생성 및 소멸 연산자

생성 연산자와 소멸 연산자는 양자역학, 특히 양자 고조파 진동자와 다분자 계통의 연구에 광범위하게 응용된 수학 연산자다.^[1] 소멸 연산자($일반적$으로${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle {\hat {a$는 주어진 상태의 입자 수를 1씩 낮춘다. 생성 연산자($보통{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^{\${\$a}^{\dager$ $\}\})$는 주어진 상태의 입자 수를 1씩 증가시키며, 소멸 연산자의 부선이다. 물리학과 화학의 많은 하위 분야에서는 파동 기능 대신 이러한 연산자를 사용하는 것을 제2 계량화라고 한다. 그것들은 Paul Dirac에 의해 소개되었다.^[2]

생성 및 소멸 연산자는 다양한 종류의 입자 상태에 대해 행동할 수 있다. 예를 들어 양자 화학이나 다체 이론에서 생성과 소멸 연산자는 종종 전자 상태에 작용한다. 또한 양자 고조파 발진기의 사다리 연산자를 구체적으로 언급할 수 있다. 후자의 경우 상승 연산자는 오실레이터 시스템에 에너지의 양자(하강 연산자와 유사하게)를 추가하는 창조 연산자로 해석된다. 그것들은 음소를 나타내는 데 사용될 수 있다.

보손의 생성 및 소멸 연산자를 위한 수학은 양자 조화 진동기의 사다리 연산자와 같다.^[3] 예를 들어, 동일한 보손 상태와 연관된 생성 및 소멸 연산자의 정류자는 1과 같고, 다른 정류자는 모두 사라진다. 그러나 페르미온의 경우 수학은 다른데, 정류자 대신 반공기를 포함한다.^[4]

양자 고조파 오실레이터용 래더 연산자

양자 고조파 오실레이터의 맥락에서 사다리 연산자를 생성 및 소멸 연산자로 재해석하여 오실레이터 시스템에 고정된 에너지의 퀀텀을 추가하거나 뺀다.

생성/절제 연산자는 보손(정수 스핀)과 페르미온(정수 스핀 절반)에 대해 다르다. 이것은 그들의 파장 기능이 다른 대칭 특성을 가지고 있기 때문이다.

먼저 양자 고조파 오실레이터 광자의 단순한 보소닉 케이스를 고려하십시오. 1차원 시간 독립 양자 고조파 오실레이터에 대한 슈뢰딩거 방정식부터 시작해,

${\displaystyle \frac{\frac{\hbar^{2}}:{{d^{2}}:{dx^{2}}+{1}{1}{2}}:00}{1}{2}}m\m\omega^{2}x^{2}}\right)\c(x)=E\psi(x)}$

미분 방정식을 비차원화하기 위한 좌표 치환

${\displaystyle x\\\\\\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }q.}$

오실레이터의 슈뢰딩거 방정식은

${\displaystyle {\frac {\hbar \hbar \omega}{2}}:{d^{2}}:{dq^{2}}+q^{2}\오른쪽)\psi (q)=E\psi (q)}$

수량 ${\displaystyle \Omega }$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \hbar$\hbar \$omega =h\nu }$은(는) 광량 퀀텀에 대해 발견된 에너지와 동일하며 해밀턴어의 괄호는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\dplaystyle -{\dq^{2}}:{dq^{2}}:}+q^{2}=\왼쪽 (-{dq}+q\오른쪽)\frac {d}{dq}{dq}{dq}{dq}{dq}{dq}{dq}}{dq}}}{dq}}}{dq}{dq}.}$

마지막 두 용어는 임의의 상이한 $함수{\displaystyle }$ f (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle f(q),}$에 대한 영향을 고려하여 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {d}{dq-q{\frac {d}{dq}\right)f(q)={\frac {dq}{df(q){dq(q){dq}=f(q)}$

즉,

${\displaystyle {\frac {d}{dq-q{\frac {d}{dq}=1,}$

${\displaystyle \mathrm{일반적}}$인 표준 정류 관계와${\displaystyle }$일치하여 - i [ $q{\displaystyle }$${\displaystyle ,p}$ ${\displaystyle ]}$= 1 ${\displaystyle -i[q,p]=1$ 위치 공간 표현: p ${\displaystyle :=}$ -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d\frac{}{}}$ $q {\$ d$:=-i{d}{dq$

