스핀 (입자 물리학)

스핀은 기본 입자, 즉 하드론, 원자핵 및 ^[1]^[2]원자와 같은 복합 입자에 의해 운반되는 고유한 형태의 각운동량입니다.스핀은 단순히 "회전하는 내부 질량"의 의미로 이해되어서는 안 됩니다.고전 역학에서 회전과 더 유사한 다른 유형의 각운동량이 있는데, 이를 궤도 각운동량이라고 합니다.궤도 각운동량 연산자는 각도가 ^[3]^[4]변화함에 따라 파동 함수에 주기적인 구조가 있을 때 나타납니다.광자의 경우 스핀은 빛의 편광에 대한 양자 역학적 대응물이며, 전자의 경우 스핀은 고전적 ^{[citation needed]}대응물이 없습니다.

전자 스핀 각운동량의 존재는 궤도 ^[5]각운동량이 없음에도 불구하고 은 원자가 두 개의 가능한 이산 각운동량을 갖는 것으로 관찰된 스턴-게를라크 실험과 같은 실험에서 추론됩니다.전자 스핀의 존재는 또한 스핀-통계 정리와 파울리 배타 원리로부터 이론적으로 추론할 수 있으며, 반대로 전자의 특정 스핀을 고려할 때 파울리 배타 원리를 도출할 수 있습니다.

스핀은 수학적으로 광자와 같은 일부 입자에 대한 벡터로, 전자와 같은 다른 입자에 대한 스피너와 비스피너로 설명됩니다.스피너와 비스피너는 벡터와 유사하게 동작합니다: 그들은 일정한 크기를 가지고 있고 회전하는 동안 변화합니다; 그러나 그들은 비전통적인 "방향"을 사용합니다.주어진 종류의 모든 기본 입자는 방향이 바뀔 수 있지만 동일한 크기의 스핀 각운동량을 갖습니다.이는 입자에 스핀 양자 ^[2]번호를 할당하여 표시됩니다.

스핀의 SI 단위는 고전적인 각운동량(즉, N·m·s, J·s 또는 kg·m²·s⁻¹)과 동일합니다.실제로 스핀은 일반적으로 스핀 각운동량을 각운동량과 동일한 차원을 갖는 감소된 플랑크 상수 $δ$ 로 나누어 무차원 스핀 양자수로 제공됩니다.종종, "스핀 양자수"는 단순히 "스핀"이라고 불립니다.

양자수

이름에서 알 수 있듯이, 스핀은 원래 어떤 축을 중심으로 한 입자의 회전으로 생각되었습니다.기본 입자가 실제로 회전하는지에 대한 질문은 모호하지만(점처럼 보이기 때문에) 스핀이 양자화된 각운동량과 동일한 수학적 법칙을 따르는 한에서 이 그림은 정확합니다. 특히 스핀은 입자의 위상이 각도에 따라 변한다는 것을 암시합니다.반면에 스핀은 궤도 각운동량과 구별되는 몇 가지 독특한 특성을 가지고 있습니다.

스핀 양자 수는 반 정수 값을 사용할 수 있습니다.
스핀의 방향은 변경될 수 있지만, 기본 입자는 더 빨리 또는 더 느리게 회전할 수 없습니다.
하전 입자의 스핀은 1과 다른 g-인자를 가진 자기 쌍극자 모멘트와 관련이 있습니다.이는 입자의 내부 전하가 질량과 다르게 분포되어 있을 때만 고전적으로 발생할 수 있습니다.

스핀 양자 번호의 일반적인 정의는 s = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}mw-parser-output .sfrac.tion, .mw-parser-output .sfrac.tion{display:sfrac-block; mw-align:-align:-sfrac-size:85%;text-align-sfrac.mwtext-sfrac.mwtext-ser-sfrac.num.mwalline.den.mw-parser-output .sfrac.den{border-top:1parser solid}.mw-parser-output.sr-only{border:0;parser:rect(0,0,0,0);높이:1parser;mw:1parser:rect(1parser:1parse);hid:0;위치:0;n/2.n/2(여기서 n은 음이 아닌 정수일 수 있습니다.따라서 s의 $허용$ 값은 0, 1/2, 1, 3/2, 2 등입니다.기본 입자에 $대한$ s의 값은 입자 유형에 따라 달라지며 아래에 설명된 스핀 방향과 달리 알려진 방식으로 변경할 수 없습니다.모든 물리적 시스템의 스핀 $각운동량$ S는 양자화됩니다.허용되는 $Sare$ 값

S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}=nbfrac {h}{2\pi}}\,{\sqrt {{\frac {n}}{\frac {(n+2)}{2}}}}}=nbfrac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},

여기

서 그는 플랑크 상수이고,

=

h

{\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}

π \

hbar

=

{\ frac

{h}{

2\pi

}}는

{\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}

플랑크 상수입니다.반대로 궤도 각운동량은 s의

정수

값, 즉 짝수

n

의 값만 가질 수 있습니다.

페르미온과 보손

1/2, 3/2, 5/2와 같은 반 정수 스핀을 가진 입자는 페르미온으로 알려진 반면, 0, 1, 2와 같은 정수 스핀을 가진 입자는 보손으로 알려져 있습니다.입자의 두 가족은 서로 다른 규칙을 따르고 우리 주변 세계에서 대체로 다른 역할을 합니다.두 계열의 핵심적인 차이점은 페르미온이 파울리 배타 원리를 따른다는 것입니다. 즉, 동일한 양자 수(대략, 동일한 위치, 속도 및 스핀 방향)를 동시에 갖는 두 개의 동일한 페르미온이 있을 수 없습니다.페르미온은 페르미-디랙 통계의 규칙을 따릅니다.대조적으로, 보손은 보스-아인슈타인 통계의 규칙을 따르고 그러한 제한이 없기 때문에 동일한 상태에서 "함께 뭉칠" 수 있습니다.또한, 복합 입자는 구성 요소 입자와 다른 스핀을 가질 수 있습니다.예를 들어, 바닥 상태의 헬륨-4 원자는 스핀이 0이고 그것을 구성하는 쿼크와 전자가 모두 페르미온임에도 불구하고 보손처럼 행동합니다.

이는 몇 가지 중대한 결과를 초래합니다.

