등기하 분석

Isogeometric analysis는 유한요소해석(FEA)을 기존의 NURBS 기반 CAD 설계 도구에 통합할 수 있는 가능성을 제공하는 계산적 접근방식이다. 현재 개발 중 새로운 설계를 분석하기 위해 CAD와 FEA 패키지 간 데이터 변환이 필요한데, 두 가지 계산 기하학적 접근 방식이 다르기 때문에 어려운 작업이다. Isogeometric 분석은 FEA 애플리케이션에서 복잡한 NURBS 기하학(대부분의 CAD 패키지의 기초)을 직접 사용한다. 이를 통해 공통 데이터 세트를 사용하여 모델을 한 번에 설계, 테스트 및 조정할 수 있다.^[1]

이 기술의 선구자는 톰 휴즈와 오스틴에 있는 텍사스 대학의 그의 그룹이다. 일부 등기하학적 분석 방법의 참조 자유 소프트웨어 구현은 GeoPDE이다.^[2]^[3] 마찬가지로, 다른 구현도 온라인에서 찾을 수 있다. 예를 들어, PetIGA는^[4] PETc에 기반한 고성능 등기하 분석을 위한 개방형 프레임워크다. 또한 MIGFEM은 Matlab에서 구현되는 또 다른 IGA 코드로 2D 및 3D 파단용 Partition of Unity 농축 IGA를 지원한다. 또한 G+Smo는^[5] 등기하 분석을 위한 개방형 C++ 라이브러리다. 특히 FEAP는^[6] Isogeometric 분석 라이브러리 FEAP IsoGeometric(버전 FEAP84 & 버전 FEAP85)을 포함하는 유한요소 분석 프로그램이다. IGA에 이르는 발전방안에 대한 설명이 문서화되었다.^[7]

FEA와 관련된 IGA의 장점

Isogeometric 분석은 유한요소법에 관한 두 가지 주요 장점을 제시한다.^[1]^[7]^[8]

도메인을 정확하게^[1] 나타내기 때문에 기하학적 근사 오차는 없다.
예를 들어 심장 전기생리학, 음향학 및 탄성역학에서 발생하는 파동 전파 문제는 수치 분산 및 소산 오류 감소로 인해 더 잘 설명된다.^[8]

메쉬

IGA의 프레임워크에서는 제어 메쉬와 물리적 메쉬의 개념이 정의된다.^[1]

콘트롤 메쉬는 소위 콘트롤 포인트에 의해 만들어지며, 그 포인트의 조각으로 선형 보간으로 얻는다. 제어 지점은 자유도(DOF)의 역할도 한다.^[1]

물리적 메쉬는 기하학적 구조 위에 직접 놓여지며, 그것은 패치와 매듭 스팬으로 구성되어 있다. 특정 물리적 메쉬에 사용되는 패치 수에 따라 단일 패치 또는 다중 패치 접근법이 효과적으로 채택된다. 패치는 참조 사각형에서 2차원으로, 참조 입체형에서 3차원으로 매핑된다. 즉, 패치는 전체 계산 영역 또는 그 중 더 작은 부분으로 볼 수 있다. 각각의 패치는 각각 1D, 2D, 3D로 포인트, 선, 표면으로 된 매듭 스팬으로 분해될 수 있다. 매듭 스팬에 매듭이 삽입되어 원소를 정의한다. 기본 함수는 매듭 전체에 $C^{p-m}$ $C^{p-m}$ C $C^{p-m}$ - $C^{p-m}$ m ${\displaystyle C$ $^{p-m$ $}$ 이며 $p$ , 다항식 및 m $m$ 의 $m$ 다항성과 $특정$ 매듭의 다항성, $C$ $C^{\infty }$ and {\ $displaystyle C^{\$ inft}이 특정 매듭과 다음 또는 앞의 매듭 사이에 $C^{\infty }$ $.$ ^[1]

