기하급수적으로 수정된 가우스 분포

EMG

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	μ μ R — 가우스 성분의 평균 σ2 > 0 — 가우스 성분의 분산 λ > 0 — 지수 성분 비율
지원	x ∈ R
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$
CDF	${\displaystyle \mathrm{\phi }}$(${\displaystyle u}$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle u^{}}$+ v ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$( u + ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ) / ( ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle u^{}}$, v ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$,${\displaystyle v^{}}$)$){\$}/($u+v^{2})/(2+\Phi)(여기$서$,$ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle \Phi (x,\mu ,\sigma )}$은 가우스 분포의 CDF이다. ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle \lambda }$( ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle u=\lambda (x-\mu$ $)\},$ $\displaystyle v=\boda \bossma }$
평균	$\displaystyle \mu +1/\disda }$
모드	${\displaystyle x_{m}=\mu -\operatorname {sgn} \left(\tau \right){\sqrt {2}}\sigma \operatorname {erfcxinv} \left({\frac {{ }\tau { }}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{\tau }}}$ ${\displaystyle f(x_{m}=h\ex \ex \frac{1}{1}{1}:{1}{1}{1}{1}\frac {\mu -x_}}{{m}}}{\ma }}}^{2}\right)}}}$
분산	${\displaystyle \sigma ^{2}+1/\lambda ^{2}}$
왜도	${\displaystyle {\frac {2}{\frac ^{3}\frac ^{3}}}\좌측(1+{\fracta {1}{2}\frac ^{2}}\오른쪽)^{-3/2}}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac {3(1+{\frac {2}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}+{\frac {3}{\lambda ^{4}\sigma ^{4}}})}{\left(1+{\frac {1}{\lambda ^{2}\sigma ^{2}}}\right)^{2}}}-3}$
MGF	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\\blackda }}}}^{1}\1}\exp \left(\mu t+{1}{1}{1}:{2}t^{2}\right)}}}$
CF	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\\preckda }}}}^{1}\1}\exp \left(i\mu t-{1}{1}}\fracma ^{2}t^{2}\right)}}$

확률론에서 기하급수적으로 수정된 가우스 분포(EMG, exGaussian 분포라고도 함)는 독립 정규 및 지수 랜덤 변수의 합계를 설명한다.exGaussian 랜덤 변수 Z는 Z = X + Y로 표현될 수 있으며, 여기서 X와 Y는 평균 μ와 분산 variance을 가진² 가우스 변수, Y는 비율 λ의 지수형이다.지수 성분으로부터 특징적인 양의 기울기를 가지고 있다.

또한 가중치가 정규 분포의 함수인 상태에서 이동 지수 함수의 가중 함수로 간주할 수 있다.

정의

기하급수적으로 수정된 정규 분포의 확률밀도함수(pdf)는^[1]

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {\lambda }{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

여기서 erfc는 다음과 같이 정의되는 보완적 오류 함수다.

${\displaystyle {\required}\properfc}(x)&=1-\propername {erf}(x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}\int _{x}^{\inful }e^{-t^{2}}\,dt.\end{정렬}}}$

이 밀도 함수는 정규 확률밀도함수와 지수 확률밀도함수의 콘볼루션을 통해 도출된다.

계산을 위한 대체 양식

크로마토그래피에서 피크 모양을 설명하기 위해 EMG 분포의 대안이지만 동등한 형태를 사용한다.^[2]이것은 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\exp \left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}\right)^{2}-{\frac {x-\mu }{\tau }}\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),}$

(1)

어디에

${\displaystyle h}$ $[\displaystyle h}$는 가우스 진폭이다.

${\displaystyle \tau }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$은 지수 이완 시간이고, ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \tau ^{2$}}은 지수 확률 밀도함수의 분산이다.

산술 오버플로로 인해 ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ 파라미터 값(예: $\tau {\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \tau =0$에 대해서는 이 함수를 계산할 수 없다.대안적이지만 동등한 형태의 기능 작성은 델리가 제안하였다.^[3]

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right){\frac {\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {erfcx} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),}$

(2)

여기서 ${\displaystyle \mathrm{erfcx}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle \exp }$ t ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{erfc}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \expname {erfcx} t=\exp$ t$^{2}\cdot$\cdot $\exfcdname {erfc}$ t}은 크기가 조정된 보완 오류 함수임

이 공식의 경우 산술적 오버플로도 가능하다면, 오버플로 영역은 매우 작은 τ을 제외하고는 첫 번째 공식과 다르다.

작은 τ의 경우 두 번째 공식의 점근법을 사용하는 것이 합리적이다.

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}{1+{\frac {\left(x-\mu \right)\tau }{\sigma ^{2}}}}},}$

(3)

$공식{\displaystyle }$ 사용에 대한 결정은 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 2 (${\displaystyle \frac{}{}\sigma \frac{}{}\frac{\tau }{}}$ - ${\displaystyle x\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{\mu }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$ z$={\frac${1$}{\\sqrt{2}}}\좌({\frac {\\sigma }}}{\frac$ }-{\$x-\$mu$}{sigma }}}}\$rigma }\rigma }}\$rig$에 기초한다.

z < 0 계산은 첫 번째 공식에 따라 이루어져야^[2] 한다.