고전적으로 물질로 알려진 것을 구성하는 쿼크와 렙톤(전자와 중성미자 포함)은 모두 스핀이 1/2인 페르미온입니다."물질이 공간을 차지한다"는 일반적인 생각은 페르미온이 동일한 양자 상태에 있는 것을 방지하기 위해 이 입자들에 작용하는 파울리 배타 원리에서 비롯됩니다.추가 압축은 전자가 동일한 에너지 상태를 차지하도록 요구할 것이며, 따라서 일종의 압력(때로는 전자의 축퇴압이라고도 함)이 페르미온이 지나치게 가까이 있는 것에 저항하기 위해 작용합니다.
다른 스핀(3/2, 5/2 등)을 가진 기본 페르미온은 존재하는 것으로 알려져 있지 않습니다.
힘을 전달하는 것으로 생각되는 기본 입자는 모두 스핀 1을 가진 보손입니다.전자기력을 전달하는 광자, 글루온(강력한 힘), W와 Z 보손(약한 힘)을 포함합니다.동일한 양자 상태를 점유하는 보손의 능력은 레이저에 사용되는데, 이것은 동일한 양자 번호(동일한 방향과 주파수), 헬륨-4 원자가 보손인 초유체 액체 헬륨, 그리고 초전도성을 가진 많은 광자를 정렬합니다.여기서 전자 쌍(개별로 페르미온)은 단일 복합 보손으로 작용합니다.
다른 스핀(0, 2, 3 등)을 가진 기본 보손은 상당한 이론적 처리를 받았고 각각의 주류 이론 내에서 잘 확립되어 있지만 역사적으로 존재하는 것으로 알려져 있지 않았습니다.특히, 이론가들은 스핀 2가 있는 중력자(일부 양자 중력 이론에 의해 존재할 것으로 예측됨)와 스핀 0이 있는 힉스 입자(전기약대칭 파괴 설명)를 제안했습니다.2013년부터 스핀이 0인 힉스 입자가 ^[6]존재하는 것으로 입증되었습니다.자연계에 존재하는 것으로 알려진 최초의 스칼라 소립자(스핀 0)입니다.
원자핵은 핵 스핀이 반 정수이거나 정수일 수 있으므로 핵은 페르미온 또는 보손일 수 있습니다.

스핀-통계 정리

스핀-통계 정리는 입자를 두 그룹으로 나눕니다: 보손과 페르미온은 보스-아인슈타인 통계를 따르고 페르미-디락 통계(따라서 파울리 배타 원리)를 따릅니다.구체적으로, 그 이론은 정수 스핀을 가진 입자는 보손인 반면, 다른 모든 입자는 반 정수 스핀을 가지고 페르미온이라고 말합니다.예를 들어, 전자는 반 정수 스핀을 가지고 있고 파울리 배타 원리를 따르는 페르미온인 반면, 광자는 정수 스핀을 가지고 있고 그렇지 않습니다.이 정리는 양자 역학과 특수 상대성 이론에 의존하며, 스핀과 통계 사이의 이러한 연관성은 "특수 상대성 ^[7]이론의 가장 중요한 응용 중 하나"라고 불립니다.

고전적 회전과의 관계

기본 입자는 점과 유사하기 때문에 자기 회전은 잘 정의되지 않습니다.그러나 스핀은 입자의 위상이 스핀 S와 평행한 축을 중심으로 각도 θ의 회전에 대해 $e^{iS\theta }$ {{\ $displaystyle$ e $^{iS\theta$ 와 $e^{iS\theta }$ 각도에 의존한다는 것을 의미합니다.이는 운동량을 위치의 위상 의존성으로, 궤도 각운동량을 각도 위치의 위상 의존성으로 양자 역학적으로 해석하는 것과 같습니다.

광자 스핀은 빛 편광에 대한 양자 역학적 설명이며, 여기서 스핀 +1과 스핀 -1은 원형 편광의 두 반대 방향을 나타냅니다.따라서 정의된 원형 편광의 빛은 모두 +1 또는 모두 -1인 동일한 스핀을 가진 광자로 구성됩니다.스핀은 다른 벡터 보손에 대한 편광도 나타냅니다.

페르미온의 경우 그림이 덜 선명합니다.각속도는 에렌페스트 정리에 의해 총 각운동량 연산자 J = L + S인 공액 운동량에 대한 해밀턴의 미분과 동일합니다.따라서 해밀토니안 H가 스핀 S에 의존하면 dH/dS는 0이 아니며, 스핀은 각속도를 유발하고, 따라서 실제 회전, 즉 시간에 따른 위상각 관계의 변화를 유발합니다.그러나 자유 전자에 대해 이것이 유지되는지 여부는 모호합니다. 전자에 대해 S는² 일정하기 때문에 해밀턴이 그러한 용어를 포함하는지 여부는 해석의 문제입니다.그럼에도 불구하고, 스핀은 디랙 방정식에 나타나며, 따라서 디랙 필드로 취급되는 전자의 상대론적 해밀턴은 스핀 ^[8]S에 의존성을 포함하는 것으로 해석될 수 있습니다.이 해석에 따르면, 자유 전자도 자전하며, 지터베웨궁 효과는 이 자전으로 이해됩니다.

자기 모멘트

중성자의 스핀을 중성자 자기 모멘트와 관련된 검은 화살표 및 자기장 선으로 묘사하는 개략도.중성자는 음의 자기 모멘트를 가지고 있습니다.이 도표에서 중성자의 스핀이 위쪽에 있는 반면, 쌍극자의 중심에 있는 자기장 선은 아래쪽에 있습니다.

스핀을 가진 입자는 고전적인 전기 역학에서 회전하는 전기적으로 대전된 물체처럼 자기 쌍극자 모멘트를 가질 수 있습니다.이러한 자기 모멘트는 여러 가지 방법으로 실험적으로 관찰될 수 있습니다. 예를 들어 스턴-게를라크 실험에서 불균일한 자기장에 의한 입자의 편향 또는 입자 자체에서 생성된 자기장을 측정하는 것입니다.

$전하$ q, $질량$ m, 스핀 $각운동량$ S를 갖는 스핀-1/2 입자의 고유 자기 $모멘트$ μ는^[9],

display{style{\boldsymbol{mu}}=sysfrac{g_s}{2m}\mathbf{S},}

여기서 무차원 수량 $g$ 를_s 스핀 계수라고 합니다.궤도 회전의 경우 1이 됩니다(질량과 전하가 동일한 반지름의 구를 차지한다고 가정).

전하를 띤 기본 입자인 전자는 0이 아닌 자기 모멘트를 가지고 있습니다.양자 전기 역학 이론의 승리 중 하나는 실험적으로 값이 -2.00231930436256(35)인 것으로 결정된 전자 요인에 대한 정확한 예측이며 괄호 안의 숫자는 하나의 표준 ^[10]편차에서 마지막 두 자리의 측정 불확실성을 나타냅니다.2의 값은 전자의 스핀과 전자기적 특성을 연결하는 기본 방정식인 디랙 방정식에서 발생합니다. 그리고 0.002319304...전자와 주변 전자기장의 상호작용에서 발생합니다. 전자는 자체 ^[11]자기장을 포함합니다.

복합 입자는 또한 스핀과 관련된 자기 모멘트를 가집니다.특히 중성자는 전기적으로 중성임에도 불구하고 0이 아닌 자기 모멘트를 가지고 있습니다.이 사실은 중성자가 기본 입자가 아니라는 것을 일찍부터 보여주었습니다.사실, 그것은 쿼크로 구성되어 있습니다. 쿼크는 전하를 띤 입자입니다.중성자의 자기 모멘트는 개별 쿼크의 스핀과 그들의 궤도 운동에서 나옵니다.

