3D 회전 그룹

역학과 기하학에서 흔히 SO(3)로 표기되는 3D 회전 그룹은 구성의 작동에 따른$$ 3차원 유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 원점에 관한 모든 회전 그룹이다.^[1]정의에 따르면, 기원에 대한 회전은 기원과 유클리드 거리(그래서 그것은 등거리), 방향(즉, 공간의 손길)을 보존하는 변환이다.모든 비삼각 회전은 자전축(원점을 통과하는 선)과 자전 각도에 의해 결정된다.두 개의 회전수를 구성하면 다른 회전이 발생하며, 모든 회전은 고유한 역회전(역회전)을 가지며, ID 맵은 회전의 정의를 만족한다.위의 속성 때문에(복합 회전의 연관 속성과 함께), 모든 회전의 집합은 구성 중인 그룹이다.회전은 상쇄되지 않는다(예를 들어, x-y 평면에서 R 90° 회전하고 y-z 평면에서 S 90° 회전하고 R을 따라 회전하는 것은 S와 동일하지 않아 비(非)abelian 그룹이 된다.게다가 회전 그룹은 그룹 운영이 원활히 달라질 수 있는 다지관으로서 자연적인 구조를 가지고 있기 때문에, 사실 그것은 거짓말 그룹이다.그것은 작고 입체감이 있다.

회전은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 선형 변환이므로 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$ {$R} ^{3}$의 기준이 선택되면$$ 행렬로 나타낼 수 있다.구체적으로 R $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 직교 기준(즉, 전치율과 곱하면 ID 행렬이 나타나는 실제 입력을 가진 3 x 3 행렬)을 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ {\displaystyle \mathb{R} ^3$\}$의 직교 기준과 결정률 1의 직교 3 x 3 행렬로 설명된다.따라서 그룹 SO(3)는 행렬 곱셈에 따라 이들 행렬의 그룹으로 식별할 수 있다.이러한 행렬은 SO(3)라는 표기법을 설명하면서 "특수 직교 행렬"로 알려져 있다.

그룹 SO(3)는 우주에서 물체의 가능한 회전 대칭과 가능한 방향성을 설명하기 위해 사용된다.그것의 표현은 물리학에서 중요한데, 여기서 정수 스핀의 기초 입자를 발생시킨다.

길이와 각도

회전은 단순히 길이를 보존하는 것 외에도 벡터 사이의 각도를 보존한다.이는 두 벡터 u와 v 사이의 표준 도트 제품이 순전히 길이로 쓰여질 수 있다는 사실에서 비롯된다.

R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$3}$의 모든 길이 보존 선형 변환은 도트 제품을 보존하므로$$ 벡터 사이의 각도를 보존한다.회전은 종종 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에$$내부 제품을 보존하는 선형 변환으로 정의되는데, 이는 길이를 보존하도록 요구하는 것과 동등하다.SO(3)가 특수 사례로 나타나는 이 보다 일반적인 접근 방식에 대한 치료는 클래식 그룹을 참조하십시오.

직교 및 회전 행렬

모든 회전은 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 정사각형 기준을 다른$$ 정사각형 기준으로 매핑한다.유한차원 벡터 공간의 다른 선형 변환과 마찬가지로, 회전은 항상 행렬로 나타낼 수 있다.R을 주어진 회전으로 하자.${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 기준 e₁, e₂, R₃ $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 대해, R의 열은 (Re₁₂, Re, Re₃)에 의해 주어진다.표준기준은 정사각형이기 때문에, 그리고 R은 각도와 길이를 보존하기 때문에, R의 기둥은 또 다른 정사각형 기준을 형성한다.이 직교 조건은 양식으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle R^{\mathsf{T}R^{\mathsf{T}=I,}$

여기서 R은^T R의 전치성을 나타내며 I는 3 × 3 아이덴티티 매트릭스다.이 속성이 보유하는 행렬을 직교 행렬이라고 한다.3 × 3 직교 행렬의 그룹은 모두 O(3)로 표시되며, 모든 적절하고 부적절한 회전으로 구성된다.

길이 보존 외에도 적절한 회전은 방향을 보존해야 한다.행렬은 행렬의 결정요인이 양인지 음인지에 따라 방향을 유지하거나 역방향으로 유지한다.직교 행렬 R의 경우, 멈춤^T R = 멈춤 R = 멈춤 ²R = ± 1을 의미한다는 점에 유의하십시오.결정인자 +1이 있는 직교 행렬의 부분군을 특수 직교 그룹이라고 하며 SO(3)로 표시한다.

