초기 위상

수학의 일반적인 위상 및 관련 영역에서$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 함수 패밀리와 관련하여$,$ $집합{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$의 초기 위상(또는^[1][2] 유도 위상 또는 약한 위상 또는 한계 위상 또는 투영 위상 위상)은 그러한 기능을 연속적으로 만드는 X의 가장 강력한 위상이다.

아공간 위상과 제품 위상구조는 둘 다 초기 위상의 특별한 경우다.실제로 초기 위상구조는 이것들의 일반화로 볼 수 있다.

이중 개념은 최종 위상이며, 주어진 함수 계열에 대해 $세트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$에 매핑하는 것은 해당$$$$ $기능$을$$연속적으로 $만드는$ X {\$displaystyle$ $X}$에서 가장 우수한 위상이다.

정의

함수가 있는 위상학 공간의 집합 X 및 인덱스 패밀리(Y_i)_i∈I 지정

${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 초기 $토폴로지{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \tau$}은(는) X에서 가장 강력한 토폴로지로서 각각

${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}}$

연속적이다.

명시적으로 초기 ${\displaystyle {\mathrm{토폴로지}}_{}^{}}$는${\displaystyle {}_f^{}}$- ${\displaystyle 1}$($$U ) {\$displaystyle f_{$i}^{-$1}($U$)\}$ 형식의 모든 세트에 의해 생성된 오픈 세트의 모음이며, $여기$서$$U {\$displaystyle$ U$}$은 ${\displaystyle {일부}_{}}$ i ∈ I의 $경우$$$Y {\$displaysty Y_{$i}}}}}에 대한 오픈 세트다.$f{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ 세트는 흔히$$ 실린더 세트라고 한다.정확히 하나의 요소를 포함하는 경우 $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$의 모든 오픈 세트가 실린더$$ 세트임.

예

몇몇 위상학적 구조는 초기 위상의 특별한 경우로 간주될 수 있다.

• 하위 공간 위상은 포함 맵과 관련하여 하위 공간의 초기 위상이다.
• 제품 위상은 투영 지도 패밀리와 관련된 초기 위상이다.
• 공간과 연속 지도의 모든 역계의 역한계는 표준 형태론에 의해 결정되는 초기 위상과 함께 설정-기상 역한계다.
• 국소 볼록한 공간의 약한 위상은 이중 공간의 연속적인 선형 형태와 관련된 초기 위상이다.
• 고정 집합 X에 위상 {basics_i} 계열이 있는 경우, 함수 ID에_i 대한 X의 초기 위상은 X → (X, τ_i) 위상 격자 내 위상 {basics_i}의 우월(또는 조인)이다.즉, 초기 위상 τ은 위상 {τ_i}의 결합에 의해 생성된 위상이다.
• 위상학적 공간은 (경계된) 실제 가치 연속함수의 계열과 관련된 초기 위상이 있는 경우에만 완전히 규칙적이다.
• 모든 위상학적 공간 X는 X에서 시에르피에스키 공간까지의 연속적 기능의 계열에 관한 초기 위상들을 가지고 있다.

특성.

특성 속성

X의 초기 위상은 다음과 같은 특성 속성으로 특징지어질 수 있다.
$일부$ 공간 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$에서 X ${\displaystyle X$$}$까지의 $함수{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$은 각 $i$에 대해 f${\displaystyle {}_{}}$i가 ${\displaystyle {연속적}_{}}$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만 연속적이다$$.

꽤 비슷하게 생겼음에도 불구하고, 이것은 보편적인 속성이 아니라는 것에 주목하라.아래에 범주형 설명이 제시되어 있다.

평가하기

제품 토폴로지의 보편적 특성에 의해, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 연속 지도 f${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$→ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 모든 계열이 고유한 연속 지도를 결정한다는$$ 것을 알고 있다.

$\prod_{i}Y_{i}\,}$

이 지도는 평가 지도로 알려져 있다.

A family of maps ${\displaystyle \{f_{i}\colon X\to Y_{i}\}}$ is said to separate points in X if for all ${\displaystyle x\neq y}$ in X there exists some i such that ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y)}$. Clearly, the family ${\displaystyle \{f_{i}\}}$$$ 관련 평가 맵 f가 주입식인 경우에만 점을 구분한다.

