화살표-데브뢰 모형

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수학 경제학에서 화살표-데브레우 모형은 이론적인 일반 균형 모형입니다. 특정 경제적 가정(컨벡스 선호, 완전 경쟁 및 수요 독립성) 하에서 총 공급이 경제의 모든 상품에 대해 총 수요와 동일하게 되도록 하는 가격 집합이 있어야 한다는 것을 전제로 합니다.^[1]

이 모델은 일반(경제) 균형 이론의 중심이며 다른 미시경제 모델의 일반적인 참조로 자주 사용됩니다. 1954년 케네스 애로우(Kenneth Arrow), 제라드 데브뢰(Gerard Debreu),^[1] 1954년 라이오넬 W. 맥켄지(Lionel W. McKenzie)가 각각 독립적으로 제안하였으며,^[2] 이후 1959년에 개선되었습니다.^[3][4]

A-D 모델은 경쟁 경제의 가장 일반적인 모델 중 하나이며 경제의 일반적인 균형(또는 왈라스적 균형)의 존재를 증명하는 데 사용될 수 있기 때문에 일반 균형 이론의 중요한 부분입니다. 일반적으로 많은 균형이 있을 수 있습니다.

애로우(1972)와 데브레우(1983)는 이 모델을 개발한 공로로 노벨 경제학상을 따로 수상했습니다. 그러나 맥켄지는 상을 받지 못했습니다.^[5]

예비개념

볼록 집합 및 고정점

1954년, 맥켄지와 애로우와 데브레우 쌍은 연속 함수의 고정점에 대한 카쿠타니 고정점 정리를 콤팩트한 볼록 집합에서 자기 자신으로 호출하여 일반 평형의 존재를 독립적으로 증명했습니다. 화살표-데브레우 접근법에서 볼록성은 필수인데, 이러한 고정점 정리는 볼록하지 않은 집합에는 적용할 수 없기 때문입니다. 예를 들어, 단위 원을 90도 회전하는 것은 고정된 점이 없지만, 이 회전은 콤팩트 집합을 자기 자신으로 연속적으로 변환하는 것이지만, 단위 원은 콤팩트하지만 볼록하지 않습니다. 반대로, 단위 원의 볼록한 선체에 적용된 동일한 회전은 점 (0,0)을 고정시킵니다. 카쿠타니 정리가 한 점의 고정점이 존재한다고 주장하지 않는다는 것을 주목하십시오. 단위 디스크를 y축에 걸쳐 반사하면 수직 세그먼트가 고정되므로 이 반사에는 무한히 많은 고정 지점이 있습니다.

대규모 경제의 부조화

볼록성의 가정은 1959년부터 1961년까지 프란시스 M. 바터(Francis M. Bator), M. J. 파렐(M. J. Farrell), 탈링 쿠프만스(Tjalling Koopmans), 토마스 J. 로텐버그(Thomas J. Rothenberg)가 정치경제학 저널(Journal of Political Economy)에서 논의한 많은 적용을 배제했습니다.^[6] 로스 엠. Starr(1969)은 일부 소비자 선호가 볼록하지 않아도 될 때 경제적 균형의 존재를 증명했습니다.^[6] 그의 논문에서, 스타는 "컨벡스화된" 경제가 원래 경제의 "준등식브리아"에 의해 밀접하게 근사되는 일반적인 균형을 갖는다는 것을 증명했습니다. 스타의 증명은 샤플리-포크만 정리를 사용했습니다.^[7]

정식명세서

두 정리의 내용은 [복지 경제학의 기본 정리] 경제학의 오래된 믿음입니다. 애로우와 데브뢰는 최근 이 문제를 증명을 허용하는 기술로 다루었습니다.

— Gérard Debreu, Valuation equilibrium and Pareto optimum (1954)

이 말은 정확하게 맞아요, 믿음이 있으면 이제는 지식이 있어요. 하지만 더 많은 것들이 위태로웠습니다. 위대한 학자들은 우리가 세상에 대해, 그리고 우리가 무엇이고 누구인지에 대해 생각하는 방식을 바꿉니다. 가치론에서 전달된 화살-데브뢰 모델은 기본적인 사고를 바꾸었고, 그것은 가격 이론의 표준 모델이 되었습니다. 그것은 금융, 국제 무역, 공공 금융, 교통 그리고 심지어 거시 경제의 "벤치마크" 모델입니다. 다소 짧은 순서로 볼 때 마셜, 힉스, 새뮤얼슨에서는 더 이상 "있는 그대로"가 아니라 가치 이론에서는 "있는 그대로"가 되었습니다.

— Hugo Sonnenschein, remarks at the Debreu conference, Berkeley, 2005

이 섹션에서는 의 프레젠테이션을 기반으로 합니다.^[8][9]

Arrow-Debreu 모델에 대한 직관적인 설명

Arrow-Debreu 모델은 경제를 가계, 생산자, 시장의 세 가지 대리인의 조합으로 모델화합니다. 가계와 생산자는 시장과 거래하지만 서로 직접 거래하지는 않습니다.

가구는 "상속"이라고 생각할 수 있는 기부금(그들이 시작하는 상품의 묶음)을 가지고 있습니다. 수학적 명확성을 위해 모든 가구는 처음에 모든 기부금을 시장에 판매해야 합니다. 만약 그들이 기부금의 일부를 유지하고 싶다면, 그들은 나중에 시장에서 다시 구매해야 할 것입니다. 기부금은 노동 시간, 토지 사용, 옥수수 톤 등이 될 수 있습니다.

가구는 공동 주식 회사로 생각할 수 있는 생산자의 비례 소유권을 가지고 있습니다. 생산자 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$의 이윤은 생산자 j ${\displaystyle j}$의 각 가구가 보유하고 있는 주식의 양에 비례하여 가구 간에 분배됩니다$.$ 소유권은 처음에 부과되며 가구는 이를 판매, 구매, 생성 또는 폐기할 수 없습니다.

가계는 기부금 판매 수입과 생산자 이익 배당금의 합으로 예산을 받습니다.

가정은 주어진 가정 하에서 효용 극대화를 위한 상품 묶음보다 선호도를 가지고 있습니다. 가계는 예산을 사용하여 감당할 수 있는 가장 높은 효용으로 소비 계획을 선택합니다.