중성미자는 기본적이고 전기적으로 중성입니다.0이 아닌 중성미자 질량을 고려한 최소 확장 표준 모델은 중성미자 자기 모멘트를 다음과 같이 ^[12]^[13]^[14]예측합니다.

displaystyle \mu _{\nu }\time 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }}{\text{eV}},}}

여기서 $μ$ 는_ν 중성미자 자기 모멘트, $m$ 은_ν 중성미자 질량, $μ$ 는_B 보어 마그네톤입니다.하지만 전약 스케일 이상의 새로운 물리학은 훨씬 더 높은 중성미자 자기 모멘트로 이어질 수 있습니다.약 $10 -14 B$ μm보다 큰 중성미자 자기 모멘트는 중성미자 질량에 대한 큰 복사 기여로 이어지기 때문에 모델 독립적인 방식으로 "비자연적"이라는 것을 보여줄 수 있습니다.중성미자 질량이 최대 약 1eV인 것으로 알려져 있기 때문에, 큰 복사 보정은 서로를 크게 상쇄하고 중성미자 질량을 ^[15]작게 유지하기 위해 "미세 조정"되어야 합니다.중성미자 자기 모멘트의 측정은 활발한 연구 분야입니다.실험 결과 중성미자 자기 모멘트는 전자 자기 모멘트의 1.2×10배⁻¹⁰ 미만으로 나타났습니다.

반면에 광자나 Z 보손과 같이 스핀은 있지만 전하가 없는 기본 입자는 자기 모멘트가 없습니다.

큐리 온도 및 정렬 손실

일반적인 물질에서, 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트는 각각의 쌍극자가 전체 평균이 0에 매우 가까운 임의의 방향을 가리키기 때문에 서로 상쇄되는 자기장을 생성합니다.그러나 퀴리 온도 미만의 강자성 물질은 원자 쌍극자 모멘트가 국소적으로 자발적으로 정렬되는 자기 영역을 나타내며 도메인에서 거시적이고 0이 아닌 자기장을 생성합니다.이것들은 우리 모두에게 친숙한 평범한 "자석"입니다.

상자성 물질에서 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트는 부분적으로 외부에 인가된 자기장과 정렬됩니다.반면에 반자성 물질에서 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트는 에너지가 필요하더라도 외부에서 인가되는 자기장과 반대로 정렬됩니다.

이러한 "스핀 모델"의 행동에 대한 연구는 응집 물질 물리학에서 번창하는 연구 분야입니다.예를 들어, 이징 모델은 위와 아래 두 가지 상태만 가능한 스핀(디폴)을 설명하는 반면, 하이젠베르크 모델에서는 스핀 벡터가 모든 방향을 가리킬 수 있습니다.이러한 모델은 많은 흥미로운 특성을 가지고 있으며, 이는 위상 전이 이론에서 흥미로운 결과로 이어졌습니다.

방향

스핀 투영 양자수 및 다중성

고전 역학에서, 입자의 각운동량은 크기(체가 얼마나 빨리 회전하는지) 뿐만 아니라 방향(입자의 회전축 위 또는 아래)도 가지고 있습니다.양자 역학 스핀은 방향에 대한 정보도 포함하고 있지만 더 미묘한 형태입니다.양자역학에 따르면 스핀-s 입자에 대한 각운동량의 성분은 어떤 방향으로든^[16] 측정될 수 있습니다.

S_{i}=\hbars_{i},\displays_{i}\in \{-s,-(s-1),\displays,s-1,s\

$여기$ 서_i S는 i번째 축( $x$ , $y$ $또는$ z)을 따르는 스핀 $성분$ 이고_i, s는 i번째 축을 따르는 스핀 투영 양자수이며, $s$ 는 주요 스핀 양자수입니다(앞 절에서 설명).일반적으로 선택한 방향은 $z축입니다$ .

S_{z}=\hbar s_{z},\displays s_{z}\in \{-s,-(s-1),\displays,s-1,s\

$여기$ 서_z S는 $z축$ 을 따르는 스핀 성분이고, $s$ 는_z $z축$ 을 따르는 스핀 투영 양자 번호입니다.

$s$ 에는_z $2s$ + $1개$ 의 가능한 값이 있음을 알 수 있습니다.숫자 " $2s$ + $1$ "은 스핀 시스템의 배수입니다.예를 들어, 스핀-1/2 입자에 대해 가능한값은 s $=$ + $1$ / $2$ 와_z s = $-1 / 2$ 입니다_z.이는 스핀 성분이 각각 +z 또는 -z 방향을 가리키는 양자 상태에 해당하며, 종종 "스핀 업" 및 "스핀 다운"이라고 합니다.델타 중입자와 같은 스핀-3/2 입자의 경우 가능한 값은 +3/2, +1/2, -1/2, -3/2입니다.

벡터

공간의 한 점이 얽히지 않고 계속 회전할 수 있습니다.360도 회전 후 나선형이 시계 방향과 시계 반대 방향 사이에서 회전합니다.720°를 완전히 회전하면 원래 구성으로 돌아갑니다.

주어진 양자 상태에서, 각 축을 따라 스핀 성분의 기대 값을 성분으로 하는 스핀 벡터 $S$ 를 생각할 수 있습니다 ${\textstyle \langle S\rangle }$ . 즉, ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ S ${\textstyle \langle S\rangle }$ $=$ [ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ S X ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ S Z ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ ] \ $text style$ $S$ \ $rangle$ $=$ [ \ $text style$ S \ $⟨$ s \ $lang$ s lang s lang \ ⟨ ⟨ s ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ s $lang$ \ ⟨ \ ⟨ ⟩ s $le$ \ le \ y $le$ ▁s [ ▁, \ ▁state ▁for rang le \ le _ ▁, lang \ $langle S_{z}\rangle$ 그러면 이 벡터는 회전축의 고전적인 개념에 해당하는 스핀이 가리키는 "방향"을 설명합니다 $.$ 스핀 벡터는 직접 측정할 수 없기 때문에 실제 양자 역학 계산에서 매우 유용하지 $않습니다 x$ . s, $s y$ $및 z$ s는 양자 불확실성 관계로 인해 동시에 특정 값을 가질 수 없습니다.그러나 스턴-게라흐 장치를 사용하는 것과 같이 동일한 순수 양자 상태에 놓인 통계적으로 큰 입자 집합의 경우 스핀 벡터는 잘 정의된 실험적 의미를 갖습니다.수집된 모든 입자를 검출할 수 있는 최대 가능 확률(100%)을 달성하기 위해 후속 검출기가 지향해야 하는 일반 공간의 방향을 지정합니다.스핀-1/2 입자의 경우, 스핀 벡터와 검출기 사이의 각도가 증가함에 따라 이 확률은 180°의 각도(즉, 스핀 벡터와 반대 방향의 검출기의 경우)에서 수집된 입자를 검출하는 예상치가 최소 0%에 도달할 때까지 부드럽게 떨어집니다.