그러므로

${\dplaystyle -{\dq^{2}}:{dq^{2}}+q^{2}=\left{d}{dq}+q\오른쪽)\frac {d}{dq}+1}$

그리고 오실레이터에 대한 슈뢰딩거 방정식은 상기의 대체와 1/2 인자의 재배치로,

${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$

정의가 있는 경우

${\displaystyle a^{\\propert }\\\\frac {1}{\sqrt {2}}}\왼쪽{\frac {d}{dq}+q\오른쪽)}}$

"창조 운영자" 또는 "키우기 운영자"로서

${\\style a\\\\\\frac {1}{\sqrt {2}}}\좌측(\\\\\\\\\\\{\frac {d}{dq}+q\우측)}$

"절제 연산자" 또는 "저하 연산자"로서, 오실레이터에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\\doger }a+{\frac {1}{1}:{2}}\오른쪽)\psi(q)=E\psi (q)}$

이것은 원래 형태보다 상당히 간단하다. 이 방정식을 더욱 단순화하면 지금까지 위에 열거된 모든 속성을 도출할 수 있다.

$p{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- i ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$d $dplaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$을$($를) 허용하고$여기$서 p {\$displaystyle$ p}은(는$)$ 사용자가 가지고 있는 비차원적인 모멘텀 연산자다.

${\displaystyle [q,p]=i\,}$

그리고

${\dplaystyle a={\frac {1}{\sqrt{2}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt{2}}}\좌측(q+{\frac {d}{dq}}\오른쪽)}}}$

${\displaystyle a^{\frac }={\frac {1}{\sqrt{2}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt{2}}}\왼쪽(q-{\frac {d}{dq}}}}\오른쪽).}$

이는 시사하는 바가 크다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle [a,a^{\pair }]={\frac {1}{1}:{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q]]))={\frac {-i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$

연산자 $a{\displaystyle }$ ${\$ $및$ and {\$displaystyle$ a$^{\daugger }\,}$은(는)^[5] 일반 연산자와 대조될 수 있다$$.

위에 주어진 정류 관계를 이용하여 해밀턴 연산자는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\hat {{H}=\hbar \omega \left(a\,a^{\daugger }-{\frac {1}{2}}\오른쪽)=\hbar \omega \left(a^{\buffer }\,a+{\frac {1}{1}:{2}}\오른쪽).\qquad \qquad (*)}$

어떤 $이$는$${\$displaystyle$ a$\,}$과(와) ${\displaystyle {†}^{}}$ $displaystyle$ a$^{\dager }\,}$ 연산자와$$ 해밀턴어 사이의 정류 관계를 계산할 수 있다.^[6]

${\displaystyle [{\hat {H}},a]=[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right),a]=\hbar \omega [aa^{\dagger },a]=\hbar \omega (a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger })=-\hbar \omega a.}$

${\displaystyle [{\hat{H},a^{\doger }]=\hbar \omega \,a^{\doger }}$

이러한 관계는 다음과 같이 양자 고조파 발진기의 모든 에너지 고유성을 쉽게 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\psi n}_{}}$ ${\$이 해밀턴 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle {nn}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${$ {\$displaystyle {\H}\psi _{n}\n}\n}}$을(를) 고유 상태라고$$ 가정하면$,$ 이러한 정류 관계를 이용하여 그 뒤를^[6] 따른다.

$♪ 디스플레이 스타일 {\hat}H}\,a\psi _{n}=(E_{n}-\hbar \hbar \hbar \omega )\,a\psi _{n}.}$

$♪ 디스플레이 스타일 {\hat}H}\,a^{\doger }\psi _{n}=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\doger }\psi _{n}.}$

This shows that ${\displaystyle a\psi _{n}}$ and ${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$ are also eigenstates of the Hamiltonian, with eigenvalues ${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$ and ${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$ respectively. 이를 통해 $연산자{\displaystyle }$ a$${\$displaystyle a}$ $및$ ${\displaystyle {†}^{}}${\$displaystyle$ a$^{\daugger }}$을(를) 인접한 고유상태 사이의 "로우링" 및 "상승" 연산자로$$ 식별한다. 인접한 고유성 사이의 에너지 차이는 Δ ${\displaystyle E}$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Delta$ E$=\hbar \omega}$이다$.$

지면 상태는 하강 연산자가 ${\displaystyle \psi {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ a$\\,\psi$ _${0=0}$과(와) ${\displaystyle {\psi \mathrm{}}_{}}$ $[\displaystyle \psi \{0}\neq$ 0$})$의 비경쟁 커널을 소유하고 있다고 가정하여 확인할 수 있다$.$ 해밀턴어를 지면 상태에 적용하면,

${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$

그래서 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 해밀턴인의 고유 기능이다$$.