생산자는 상품 묶음을 다른 상품 묶음으로 변환할 수 있습니다. 생산자는 별도의 유틸리티 기능이 없습니다. 대신, 그들은 모두 순수한 이익 극대화자입니다.

시장은 모든 생산자와 가정이 취하는 각 상품의 가격 목록인 시장 가격 벡터만 "선택"할 수 있습니다. (협상 행동은 없습니다. 모든 생산자와 가정은 가격을 받는 사람입니다.) 시장은 효용이나 이윤이 없습니다. 대신 시장은 각 가정과 생산자가 자신의 효용과 이익을 극대화하고 있지만 소비 계획과 생산 계획이 "조화"되도록 시장 가격 벡터를 선택하는 것을 목표로 합니다. 즉, "시장이 맑아진다"는 것입니다. 시장이 '왈라시안 경매인' 역할을 톡톡히 하고 있는 셈입니다.

화살표-데브뢰 모형이 처음부터 끝까지 이동하는 방법.

가정	제작자들
생산자의 기부와 소유권을 얻다
모든 기부금을 시장에 내다 팔다
	이윤을 극대화하기 위해 생산 계획을 세우다
	시장과 상호 간에 구매 계약을 체결합니다.
	생산 계획을 세우다
	모든 것을 시장에 내다 팔다
	모든 이익을 소유에 비례하여 가구에 보냅니다.
예산 제약 하에서 효용을 극대화하기 위한 계획 소비
예정 소비를 시장에서 구입합니다.

표기설정

일반적으로 우리는 에이전트의 인덱스를 위첨자로, 벡터 좌표 인덱스를 아래첨자로 씁니다.

실수 벡터에 대한 유용한 표기법

• ${\displaystyle }$$x ⪰$ y ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyl}}$${\displaystyle \mathrm{e\; x}}$$succe$${\displaystyle q}$$y$} $∀$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$ n$$≥ y${\displaystyle$ \forall n,x_{n}\geqy_{n}}
• ${\displaystyle {\mathbb{R}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N$은 $x ⪰$ 0 ${\displaystyle$ $x$$\succeq$ 0}인 x ${\displaystyle$ x$}$ 집합입니다.
• ${\$$N}$은 $x$$≻$ 0 ${\displaystyle x$\succ 0}인 x ${\displaystyle$ x$}$ 집합입니다.
• $x$$N}x_{n}=1\right\}}$ is the N-simplex. 우리는 종종 가격 벡터를 확장하여 그 위에 놓이기 때문에 가격 단순화라고 부릅니다.

시장.

• 재화는 ${\displaystyle n}$ ∈ 1:N ${\displaystyle$n$\backslash$in 1:N}로 색인화됩니다$.$ $여기$서 N ${\displaystyle$ N}은 경제에 존재하는 재화의 수이다. 그것은 유한한 숫자입니다.
• 가격 벡터 $p$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$1, ..., p N) ∈ R + + N {\displaystyle p = (p_{1}, ...,p_{N})\in \mathbb {R}_{+}^{$N}}$은 $길이{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle$ N$}$의 벡터이며$,$ 각 좌표는 상품의 가격입니다. 가격은 0 또는 긍정적일 수 있습니다.

가정

• 가정은 $I$∈$I {\displaystyle$i\in I}로 인덱싱됩니다.
• $각$ 가정은$$∈ R + N {\displaystyle r^{i$}\in \mathbb$ {R$}$_$\{+\}^\{$N}}의 상품 $기부$로 시작합니다.
• 각 가정은 생산자 ${\displaystyle {\alpha i,}^{}}$ $j$≥ 0 ${\displaystyle \alpha^{i,j$geq 0}의 소유권 쌍으로 시작합니다. ${\displaystyle \underset{}{}}$은 ∑ ${\displaystyle i^{}}$ ∈ I α i${\displaystyle ,}$ $j$= 1$$∀$$j ∈ J {\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}= 1\quad \forall j\in J}를 만족합니다.
• 가구가 받는 예산은 기부금을 시장 가격으로 판매하여 얻은 수입과 생산자 소유로 얻은 이익의 합입니다.
  $${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$

  
  (${\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 돈을 의미합니다.)
• 각 가정에는 소비 가능성 세트 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Si}^{}}$ ⊂ R + N {\$displaystyle CPS$^{$i}\subset \mathbb {$R$}$_$\{+\}^\{$N}}가 있습니다.
• 각 가정에는$$CP $Si$ {\$displaystyle$CPS^{i}보다 선호 ${\displaystyle {관계}^{}}$ ⪰$i {\displaystyle \succeq$ ^{i}}가 있습니다.
• ⪰$$$i$ {\displaystyle \ succeq ^{i}}(다음 섹션에 제공)에 대한 가정으로 각 선호 관계는 효용 함수$$u: CP Si → [0, 1] {\displaystyle u^{i}:데브레우 정리에 의한$$ $CPS^{i}\to [0,1]}.$ 따라서 선호도를 극대화하는 대신 가구가 효용을 극대화하고 있다고 동등하게 말할 수 있습니다.
• 소비 계획은 $CP{\displaystyle }$ ${\displaystyle {Si}^{}}${\$displaystyle$ $CPS^{i}$의$$벡터로 ${\displaystyle {xi}^{}}$ ${\$ x$^{i}}$로 표시됩니다$.$
• ${\displaystyle U_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i}}$는 $적어도{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ x$^{i}}$만큼 바람직한 소비 계획 집합입니다$.$
• 예산은 다음과 같은 소비 계획의 집합입니다.
  $${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$

  
  .
• 각 가격 $벡터$ $p$ ${\displaystyle$ p$}$에 대해 가정은 상품에 대한 수요 벡터를 가지고 있습니다$.$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}p)}$ ∈ R + N${\displaystyle$D^{$i}(p$)\in$\mathbb {R}$_$\{+\}^\{$N}}입니다. 이 함수는 제약 극대화 문제의 해로 정의됩니다. 경제와 초기 분포에 따라 다릅니다.
  $${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$

  
  모든 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ∈ $R$+ + N ${\displaystyle$p\$in \mathbb$ {$R}$ _$\{+\}^\{$N}에 대해 잘 정의되지 않을 수 있습니다. 그러나 우리는 균형 가격 벡터에서 잘 정의되도록 충분한 가정을 사용할 것입니다.