두 번째 공식에 따라 0 ≤ z ≤ 6.71·10⁷ (이중치 부동소수점 형식의 경우)에 대하여,

그리고 세 번째 공식에 따른 z > 6.71·10의⁷ 경우.

모드(정점 위치, 가장 개연성이 높은 값)는 공식 2의 파생상품을 사용하여 계산한다^[2]. 계산에는 스케일 보완 오차함수 erfcxinv()의 역이 사용된다.대략적인 값도 Kalembet에 의해 제안된다.^[2]모드는 원래 가우스파보다 높은 값에 있지만, 꼭지점은 항상 원래의 (수정되지 않은) 가우스파에 위치한다.

모수 추정

정규 분포의 평균(μ), 정규 분포의 표준 편차(μ), 지수 붕괴 모수( = = 1 / λ)의 세 가지 모수가 있다.K = τ / σ 형상은 분포의 특성을 나타내기 위해 사용되기도 한다.모수의 값에 따라 분포는 거의 정규 분포에서 거의 기하급수적으로 형태가 달라질 수 있다.

분포의 모수는 다음과 같은 모멘트 방법을 사용하여 표본 데이터에서 추정할 수 있다.^[4][5]

${\displaystyle m=\mu +\tau ,}$

${\displaystyle s^{2}=\disma ^{2}+\tau ^{2},}$

${\displaystyle \property_{1}={\frac {2\tau ^{3}{{3}}{{2}+\tau ^{2}}}}}}$

여기서 m은 표본 평균, s는 표본 표준 편차, γ은₁ 왜도.

매개변수에 대해 이러한 문제를 해결하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\hat{\mu}}=m-s\left({\frac {\frac {\1}{1}:{2}}\오른쪽)^{1/3}}$

${\displaystyle {\hat {\putma ^{2}}=s^{2}\왼쪽[1-\left\frac {\fract _{1}:{1}{1}:{1}오른쪽]^{2/3}$

${\displaystyle {\hat{\tau}}=s\leftd\frac {\reflac {\protection_{1}{2}}\오른쪽)^{1/3}.}$

추천 사항

Ratcliff는 모수 추정치를 신뢰할 수 있는 것으로 간주하기 전에 표본에 적어도 100개의 데이터 점이 있어야 한다고 제안했다.^[6]빈센트 평균은 작은 표본과 함께 사용될 수 있다. 이 절차는 분포의 모양을 약간 왜곡시킬 뿐이다.^[7]이러한 점 추정치는 최대우도를 포함하여 더 강력한 방법으로 조정할 수 있는 초기 값으로 사용될 수 있다.

신뢰구간

현재 이 분포로 유의성 시험에 사용할 수 있는 게시된 표가 없다.분포는 정규 분포에서 추출한 변수와 지수 분포에서 추출한 변수의 합계를 구성하여 시뮬레이션할 수 있다.

스큐

비모수 스큐 값

${\displaystyle {\frac {{\text{data}-{\text{standard deviation}}{\text{standard deviation}}}}}}}$

이 분포의 값은 0과 0.31 사이에 있다.^[8][9]하한은 정상 성분이 지배할 때, 상위는 지수 성분이 지배할 때 접근한다.

발생

분포는 크로마토그래픽 피크의 형상에 대한 이론적 모델로 사용된다.^[1][2][10]그것은 세포 분열에 있어서 혼합 시간의 통계적 모델로 제안되어 왔다.^[11][12]클러스터 이온 빔 모델링에도 사용된다.^[13]그것은 일반적으로 심리학과 반응 시간의 연구에서 뇌과학에 사용된다.^[14][15]Normal 성분의 평균이 0으로 설정된 약간의 변종에서는 비효율성을 모델링하는 합성 오차항의 분포 규격 중 하나로 Stochastic Frontinuary Analysis에도 사용된다.^[16]

관련 분포

이 분포군은 정상-외부 감마 분포의 특별한 경우 또는 제한적인 경우다.이것은 또한 꼬치를 추가하기 위한 정규 분포의 3-모수 일반화라고 볼 수 있다; 그와 같은 또 다른 분포는 꼬리가 더 얇은 꼬치 정규 분포다.분포는 정규 분포의 평균이 이동 지수 분포로 랜덤하게 변화하는 복합 확률 분포다.

옵션 가격을 모델링하기 위해 가우스 마이너스 지수 분포가 제안되었다.^[17]If such a random variable Y has parameters μ, σ, λ, then its negative -Y has an exponentially modified Gaussian distribution with parameters -μ, σ, λ, and thus Y has mean ${\displaystyle \mu -{\tfrac {1}{\lambda }}}$ and variance ${\displaystyle \sigma ^{2}+{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}$.

참조