수축 매핑

수학에서, 미터법 공간(M, d)에 대한 수축 매핑 또는 수축 또는 계약자는 M에서 그 자체로 함수 f이며, 일부 음이 아닌 실제 숫자 < $[\displaystyle 0\leq k<1}$가 있다는 속성은 M에서 모든 x와 y에 대해,

${\displaystyle d(f(x),f(y)\leq k\,d(x,y).}$

k의 그러한 가장 작은 값을 f의 립스치츠 상수라고 한다.수축형 지도는 때때로 립스치츠식 지도라고 불린다.만일 위의 조건이 k 1 1에 대해 대신 만족한다면, 지도는 비확장 지도라고 한다.

더 일반적으로, 수축적 매핑의 개념은 미터법 공간 사이의 지도에 대해 정의될 수 있다.따라서 (M, d)와 (N, d')가 두 메트릭스 공간인 경우, ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle f:$$M\rightarrow N}$은(는$)$ 다음과 같은 0 < $[\displaystyle 0\leq k<1$}가 있는 경우 계약적 매핑이다$$.

${\displaystyle d'(x),f(y)\leq k\,d(x,y)}$

모든 x와 y를 M으로 표시한다.

모든 수축 매핑은 립스치츠 연속형이며 따라서 균일하게 연속형이다(립스치츠 연속 기능의 경우, 상수 k는 더 이상 반드시 1 이하가 아니다).

수축 매핑은 최대 하나의 고정 지점을 가진다.더욱이 바나흐 고정점 정리에서는 비어 있지 않은 완전한 메트릭스 공간에 대한 모든 수축 매핑은 고유한 고정점을 가지고 있으며, M의 어떤 x에 대해서도 반복된 함수 시퀀스 x, f (x) f (f (x)), ...가 고정점으로 수렴된다고 기술하고 있다.이 개념은 수축 매핑이 자주 사용되는 반복 함수 시스템에 매우 유용하다.바나흐의 고정점 정리도 일반 미분방정식의 해법의 존재를 입증하는 데 적용되며, 역함수 정리라는 하나의 증거에 사용된다.^[1]

수축 매핑은 동적 프로그래밍 문제에서 중요한 역할을 한다.^[2][3]

확실하게 확장되지 않는 매핑

$다음{\displaystyle }$ 사항이 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 모든 x와 y에 대해 유지된다면$$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1$}을$($를) 사용한 비확장 매핑을 Hilbert $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ H ${\$에서 확실하게 확장되지 않는 매핑으로 강화할 수 있다$$$.$

${\displaystyle \f(x)-f(y)\^{2}\leq \,\langle x-y,f(x)-f(y)\angle .}$

어디에

${\displaystyle d}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle d(x,y)=\ x-y\$

이것은 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \alpha }$ 평균$$ 비xpansive 연산자의 특별한 경우로서$,$^[4] $\alpha {\displaystyle }$= 1 / 2 {\$displaystyle \alpha =1/2}.$ 확장이 확실한 비확장 매핑은 항상 Cauchy-Schwarz 불평등을 통해 확장성이 없다.

견고하게 확장되지 않는 맵의 등급은 볼록한 조합에 의해 폐쇄되지만 구성되지는 않는다.^[5]이 세분류는 적절한 볼록함수, 낮은 세미콘틴 함수의 근위부 매핑을 포함하므로 비어 있지 않은 닫힌 볼록 집합에 대한 직교 투영도 포함한다.확실히 비확산 연산자의 등급은 최대 단조로운 연산자의 분해제 집합과 같다.^[6]놀랍게도, 비확장 지도를 반복하는 것은 고정점을 찾을 수 있는 보장이 없지만(예: -1에 의한 곱하기) 고정점이 존재한다면, 고정점까지의 글로벌 정합성을 보장하기에 기업의 비확장성은 충분하다.보다 정확하게 ${\displaystyle Fix}$ f ${\displaystyle :=}${ x${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H\mathcal{}}$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle x}$}${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\text{Fix}f:$$=\{x\in {\mathcal {H}\f(x)=x\}\neq \varnothing },$초기 포인트 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$∈ ${\displaystyle H\mathcal{}}$ ${\$ 반복

${\displaystyle(\forall n\in \mathb {N} )\quad x_{n+1}=f(x_{n})}$

고정 지점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Fix}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{n}\to z\in {\text{Fix}f$에 수렴.이 수렴은 무한 차원 환경에서는 약할 수 있다.^[5]

하위 콘트랙션 맵

하위 수축 지도 또는 하청업체는 미터법 공간(M, d)에 있는 지도 f를 다음과 같이 나타낸다.

$(\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$

${\displaystyle d(f(x)),f(x)<d(f(x)),x)\disput {\text{failed}\note x=f(x).}$

하청업체 f의 이미지가 콤팩트하면 f는 고정점을 갖는다.^[7]

국소 볼록한 공간

세미노름의 P가 제공하는 위상이 있는 국소 볼록 공간(E, P)에서는 p(f(x) - f(y) ≤ k_p(x - y)와 같은 k_p < 1이 있는 지도 f로서 p-contraction을 정의할 수 있다.만약 f가 모든 p ∈ P에 대한 p-contraction이고 (E, P)가 순차적으로 완성된다면, f는 어떤 시퀀스 x_n+1 = f(x_n)의 한계로 주어지는 고정점을 가지고 있고, (E, P)가 하우스도르프라면 고정점은 고유하다.^[8]

참고 항목

• 쇼트맵
• 수축(운영자 이론)
• 변환

참조

추가 읽기

• Istratescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory : An Introduction. Holland: D.Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0. 학부 수준의 소개를 제공한다.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
• Kirk, William A.; Sims, Brailey (2001). Handbook of Metric Fixed Point Theory. London: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
• Naylor, Arch W.; Sell, George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Science. Applied Mathematical Sciences. Vol. 40 (Second ed.). New York: Springer. pp. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2.