질적 개념으로서 스핀 벡터는 고전적으로 그리기 쉽기 때문에 종종 유용합니다.예를 들어, 양자 역학 스핀은 고전적인 자이로스코프 효과와 유사한 현상을 나타낼 수 있습니다.예를 들어, 전자를 자기장에 넣음으로써 전자에 일종의 "토크"를 작용시킬 수 있습니다(전자의 고유한 자기 쌍극자 모멘트에 영향을 미칩니다. 다음 절 참조).그 결과 스핀 벡터는 고전적인 자이로스코프와 마찬가지로 세차운동을 겪습니다.이 현상은 전자 스핀 공명(ESR)으로 알려져 있습니다.원자핵에서 양성자의 동등한 행동은 핵자기공명(NMR) 분광학 및 이미징에 사용됩니다.

수학적으로, 양자 역학 스핀 상태는 스피너로 알려진 벡터와 같은 물체에 의해 설명됩니다.좌표 회전 시 스피너와 벡터의 동작 사이에는 미묘한 차이가 있습니다.예를 들어 스핀-1/2 입자를 360° 회전시키면 동일한 양자 상태로 돌아가지 않고 반대 양자 위상을 가진 상태로 돌아갑니다. 이는 원칙적으로 간섭 실험을 통해 감지할 수 있습니다.입자를 정확한 원래 상태로 되돌리려면 720° 회전이 필요합니다.(플레이트 트릭과 뫼비우스 스트립은 비양자 유사성을 제공합니다.)스핀 제로 입자는 토크가 적용된 후에도 단일 양자 상태만 가질 수 있습니다.스핀-2 입자를 180° 회전시키면 동일한 양자 상태로 되돌릴 수 있으며 스핀-4 입자는 동일한 양자 상태로 되돌리려면 90° 회전해야 합니다.스핀-2 입자는 180° 회전한 후에도 동일하게 보이는 스트레이트 스틱과 유사할 수 있으며, 스핀-0 입자는 어떤 각도로 회전해도 동일하게 보이는 구체로 상상할 수 있습니다.

공식화

교환입니다.

스핀은 궤도 각운동량과 유사한 정류^[17] 관계를 따릅니다.

\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon_{jkl}{\hat {S}_{l}},}

$여기$ 서_jkl ε는 레비-치비타 기호입니다.S^2(각운동량과 ${\hat {S}}^{2}$ 로 $)$ 와 $($ $총$ S 기준으로 표현되는 S $^$ 2 $(표시$ 스타일 ${{$ $Hat {S}}^{2$ }}) ${\hat {S}}_{z}$ 의 고유 벡터는 다음과 같습니다.

표시(\style{\hat{aligned}{\hbar{2}s,m_{s}\rangle &=\hbar^{2}s(s+1)s,m_{s}\rangle,m_{s}\hbar m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}\rangle {}).

이러한 고유 벡터에 작용하는 스핀 상승 및 하강 연산자는 다음과 같은 값을 제공합니다.

표시({style{hat{S}}_{\pm} s,m_s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_s}\pm 1)} s,m_{s}\pm 1\rangle,}

${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$ 서 S ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$ ^ ± $=$ ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$ ^ ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$ ±는 S ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$ ^ y {\ $displaystyle$ {{ $hat {S}}$ _{\ $pm }={S}_{x}\pmi{\hat$ { $S}_{y$ 입니다.

그러나 궤도 각운동량과 달리 고유 벡터는 구형 고조파가 아닙니다. $그것들$ 은 $θ$ 과 φ의 함수가 아닙니다.또한 $s$ 와_s $m$ 의 반 정수 값을 제외할 이유가 없습니다.

모든 양자 역학 입자는 고유 스핀 $($ 값이 0과 같을 수 있지만 $)$ 을 가집니다.모든 축에 대한 $스핀$ 의 $s$ 투영은 감소된 플랑크 상수의 단위로 양자화되어 입자의 상태 함수는 예를 들어, $\psi =\psi ({\vec {r}})$ $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ $γ$ ( $r$ $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ $\psi =\psi ({\vec {r}})$ ) {\ $vec {r$ 가 아니라 $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ $=$ \ $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ ( $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ $\psi =\psi ({\vec {r}})$ $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ , $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ ) {\ $displaystyle \psi$ = \ $psi$ = \psi $({\vec {r},$ s ${z$ $s_{z}$ 서 ${$ 는 $s_{z}$ 다음 이산 집합의 값만 취할 수 있습니다.

{\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar, -(s-1)\hbar, \cdots, +(s-1)\hbar, +s\hbar \}.

하나는 보손(정수 스핀)과 페르미온(반정수 스핀)을 구별합니다.상호 작용 과정에서 보존된 총 각운동량은 궤도 각운동량과 스핀의 합입니다.

파울리 행렬

스핀-1/2 관측 가능한 양자 역학 연산자는 다음과 같습니다.

표시({style}{{mathbf {S}}={hbar}{2}}{\boldsymbol}),}

데카르트 구성요소의 위치

S_{x}=displayfrac{hbar}{2}}\displayS_{y}=displayfrac{hbar}{2}}\displayS_{z}=displayfrac{hbar}{z}\displaystyle S_{x}\displayfrac{hbar}\displayfrac_{z}\disable_{z}.

스핀-1/2 입자의 특수한 경우, $γ x$ , $γ y z$ 및 γ는 세 개의 파울리 행렬입니다.

\displaystyle \displaystyle \displaystyle _{x}=displaystyle {pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix},\displaystyle \displaystyle \displaystyle_{pmatrix}},\displaystyle \displaystyle {pmatrix}=displaysty{pmatrix_{y},\disters{\displaysty},\displaysty},\ds{pmatrix{}

파울리 배타 원리

N개의 동일한 입자를 $가진$ 시스템의 경우, 이것은 파울리 배타 원리와 관련이 있는데, 이 원리는 N개의 $입자$ 중 임의의 두 개의 교환에 따라 파동 함수 $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ ( $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ 1 $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ , $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ N $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ ) \ $displaystyle \psi (\mathbf {r}_{1},\sigma_{1},\dots,$ \ $mathbf$ {r}}, \ $mathbf {r}$ 가 $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ 바뀌어야 한다고 명시되어 있습니다.

\displaystyle \psi(\displaystyle,\mathbf {r} _{i},\mathbf {r} _{j},\mathbf _{j},\mathbf {r},\mathbf {r},\mathbf {r},\mathbf {i},\displaysty,\mathbf{i},\mathbf{i},\displaystymathbf{i},\mathbf{i},\mathbf{i\d}

따라서 보손의 경우 프리팩터 $(-1) 2 s$ 는 +1, 페르미온의 경우 -1로 감소합니다.양자역학에서 모든 입자는 보손 또는 페르미온입니다.일부 투기적 상대론적 양자장 이론에서는 보손과 페르미온 성분의 선형 조합이 나타나는 "초대칭" 입자도 존재합니다.2차원에서 선행 요인 $(-1) 2 s$ 은 anyon에서와 같이 임의의 복소수의 크기 1로 대체될 수 있습니다.

N-입자 상태 함수에 대한 위의 순열 가정은 일상 생활에서 가장 중요한 결과를 갖습니다. 예를 들어 화학 원소의 주기율표입니다.