따라서 모든 회전은 단위 결정 인자가 있는 직교 행렬로 고유하게 표현될 수 있다.더욱이 회전의 구성은 행렬 곱셈에 해당하므로 회전 그룹은 특수 직교 그룹 SO(3)에 이형이다.

부적절한 회전은 결정인자가 -1인 직교 행렬에 해당하며, 두 번의 부적절한 회전 생산물이 적절한 회전이기 때문에 그룹을 형성하지 않는다.

그룹 구조

회전 그룹은 함수 구성(또는 동등하게 선형 변환의 산물) 아래의 그룹이다.실제 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 3 ${\$의 모든 반전 불가능한 선형 변환으로 구성된 일반 선형 그룹의 하위 그룹이다$.$^[2]

게다가, 회전 그룹은 비아벨리안이다.즉 회전이 구성되는 순서가 차이를 만든다.예를 들어, 양의 x축을 4분의 1 회전한 다음 양의 y축을 4분의 1 회전시킨다면, y축과 x축 둘레를 먼저 회전시켜 얻은 것과 다른 회전이다.

모든 적절한 회전과 부적절한 회전으로 구성된 직교 그룹은 반사에 의해 생성된다.모든 적절한 회전은 두 개의 반사의 구성으로, 카르탄-디우도네 정리의 특별한 경우다.

회전축

3차원의 비경쟁적 적정 회전마다 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 고유한 1차원 선형 서브공간을 고정하는데, 이를 회전축이라고 한다(이것이 오일러의 회전정리).이러한 각 회전은 이 축과 직교하는 평면에서 일반적인 2차원 회전으로 작용한다.모든 2차원 회전을 각도 φ으로 나타낼 수 있기 때문에 임의의 3차원 회전을 이 축에 대한 회전각과 함께 회전 축으로 지정할 수 있다.(기술적으로 축 방향과 이 방향과 관련하여 회전이 시계 방향인지 반시계 방향인지를 명시할 필요가 있다.)

예를 들어, 각도 φ에 의한 양의 z 축에 대한 반시계방향 회전은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\0&0&1\end{bmatrix}.}$

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 단위 벡터 n과$$ 각도 φ을 주어, R((, n)이 n을 통과하는 축을 중심으로 시계 반대방향 회전을 나타내도록 한다(n에 의해 결정된 방향).그러면

• R(0, n)은 모든 n에 대한 ID 변환이다.
• R(수정, n) = R(-수정, -n)
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n).

이러한 특성을 이용하여 어떤 회전도 0 ≤ φ π의 범위에서 고유한 각도 φ과 다음과 같은 단위 벡터 n으로 나타낼 수 있음을 보여줄 수 있다.

• n은 φ = 0인 경우 임의임
• n은 0 < φ < π >일 경우 고유하다.
• n은 φ = π (즉, 회전 R(π, ±n)이 동일하면 부호까지 고유하다.

다음 절에서는 이 회전 표현을 사용하여 3차원 실제 투영공간으로 SO(3)를 위상적으로 식별한다.

위상

Lie 그룹 SO(3)는 실제 투영 공간 P $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {P} ^{3}(\mathb {R})$과 차이점이다$.$$}$^[3]

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ of의$R$ 3 {\displaystyle$\mathb${R}$$^{3}}에 있는 솔리드 볼을 고려하십시오(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$, R$$3 {\$displaystyle \mathbb {$R$}$ $^3}$ 원점$$ 이하의 모든 지점).위와 같이, 이 공의 모든 점에 대해, 회전각은 점 및 원점을 통과하는 축과 함께 회전각은 원점에서 점까지의 거리와 동일하다.아이덴티티 회전은 공의 중심에 있는 점에 해당한다.0과 -20 사이의 각도를 통과하는 회전은 같은 축의 점과 원점으로부터의 거리, 그러나 원점의 반대편에 있는 점에 해당한다.남은 한 가지 쟁점은 π과 through을 통한 두 회전이 같다는 점이다.그래서 우리는 공의 표면에서 반향점을 식별한다.이 식별 후에, 우리는 회전 그룹에 대한 위상학적 공간 동형질에 도달한다.

실제로 항정신대 표면점이 확인된 볼은 매끄러운 다지관이며, 이 다지관은 회전군과는 차이가 있다.또한 실제 ${\displaystyle 3차원\mathbb{}}$ 투영 공간 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {P} ^{3}(\mathb {R}$ )과 차이가 있으므로$$ 후자는 회전 그룹의 위상학적 모델로도 작용할 수 있다.