이를 통해 접지 상태 $에너지{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle \Omega }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle E_{0}=\hbar \omega /$2}을$($를) 얻을 수 있으며$,$ 이를 통해 고유 상태 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$ ${\$의^[6] 에너지 고유값을 식별할 수 있다.

$}}{\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{1}:{2}}:\frome)\hbar \omega .}$

더욱이, (*)에서 처음 언급된 $연산자{\displaystyle }$ N =${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle N=a^{\dager }a$\a$\}}$이(가) 애플리케이션에서 가장 중요한 역할을 하는$$ 것으로 나타났으며, 두 번째 ${\displaystyle {†}^{}}$ † $displaystyle aa^{\dager }\}$은 $단순히{\displaystyle \mathrm{N}}$ + 1$${\$displaystytym으로 대체$될 수 있다$$$.$

결과적으로,

${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\frac {1}{2}}\오른쪽)\,\psi(q)=E\,\psi(q)~}$

그러면 시간 진화 연산자는

$displaysty U(t)=\ex(-it{\hat{\hat{){H}/\hbar )=\exp(-it\omega)(a^{\dager }a+1/2)~,},}$

$}{{\displaystyle =e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infit }{{k^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!a^{}{\c}{k}a^{k}.}$

명시적 고유 기능

양자 고조파 오실레이터의 접지$$ 상태 ${\displaystyle {\psi \mathrm{}}_{}}$ 0 (${\displaystyle {}_{}q}$) ${\displaystyle \\psi \{0}(q)}$은 다음과 같은 조건을 붙여서 찾을 수 있다.

$\\displaystyle a\\\pair _{0}(q)=0.}$

미분방정식으로 표기되어 파동함수가 만족함

$}{\dplaystyle q\propert_{0}+{dq}=0}$

${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{q^{2} \over 2}\right).}$

The normalization constant C is found to be ${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$ from ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$, using the Gaussian integral. 이제 모든 고유 기능에 대한 명시적 공식은 ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$을(를) ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 반복적으로 적용하면 찾을 수 있다$.$^[7]

현현현

위의 직교 기준과 관련하여 양자 고조파 발진기의 생성 및 소멸 연산자의 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle a^{\dagger}={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0&, 0&, \dots, 0& &, \dots}및 \\{\sqrt{1}, 0&, 0&, 0&, \dots, 0&, \dots \\0&,{\sqrt{2}}&0&, 0&, \dots &, 0&, \dots \\0&, 0&,{\sqrt{3}}&0&, \dots &, 0&, \dots \\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \ddots &, \dots &, \dots \\0 &.&0&, 0&, \dots;0&, \dots &, \\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \ddots \end{pmatrix}}}{\displaystyle{\sqrt{n}}및 &.A^{\dagger}={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0&, 0&, \dots, 0&,&, \dots}싱크 \\{\sqrt{1}, 0&, 0&, 0&, \dots, 0&, \dots, ,{\sqrt{2}}및 \\0&, 0&, 0&, \dots&0&, \dots \\0&, 0&, ,{\sqrt{3}}&0&, \dots&0&, \dots \\\vdots, \vdots&\vdots&\ddots&및 \ddots &.;, \dots&\dots \\0&.&0&, 0&, \dots, 0&, \dots&\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddo.ts &, \ddots \end{pmatrix}}{\sqrt{n}cs &.$

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&,{\sqrt{1}}&0&, 0&, \dots &, 0&, \dots \\0&, 0&,{\sqrt{2}}&0&, \dots &, 0&, \dots \\0&, 0&, 0&,{\sqrt{3}}&\dots &, 0&, \dots \\0&, 0&, 0&, 0&, \ddots, \vdots, \dots \\\vdots & &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &,{\sqrt{n}}및 &, \dots \\.0&, 0&, 0&, 0&, \dots &, 0&, \ddots \\\vdots, \vdots, \vdots & &, \vdots &, \vdots &, \vdots & &, \ddots \end{pmatrix}}}{\displaystyle a={\begin.{pmatrix}0&, ,{\sqrt{1}}&0&, 0&, \dots&0&, \dots \\0&, 0&, ,{\sqrt{2}}&0&, \dots&0&, \dots \\0&, 0&, 0&, ,{\sqrt{3}}&\dots&0&, \dots \\0&, 0&, 0&, 0&, \ddots, \vdots, \dots \\\vdots &,&, \vdots&\vdots&\vdots&\ddots &, ,{\sqrt{n}.}싱크&\dots \\.0&, 0&, 0&, 0&, \dots&0&, & \\\vdots, \vdots, \vdots \ddots,&, \vdots&\vdots&\vdots &,&. \ddots \end{pmatrix}}.$