회전

위에서 설명한 바와 같이, 양자 역학은 어떤 방향을 따라 측정된 각운동량의 성분들은 단지 많은 이산적인 값들을 취할 수 있다고 말합니다.따라서 입자 스핀에 대한 가장 편리한 양자 역학 설명은 주어진 축에서 고유 각운동량의 투영 값을 찾는 진폭에 해당하는 복소수 집합을 사용하는 것입니다.예를 들어, 스핀-1/2 입자의 경우, + $θ$ / $2$ 및 $-θ / 2$ 와같은 각운동량의 투영으로 요구 조건을 만족시키는 진폭을 주는 두 $개$ 의_±1/2 숫자 a가 필요합니다.

a_{+1/2} ^{2} + a_{-1/2} ^{2} = 1.

$스핀$ 이 있는 일반 입자의 경우 $2s$ + $1개$ 의 매개 변수가 필요합니다.이러한 숫자는 축의 선택에 따라 달라지므로 이 축이 회전할 때 사소한 것이 아니라 서로 변환됩니다.변환 법칙은 선형이어야 하므로 행렬을 각 회전과 연관시켜 나타낼 수 있으며, 회전 A와 B에 해당하는 두 변환 행렬의 곱은 회전 AB를 나타내는 행렬과 동일해야 합니다.또한 회전은 양자 역학 내부 생성물을 보존하며, 우리의 변환 행렬도 보존해야 합니다.

\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum_{m=-j}^{j}\left(\sum_{n=-j}^{n}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}

\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta_{pq}.

수학적으로 말하면, 이 행렬들은 회전 그룹 SO(3)의 단일 투영 표현을 제공합니다.이러한 각각의 표현은 SO(3)의 피복 그룹인 SU(2)^[18]의 표현에 해당합니다.각 차원에 대해 SU(2)의 n차원 환원 불가능한 표현이 있지만, 이 표현은 $홀수$ n에 대해서는 n차원 $실제$ 이고 짝수 n에 대해서는 n차원 복소수(따라서 실제 $차원$ 2n)에 대해서는 n차원 실제입니다.법선 $^{$ 인 평면에서 각도 $θ$ 에 의한 회전에 대하여,

{\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }{\boldsymbol{theta}\cdot \mathbf {S}}} 표시

여기서 $=$ $^{{$ }}=\ $theta{hat{boldsymbol$ 이며, S는 스핀 연산자의 벡터입니다.

증명

${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ ^ ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ \ \ $textstyle {{hat$ \ theta }= θ hat ${z}}$ 의 ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ 좌표계에서 작업하여 S와 $S$ 가_y 각도 $θ$ 에 의해 서로 회전한다는 $것$ 을_x 보여주고자 합니다. $S$ 부터_x. $ħ$ = $1인$ 단위 사용:

스타일 표시({{aligned})S_{x}\rightarrow U^{\dagger}S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{x}+(i\theta)\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac{1}!}}\right)(i\theta)^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac{1}{3!}}\right)(i\theta)^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{x}\right]\right]+\ldots \end{aligned}}}}

스핀 연산자 정류 관계를 사용하여 정류자가 시리즈의 홀수 항에 대해 $S$ 로_y 평가하고 모든 짝수 항에 대해 $S$ 로_x $평가$ 한다는 것을 알 수 있습니다.따라서:

스타일 표시({{aligned})U^{\dagger}S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac{\theta^{2}}{2!}}+\ldots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta,\end{aligned}}}

역시우리는 스핀 연산자 정류 관계에만 의존했기 때문에, 이 증명은 모든 차원(즉, 주요 스핀 양자 $수$ )^[19]에 대해 유지됩니다.

오일러 각도를 사용하여 이러한 유형의 연산자를 합성하여 3차원 공간에서의 일반 회전을 만들 수 있습니다.

표시({style{\mathcal {R}}(\alpha,\alpha,\alpha)=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}e^{-i\gamma S_{z}}).}

위그너 D-매트릭스는 이 연산자 그룹의 축소 불가능한 표현을 제공합니다.

(\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha,\beta,\beta)\equiv \mathcal{R}}(\alpha,\beta) sm\rangle =e^{-im'\alpha}d_{m'm}^{s}(\beta)}

어디에

d_{m'm}^{s}(\displaystyle)=\discle s' e^{-i\discle s_{y}} sm\rangle

위그너의 작은 d-매트릭스입니다. $γ$ = $2θ$ $및$ α = $β$ = $0$ 의 경우, 즉 $z축$ 을 중심으로 한 완전 회전에 대해 위그너 D-매트릭스 요소는

D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi)=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi}=\display_{m'm}(-1)^{2m}.

일반적인 스핀 상태가 $한정$ 된 m을 가진 상태의 중첩으로 작성될 수 있다는 것을 상기하면, s가 $정수$ 이면 $m$ 의 값은 모두 정수이며, 이 행렬은 동일 연산자에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.그러나 $s$ 가 반지름이면 $m$ 의 값도 모두 반지름이므로 $모든$ m에 $대해 (- 2 m 1$ ) = $-1$ 이 됩니다. 따라서 2° 회전하면 상태는 마이너스 기호를 선택합니다.이 사실은 스핀-통계 정리 증명의 중요한 요소입니다.

로런츠 변환

우리는 일반적인 로렌츠 변환에서 스핀의 동작을 결정하기 위해 동일한 접근법을 시도할 수 있지만, 우리는 즉시 주요 장애물을 발견할 것입니다.SO(3)와 달리 로렌츠 변환 SO(3,1)의 그룹은 비압축적이므로 충실하고 단일하며 유한한 차원의 표현을 가지고 있지 않습니다.

스핀-1/2 입자의 경우 유한 차원 표현과 이 표현에 의해 보존되는 스칼라 곱을 모두 포함하는 구성을 찾을 수 있습니다.우리는 각 입자에 4성분 디락 스피너 $γ$ 를 연관시킵니다.이러한 스피너는 법칙에 따라 로렌츠 변환 하에서 변환됩니다.

\psi '=\exp \lefts\tfrac {1}{8}}\omega_{\mu \nu}[\mu _{\mu},\light]}\psi,

여기서 γ는_ν 감마 행렬이고, $γ$ 는_μν 변환을 매개변수화하는 반대칭 4×4 행렬입니다.이것은 스칼라 곱이

표시 스타일 \si \psi \phi \rangle = syslog bar {psi }\phi = \psi ^{\syslog }\fi _{0}\phi}

보존됩니다.그러나 그것은 긍정적으로 확정적이지 않기 때문에 표현은 단일하지 않습니다.