이러한 식별은 SO(3)가 연결되었지만 단순히 연결되지 않았음을 보여준다.후자의 경우, 항정신대 표면점이 식별된 공에서 "북극"에서 곧장 내부를 통과하여 남극까지 이어지는 경로를 고려한다.북극과 남극이 확인되기 때문에 이것은 폐쇄 루프다.이 루프는 어떤 식으로 루프를 변형해도 시작점과 끝점은 대척점에 머물러야 하고 그렇지 않으면 루프가 "파열"되기 때문에 한 점으로 축소될 수 없다.회전 측면에서 이 루프는 (예를 들어) 아이덴티티(볼의 중심)에서 시작하여 남극을 거쳐 북극으로 점프하여 아이덴티티 회전(즉, φ이 0에서 2π까지 이어지는 각도 φ을 통한 일련의 회전)에 관한 연속적인 회전을 나타낸다.

놀랍게도 길을 두 번 달려 내려가면, 즉 북극에서 남극으로 다시 뛰어내렸다가(북극과 남극이 식별된다는 사실을 이용), 다시 북극에서 남극으로 뛰어내려 다시 북극에서 남극으로 달려서 φ이 0도에서 4㎝로 흐르게 되면, φ이 한 점으로 줄어들 수 있는 닫힌 고리를 얻게 된다: 먼저 길을 이동시킨다: c.공의 표면까지 부지런히, 여전히 북극과 남극을 두 번 연결한다.그리고 나서 두 번째 길은 전혀 경로를 바꾸지 않고 대척점으로 미러링될 수 있다.이제 우리는 공의 표면에 평범한 닫힌 고리를 가지고, 거대한 원을 따라 북극을 그 자체로 연결한다.이 원은 문제없이 북극까지 줄어들 수 있다.플레이트 트릭과 이와 비슷한 트릭이 이를 실제적으로 보여준다.

일반적으로 동일한 주장을 수행할 수 있으며, SO(3)의 기본 그룹이 순서 2의 주기적 그룹(두 원소를 가진 기본 그룹)임을 보여준다.물리학 응용에서, 기본 그룹의 비경쟁성(하나 이상의 요소)은 스피너라고 알려진 물체의 존재를 허용하며, 스핀-통계 정리 개발에 중요한 도구다.

SO(3)의 유니버설 커버는 스핀(3)이라는 리 그룹이다.그룹 Spin(3)은 특수 단일 그룹 SU(2)와 이형이며, 유닛 3-sphere S와³ 차이점이 있으며 버시어 그룹(절대 값 1)으로 이해할 수 있다.컴퓨터 그래픽에서 일반적으로 이용되는 쿼터니온과 회전 사이의 연결은 쿼터니온과 공간 회전으로 설명된다.S에서³ S의³ 항정신병 지점을 식별하는 SO(3)까지의 지도는 리 군(Lie group)의 허탈적 동형이며 커널은 {±1}이다.토폴로지로는 이 지도가 2대 1 커버 맵이다.(판술 참조)

SO(3)와 SU(2) 사이의 연결

이 절에서는 SO(3)에 대해 SU(2)의 2대 1과 과부하 동형성의 두 가지 구성을 제공한다.

단위 규범 쿼터니온

그룹 SU(2)는 다음에^[4] 의해 주어진 지도를 통해 단위 규범의 쿼터에 이형성을 가진다.

restricted to ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}= \alpha ^{2}+ \beta ^{2}=1}$ where ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$, ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$, 및 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$+ i ${\displaystyle b\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\$$\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 \beta =c+id\in \mathb {C$

Let us now identify ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ with the span of ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$. One can then verify that if ${\displaystyle v}$ is in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ and ${\displaystyle q}$ is a unit quaternion, then

Furthermore, the map ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$ is a rotation of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Moreover, ${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$ is the same as ${\displaystyle qvq^{-1}}$.단위규범의 쿼터니온부터 3D 회전군 SO(3)까지 2:1 동형성이 존재한다는 뜻이다.

이러한 동형체주의를 분명하게 해결할 수 있다: 단위 쿼터니온, q.