제작자들

• 생산자는 $j$∈ J ${\displaystyle$j\in J}로 인덱싱됩니다.
• 각 생산자는 생산 가능성 집합 ${\displaystyle {PS}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$를 가지고 있습니다$.$ 공급 벡터는 양의 좌표와 음의 좌표를 모두 가질 수 있습니다. 예를 들어$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1,}$ 0${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (-1, 1, 0)}$은 상품 1 단위를 사용하여 상품 2 1 단위를 생산하는 생산 계획을 나타냅니다$$.
• 생산 계획은 ${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$의 벡터로$$$y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$ y$^{j}}$로 작성되었습니다$.$
• $각$ 가격 $벡터$ $p$ ${\displaystyle$ p$}$에$$대해 생산자는 \mathbb {$R$^{N}에서 ${\displaystyle {}^{}{}^{}p)}$∈ R N${\displaystyle S$^{j$}(p$)\와 같이 상품에 대한 공급 벡터를 가집니다. 이 함수는 제약 극대화 문제의 해로 정의될 것입니다. 경제와 초기 분포에 따라 다릅니다.
  $${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

  
  모든 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ∈ $R$+ + N ${\displaystyle$p\$in \mathbb$ {$R}$ _$\{+\}^\{$N}에 대해 잘 정의되지 않을 수 있습니다. 그러나 우리는 균형 가격 벡터에서 잘 정의되도록 충분한 가정을 사용할 것입니다.
• 이익은.
  $${\displaystyle \Pi^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

  

집합체

• ${\displaystyle \underset{}{}}$ 소비 가능성 집합 ${\displaystyle \mathrm{CPS}}$ = ∑${\displaystyle i}$ ∈ $IPsi$ {\displaystyle CPS=\sum _{i\in I} CPS^{i}.
• 집합생산가능세트 ${\displaystyle \underset{}{}}$ = ∑ ${\displaystyle j}$ ∈ $JP$ J {\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}.
• 총 기부 $r$ =$$∑$$ir {\$display$r=\sum _${$i}r^{i}}
• ${\displaystyle {총}^{}}$ $요구량$ D${\displaystyle (p}$) := ∑ ID($p$) ${\displaystyle$D(p):$=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• ${\displaystyle {집합}^{}}$ 공급 $S{\displaystyle (p}$) : =${\displaystyle \underset{}{}}$∑ j J($p$) ${\displaystyle$S(p):$=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• 초과수요 $Z{\displaystyle (p)}$ = ${\displaystyle D(}$p$)$- S$(p)$- r {\displaystyle Z(p) = D(p) - S(p) - r$}$

경제 전체

• 이코노미는 튜플$({\displaystyle N,}$ ${\displaystyle I,}$ J${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{CPSi}{}^{}}$ ⪰${\displaystyle {}^{}}$,$PSj$) ${\displaystyle(N,$ I, $J,$ CPS^{$i},\succeq$ ^{i})입니다.$PPS^{j$ 즉, 상품, 소비자 선호도, 소비 가능성 세트, 생산자의 생산 가능성 세트를 명시하는 튜플입니다.
• 초기 분포를 갖는 경제는 경제를 위한 초기 분포 튜플$({\displaystyle {ri}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\alpha i},}^{}}$ j${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ∈ ${\displaystyle I_{}}$, $j$ ∈ $J${\$displaystyle(r^{i},\alpha ^{i,j})$_{i\in I,j\in J}와 함께 경제입니다.
• 경제 상태는 각 가정과 생산자에 대한 가격, 소비 계획 및 생산 계획의 튜플입니다.${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ∈${\displaystyle 1_{}}$ :${\displaystyle {}^{},}$ (${\displaystyle x_{}}$ i ) i ∈ I, (y j ) j ∈ J ) {\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N}}, (x^{i})_{i\in I}, (y^{j})_{j\in J}}.
• A state is feasible iff each ${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$, each ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$, and ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$.
• $기증자$ ${\displaystyle$ r$}$이$($가) 주어진 실현 가능한 생산 가능성 세트는 ${\displaystyle {PS}_{}}$ r : =${\displaystyle }${${\displaystyle y}$ ∈ $PS$ : y + r$$⪰ 0} {\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS : y+r\succeq 0\}입니다.
• 분포가 있는 경제에서 가격 벡터 p ${\displaystyle$ p$}$에 해당하는 상태는$$(${\displaystyle p,}$(${\displaystyle {Di}^{}}$(${\displaystyle p{}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ ${\displaystyle I^{}}$ ${\displaystyle (}$Sj ($))$ j ∈ J) {\displaystyle (p,(D^{i}(p))$_{i\in I}, (S^{j}(p))$$_{j\in$ J$\})\}.$
• 분포가 있는 경제에서 가격 벡터 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$는 초기 분포가 있는 경제의 균형 가격 벡터입니다. 만약 f
  $${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$

  
  즉, 재화가 무상이 아니면 공급은 수요와 정확히 같으며, 재화가 무상이면 공급은 수요와 같거나 더 많습니다(우리는 무상 재화가 초과 공급되도록 허용합니다).
• 상태는 균형 가격 벡터에 해당하는 상태일 경우 균형 상태입니다.