$x$ , $y$ $또는$ z 축을 따라 스핀 측정

스핀-1/2 입자의 각 (헤르미티안) Pauli 행렬은 +1과 -1이라는 두 개의 고유값을 가집니다.해당 정규화된 고유 벡터는

display_style {\frac{array}{lclc}\psi_{x+}=\left{frac{1}{2}}\right\rangle_{x}=\displaystyle{frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!&{\cisco{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix},&\psi_{x-}=\left{\frac{1}{2}}\right\rangle_{x}=\displaystyle{frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!&{\displaystyle{frac{1}\{-1}\end{pmatrix}\\\psi_{y+}=\left{frac{1}{2}}\right\rangle_{y}=\displaystyle{frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!&{\cisco{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix},&\psi_{y-}=\left{\frac{1}{2}}\right\rangle_{y}=\displaystyle{frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!&{\capsi{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}{1}\\psi_{z+}=\left{frac{1}}{\frac{2}}\right\rangle_{z}=&{\ppsi{z}\le{\frac{\right}{\frac}{\right}{\frac}{\frac}{1}{\frac{\right{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\\end{array}}}

고유 벡터에 상수를 곱한 모든 고유 벡터는 여전히 고유 벡터이므로 전체 부호에 대해 모호성이 있습니다.이 기사에서, 규칙은 부호 모호성이 있는 경우 첫 번째 요소를 가상 및 음수로 만들기 위해 선택됩니다.현재의 관례는 SymPy와 같은 소프트웨어에 의해 사용됩니다. 반면 사쿠라이와 그리피스와 같은 많은 물리학 교과서는 그것을 현실적이고 긍정적으로 만드는 것을 선호합니다.)

양자 역학의 가정에 따르면, $x$ , $y$ $또는$ z 축에서 전자 스핀을 측정하도록 설계된 실험은 해당 축에서 해당하는 스핀 $연산자 x$ ( $S y$ , S $또는 z$ S)의 고유값, 즉 $π$ /2 또는 $- π / 2만$ 산출할 수 있습니다.스핀에 관한 입자의 양자 상태는 2성분 스피너로 표현할 수 있습니다.

\psi = begin{\{pmatrix}a+bi\c+di\end{pmatrix}}.

이 입자의 스핀이 주어진 축(이 예에서 $x축$ )에 대해 측정될 때,γ/ $2$ 로 측정될 확률은 단지 ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ γ ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ + ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ 2({\ $displaystyle \psi$ _ ${x+}$ \ $psi \rangle \rangle$ \ $big }^{2$ 입니다.스핀이–θ/ $2$ 로측정될 확률은 단지 ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ x - ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ 2 ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ \ $psi _{x-}$ \ $psi \rangle \\$ rangle $^{2$ 입니다. 측정 후 입자의 스핀 상태는 해당 고유 상태로 붕괴합니다.결과적으로, 주어진 축을 따르는 입자의 스핀이 주어진 고유값을 갖는 것으로 측정되었다면, 모든 측정은 동일한 고유값을 산출할 것입니다(θ x + $θ$ x ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1$ + ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1$ 2 $=$ { \ $displaystyle \psi$ _ ${x +$ } \ $psi$ _ { x + } \ $rangle$ { $big }^$ {2 $1$ 등).다른 축을 따라 스핀을 측정하지 않는 경우.

임의 축을 따른 스핀 측정

임의의 축 방향을 따라 스핀을 측정하는 연산자는 Pauli 스핀 행렬에서 쉽게 얻을 수 있습니다. $u$ $=$ ( $u x,$ $u y,$ $u z)$ 를 임의의 단위 벡터라고 합니다.그러면 이 방향으로 회전하는 연산자는 간단히

S_{u}=displayfrac{hbar}{2}}(u_{x}\displaystyle _{x}+u_{y}\displaystyle _{z}).

$연산자 u$ S의 고유값은 일반적인 스핀 행렬과 마찬가지로 $\pm ħ / 2$ 입니다.임의의 방향으로 회전하기 위한 연산자를 찾는 이 방법은 더 높은 스핀 상태로 일반화되며, 세 $개$ 의 x, $y$ , z축 방향에 대한 세 개의 연산자의 벡터가 있는 방향의 도트 곱을 취합니다.

$(u x y, u z$ ,u) 방향의 스핀-1/2에 대한 정규화된 스피너(0/0을 주는 스핀다운을 제외한 모든 스핀 상태에 대해 작동함)는 다음과 같습니다.

{\style{frac{1}{\sqrt{2+2u_{z}}}{\sq{pmatrix}1+u_{z}\u_{x}+{y}\end{pmatrix}를 표시합니다.}

위 스피너는 일반적인 방법으로 $γ u$ 행렬을 대각선화하고 고유값에 해당하는 고유 상태를 찾아 얻습니다.양자역학에서 벡터를 정규화 계수로 곱하면 "정규화된" 벡터라고 하며, 이는 벡터가 단일 길이를 갖는 결과를 초래합니다.

스핀 측정의 호환성

Pauli 행렬은 통근하지 않기 때문에 다른 축을 따라 회전하는 측정값은 호환되지 않습니다.이것은 예를 들어, 만약 우리가 $x축$ 을 따라 회전하는 것을 알고, 그리고 나서 $y축$ 을 따라 회전하는 것을 측정한다면, 우리는 $x축$ 스핀에 대한 우리의 이전 지식을 무효화했다는 것을 의미합니다.이는 파울리 행렬의 고유 벡터(즉, 고유 상태)의 특성에서 볼 수 있습니다.

표시({style big}\taule \psi_{x\pm} \psi_{y\pm}\rangle {big}^{2}={x\pm} \psi_{z\pm}\rangle \psi{y\pm} \psi_{z\pm} \psi{z\pm}\rangle ={big^2}{tac} \rangle ={tau}{ta}{ta}\langle \la}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}

따라서 물리학자들이 x축을 $따라$ 입자의 스핀을 예를 들어 $γ$ / $2$ 로 측정할 때, 입자의 스핀 상태는 고유 상태 $|\psi _{x+}\rangle$ x + $|\psi _{x+}\rangle$ γ {\ $displaystyle$ \ $psi _{$ x+}\ $rangle$ 로 붕괴합니다. 그 $후$ 에 우리가 y축을 따라 입자의 스핀을 측정할 때,스핀 상태는 이제 $|\psi _{y+}\rangle$ 1/2 확률로 $|\psi _{y+}\rangle$ γ + $|\psi _{y+}\rangle$ γ \ $displaystyle \psi$ _ ${y+}\rangle}$ 또는 $|\psi _{y+}\rangle$ $|\psi _{y-}\rangle$ - $|\psi _{y-}\rangle$ γ \ $displaystyle \psi$ _ ${y-}\rangle$ 중 하나로 붕괴됩니다.이 예에서 -198 $/ 2$ 를 $측정$ 한다고 가정해 보겠습니다.이제 다시 $x축$ 을 따라 입자의 스핀을 측정하기 위해 돌아왔을 때,π $/ 2$ 또는 $-π$ /2를 측정할 확률은 각각 1/2(즉, 1/2)입니다.각각 ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ + ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ y - ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ ⟩ 2 \ $displaystyle \psi _{x+}$ \ $psi$ _{ $y-$ $}$ \ $rangle$ \ $psi$ _{ $y$ $}^{$ $2$ 및 ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ - ⟩ ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ y - $ψ$ 2 \ $displaystyle$ big \ $psi$ _ ${x-$ } \ $rangle ^$ 2}입니다.이는 $x축$ 을 따라 회전하는 원래 측정값이 더 이상 유효하지 않음을 의미합니다. x축을 따라 회전하는 스핀이 이제 동일한 확률의 고유값을 갖도록 측정되기 때문입니다.