These can be obtained via the relationships ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}\mid a^{\dagger }\mid \psi _{j}\rangle }$ and ${\displaystyle a_{ij}=\langle \psi _{i}\mid a\mid \psi _{j}\rangle }$. The eigenvectors ${\displa$$ystyle \psi _{i}$는 양자 고조파 오실레이터의 것으로, 때로는 "숫자 기반"이라고도 한다.

일반화된 생성 및 소멸 연산자

위에서 도출한 연산자는 실제로 생성 및 소멸 연산자에 대한 보다 일반화된 개념의 특정 사례다. 연산자의 보다 추상적인 형태는 다음과 같이 구성된다. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 하나의 입자 힐버트 공간(즉, 단일 입자의 상태를 나타내는 것으로 간주되는 모든 힐버트 공간)으로$$ 하자.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대한 (보소닉) CCR 대수(*)는 $a{\displaystyle (f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle a(f)}$ 요소에 의해 추상적으로 생성되는 대수-구성-작동 연산자$(*)$이며, 여기서 $f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$\backslash \}$은 $관계$에 따라 H ${\\\\displaystystystystylean$ H$}$에 자유롭게$$ 범위가 $된다$.

$}(f)=0}{\displaystyle [a(f),a(g)]=[a(f),a^{\pa^(g)]=0}$

$langle [a(f)^{\requency }=\langle f\mid g\angle ,}$

브래킷 기호로

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에서 Bosonic CCR 대수까지 $지도{\displaystyle }$ a${\displaystyle }$:${\displaystyle f}$→${\displaystyle a}$ ($f)${\$displaystyle$ a$:f\to$ a($f)}$는 복잡한 반선형이어야 한다(이것은 더 많은 관계를 추가한다). 그것의 조정은 ${\displaystyle {†}^{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle$ a$^{\dager }(f)}$이고$,$ 지도 $f{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f\to a^{\dager }}}}$는 H에서 복잡한 선형이다. 따라서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 자체 CCR 대수학의 복잡한 벡터 하위공간으로 내장된다$$. 이 대수학의 표현에서 소자 $a{\displaystyle }$( $){\displaystyle a(f)}$는 전멸 연산자로, operator (f${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle a^{\dager }(f)$는 생성 연산자로 실현된다$$$$.

일반적으로 CCR 대수학은 무한한 차원이다. 바나흐 우주 완성을 하면 C*-알지브라(C*-algebra)가 된다. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대한 CCR 대수는 Weyl 대수와는 밀접하게 관련되어 있지만$$ 동일하지는 않다.

페르미온의 경우, $H{\displaystyle }${\$displaystyle H}$에 대한 (페르미온어) CAR 대수학도 유사하게 구성되지만$$, 대신 반공칭자 관계, 즉,

$}(fa(g}{displaystystyle \{a(f),a^{number }(f),a^{\number }(g)=0}$

$\\displaystyle \{a(f),a^{\number }(g)\}=\langle f\mid g\angle .}$

CAR 대수학은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 유한 치수인 경우에만 유한 치수다. Banach 공간 완성(무한 치수 사례에서만 필요함)을 취하면 $∗{\$ C$^{*}}$대수가$$ 된다. CAR 대수학은 클리포드 대수학과 밀접하게 관련되어 있지만 동일하지는 않다.

물리적으로 말하면 a (${\displaystyle f}$)${\displaystyle a(f)}$이(가) 상태 ${\displaystyle f}$⟩ ${\displaystyle f\rangele }$에서 입자를$$ 제거(즉, 섬멸)하는 반면$$,$$)$은{\displaystyle {}^{}}$ 상태 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle\rangele }$에서 입자를 생성한다$.$

자유장 진공 상태는 입자가 없는$$ 상태 0$⟩{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$scriptstyle \rangele }$이며, 특성은 다음과 같다.

$0.(\displaystyle a(f)\message 0\message\message =0).}$

If ${\displaystyle f\rangle }$ is normalized so that ${\displaystyle \langle f f\rangle =1}$, then ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ gives the number of particles in the state ${\displaystyle f\rangle }$.