매듭 벡터

일반적으로 $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ = { $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ 2 $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ . . . $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ + p $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ + $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ ${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1$ }, $\xi \{2$ }, $\xi _{n+p+1}\}\}}}}}$ 로 표시되는 매듭 벡터는 설명되지 않는 점의 집합이다 $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ ${\$ 은 $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ $i^{th}$ t h ${\$ i $^{th$ }} 매듭 $,$ n $i^{th}$ $n$ 은 $n$ 함수 수, $p$ ${\displaystystyle$ p $}$ 은 기본 함수 순서를 가리킨다 $p$ . 매듭은 매듭을 원소로 나눈다. 매듭 벡터는 매듭이 균일하거나 균일하지 않다. 매듭의 다수를 고려하지 않은 매듭이 등거리인지 아닌지에 따라 그 매듭 벡터가 균일하거나 균일하지 않다. 첫 번째 매듭과 마지막 $p+1$ 이 p $p+1$ + 1 $p+1$ 번 $p+1$ 나타나면 매듭 벡터가 열린다고 한다.^[1]^[8]

기본 함수

일단 매듭 벡터의 정의가 제공되면, B-스플라인, NURBS, T-스플라인과 같은 몇 가지 유형의 기본 함수가 이 맥락에서 도입될 수 있다.^[1]

B-스플라인

B-분할은 $p=0$ = $p=0$ $p=0$ 을(를) 갖는 조각상수함수에서 반복적으로 파생될 수 있다 $p=0$ ^[1]

$N_{i,0}(\xi )={\mathcal{I}_{{i}{i}\xi _{i+1}}(s)\quad 1\leq i\leq n$

De Boor 알고리즘을 사용하면 임의 순서 $p$ ${\displaystyle$ p $}$ 의 B-스플라인을 생성할 수 있다 $p$ ^[1]

$N_{i,p}(\xi )={\frac {\xi -\xi _{i}}{\xi _{i+p}-\xi _{i}}}N_{i,p-1}(\xi )+{\frac {\xi _{i+p+1}-\xi }{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+1}}}N_{i+1,p-1}(\xi )\quad 1\leq i\leq n$

균일 및 비균일 매듭 벡터 모두에 유효하다. 이전 공식이 제대로 작동하려면 두 개의 0을 0으로 나누십시오. 즉, ${\dfrac {0}{0}}:=0$ ${\dfrac {0}{0}}:=0$ $:=$ 0 {\dfrac {0}{ $0}:=0}$ .

이러한 방식으로 생성되는 B-분할은 통일성과 긍정성의 분할을 모두 소유한다.^[1]

$\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi )=1\quad \forall \xi$

$N_{i,p}(\xi )\geq 0\quad \forall \xi$

파생상품을 계산하거나 $i$ $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ 의 $k$ k $k$ 을(를) 주문하기 위해 p{\ $displaystyle p}$ 의 B-분할을 $i^{th}$ (를) 또 다른 재귀공식을 사용할 수 있다 $p$ ^[1]

${\dyplaystyle {\frac{d^{k}}{d^{k}\xi }N_{i,p}(\xi )={\frac {p!}{(p-k)!}}}\sum _{j=0}^{k}\알파 _{k,j}N_{i+j,p-k}(\xi )}$

여기서:

$\filename _{0,0}=1$

${\displaystyle \cHB_{k,0}={\frac {\frac}{k-1,0}{k-1}{k-p-k+1}-{i}}},$

$\property_{k,j}={\frac {\frac _{k-1,j}-\pxi_{i+p+j+1}-\xi_{i+j}\i+j}\capte j=1,...,k-1,$

$\cHB_{k,k}={\frac {-\cHB_{k-1}{k-1,j-1}{\xi_{i+p+1}-\xi_{i+k}}}.$

$\alpha _{j,j}$ , $\alpha _{j,j}$ ${\$ 계수의 $\alpha _{j,j}$ 분모가 0일 때마다 전체 계수 역시 0이 될 수밖에 없다.