회전 행렬에 매핑됨

이것은 2 angle 각도에 의한 벡터(x, y, z)를 중심으로 회전하는 것으로, 여기서 cos θ = w, sin θ = (x, y, z). 일단 축 성분의 기호가 고정되면 sin θ에 대한 적절한 기호가 암시된다.2:1 본성은 Q와 -q가 모두 동일한 Q에 매핑되기 때문에 명백하다.

뫼비우스 변환 사용

이 섹션의 일반적인 참조는 Gelfand, Minlos & Shapiro(1963년)이다.구의 P점

${\displaystyle \mathbf {S} =\좌측\{(x,y,z)\in \mathb {R}^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{1}{4}\right\}}}}}}}}}}$

북극 N을 제외하고 z = -1/2로 정의된 평면 M에서 점 S(P) = P'로 일대일 바이어싱에 넣을 수 있다(그림 참조).지도 S는 입체 투영이라고 불린다.

M의 좌표를 (ξ, η)로 한다.N과 P를 통과하는 L선은 다음과 같이 파라메타될 수 있다.

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\좌측(0,0,{\frac {1}{1}{2}}\우측)+좌측(0,0,{\frac {1}{2}}\우측)-(x,y,z)\우측)\quad t\in \mathb {R}}}$

$L{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle L(t_{0}}}$의 z 좌표가 -1/2와 같도록 요구하면 찾을 수 있음

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{1}:{2}}:}.}$

$L{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \xi }$ ,${\displaystyle \eta }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle L(t_{0}}=(\xi ,\eta ,-1/2$)이 있다$.$${}$ 지도는$$ 이렇다.

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

여기서 나중에 편의를 위해 평면 M은 복합 평면 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}}$과(와) 동일하다.

역의 경우 L을 다음과 같이 입력하십시오.

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\좌측(0,0,{\frac {1}{1}{2}}\우측)\좌측(\xi,\eta,-{\frac {1}{1}{2}}\우측)-\좌측(0,0,{\frac {1}{2}}\우측)},}}$

x²² + y + z = 1/4을² 요구하여 s = 1/1 + ξ² + η을² 찾음

${\displaystyle {\displaysty}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

g ∈ SO(3)가 회전인 경우, 내장 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$에 대한 표준 작용 π_s(g)에 의해 S에 대한 점을 취한다$.$ {\표시 스타일 \$mathbb {R} ^3}.}$ S와 이 동작을 합성함으로써$$ 변환 S composing ∘ ∘ ∘ S, M의_s ∘ S를⁻¹ 얻는다.

$\\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)=gP\longmapsto S(gP)\equiv \{u}\zeta =.}$

따라서 π_u(g)는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$R} ^{3}$의 변환 π_s(g)과 연관된$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$\mathb ${C}$}의 변환이다$.$

π_u(g)이 이렇게 표현한 g ∈ SO(3)는 행렬 π_u(g) ∈ SU(2)로 표현할 수 있는 것으로 밝혀졌다(표기법을 재활용하여 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 변환과 같은$$ 이름을 사용한다).이 행렬을 식별하려면 먼저 각도 φ을 통해 z 축에 대한 회전 g를_φ 고려하십시오.

$\displaystyle {\party}x'&=x\cos \phi\sin \phi,\y'\x\sin \phi\cos \phi,\z'&=z.\end{정렬}}}$

그러므로,

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}}={\frac {e^{i\pi }(x+iy)}}}{{\frac{1}{2}}-z}=e^{i\pi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\pi }{2}}\\zeta +0}{0\zeta +0}{-{\frac {i\pi }}}}}}}}}}}}},},},}$

놀랄 것도 없이 복잡한 평면에서 회전하는 것이다.유사한 방법으로 g가_θ x축 통과각 θ에 대한 회전이라면,

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\data w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x},}$

대수학을 조금 하고 나면

${\displaystyle \fta '={\frac {\frac {\fracta}{2}}\}\fract +i\sin {\fracta {\fracta }{2}}:{{2}}:}{\frac {\2}}:}}}$

따라서$$ 이 두 회전, $즉{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$ , ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}}$은 R² c C m M의 이선형 변환에 해당한다.

일반적인 뫼비우스 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle \zeta '={\frac {\buffer \zeta +\buffer }{\buffer \buffer \buffer \buffer \neq 0.}$

회전, $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$ $,$ g θ {\$displaystyle$ g_${\pi$ },$g_{\theta }}}$은(는) 모든 SO(3)를 생성하며, 뫼비우스 변환의 구성 규칙을 $보면{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle g_{}{}_{}}$ , g ${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\$}, $g_{\$ta$$$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.뫼비우스 변환은 행렬로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}\reason &\reason &\reason \end{pmatrix},\qquad \reason -\reason =1,}$

α, β, Δ의 공통 인자가 상쇄되기 때문에.