평가 지도 f는 X가 ${\displaystyle {지도}_{}}{\displaystyle }${f${\displaystyle {}_{}}$} {\$displaystyle \{$f_${i$}\}}에 의해 결정된 초기 위상이 있고$$ 이 지도 계열이 X의 점을 구분하는 경우에만 위상학적 내장일 것이다.

닫힌 집합에서 점 분리

공간 X에 위상이 장착된 경우, X의 위상이 X의 일부 지도 계열에 의해 유도된 초기 위상인지 아닌지를 아는 것이 종종 유용하다.이 절은 충분한 조건(필요하지는 않지만)을 제시한다.

지도 집합 {f_i: X → Y_i}이(가) X의 모든 닫힌 집합 A와 A의 모든 x에 대해 다음과 같은 i가 존재하는 경우 X의 닫힌 집합과 점을 구분한다.

${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl}(f_{i})(A))}$

여기서 cl은 폐쇄 연산자를 의미한다.

정리.연속_i 지도 {f_i: X → Y} 계열은 실린더가 Y에서_i 열린 ${\displaystyle U}$에 ${\displaystyle {대해}_{}^{}}$ f ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}_{}^{}}$U${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$을$($를) 설정한 경우에만 X에서 위상의 기초를 형성할 경우 닫힌 집합에서 점을 분리한다.

따라서 {f_i}이(가) 포인트와 닫힌 세트를 분리할 때마다 공간 X는 맵 {f_i}에 의해 유도된 초기 위상(topology)을 갖는다.일반적으로 실린더 세트가 초기 위상에 대한 서브베이스(기본이 아닌)를 형성할 뿐이기 때문에 역방향은 실패한다.

공간 X가 T₀ 공간인 경우, X에서 포인트와 닫힌 세트를 구분하는 맵 {f_i}의 컬렉션도 포인트를 구분해야 한다.이 경우 평가지도가 내장된다.

범주형 설명

범주이론의 언어에서 초기 위상구조는 다음과 같이 설명할 수 있다.Let ${\displaystyle Y}$ be the functor from a discrete category ${\displaystyle J}$ to the category of topological spaces ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ which maps ${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$. Let ${\displaystyle U}$ be the usual forgetful functor from ${\displaystyle \mat$$hrm {Top}$ ~ $S$ e ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\$ 맵 $f{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$X\to Y_{j}}$ can then be thought of as a cone from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle UY}$. That is, ${\displaystyle (X,f)}$ is an object of ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$—the category of cones to ${\displaystyle UY}$. More pre일반적으로 이 원뿔$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle(X,f)}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{S}}$ e ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\$에 U$${\$displaystyle U}$ 구조화된$$ 코싱크를 정의한다$.$

The forgetful functor ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$ induces a functor ${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$. The characteristic property of the initial topology is equivalent to the statement that there exists a$U$의${\$에서 $({\displaystyle X}$,$f)}$까지 범용 형태론:$$범주의 터미널 개체$({\displaystyle U\stackrel{}{}\downarrow }$ ${\displaystyle (X}$, $){\bar {U}\downarrow (X,f$
Explicitly, this consists of an object ${\displaystyle I(X,f)}$ in ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ together with a morphism ${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$ such that for any object ${\displaystyle (Z,g)}$ in ${\displaystyle \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ and morphism ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$ there exists a unique morphism ${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$ such that the following diagram commutes:

The assignment ${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$ placing the initial topology on ${\displaystyle X}$ extends to a functor ${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$ which is right adjoint to the forgetful functor ${\displaystyle$${\bar {U$ 사실 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ${\displaystyle U}$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle {\bar {U}$과(와) 반대편이다${\displaystyle \stackrel{}{.<img\; alt="\{\backslash bar\; \{U\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f758eeb23d3fe7dac881e6e319b92eda301dd6a0"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.783ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="242">}}$$I}$은(는) $C{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ n ${\displaystyle \mathrm{e}(U}$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \mathrmat {Cone}(UY)}$의 ID functor 입니다$.$

참고 항목

• 최종 위상
• 유도 위상

참조

원천

• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
• "Initial topology". PlanetMath.
• "Product topology and subspace topology". PlanetMath.