고회전

스핀-1/2 $연산자$ S $= ħ$ /2σ는 SU(2)의 기본 표현을 형성합니다.이 표현의 크로네커 곱을 반복적으로 사용함으로써 더 높은 환원 불가능한 표현을 모두 구성할 수 있습니다.즉, 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 3차원 공간에서 더 높은 스핀 시스템에 대한 결과 스핀 연산자를 임의로 크게 $계산$ 할 수 있습니다.예를 들어, 두 스핀-1/2의 크로네커 곱을 취하면 4차원 표현이 생성되며, 이는 3차원 스핀-1(트리플렛 상태)과 1차원 스핀-0 표현(싱글렛 상태)으로 분리될 수 있습니다.

결과적으로 환원 불가능한 표현은 z-basis에서 다음과 같은 스핀 행렬과 고유값을 산출합니다.

스핀 1의 경우 그들은 $스타일 표시({{aligned})S_{x}&={hbar}{\sqrt{2}}{\sq{pmatrix}0&1&0&1&1&0&0\end{pmatrix}}{\left1,+1\right\rangle_{x}&={\right{pmatrix}}{\end{\rt}{\rt}{frt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\r-1\right\rangle_{x}&=nbfrac{1}{2}}{\colon{pmatrix}1\{-{\sqrt{2}}\1\end{pmatrix}}\\\\S_{y}&=skfrac{hbar}{\sqrt{2}}{\sk{pmatrix}0&i&i&0&i&0\end{pmatrix},&\left1,+1\right\rangle_{y}&=skfrac{1}{\end{pmatrix}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt}{\rt-1\right\rangle _{y}&=slightfrac{1}{2}}{\light{pmatrix}-1\ilightsqrt{2}}\\1\\ilightsqrt{pmatrix}&=\hbar{{pmatrix}&0&0&0&0&1\left1,\right\rangrangreight{pmat}\right{\right\right\rightslightslightslightslightslightslightslightslightslight-1\right\rangle_{z}&={pmatrix}0\\0\1\end{pmatrix}\\end{aligned}}}$
스핀 3/2의 경우 다음과 같습니다. $표시({stylebegin{array}{lclc}S_{x}={tylefrac{hbar}{2}}{\sqrt{3}}&0&0&0&0&2&0&0{\sqrt{3}}\0&0&0&{\sqrt{3}}&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{+3}{2}}\right\rangle_{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\{\sqrt {3}}\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{+1}{2}}\right\rangle_{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\sqrt {2}}{\pmatrix}{-{\sqrt {3}}\-1\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{-1}{2}}\right\rangle_{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}{\-1\\sqrt{3}}\end{pmatrix}},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{-3}{2}}\right\rangle_{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\{-{\sqrt {3}}\1\end{pmatrix}}\\\\\\\S_{y}={{hbar}{2}}{\colon{pmatrix}0&-i{pmatrix}{3}}&0&2i&0&2i&0&-i{pmatrix}{3}}&0&0&2i{pmatrix},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{+3}{2}}\right\rangle_{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\frac{\frac{\sqrt{2}}{\i}\{-{\sqrt{3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{+1}{2}}\right\rangle_{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\frac{\sqrt{2}}}{\frac{pmatrix}{-i}}\1\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{-1}{2}}\right\rangle_{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\frac{\sqrt{2}}}{\frac{pmatrix}{i{i}}\1\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{-3}{2}}\right\rangle_{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2}}{\frac{\pmatrix}{-i}\{-{\sqrt{3}}}\\{i{{\sqrt{3}}}\1\end{pmatrix}\S_{z}={\frac{pmatrix}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\!&\left{frac{3}{2},{\frac{+3}{2}}\right\rangle_{z}=\!\!\!&{\colon{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{+1}{2}}\right\rangle_{z}=\!\!\!&{\beta{pmatrix}0\1\0\0\end{pmatrix},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{-1}{2}}\right\rangle_{z}=\!\!\!&{\beta{pmatrix}0\0\1\0\end{pmatrix},\!\!&\left{frac{3}{2},{\frac{-3}{2}}\right\rangle_{z}=\!\!\!&{\colon{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}\\end{array}}}$
스핀 5/2의 경우 다음과 같습니다. $표시({style{aligned}{\boldsymbol{S}}_{x}&=captfrac{hbar}{2}}{\sqrt{5}}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2} {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix},\\{\boldsymbol {S}_{y}&=boldfrac{hbar}{2}}{\bold{pmatrix}0&-i{\sqrt{5}}&0&0\i{\sqrt{2}&0&0&0&0&2i{\sqrt{3} {5}}&0\end{pmatrix},\\{\boldsymbol{S}}_{z}&=boldfrac{hbar}{2}}{\bold{pmatrix}5&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&5\endmrix}\end{aligned}}}$
임의 $스핀$ 에 대한 이러한 행렬의 일반화는 다음과 같습니다. $표시({stylebegin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&=displayfrac{hbar}{2}}\left(\light_a,b+1}+\display_{a+1,b}{\left(S_{y}\right)_{ab&\frac{b}\right(a+1){ba}\light}\light}\light(\light}\left({\frac{b}\b){a\ba,b}=\hbar(s+1-b)\colon_{a,b},\end{aligned}}}$ 여기서 $지수$ a $, b는$ 다음과 같은 $정수$ 입니다. $displaystyle 1\leq a\leq 2s+1,display 1\leq b\leq 2s+1,display style 1\leq b\leq 2s+1.}$

다입자 시스템의 양자 역학에서도 유용한 일반적인 파울리 $그룹 n$ G는 파울리 행렬의 모든 n배 텐서 곱으로 구성되도록 정의됩니다.

파울리 행렬에 대한 오일러 공식의 아날로그 공식

표시({style {hat {R}}(\theta, {\hat {mathbf {n}})=e^{i{\frac {2}}{hat {mathbf {n}}\cdot {{boldsymbold 기호I\cos\cos\theta{2}+i\left({\hat{\mathbf{n}}}\cdot{\boldsymbol{sigma}}\right)\sin({frac{theta}{2}}})

높은 스핀은 다루기 쉽지만, ^[20]덜 단순합니다.

패리티

원자핵 또는 입자에 대한 스핀 양자 $수$ 표에서 스핀은 종종 "+" 또는 "-" 뒤에 옵니다.짝수 패리티의 경우 "+", 홀수 패리티의 경우 "-", 홀수 패리티의 경우 "-"를 나타냅니다.예를 들어, 비스무트의 동위원소를 보십시오. 여기서 동위원소 목록에는 핵 스핀 열과 패리티가 포함됩니다.유일한 안정 동위원소인 Bi-209의 경우, 9/2- 항목은 핵 스핀이 9/2이고 패리티가 홀수임을 의미합니다.

적용들

스핀은 중요한 이론적 함의와 실용적 응용을 가지고 있습니다.잘 확립된 스핀 직접 응용 프로그램은 다음과 같습니다.

화학에서의 핵자기공명(NMR) 분광법
화학 및 물리학 분야의 전자 스핀 공명(ESR 또는 EPR) 분광학
양성자 스핀 밀도에 의존하는 적용 NMR의 일종인 의료용 자기공명영상(MRI)
최신 하드 디스크의 거대 자기 저항(GMR) 드라이브 헤드 기술.