같은 이유로 행렬은 -I에 의한 곱셈은 결정인자 또는 뫼비우스 변환 둘 다에 영향을 미치지 않기 때문에 고유하게 정의되지 않는다.뫼비우스 변환의 구성 법칙은 해당 행렬의 구성 법칙을 따른다.결론은 각 뫼비우스 변환은 두 개의 행렬 g, -g , SL(2, C)에 해당한다는 것이다.

이 서신을 사용하면 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\Pi _ᆬ(g_{\phi})&, =\Pi _ᆭ\left[{\begin{pmatrix};-\sin \phi&0\\\sin \phi&\cos \phi&0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}\right\phi 및 \cos]=\pm{\begin{pmatrix}e^{나는{\frac{\phi}{2}}}&0\\0&, e^{-i{\frac{\phi}{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _ᆴ(g_{\theta})&, =\Pi _{u}\left는 경우에는{\begin{pmatrix}1&0.&0\\0&,\cos \theta&-\sin \theta \\0&,\sin \th.eta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{정렬}}}$

이러한 행렬은 단일하므로 π_u(SO (3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C)이다.오일러 각도에서^{[nb 1]} 일반 회전을 찾을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\phi,\theta ,\psi)=g_{\phi}g_{\theta}g_{\psi}&, ={\begin{pmatrix}\cos 및 \phi, -\sin \phi&0\\\sin \phi&\cos \phi&0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&,\cos \theta&-\sin \theta \\0&, \sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos\psi&-\.신 \psi&0\\\sin \psi&\cos \psi&0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}.}\\&, ={\begin{pmatrix}\cos, -\cos\sin\psi -\cos \phi \theta\cos\psi -\cos \theta\sin \phi\sin \psi 및\sin \phi\cos \psi 및 \phi, \sin\phi\sin\theta \\\sin \phi \sin\psi +\cos \theta\cos \phi\cos \psi 및 \cos\psi +\cos, -\cos\sin \theta 및 \psi\sin\theta \\\sin \phi,\cos \phi\sin \psi&-\sin \phi \theta \cos\psi \sin. \theta&\cos \theta \end{pmatrix},\end{aigned}}$

(1)

가지고^[5] 있다

${\displaystyle{\begin{정렬}\Pi _ᆪ(g(\phi ,\theta ,\psi))&=\pm{\begin{pmatrix}e^{나는{\frac{\phi}{2}}}&0\\0&, e^{-i{\frac{\phi}{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos{\frac{\theta}{2}}&i\sin{\frac{\theta}{2}}\\i\sin{\frac{\theta}{2}}&\cos{\frac{\theta}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{나는{\frac{\psi}{2}}}&am.p/&0\\0&, e^{-i{\frac{\psi}{2}}}\end{pmatrix}}\\&=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi +\psi }{2}}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi -\psi }{2}}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi -\psi }{2}}}&\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi +\psi }{2}}}\end{pmatrix}}.\end{정렬}}}$

(2)

반대의 경우 일반 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle \pm \Pi \{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\#\\beta \\\\\\overline {\alpha }}}}{pmatrix}}\in \operatorname {SU}(2)}$

대체하기

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&= \alpha ,&\sin {\frac {\theta }{2}}&= \beta ,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{정렬}}}$

대체물로 π(g_{α, β})은 (2)의 우측(RHS)의 형태를 가정하며, 이는 (1)의 RHS 형태의 매트릭스에 해당하는_u (2)의 우측(RHS)의 형태를 가정한다.복합 파라미터 α, β,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta}={\begin{pmatrix}{\frac{1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline{\alpha ^{2}}}-{\overline{\beta ^{2}}}\right)&,{\frac{나는}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline{\alpha ^{2}}}와{\overline{\beta ^{2}}}\right)&, -\alpha \beta -{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\\{\frac{나는}{2}}\left(\alpha ^{2}.^-\beta{2}-{\overline{\alpha ^{2}}}+{\overline{\beta ^{2}}}\right)&{\frac{1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline{\alpha ^{2}}}와{\overline{\beta ^{2}}}\right)&, -i\left(+\alpha \beta-{\overline{\alpha}}{{\beta}}\right\overline)\\\alpha{\overline{\beta}}+{\overline{\alpha}}\beta&i\left(-\alpha{\overline{\beta}}+{\overline.{\alpha}})베타 \right)&\buffer {\overline {\buffer }-\buffer {\buffer }\end{pmatrix}.}$

이를 확인하기 위해 (2)의 RHS에 있는 행렬의 원소 α. β를 대체한다.일부 조작 후, 행렬은 (1)의 RHS 형태를 가정한다.