반응-확산 방정식을 위한 생성 및 소멸 연산자

소멸 및 생성 연산자 설명은 $분자{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A}$의 기체가 접촉 시 확산$$ 및 상호작용하여 불활성 제품을 형성하는 상황과 같은 고전적 반응 확산 방정식을 분석하는 데도 유용했다. ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle A}$→$∅{\displaystyle A+A\to \emptyet$ 소멸 및 생성 연산자의 형식주의에 의해 이러한 종류의 반응이 어떻게 설명될 수 있는지 보려면 1차원 격자 위에 있는 사이트 ${\displaystyle i_{}}$의 n${\$ 입자를$$ 고려하십시오. 각 입자는 일정한 확률로 오른쪽이나 왼쪽으로 이동하며, 동일한 부위의 각 입자 쌍은 일정한 다른 확률로 서로를 소멸시킨다.

짧은 시간 dt 동안 한 입자가 부지를 이탈할 $확률$은 n ${\displaystyle \mathrm{id}}$ t$${\$displaystyle n_$${i$$}\,$$dt$$\}$에 비례하며, 왼쪽으로 깡충깡충 뛸 확률$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\$$displaystyle \i_n_{$}dt$$$},$ 오른쪽으로 깡충깡충 뛸 확률이라고 하자. 모든 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 입자는$$ $확률{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle d{}_{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt$ (dt가 너무 짧기 때문에 dt 동안 2개 이상이 떠날 확률은 매우 작아서 무시된다.)

우리는 이제 격자 위의 입자 점거를 형태의 '켓'이라고 표현할 수 있다.

${\displaystyle \dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$. It represents the juxtaposition (or conjunction, or tensor product) of the number states ${\displaystyle \dots , n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle n_{0}\rangle }$, ${\d$격자의 개별 사이트에 위치한$$ $isplaystyle n_{1}\rangele ,\regle }.$ 그것을 상기하다.

$}{\sqrt{n}\n-1\rangele}}{\sqrt}}}}$

그리고

$+1 = \n1}\ = {\sqrt{n+1}\mid \n+1\rangedisplaystysty}$

모든 n ≥ 0에 대해, 한편

${1 {1 [a,a^{\mathb }}=\mathb {1}$

운영자에 대한 이러한 정의는 이제 이 문제의 "비정량적" 특성을 수용하도록 변경될 것이며, 우리는 다음 정의를 사용해야 한다.^[8]

$= 1} }{\displaystyle a{}n\rangele = (n) n{-}1\rangele }}$

$= }{\displaystyle a^{}{\regle }{}n\rangele = n{+1\rangele }}}$

.

${1 {1 [a,a^{\mathb }}=\mathb {1}$

Now define ${\displaystyle a_{i}}$ so that it applies ${\displaystyle a}$ to ${\displaystyle n_{i}\rangle }$. Correspondingly, define ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ as applying ${\displaystyle a^{\dagger }}$ to ${\displaystyle n_{i}\rangle }$. 따라서 ${\displaystyle {예}_{}}$를 들어,${\displaystyle {}_{}}$i - ${\displaystyle 1_{}^{}}$ a${{\$}^{\$dagger}}}}$의 순효과는 입자를 ${\displaystyle {\text{적절한}}^{}}$${\displaystyle \mathrm{인자}}$와 곱하는 동안${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ - 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$$$($i-1)^{\text{th}}$ 사이트로$$$$ 이동하는 것이다$$.

이를 통해 입자의 순수한 확산 동작을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \partial _{t}\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\reas }a_{i}}\mid \!\mid \!\mid \mid \bangle =-\mid \mid \mid \wangle ,}$

여기서 합계는 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 초과한다$.$

n ${\displaystyle n}$ 입자가$$ $n{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{n}}$- ${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle$ n$(n-1$) 다른$$방식으로$$ 상호작용할 수 있다는 점에 유의하여 대응 용어를 추론할 수 있으며, 따라서 한 쌍이 소멸할 확률은 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$( ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) d ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$이며$,$라는 용어를 도출할 수 있다.

$display \sumda \sum(a_{i}a_{i}-a}-}^{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 n번 번호는 특정 속도로 $사이트$ i ${\displaystyle$ i$}$에서 n - 2번 번호 상태로 대체된다.

따라서 국가는 다음과 같이 진화한다.

${\displaystyle \partial _{t}\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger })(a_{i}-a_{i-1})\mid \!\psi \rangle +\lambda \sum (a_{i}^{2}-a_{i}^{\filename 2}a_{i}^{2}}\mid \!\mid \propers \rangle }}}$

다른 종류의 상호작용도 유사한 방식으로 포함될 수 있다.