B-분할 곡선은 다음과 같은 방법으로 작성할 수 있다.^[8]

${\textbf{C}}(\xi )=\sum _{i=1}^{n_{n_{n,p}(\xi ){\textbf{B}_{i}}}}}}}}}}$

where $n$ is the number of basis functions $N_{i,p}$ , and ${\textbf {B}}_{i}\in \mathbb {R} ^{d}$ is the $i^{th}$ control point, with $d$ dimension of the space in which the curve is immersed

2차원 케이스로의 확장은 B-스플라인 곡선에서 쉽게 얻을 수 있다.^[8] 특히 B-스플라인 표면은 다음과 같이 도입된다.^[8]

${\textbf {S}(\xi,\eta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta){\textbf{B}_{i,j}}$

where $n$ and $m$ are the numbers of basis functions $N_{i,p}$ and $M_{j,q}$ defined on two different knot vectors $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , ${\mathcal {H}}=\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{m+q+1}\}$ , ${\textbf {B}}_{i,j}$ represents now a matrix of control points (also called control net).

마지막으로, 세 세트의 B-스플라인 기본 함수와 제어 지점 텐서(tensor)가 필요한 B-스플라인 고형분은 다음과 같이 정의될 수 있다.^[8]

${\textbf {S}}(\xi ,\eta ,\zeta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta )L_{k,r}(\zeta ){\textbf {B}}_{i,j,k}$

NURBS

IGA에서는, 계산 도메인을 개발하기 위해 IGA 기초 기능도 채택하고 있으며, 수치 해법만을 나타내기 위한 것이 아니다. 이러한 이유로 그들은 기하학을 정확한 방법으로 나타낼 수 있는 모든 속성을 가져야 한다. 예를 들어, B-스플린은 내재된 구조 때문에 적절하게 원형 형태를 만들 수 없다.^[1] 이 문제를 우회하기 위해 NURBS라고도 하는 통일되지 않은 합리적 B-스플라인을 다음과 같은 방법으로 도입한다.^[1]

$R_{i}^{p}={\frac {N_{i,p}\오메가 _{{W}}}}}$

where $N_{i,p}$ is a one dimensional B-spline, $W(s)=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(s)\omega _{i}$ is referred to as weighting function, and finally $\omega _{i}$ is the $i^{th}$ weight.

B-스플라인에 대한 하위섹션에서 개발된 아이디어에 따라 다음과 같이 NURBS 곡선이 생성된다.^[1]

${\textbf{C}}=\sum _{i=1}^{n_{i}^{p}{\textbf{B}_{i}}}}}$

${\textbf {B}}_{i}$ ${\textbf {B}}_{i}$ ${\$ i} ${\textbf {B}}_{i}$ $i^{th}$ t $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ i $^{th}}$ 컨트롤 포인트 벡터 $i^{th}$ 포함.

상위 치수 다지관(예: 2 및 3)에 대한 NURBS 기반 기능의 확장은 다음을 통해 제공된다.^[1]

$R_{i,j}^{p,q}^{p,q}={\frac {N_{i,p}}M_{j,q}(t)\ome _{i,j}}}{a=1}{n}}}\sum _{b=1}^{m}{n_{a,p}}M_{b,q}(t)\오메가 _{a,b}}}}}$

$R_{i,j,k}^{p,q,r}(s,t,w)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)L_{k,r}(w)\omega _{i,j,k}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}\sum _{c=1}^{l}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)L_{c,r}(w)\omega _{a,b,c}}}$

hpk-designments.

IGA에는 기하학과 파라메트리제이션에 손을 대지 않고 기본 기능의 공간을 넓힐 수 있는 세 가지 기법이 있다.^[1]

The first one is known as knot insertion (or h-refinement in the FEA framework), where ${\overline {\Xi }}=\{{\overline {\xi _{1}}}=\xi _{1},{\overline {\xi _{2}}},...,{\overline {\xi _{n+m+p+1}}}=\xi _{n+p+1}\}$ is obta $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ = { $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ 2 $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ . . $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ + p $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ + $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ } ${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1$ }, $xi_{2$ }, $\xi _{n+p+1}\}}}$ 이(가 $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ ) 포함되어 기본 기능과 제어 지점의 수가 모두 증가함을 의미한다.^[1]