가정

가정에

추정	설명.	긴장을 풀 수 있을까요?
${\displaystyle \mathrm{CP}}$ ${\displaystyle {Si}^{}}$ ${\$이(가) 닫혔습니다.	증명이 작동하는 데 필요한 기술적 가정입니다.	아니요. 수요 함수의 존재를 위해 필요합니다.
비포화: ∀ x ∈ Si, ϵ > 0$, {\displaystyle \forall x$in},\ ∃$x$ ∈ CP $Si$, x$'$≻$ix$, ‖ x' -$x$ ‖ < ϵ {\displaystyle \exists x'\in CPS^{i}, x'\succ ^{i}x,\x'-x\\epsilon }	가정에서는 항상 조금 더 소비하기를 원합니다.	아니요. 왈라스의 법칙이 성립할 필요가 있습니다.
${\displaystyle \mathrm{CP}}$ ${\displaystyle {Si}^{}}$ ${\$가 엄격하게$$ 볼록합니다.	엄격하게 줄어드는 한계효용.	네, 카쿠타니의 고정점 정리를 사용하여 단순한 볼록함으로 말입니다. 다음 섹션을 참조하십시오.
${\displaystyle \mathrm{CP}}$ ${\displaystyle {Si}^{}}$ ${\$가 볼록합니다.	한계효용의 감소	그래요, 샤플리-포크맨 보조정리기로요.
연속성: ${\displaystyle U_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( x ${\displaystyle i^{}}$) ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$이(가) 닫혔습니다.	데브뢰 정리에 의한 효용함수의 존재에 필요한 기술적 가정.	아니요. 선호도가 연속적이지 않으면 초과 수요 함수가 연속적이지 않을 수 있습니다.
${\displaystyle {}_{}^{}}$+ i${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$는 엄격하게 볼록합니다.	두 개의 소비 번들의 경우 엄격하게 그들 사이의 모든 번들이 더 적은 번들보다 엄격하게 더 좋습니다.	네, 카쿠타니의 고정점 정리를 사용하여 단순한 볼록함으로 말입니다. 다음 섹션을 참조하십시오.
${\displaystyle U_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$) ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$가 볼록합니다.	두 개의 소비 번들의 경우, 그들 사이의 번들은 더 적은 번들보다 더 나쁘지 않습니다.	그래요, 샤플리-포크맨 보조정리기로요.
가정에는 항상 적어도 하나의 실현 가능한 소비 계획이 있습니다.	무파산	아니요. 수요 함수의 존재를 위해 필요합니다.

제작자들에게

추정	설명.	긴장을 풀 수 있을까요?
${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\$이(가) 엄격하게 볼록합니다.	규모의 불경제	네, 카쿠타니의 고정점 정리를 사용하여 단순한 볼록함으로 말입니다. 다음 섹션을 참조하십시오.
${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\$가 볼록합니다.	규모의 경제가 없는	그래요, 샤플리-포크맨 보조정리기로요.
${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\$에 0이 포함되어 있습니다.	생산자는 무료로 문을 닫을 수 있습니다.
${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\$는 닫힌 집합입니다.	증명이 작동하는 데 필요한 기술적 가정입니다.	아니요. 공급 기능의 존재를 위해 필요합니다.
${\displaystyle {}_{}^{}}$ $∩$ R + N {\$displaystyle$PPS\$cap \mathbb {R$}$$_{+}^{N}}이(가) 경계입니다.	임의로 큰 "무료 점심"은 없습니다.	아니요. 경제는 희소성이 필요합니다.
${\displaystyle \mathrm{PS}}$∩(${\displaystyle }$-$PS$) {\$displaystyle$PPS\$cap(-$PPS)}이(가) 경계입니다.	경제는 임의로 큰 변화를 되돌릴 수 없습니다.

인위적인 제한을 가하는 것

함수 ${\displaystyle {Di}^{}p),}$ ${\displaystyle {Sj}^{}p)}$ ${\displaystyle$ D$^{i}(p),$$S^{j}(p)}$는 모든 가격 벡터 $p {\displaystyle$ p$}$에 대해 반드시 잘 정의될 필요는 없습니다$.$ 예를 들어, 생산자 1이 상품 1의 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$ 단위를$$ 상품 2의${\displaystyle \sqrt{}}$(${\displaystyle \sqrt{\mathrm{t}}}$+ 1${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2{}^{}}}$- 1 ${\$ 단위로$$ 변환할 수 있다면, p / < 1 ${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$이 있습니다 그러면 생산자는 무한한 이익으로 계획을 만들 수 있으므로${\displaystyle }$π j (p) = +$$∞ {\$displaystyle$ \Pi ^{j}(p) = +\infty}, S j (p) {\displaystyle S^{j}(p)}는 정의되지 않았습니다.

따라서 모든 생산자는 ${\displaystyle {생산}^{}}$ 계획 ‖ ${\displaystyle y}$ $j$‖ ≤ C {\$displaystyle \$^{j}\leq C}를 사용해야$$하는 보편적인 상한 $C$ ${\displaystyle C}$가 있는 경우를 제외하고는 "제한된 시장"을 동일한 시장으로 정의합니다. 그리고 각 가정은 소비 ${\displaystyle {요금제}^{}}$ ‖ $xi$ ‖ ≤ C {\displaystyle \ x^{i}\ \leq C}를 사용해야 합니다. 제한된 시장에서 해당 수량을 타일로 표시합니다. 예를 들어, $Z{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$(${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$는 제한된 시장에서의 초과 수요 함수입니다.^[10]

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ C$}$은(는) 균형 조건에서 제한이 적용되지 않도록 경제에 "충분히 큰" 것으로 선택됩니다$$(다음 섹션 참조). 세부적으로 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 다음과 같이 충분히 크도록 선택됩니다.

• ${\displaystyle x}$ ⪰${\displaystyle }$0, ‖ $x$ ‖ $$= C {\displaystyle x\ succeq 0,\ x\ = C}와 같은 소비 $계획$ x$${\$displaystyle$x}의 경우, 모든 생산업체가 조정하더라도 수요를 충족하지 못할 정도로 "extravag적"입니다.
• For any list of production plans for the economy ${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$, if ${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$, then ${\displaystyle \ y^{j}\ <C}$for each ${\displaystyle j\in J}$. In other words, 주어진 $기부자{\displaystyle }$ ${\displaystyler}$ 하에서 달성 가능한 생산 계획의 경우$,$ 각 생산자의 개별 생산 계획은 엄격하게 제한 범위 내에 있어야 합니다.

각 요구 사항은 충족됩니다.

• ${\displaystyle \underset{}{}}$ j ∈에 대해 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ = {${\displaystyle }$∑ j ∈ $Jy$ j : y j ∈ PS j, ∑ j ∈ Jy j + r ⪰ 0} {\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}\in PPS^{j}}{\text{각}j\in J,{\text{ 및 }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}, 그런 다음 위에서 제시한 생산자에 대한 가정(특히 "무작위 큰 무료 점심 식사 금지" 가정) 하에서, ${\displaystyle {PPr}_{}}${\$displaystyle PPS_{$r}는 $임의의$ ⪰ 0 ${\displaystyle$ r\succeq 0}(증명 생략)에 대해 한정됩니다. 따라서 첫 번째 요구 사항은 충족됩니다.
• 달성 가능한 개별 ${\displaystyle \text{생산}}$ 계획의 ${\displaystyle \text{집합}}$을 ${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ : =${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ∈ ${\displaystyle {PS}^{}}$ j : ${\displaystyle \text{y}}$ j${\displaystyle }$는$$ r } {\$displaystyle PPS_{$r}^{j}:$=$\{y^{$j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{는 기부금}}r\}$ 하에서 $달성$ 가능한 $생산 계획의 일부$입니다. 그런 다음 ${\displaystyle {}_{}^{}}$에서 제시된 생산자에 대한 가정(특히 "임의로 큰 변환 없음" $가정$) 하에서 PP$$ {\$displaystyle PPS_{r}^{j$}}는 임의의 ${\displaystyle j}$$∈$ J에 대해 한정됩니다.$r$ 0 ${\displaystyle j\in$ J,$r\$succeq 0}(증명 생략)입니다. 따라서 두 번째 요구 사항은 충족됩니다.

