런스 시리즈 웹 사이트 (1911 - now)
• 격자 Boltzmann 방법과 그 용도에 관한 연례 ICMMES 회의의 웹 사이트

추가 읽기

• Deutsch, Andreas; Sabine Dormann (2004). Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation. Birkhäuser Verlag. ISBN 978-0-8176-4281-5.
• Succi, Sauro (2001). The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850398-9.
• Wolf-Gladrow, Dieter (2000). Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Springer Verlag. ISBN 978-3-540-66973-9.
• Sukop, Michael C.; Daniel T. Thorne, Jr. (2007). Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers. Springer. ISBN 978-3-540-27981-5.
• Jian Guo Zhou (2004). Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Flows. Springer. ISBN 978-3-540-40746-1.
• He,X., Chen, S., Doolen, G. (1998). A Novel Thermal Model for the Lattice Boltzmann Method in Incompressible Limit. Academic Press.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Guo, Z. L.; Shu, C (2013). Lattice Boltzmann Method and Its Applications in Engineering. World Scientific Publishing.
• Huang, H.; M.C. Sukop; X-Y. Lu (2015). Multiphase Lattice Boltzmann Methods: Theory and Application. Wiley-Blackwell. ISBN 978-1-118-97133-8.
• Krüger, T.; Kusumaatmaja, H.; Kuzmin, A.; Shardt, O.; Silva, G.; Viggen, E. M. (2017). The Lattice Boltzmann Method: Principles and Practice. Springer Verlag. ISBN 978-3-319-44647-9.

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