두 번째 것은 도 표고(또는 FEA 컨텍스트에서 p-refinement)라고 불리며, 이것은 기본 함수의 다항식 순서를 증가시킬 수 있다.^[1]

마지막으로 k-refine(FEA에서는 상대편이 없음)으로 알려진 세 번째 방법은 앞의 두 가지 기법에서 유래한다. 즉, $\Xi$ $\Xi$ 의 고유한 매듭 삽입과 순서 표고를 결합하는 것이다 $\Xi$ ^[1]

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r ^s ^t Cottrell, J. Austin; Hughes, Thomas J.R.; Bazilevs, Yuri (October 2009). Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-74873-2. Retrieved 2009-09-22.
^ "GeoPDEs: a free software tool for isogeometric analysis of PDEs". 2010. Retrieved November 7, 2010.
^ de Falco, C.; A. Reali; R. Vázquez (2011). "GeoPDEs: a research tool for Isogeometric Analysis of PDEs". Adv. Eng. Softw. 42 (12): 1020–1034. doi:10.1016/j.advengsoft.2011.06.010.
^ "PetIGA: A framework for high performance Isogeometric Analysis". 2012. Retrieved August 7, 2012.
^ "G+Smo: a C++ library for isogeometric analysis, developed at RICAM, Linz". 2017. Retrieved July 9, 2017.
^ "FEAP: FEAP is a general purpose finite element analysis program which is designed for research and educational use, developed at University of California, Berkeley". 2018. Retrieved April 21, 2018.
^ ^a ^b Provatidis, Christopher G. (2019). Precursors of Isogeometric Analysis. https://www.springer.com/gp/book/9783030038885: Springer. pp. 1–25. ISBN 978-3-030-03888-5. {{cite book}}: 외부 링크 위치 location= (도움말)CS1 maint: 위치(링크)
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Pegolotti, Luca; Dedè, Luca; Quarteroni, Alfio (January 2019). "Isogeometric Analysis of the electrophysiology in the human heart: Numerical simulation of the bidomain equations on the atria" (PDF). Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 343: 52–73. doi:10.1016/j.cma.2018.08.032.

외부 링크

[cottrell-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r ^s ^t Cottrell, J. Austin; Hughes, Thomas J.R.; Bazilevs, Yuri (October 2009). Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-74873-2. Retrieved 2009-09-22.

[geopdes-2] "GeoPDEs: a free software tool for isogeometric analysis of PDEs". 2010. Retrieved November 7, 2010.

[3] Falco, C.; A. Reali; R. Vázquez (2011). "GeoPDEs: a research tool for Isogeometric Analysis of PDEs". Adv. Eng. Softw. 42 (12): 1020–1034. doi:10.1016/j.advengsoft.2011.06.010.

[PetIGA-4] "PetIGA: A framework for high performance Isogeometric Analysis". 2012. Retrieved August 7, 2012.

[G+Smo-5] "G+Smo: a C++ library for isogeometric analysis, developed at RICAM, Linz". 2017. Retrieved July 9, 2017.

[FEAP-6] "FEAP: FEAP is a general purpose finite element analysis program which is designed for research and educational use, developed at University of California, Berkeley". 2018. Retrieved April 21, 2018.

[:0-7] Provatidis, Christopher G. (2019). Precursors of Isogeometric Analysis. https://www.springer.com/gp/book/9783030038885: Springer. pp. 1–25. ISBN 978-3-030-03888-5. {{cite book}}: 외부 링크 위치 location= (도움말)CS1 maint: 위치(링크)

[Pegolotti-8] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Pegolotti, Luca; Dedè, Luca; Quarteroni, Alfio (January 2019). "Isogeometric Analysis of the electrophysiology in the human heart: Numerical simulation of the bidomain equations on the atria" (PDF). Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 343: 52–73. doi:10.1016/j.cma.2018.08.032.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Search