두 가지 요구 사항은 함께 생산 계획과 소비 계획이 제한에 "내부"일 때 제한이 실제 제한이 아님을 의미합니다.

• At any price vector ${\displaystyle p}$, if ${\displaystyle \ {\tilde {S}}^{j}(p)\ <C}$, then ${\displaystyle S^{j}(p)}$ exists and is equal to ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$. In other words, 제한 생산자의 생산계획이 인위적인 제한의 내부에 있다면, 제한 없는 생산자는 동일한 생산계획을 선택할 것입니다. 이는 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 두 번째 요구 사항을 이용함으로써 입증됩니다$.$
• 모든 $S$ ${\displaystyle j^{}}$(${\displaystyle p)}$ = ${\displaystyle {S\stackrel{}{}}^{}}$~ j ($p)$ {\displaystyle S^{j}(p) = {\tilde {S}}^{j}(p)}인 경우, 제한 가구와 제한 가구의 예산은 동일합니다. $이제$ ‖ ~ i()‖ < $C${\$displaystyle \${D}}^{i}(이면$Di$ (p) ${\displaystyle$ D^{i}(p)}가 $존재$하며${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$D ~ i (p$) {\displaystyle {\tilde$ $\{$D}}^{i}(p$)}$와${\displaystyle \mathrm{같습니다}}$. 즉, 제한가구의 소비계획이 인위적인 제한의 내부에 있다면, 제한가구는 동일한 소비계획을 선택할 것입니다. 이는 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 첫 번째 요구 사항을 이용함으로써 입증됩니다$.$

이 두 명제는 제한된 시장에 대한 균형이 제한되지 않은 시장에 대한 균형이라는 것을 의미합니다.

일반균형의 존재

마지막으로 우리는 왈라스의 법칙을 정의합니다.

• 무제한 시장은 ${\displaystyle {Sj}^{}p),}$ ${\displaystyle {Di}^{}p)}$ ${\displaystyle S^{j}(p$)에$$ 해당하면 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$에서 Walras의 법칙을 만족하고$,$${\displaystyle D}$$^{i}(p)}$가 정의되며, $⟨$ $p$, Z(${\displaystyle p}$) $⟩$ $=$ 0 ${\$displaystyle$$\ $lang$ p, Z(p)\rangle $=$ 0}, 즉,
  $${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$

  
• ${\displaystyle 제한}$된 시장은${\displaystyle \stackrel{}{}}$⟨${\displaystyle p}$, Z ~ (p) lang$$= 0 ${\$displaystyle \ ⟩ p, {\tilde {Z}}(p)\rangle = 0}일 경우 $p$ ${\displaystyle$ p$}$에서 Walras의 법칙을 만족합니다.

왈라스의 법칙은 양쪽 모두에서 해석될 수 있습니다.

• 가계 측면에서는 가계 총지출이 기부금을 판매하여 얻는 총이익과 총수입과 같다는 것입니다. 즉, 모든 가정이 예산을 모두 지출합니다.
• 생산자 측에서는 총이익에 총비용을 더한 것이 총수입과 같다는 것입니다.

$위{\displaystyle }$ 증명은$$함수 f {\$displaystyle$ f$}$가 수축임을 보장하지 않기 때문에 어떤 평형을 찾기 위한 반복 알고리즘을 제공하지 않습니다. 이것은 놀라운 일이 아닙니다. 어떠한 시장 균형도 안정적인 균형이라는 보장이 없기 때문입니다.

우자와 등가 정리

(Uzawa, 1962)^[11]는 Walras의 법칙을 충족하는 지속적인 초과 수요 함수를 특징으로 하는 경제에서 일반 균형의 존재가 Brouwer 고정 소수점 정리와 동등하다는 것을 보여주었습니다. 따라서 일반적으로 균형이 존재한다는 것을 보여주기 위해서는 브루어의 고정점 정리를 사용하는 것이 필수적입니다.^[12]

복지경제학의 기본정리

복지 경제학에서, 가능한 관심사 중 하나는 경제에 대한 파레토 최적의 계획을 찾는 것입니다.

직관적으로 복지 경제의 문제는 전체 경제를 위한 마스터 플래너가 직면한 문제라고 생각할 수 있습니다. 사회 전체를 위한 기부를 $시작$하는$${\$displaystyler}$를 감안할 때 플래너는 실현 가능한 생산 및 소비 계획의 마스터 플래너를 선택해야 합니다$({\displaystyle }$(${\displaystyle {xi}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ∈ I,${\displaystyle (y_{}}$ ${\displaystyle j^{}}$) $∈$ J ) ${\displaystyle ((x^{i$})$_{i\in I}, (y^{j$})$_{$j$\backslash$in J}}. 마스터 플래너는 마스터 플랜을 선택하는 데 있어 자유가 넓지만, 합리적인 플래너라면 누구나 다른 사람의 효용은 감소하지 않으면서 누군가의 효용은 증가할 수 있다면 더 나은 플랜이라는 데 동의해야 합니다. 즉, 파레토 주문을 따라야 합니다.

Define the Pareto ordering on the set of all plans ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$ by ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},$$(y$$^{$$j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in$ I$},$ ($y'^{j})_{j\in$ J$})}$ 만약 f $x$ ${\displaystyle i^{}}$가 $i$$∈$$I$에 대해 $x$$⪰$ i ${\$$displaystyle$$$x^{$i}\succeq ^{$i}'^{i}}이다.