오일러 각도에서 보면 지도가 뚜렷하다.

${\displaystyle {\begin}p:\operatorname {SU}(2)\to \operatorname {SO}\\\\pi _{u(\pm g_{\alpha \beta }}}}}\mapsto g_{\alpha \beta }}end{}}}}}$

방금 설명한 것은 매끄럽고 2:1이며 낙담적인 집단 동형상이다.따라서 그것은 범용 커버 그룹 SU(2)의 SO(3)의 범용 커버 공간에 대한 명시적인 설명이다.

리 대수

모든 Lie 그룹과 연관되어 있는 것은 Lie 그룹과 같은 차원의 선형 공간인 Lie 대수학이며, Lie bracket이라고 불리는 이선 교대 제품 아래에서 닫힌다.SO(3)의 Lie 대수학($Lie{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathrm{대수학})}$은$$s${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ( 3 ) {\$displaystyle {\mathfrak{so}(3)}$에 의해 표시되며$$, 모든 스큐 대칭 3 × 3 행렬로 구성된다.^[6]이는 직교성 조건인 AA^T = I, A ∈ SO(3)를 구별하여 볼 수 있다.^{[nb 2]}$s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle {\mathfak{so}(3)}$의 두 원소의 눕는 괄호는 매트릭스 정류자가 부여한 모든 매트릭스 그룹의 눕는 대수학으로서, [A₁, A₂] = AA₁₂ - AA는₂₁ 다시 스큐 대칭 매트릭스다.리 대수 브래킷은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식에 의해 정밀하게 만들어진 의미에서 리 그룹 제품의 진수를 포착한다.

$s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ (${\displaystyle 3}$ )$${\$displaystyle${\$mathfak{so}}(3)$의 요소는$$ 회전, 즉 ID 요소에 있는 다지관 SO(3)의 접선 공간의 요소들이다.$R{\displaystyle }$ (${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle n\mathit{}}$) ${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol{n}})$이 단위 $벡터{\displaystyle \mathit{}}$n , ${\displaystyle {\boldsymbol {n},}$에 지정된 축에 대해 φ 각도가 있는 시계 반대 방향 회전을 나타내는$$$$ 경우

$\\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}\in \mathb {R}^{3}:\qquad \왼쪽.{\frac {\operatorname {d}{\operatorname {d} \phi }\}\오른쪽 _{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol{n}}}}}{\boldsymbol {n}}}}}}}{\boldsymbol.}$

이것은 Lie 대수 s ${\displaystyle \mathfrak{o}}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle${\$mathfrak{so}}(3)($콤퍼레이터 포함))가 $Lie{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ R$$3 {\$displaystyle \mathb{R}$ ^{$3}($교차 제품 포함)에 대해 이형성이라는 것을 보여주는 데 사용할 수 있다.Under this isomorphism, an Euler vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$ corresponds to the linear map ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$ defined by ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\bo$$ldsymbol {\omega}\cHB {\symbol {u}.$$}$

좀 더 자세히 설명하면, 3차원 벡터 공간으로서$$ $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle {\mathfrak$ {\mathfrak$}{so}(3)}$에 가장 적합한 기반이 되는 경우가 많다.

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

이러한 기본 요소의 정류 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

교차 제품 하의$$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$3}$의 세 표준 단위 벡터의 관계에 동의한다.

위에서 발표한 바와 같이, 이 리 대수학에서 오일러 벡터 $\Omega {\displaystyle \mathit{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {\\omega }}}=(x,y,z)\in \mathb {R}$^{$3}}$을 사용하여 어떤 행렬도 식별할 수 있다.

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

이 식별을 해트맵이라고 부르기도 한다.^[8]이 식별에 따라, $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathrm{o}}$ ( 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle${\$mathfak{so}}(3)$ 브래킷은$$ 교차 ${\displaystyle {}^{}}$에$$대한 R 3 {\$displaystyle$ \$mathb{R}$^{3$}$에 해당한다.