전자 스핀은 자기에서 중요한 역할을 하며, 예를 들어 컴퓨터 메모리에 응용됩니다.무선 주파수파(핵자기 공명)에 의한 핵 스핀의 조작은 화학 분광학 및 의료 영상학에서 중요합니다.

스핀-궤도 결합은 원자 시계와 두 번째의 현대적 정의에 사용되는 원자 스펙트럼의 미세한 구조로 이어집니다.전자의 g-인자에 대한 정밀한 측정은 양자 전기 역학의 개발과 검증에 중요한 역할을 했습니다.광자 스핀은 빛의 편광(광자 편광)과 관련이 있습니다.

스핀의 새로운 응용 분야는 스핀 트랜지스터의 이진 정보 캐리어입니다.1990년에 제안된 원래의 개념은 Data-Das ^[21]스핀 트랜지스터로 알려져 있습니다.스핀 트랜지스터를 기반으로 하는 전자 제품을 스핀트로닉스라고 합니다.금속이 도핑된 ZnO 또는₂ TiO와 같은 묽은 자성 반도체 재료에서 스핀을 조작하면 자유도가 더욱 높아지며 보다 효율적인 전자 ^[22]제품의 제조를 촉진할 수 있습니다.

화학의 주기율표에서 시작하여 스핀과 관련된 파울리 배타 원리의 많은 간접적인 적용과 표현이 있습니다.

역사

볼프강 파울리 강의

스핀은 알칼리 금속의 방출 스펙트럼의 맥락에서 처음 발견되었습니다.1924년, 볼프강 파울리는 가장 바깥쪽 껍질에 있는 전자와 관련된 "고전적으로 ^[23]설명할 수 없는 두 개의 값"이라고 부르는 것을 소개했습니다.이것은 그가 파울리 배타 원리를 공식화할 수 있게 해주었고, 동일한 양자 시스템에서 어떤 두 전자도 동일한 양자 상태를 가질 수 없다는 것을 명시했습니다.

Pauli의 "자유도"에 대한 물리적 해석은 처음에는 알려지지 않았습니다.1925년 초, 란데의 조수 중 한 명인 랄프 크로니그는 그것이 전자의 자기 회전에 의해 생성된다고 제안했습니다.Pauli가 그 아이디어에 대해 들었을 때, 그는 그것이 필요한 각운동량을 생성할 수 있을 만큼 빠르게 회전하기 위해서는 전자의 가상 표면이 빛의 속도보다 더 빨리 움직여야 할 것이라고 언급하면서, 그것을 심각하게 비판했습니다.이것은 상대성 이론을 위반할 것입니다.주로 Pauli의 비판 때문에, Kronig는 ^[24]그의 아이디어를 출판하지 않기로 결정했습니다.

1925년 가을, 라이덴 대학의 네덜란드 물리학자 조지 울렌벡과 새뮤얼 구스미트에게도 같은 생각이 들었습니다.Paul Erenfest의 조언 아래,^[25] 그들은 그들의 결과를 발표했습니다.특히 Llewelln Thomas가 실험 결과와 Uhlenbeck 및 Goudsmit의 계산(및 Kronig의 미발표 결과) 사이의 2배 불일치를 해결한 후 호의적인 반응을 얻었습니다.이 불일치는 위치 외에도 전자의 접선 프레임의 방향 때문이었습니다.

수학적으로 말하면, 섬유 다발에 대한 설명이 필요합니다.접선 번들 효과는 덧셈적이고 상대론적입니다. 즉, c가 무한대가 $되면$ 사라집니다.이 값은 접선-공간 방향에 관계없이 반대 부호를 사용하여 얻은 값의 절반입니다.따라서 결합 효과는 후자와 두 번째 요인(1914년 루드윅 실버스타인에게 알려진 토마스 세차운동)에 의해 다릅니다.

그의 초기 반대에도 불구하고, Pauli는 슈뢰딩거와 하이젠베르크에 의해 발명된 양자 역학의 현대 이론을 사용하여 1927년 스핀 이론을 공식화했습니다.그는 Pauli 행렬을 스핀 연산자의 표현으로 사용하는 것을 개척했고 2성분 스피너 파동 함수를 도입했습니다.Uhlenbeck와 Goudsmit는 스핀을 고전적인 회전에서 발생하는 것으로 취급한 반면, Pauli는 스핀이 고전적이지 않고 본질적인 ^[26]특성이라고 강조했습니다.

Pauli의 스핀 이론은 비상대론적이었습니다.그러나 1928년에 폴 디랙은 상대론적 전자를 설명하는 디랙 방정식을 발표했습니다.디랙 방정식에서는 전자파 함수에 4성분 스피너("디랙 스피너"로 알려져 있음)가 사용되었습니다.상대론적 스핀은 1914년 새뮤얼 잭슨 바넷에 의해 (되돌아보면) 처음으로 관찰된 자기 이상을 설명했습니다(아인슈타인-드하스 효과 참조).1940년, 파울리는 페르미온은 반 정수 스핀을, 보손은 정수 스핀을 갖는다는 스핀-통계 정리를 증명했습니다.

돌이켜보면, 전자 스핀에 대한 최초의 직접적인 실험 증거는 1922년의 스턴-게를라크 실험이었습니다.그러나, 이 실험에 대한 정확한 설명은 ^[27]1927년에 겨우 주어졌습니다.

참고 항목

레퍼런스

^ Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3rd ed.). pp. 372–373. ISBN 9780471887027.
^ ^a ^b Griffiths, David (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). pp. 183–184.
^ "각운동량 연산자 대수", 마이클 파울러의 수업 노트.
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진일보한 내용

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외부 링크

위키 인용문에서 스핀(입자 물리학)과 관련된 인용문
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v t 양자역학
배경	소개 역사 타임라인 고전역학 고대 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라-켓 표기법 상보성 밀도 행렬 에너지 준위 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 영점 에너지 얽힘 해밀턴의 방해다 비일관성 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동함수 접기 파동-입자 이중성
공식화	공식화 하이젠베르크 상호 작용 행렬역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식화 위상 공간
방정식	디랙 클라인-고든 파울리 뤼트베르크 슈뢰딩거
해석	베이지안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 현지의 다세계 대물붕괴 양자논리학 관계형 트랜잭션 폰 노이만위그너
실험	벨 부등식 다비손-저머 지연 선택 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크 헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리츠르바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게를라크 휠러의 지연된 선택
과학	양자생물학 양자화학 양자 혼돈 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 마인드 양자 확률론 양자 시공간
기술	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자 복잡도 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호학 양자 전자학 양자 오류 수정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자 키 분포 양자논리학 양자 논리 게이트 양자 기계 양자 기계 학습 양자 메타물질 양자측량학 양자 네트워크 양자 신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자 감지 양자 시뮬레이터 양자 텔레포테이션
확장 기능	카시미르 효과 양자 통계 역학 양자장론 역사 양자 중력 상대론적 양자역학
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