그런 다음$,$ 계획이 실행 가능하다면 시작 $기부자{\displaystyle }$ ${\displaystyler}$와 관련하여 파레토 효율적이며 파레토 주문에서 엄격하게 더 나은 실행 가능한 계획이 존재하지 않는다고 말합니다.

일반적으로 각 시작 $기부자{\displaystyle }$ ${\displayer}$에 대한 전체 파레토 효율적인 플랜 연속체가 있습니다$.$

이를 통해 우리는 복지 경제학의 두 가지 기본 개념을 갖게 되었습니다.^[13]

증명 아이디어: 파레토 최적의 소비 계획은 달성 가능한 소비 계획 집합에서 초평면으로 구분됩니다. 초평면의 기울기는 균형 가격이 될 것입니다. 이러한 가격 하에서 각 생산자와 가정이 주어진 상태를 최적으로 찾을 수 있는지 확인합니다. Walras의 법칙이 성립하는지 확인하여 지출액이 소득과 이윤을 일치시키므로 각 가정에 필요한 예산을 정확히 제공할 수 있습니다.

볼록도 vs 엄격한 볼록도

엄격한 볼록성의 가정은 볼록성으로 완화될 수 있습니다. 이 수정은 수급 함수를 점값 함수에서 설정값 함수(또는 "대처")로 변경하고, 브루어의 고정점 정리를 카쿠타니의 고정점 정리에 적용합니다.

이 수정은 내쉬 균형의 존재에 대한 최소치 정리의 일반화와 유사합니다.

복지 경제학의 두 가지 기본 이론은 수정 없이 유지됩니다.

엄격한 볼록함에서 볼록함으로 변환하기

엄밀하게 볼록한 케이스	볼록한 케이스
${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\$이(가) 엄격하게 볼록합니다.	${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\$가 볼록합니다.
${\displaystyle \mathrm{CP}}$ ${\displaystyle {Si}^{}}$ ${\$가 엄격하게$$ 볼록합니다.	${\displaystyle \mathrm{CP}}$ ${\displaystyle {Si}^{}}$ ${\$가 볼록합니다.
$i {\displaysty$^{i}}는 엄격하게 볼록합니다.	$i {\displaysty$^{i}}가 볼록합니다.
${\displaystyle {\stackrel{}{}S}^{}}$~ j${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$는 점 값입니다.	${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}S{\stackrel{}{}}^{}}$~ ${\displaystyle j^{}}$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$가 설정 값입니다.
${\displaystyle {\stackrel{}{S}}^{}}$~ ${\displaystyle j^{}}$(${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$가 연속입니다.	${\displaystyle {\stackrel{}{}S}^{}}$~ j${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$에 닫힌 그래프("상단 반연속")가 있습니다$$.
${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\langle \leq 0}$	$z ⟩$ ≤ 0 ${\$$displaystyle$ \$langle$ p,z\rangle$$\leq 0} 임의의 z ∈ Z ~ (p) {\tilde {Z}}(p)}에서 {\displaystyle z\
...	...
평형은 브루어의 고정점 정리에 의해 존재합니다.	카쿠타니의 고정점 정리에 의해 평형이 존재합니다.

평형 vs "준평형"

시장 균형의 정의는 예산 제약에 따라 모든 가구가 효용 극대화를 수행한다고 가정합니다. 그것은,

이중 문제는 유틸리티 제약에 따른 비용 최소화입니다. 그것은,어떤 실수 $u{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$에 대하여 ${\$ 두 문제 사이의 이중성 격차는 음수가 아니며 양수일 수 있습니다. 결과적으로, 일부 저자들은 이중 문제와 그 "준평형"(^[14]또는 "보상평형")^[15]의 속성을 연구합니다. 모든 평형은 준 평형이지만 그 반대는 반드시 사실이 아닙니다.^[15]

확장

전략적 협상 회계

모델에서 모든 생산자와 가계는 가격 벡터 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$를 사용하여 단순히 시장과 거래한다는 의미로 가격 벡터 p {\displaystyle p}를 사용하여 가격을 계산합니다$.$ 특히 카르텔, 독점, 소비자 연합 등의 행동은 모델링하지 않습니다. Edgeworth의 한계 정리는 특정한 더 강력한 가정 하에서 가계가 무한히 큰 경제의 한계에서 가격 인상보다 더 나은 것은 할 수 없다는 것을 보여줍니다.

세우다

세부적으로는 가계와 생산자에 대한 경제 모델을 계속하고 있지만 시장 경제와는 다른 상품의 생산과 유통을 설계하는 방법을 고려하고 있습니다. 그것은 "사회주의" 경제의 모델로 해석될 수 있습니다.

• 생산자의 돈, 시장, 사적 소유권이 없습니다.
• 사적 소유와 돈, 수익 동기를 폐지했으니 한 생산자와 다음 생산자를 구분하는 것은 의미가 없습니다. 결과적으로, 각 생산자가 ${\displaystyle {개별적}^{}}$으로 j ∈$$$PSj$ {\$displaystyle$y^{j}\in PPS^{j}\in PPS}를 계획하는 대신, 마치 사회 전체가 하나의 훌륭한 생산자가 y ∈ PS {\displayy\in PPS}를 생산하는 것과 같습니다.
• 가계는 여전히 동일한 선호도와 기부금을 가지고 있지만 더 이상 예산이 없습니다.
• 생산자는 이윤이 없기 때문에 이윤을 극대화하기 위해 생산하지 않습니다. 모든 가구는 다음과 같은 제약 조건을 가진 상태${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ${\displaystyle i}$ ∈ I$,$ y) ${\displaystyle((x_{i$})$_{i\$in$$I}, y)}를 만듭니다.
  $${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$

  
• 가구의 비어 있지 않은 부분 집합은 생산자의 통제를 유지하면서 다른 모든 가구를 제거할 수 있습니다.

따라서 이 경제는 각 가정을 플레이어로 하는 협동 게임이며 협동 게임 이론에서 다음과 같은 개념을 가지고 있습니다.

• 차단 연합은 다른 모든 가구를 제거하더라도 엄격하게 파레토 더 나은 계획이 존재하도록 가구의 비어 있지 않은 부분 집합입니다.
• 차단 연합이 없는 경우 상태는 코어 상태입니다.
• 경제의 핵심은 핵심 국가의 집합입니다.