이러한 종류의 표기법은 양자장 이론 기법을 반응 확산 시스템의 분석에 사용할 수 있도록 한다.

양자자

양자장 이론과 다체 문제에서는 양자 상태의 생성 및 소멸 연산자, ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ $i$ $displaystyle a_{i}^{\}}}}.$ 이러한 연산자는 숫자 연산자의 고유값을 변경한다$.$

${\displaystyle N}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ { i${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{$i}$a_{i}^{}^{\dager }a_{i}^{$i$\}\},\},\},\},$

조화 발진기와 유사하게, 한 사람씩. 지수($예{\displaystyle }$: i ${\displaystyle i}$)는 시스템의 단일 입자 상태를 나타내는 양자 숫자를 나타내며, 따라서 반드시 단일 숫자가 되는 것은 아니다. 예를 들어, 수소 원자의 상태에 라벨을 붙이는 데 양자수$({\displaystyle n}$, ${\displaystyle l}$, m${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$){\$displaystyle (n,l,m,s)}$의 튜플이 사용된다$$.

다중 보손 시스템에서 생성 및 소멸 연산자의 정류 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle [a_{i}^{\,}a_{j}^{\\,}a_{j}^{j}^{}}\equiv a_{i}^,}a_{j}^{j}^{}}}}\displaysty 【a_{i}^{i}}}}}}}}}}$

${ja_{i}^{j}^{}}}}}}}=[a_{i}}^{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서${\displaystyle }$[ ,${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\$\$,\$\ \ $]}$은(는) 정류자이고 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$}은$($는) 크론커 델타다.

페르미온의 경우 정류자는 안티코무터${\displaystyle }${ ,${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$

${\displaystyle \{a_{i}^{\,a_{j}^{\\\\}^{i}^{\i}^\,}a_{j}^{}}}\pecified }a_{j}^{j}^{}}^{}}}}}},}=\ij}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \{a_{i}^{\no}^{\j}^{\no_{i}^{no}^{no_{i}^{\}}=0.}$

따라서 생성 또는 소멸 연산자의 제품에서 분리조인트($즉{\displaystyle }$, ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq$ j$\}$ ) 연산자를 교환하면 페르미온 시스템에서는 부호를 반전시키지만 보손 시스템에서는 그렇지 않다.

i에 의해 라벨이 표시된 주들이 힐버트 공간 H의 정형화된 기초라면, 이 구성의 결과는 앞의 단원을 제외하고 CCR 대수 및 CAR 대수 구조와 일치한다. 만일 그것들이 QFT의 결합되지 않은 입자와 같이, 일부 연산자의 연속 스펙트럼에 해당하는 "유전자 벡터"를 나타낸다면, 해석은 더 미묘하다.

정규화

반면 Zee[9] 있는 모멘텀이 우주 정상화[한 ^ p, ^ q†]을 득하)δ{\displaystyle[{\hat{}}_{\mathbf{p}},{\hat{}}_{\mathbf{q}}^{\dagger}]=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{q})}푸리에 변환, Tong[10]과 Peskin 및에 대한 대칭 규칙을 통해;Schroeder[11]일반적인을 사용한다(p− q). 비대칭 convention to obtain ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$. Each derives ${\displaystyle [{\hat {\phi }$$}}(\mathbf {x}),{\hat {\pi }}}(\mathbf {x} ')]=i\mathbf {x}$ -$\mathbf {x} ')}$.

Srednicki additionally merges the Lorentz-invariant measure into his asymmetric Fourier measure, ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$, yielding ${\displaystyle [{\$$hat {a}_{\mathbf{k}},{\hat {a}_{\mathbf$ {k$}'}^{\$mathbf ${k}=(2\pi )^{3}2\omega \,\mathbf {k}$ -$\mathbf {k$^[12]

참고 항목

• 포크 스페이스
• 세갈-바르그만 공간
• 광상공간
• 보골리우보프-발라틴 변환
• 홀슈타인-프리마코프 변환
• 요르단-위그너 변환
• 요르단-슈윙거 변환
• 클라인 변환
• 표준 정류 관계

참조

• Feynman, Richard P. (1998) [1972]. Statistical Mechanics: A Set of Lectures (2nd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-36076-9.
• 1966년 앨버트 메시아 Quantum Mechanics (Vol. I), G. M. 템머의 프랑스어 영어 번역. 노스 홀랜드, 존 와일리 & 선즈 장 XII 온라인

각주