${\displaystyle \left[{\widehat {\\symbol {u}},{\widehat {\\widehat {\v}}\right]={\widehat {{\mobilesymbol {u}\b}}}}}}}.}$

벡터 $u{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$과(와) 식별된 매트릭스에는 다음과$$ 같은 속성이 있다.

${\displaystyle {\widehat{\widesymbol {u}}{\\bmbol {v}={\bmbol {u}\bmbol {v},}$

왼쪽에는 보통 행렬의 곱셈이 있다.${\displaystyle \times }$ × ${\displaystyle \times }$ × = $.$ ${\$$displaystyle {\boldsymbol{u}}}\time${\$boldsymbol{u}={\boldsymbol {0}}}$이($가{\displaystyle \mathit{}}$) 식별되는 스큐 대칭 행렬의 null 공간에 $있음$을 의미한다.$}$

리알헤브라에 관한 노트

리 대수표현에서 그룹 SO(3)는 1등급의 콤팩트하고 단순하기 때문에 3개 발전기의 2차 불변함수인 단일 독립 카시미르 원소를 가지고 있어 모두와 통한다.The Killing form for the rotation group is just the Kronecker delta, and so this Casimir invariant is simply the sum of the squares of the generators, ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$ of the algebra

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

즉, 카시미르 불변제는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

단일 불가침 표현 D의^j 경우, 이 불변성의 고유값은 실제적이고 이산적이며, 차원성 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle j}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2j+1}$의 유한 치수인 각 표현을 특성화한다$.$즉, 이 카시미르 연산자의 고유값은

${\displaystyle {\boldsymbol {J}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}_{2j+1},}$

여기서 j는 정수 또는 반수이며, 스핀 또는 각도 운동량이라고 한다.

따라서 위에 표시된 3 × 3 발전기 L은 3중(spin 1) 표현에 작용하고, 아래 2 × 2 발전기는 2중(spin-1/2) 표현에 작용한다.D의^1/2 Kronecker 제품을 반복적으로 가져감으로써, 사람들은 모든 더 높은 수정 불가능한 표현^j D를 구성할 수 있다.즉, 임의로 큰 j의 공간적 차원에서 높은 스핀 시스템에 대한 결과 발생기는 이러한 스핀 연산자와 래더 연산자를 사용하여 계산할 수 있다.

모든 단일해석 불가능한 표현 D에^j 대해 동등한 표현인 D가^−j−1 있다.집단이 소형이기 때문에 모든 무한 차원 불가해한 표현은 비독점적 표현이어야 한다.

양자역학에서 Casimir 불변량은 "사각형-모멘텀-제곱" 연산자로, 스핀 j의 정수 값은 보소닉 표현을 특징짓는 반면, 반정수는 페르미온 표현을 중시한다.위에서 사용한 항헤르미티아 행렬은 i에 곱한 후 스핀 연산자로 활용되기 때문에 지금은 은둔자(Pauli 행렬처럼)가 된다.그러므로, 이 언어에서는,

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

그래서

${\displaystyle {\boldsymbol {J}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}_{2j+1}.}$

이 D에^j 대한 명시적 표현은,

${\displaystyle{\begin{정렬}({\boldsymbol{J}}_{z}^{(j)}\right)_{영혼}&, =(j+1-a)\delta _ᆲ\\\left({\boldsymbol{J}}_{x}^{(j)}\right)_{영혼}&, ={\frac{1}{2}}\left(\delta_{}b,a+1 +\delta_{b+1,a}\right){\sqrt{(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol{J}}_{y}^{(j)}\right)_{영혼}&, ={\frac{1}{2i}}\left(\delta_{}b,a+1 -\delta_{b+1,a}\right).{\sqrt{())(a+b-1)-ab}\\\end{aigned}}$

여기서 j는 임의적이고 $1{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ j${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1$

예를 들어, 스핀 1에 대한 결과 스핀 행렬(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j=1$은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{J}}_{)}&, ={\frac{1}{\sqrt{2}}}{\begin{pmatrix}0&, 1&, 0\\1&, 0&, 1\\0&, 1&, 0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol{J}}_{y}&, ={\frac{1}{\sqrt{2}}}{\begin{pmatrix}0&, -i&, 0\\i&, 0&, -i\\0&, i&, 0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol{J}}_{z}&, ={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 0&.;0\\0&, 0&, -1\end{pmatrix}}\end{정렬}}}$