가구의 비어 있지 않은 부분 집합은 생산자의 통제를 유지하면서 다른 가구를 모두 제거할 수 있다고 가정했기 때문에 실행할 수 있는 유일한 주는 핵심 주이다. 핵심 국가가 아닌 국가는 즉시 가구 연합에 의해 반대될 것입니다.

$임의의$k$$≥$0${\displaystyle k\geq 0}에 대한 $원뿔$$,$ ${\displaystyle 즉}$ k ⋅ PS ⊂ ${\displaystyle \mathrm{PS}}$$\{\backslash$$displaystyle$k$\cdot$ PPS\$}$라는 $PS$ {\$displaystyle$ K\geq 0}에 대한 가정이 하나 더 필요합니다. 이 가정은 경제가 하찮아지는 두 가지 방법을 배제합니다.

• 무료 점심의 저주: 이 모델에서 전체 ${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle PPS}$는 비어 있지 않은 모든 연합, 심지어 하나의 연합에도 사용할$$ 수 있습니다. 따라서 아무도 기부금을 가지고 있지 않지만 ${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle PPS}$에 "무료 점심" $y$≻ 0 ${\displaystyle y$\succ 0}이 포함되어 있으면(선호도가 단조롭다는 가정 하에) 모든 가정에서 y ${\displaystyle$ y$}$를 자체적으로 사용하고 싶어하며, 결과적으로 *no* core 상태가 존재합니다. 직관적으로, 세상의 모습은 이기적인 사람들의 위원회입니다. 무료 점심을 제공하지 않는 모든 계획에 거부권을 행사하는 것입니다.
• 성장의 한계: 두 가지 상품이 있는 사회를 생각해 보세요. 하나는 "노동"이고 다른 하나는 "음식"입니다. 가계는 노동력만 기부금으로 가지고 있지만, 식량만 소비합니다. ${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle PPS}$는 상단이 평평한 램프처럼 보입니다$$. 그래서 0-1,000시간의 노동을 하면 0-1,000kg의 식량이 선형적으로 생산되지만 더 이상의 노동은 식량을 생산하지 않습니다. 이제 각 가정에 천 시간의 노동이 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 모든 가정이 다른 모든 가정을 즉시 차단할 것이 분명한데, 한 가정이 전체 ${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle PPS}$를 자체적으로$$ 사용하는 것이 더 낫기 때문입니다.

주요결과(Debreu and Scarf, 1963)

Debreu와 Scarf의 논문에서, 그들은 무한히 큰 경제에 접근하는 특별한 방법을 "가계를 복제"함으로써 정의했습니다. 즉$,$ 임의의 양의 $정수{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$에 대해 $가정{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$와 정확히 동일한 소비 가능성 및 선호도를 갖는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 가정이$$ 있는 경우 경제를 정의합니다$.$

Let ${\displaystyle x^{i,k}}$ stand for the consumption plan of the ${\displaystyle k}$-th replicate of household ${\displaystyle i}$. Define a plan to be equitable iff ${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$ for any ${\displaystyle i\in I}$ and ${\displaystyle k,}$$k$ K ${\displaystyle k,$k$\text{'}\backslash$in K}.

일반적으로 각 복제를 다르게 처리하는 상태는 매우 복잡합니다. 그러나 핵심 상태는 훨씬 간단합니다. 모든 복제를 동등하게 취급하고 공평합니다.

따라서 핵심 상태를 연구할 때 가구 유형별로 하나의 소비 방안을 고려하면 충분합니다. 이제 ${\displaystyle {CK}_{}}$ ${\$를 가구당 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$개의 복제가$$ 있는 경제의 모든 핵심 상태 집합으로$$ 정의합니다. $C$ ${\displaystyle 1_{}}$ ⊃ C$2는 {\displaystyle$ C_{1}\supset C_{2$}\$supset \cdots}를 ⊃ ⋯$하므로$ 코어 상태 C: = ∩ K = 1 ∞ C {\displaystyle C:=\cap_{K=1}^{\infty}C_{K}}의 극한을 정의할 수 있습니다.

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$에는 원래 경제에 대한 시장 균형 집합이 포함되어$$ 있음을 확인했습니다. 그 반대의 경우는 사소한 추가적인 가정 하에서 참입니다.^[16]

${\displaystyle \mathrm{PS}}$ ${\displaystyle PPS}$가 다각뿔이거나, 모든 ${\displaystyle {CPsi}^{}}$ ${\$가 비어 있지 않은 내부를 가지고 있다는$$ 가정은 "준평형"이라는 기술적 문제를 피하기 위해 필요합니다. 가정 없이 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$가 준평형 집합에 포함되어 있음을 증명할 수 있을 뿐입니다.

불요불급성회계

생산 가능성 집합이 볼록하다는 가정은 규모의 경제가 없음을 의미하기 때문에 강력한 제약 조건입니다. 마찬가지로, 우리는 비볼록 소비 가능성 집합과 비볼록 선호도를 고려할 수 있습니다. 이 경우, 수요와 공급 함수 ${\displaystyle {Sj}^{}}$(${\displaystyle p),}$ ${\displaystyle {Di}^{}}$ (${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle$ S$^{j}(p),$$D^{i}(p)}$는 가격 벡터에 대해 불연속적일 수$$ 있으므로 일반적인 균형이 존재하지 않을 수 있습니다.

그러나 우리는 경제를 "변환"하여 균형을 찾고 샤플리-포크만-스타 정리에 의해 원래 경제에 대한 대략적인 균형을 찾을 수 있습니다.

세부적으로 ${\displaystyle {PSj}^{}}$ ${\displaystyle {CPsi}^{}}$ ${\displaystyle PPS^{j},$ ${\displaystyle {CPS}^{}}$$^{i},$ ⪰$i {\displaystyle \succeq$^{i}의 볼록성을 제외하고 주어진 모든 가정을 만족하는 경제를 고려할 때, 우리는 다음을 제외하고 "convolutioned economy"를 동일한 경제로 정의합니다.

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv}(PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv}(CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$ iff ${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$.

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $V{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$은 볼록한 선체를 나타냅니다$$.

이를 통해 볼록 경제에 대한 일반 균형도 원래 경제에 대한 대략적인 균형이 됩니다. 즉, $p$∗ {\displaystyle $p$^{*}}가 볼록 경제에 대한 균형 가격 벡터라면,

$여기$서$($⋅$,$ ⋅) ${\displaystyle$d(\cdot,\cdot )}는 $거리$이고 L$${\displaystyle L}은 ${\displaystyle {}^{}}$ $j$ $CP$ Si ${\displaystyle$PPS^{j}, CPS^{i}의 $내부$ ${\displaystyle {반지름}^{}}$의 상한입니다(내부 반지름의 정의는 샤플리-포크만-스타 정리의 페이지 참조).

볼록한 경제는 가정을 만족시키지 못할 수 있습니다. 예를 들어, {( ): ≥ } ∪ { (x, y) : $x$ y = 1, x > 0 } {\displaystyle \{(x,0) : x\geq 0\}\cup \{(x,y) : xy = 1,x > 0\}은 닫혀 있지만 볼록한 선체는 닫혀 있지 않습니다. 볼록 경제도 가정을 충족한다는 추가 가정을 부과하면 원래 경제는 항상 대략적인 균형을 이루고 있음을 알 수 있습니다.

시간, 공간, 불확실성에 대한 고려

Arrow-Debreu 모델의 상품은 완전히 추상적입니다. 따라서 일반적으로 정태적 시장으로 표현되지만, 하나의 상품을 여러 개로 분할하여 시간, 공간, 불확실성을 모델링하는 데 사용할 수 있으며, 각각의 상품은 세계의 특정 시간, 장소, 상태에 따라 결정됩니다. 예를 들어, "애플"은 "오렌지를 사용할 수 있는 경우 9월에 뉴욕에서 사과"와 "오렌지를 사용할 수 없는 경우 6월에 시카고에서 사과"로 나눌 수 있습니다.

일부 기본 상품이 주어지면, 화살-데브뢰 완전 시장은 모든 미래 시점, 모든 배송지, 고려 중인 세계의 모든 주, 모든 기본 상품에 대해 별도의 상품이 있는 시장입니다.

금융 경제학에서 애로우-데브뢰라는 용어는 애로우-데브뢰 보안을 가장 일반적으로 나타냅니다. 표준 Arrow–Debreu 보안은 세계의 특정한 상태에 도달하면 1단위의 숫자를 지불하고 그렇지 않으면 0(이른바 "국가 가격"인 보안의 가격)을 지불하는 보안입니다. 이와 같이 결제가치가 계약일에 가치가 불확실한 기초 위의 함수인 파생상품계약은 Arrow-Debreu 증권의 선형결합으로 분해될 수 있습니다.

1978년 Briden and Lizenberger의 연구 이후 ^[18]많은 연구자들이 금융 경제학의 다양한 응용 분야에서 Arrow-Debreu 가격을 추출하기 위해 옵션을 사용했습니다.^[19]

화폐의 존재에 대한 회계처리

여기에는 화폐론이 제시되어 있지 않으며, 교환의 매개체 역할을 하는 선의 도움 없이는 경제가 작동한다고 가정합니다.

— Gérard Debreu, Theory of value: An axiomatic analysis of economic equilibrium (1959)

순수 이론가에게 현재 시점에서 돈의 가장 흥미롭고 도전적인 측면은 화살-데브레유 경제에서 그 자리를 찾을 수 없다는 것입니다. 이러한 상황은 거시 경제학자들에게도 상당한 의미가 있어야 하지만, 거의 그렇지 않습니다.

— Frank Hahn, The foundations of monetary theory (1987)

일반적으로 경제학자들은 화폐의 기능을 계정, 가치 저장, 교환 매체 및 지연 지불의 기준으로 간주합니다. 그러나 이는 위에서 설명한 Arrow-Debreu 전체 시장과 호환되지 않습니다. 완전한 시장에서 "시점의 시작"에 시장에서 일회성 거래만 존재합니다. 그 후 가계와 생산자는 계획된 생산, 소비 및 상품 배송을 종료할 때까지 실행할 뿐입니다. 따라서 가치의 저장이나 교환매체를 사용할 필요가 없습니다. 이는 Arrow-Debreu 전체 시장뿐만 아니라 형태는 다르지만 수학적으로 동일한 모델(예: 우발 상품 및 Arrow 보험 계약 시장이 있는 모델)에도 적용됩니다.^[20]

일반 평형 계산

일반 평형을 계산하는 최초의 알고리즘은 스카프(1967)^[21]입니다. 리뷰는 스카프(2018)^[22]와 쿠블러(2012)^[23]를 참조하세요.

평형수

특정 기부 벡터의 특정 경제는 무한히 균형 가격 벡터를 가질 수 있습니다. 그러나 "일반적으로" 경제는 균형 가격 벡터가 무한히 많습니다. 여기서 "일반적으로"는 Sard의 정리에서와 같이 "모든 점에서, 닫힌 집합의 Lebesgue measure 0을 제외하고"를 의미합니다.^[24][25]

그러한 일반성 정리들이 많이 있습니다. 한 가지 예는 다음과 같습니다.^[26][27]

참고 항목

• 모델(경제학)
• 불완전시장
• Fisher market - 각 제품의 총 수량이 제공되고 각 구매자에게 금전적 예산만 제공되는 보다 단순한 시장 모델입니다.
• 자산가격결정관련기사 목록
• 금융경제학 § 기초경제학

참고문헌

더보기

• Athreya, Kartik B. (2013). "The Modern Macroeconomic Approach and the Arrow–Debreu–McKenzie Model". Big Ideas in Macroeconomics: A Nontechnical View. Cambridge: MIT Press. pp. 11–46. ISBN 978-0-262-01973-6.
• Geanakoplos, John (1987). "Arrow–Debreu model of general equilibrium". The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Vol. 1. pp. 116–124.
• Takayama, Akira (1985). Mathematical Economics (2nd ed.). London: Cambridge University Press. pp. 255–284. ISBN 978-0-521-31498-5.
• Düppe, Till (2012). "Arrow and Debreu de-homogenized". Journal of the History of Economic Thought. 34 (4): 491–514. CiteSeerX 10.1.1.416.2120. doi:10.1017/s1053837212000491. S2CID 15771197.

외부 링크

• 경제학의 화살-데브뢰-맥켄지 모델에 관한 노트, 교수. 김씨. 보더 캘리포니아 공과대학교
• 재정학의 "기본 정리" 제2부. 교수님. 하스 경영대학원^{[dead link]} 마크 루빈스타인