그러나, 이러한 것들이 카르테시안 기초의 위의 iL과 동일하지만 다른 기초인 구형 기초에 있는 방법에 주목한다.^{[nb 3]}

스핀 3/2(${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ j$={\tfrac{3}{2}}:}):$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{J}}_{)}&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}0&,{\sqrt{3}}&0&, 0\\{\sqrt{3}}&0&, 2&, 0\\0&, 2&, 0&,{\sqrt{3}}\\0&, 0&,{\sqrt{3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol{J}}_{y}&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}0&, -i{\sqrt{3}}&0&, 0\\i{\sqrt{3}}&0&, -2i&, 0\\.0&, 2i&, 0&, -i{\sqrt{3}}\\0&, 0&, i{\sqrt{3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol{J}}_{z}&.){\frac{1}{1}:{\pmatrix}3&0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}.\end{정렬}}}$

스핀 5/2(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 5\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}}: $),$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{J}}_{)}&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}0&,{\sqrt{5}}&0&, 0&, 0&, 0\\{\sqrt{5}}&0&, 2{\sqrt{2}}&0&, 0&, 0\\0&, 2{\sqrt{2}}&0&, 3&, 0&, 0\\0&, 0&, 3&, 0&, 2{\sqrt{2}}&0\\0&, 0&, 0&, 2{\sqrt{2}}&0&,{\sqrt{5}}\\0&, 0&, 0&, 0&.;{\sqrt{5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol{J}}_{y}&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}0&, -i{\sqrt{5}}&0&, 0&, 0&, 0\\i{\sqrt{5}}.&0&, -2i{\sqrt{2}}&0&, 0&, 0\\0&, 2i{\sqrt{2}}&0&, -3i&, 0&, 0\\0&, 0&, 3i&, 0&, -2i{\sqrt{2}}&0\\0&, 0&, 0&, 2i{\sqrt{2}}&0&, -i{\sqrt{5}}\\0&, 0&, 0&, 0&, i{\sqrt{5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol{J}}_{z}&, ={\frac{1}{2}}{\begin{pmatrix}5&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&amp을 말한다.3&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, -3&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, -5\end{pmatrix}}.\end{정렬}}}$

𝖘𝖚 (2)가 있는 이형성

리알헤브라스 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle {\mathfrak{so}}}$과 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathrm{u}}$ ( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrak{su}}(2)$는 이형이다.$s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{u}}$ (${\displaystyle 2}$ ) ${\displaystyle {\mathfrak{su}}(2)$에 대한 한 가지 근거가 제공됨$$^[9]

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

이것들은 에 의해 Pauli 행렬과 관련이 있다.

${\displaystyle {\jamsymbol{t}_{i}\긴 왼쪽 오른쪽 화살표 {\frac {1}{1}{2}}\ma _{i}.}$

파울리 행렬은 리 알헤브라를 위한 물리학자들의 규약을 준수한다.그 관습에서, Lie 대수 원소는 i로 곱하고, 지수에서 지수 지도(아래)는 i의 추가 인수로 정의되며, 구조 상수는 그대로 유지되지만, 이들의 정의는 i의 인자를 획득한다.마찬가지로 감화관계도 i의 한 요소를 획득한다.$t{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 정류 관계는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle [{\jsymbol{t}_{i}},{\j}}}=\barepsilon _{ijk}{\jsymbol{t}_{k}}}},}$

여기서 ε은_ijk ε₁₂₃ = 1을 가진 완전히 반격파 기호다.$s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle {\mathfak{so}(3)}$과 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathrm{u}}$ ( 2 )${\displaystyle {\mathfak {su}(2)$ 사이의 이형성은 여러 가지 방법으로 설정할 수 있다$$.$이후$의 편의를 위해 s${\displaystyle \mathrm{o}}$ ( 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrak$ {$so}(3)$및 $s$ ${\displaystyle \mathfrak{u}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle {\mathfrak {su}(2)}$을(를) 매핑하여 식별한다$$.

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

선형성에 의해 확장된다.

지수지도

SO(3)에 대한 지수 맵은 SO(3)가 표준 매트릭스 지수 열을 사용하여 정의된 매트릭스 Lie 그룹이기 때문에

${\displaystyle {\begin{case}\exp :{\mathfak {so}(3)\to \operatorname {SO}(3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{k!}}}}}}{{k}=I+A+{\tfrac{1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{case}}$

모든 스큐 대칭 행렬 A ∈ 𝖔𝖔(3)의 경우 e는^A 항상 SO(3)에 있다.증거는 행렬 지수(matrix index)의 기본 특성을 사용한다.

$왼쪽(e^{A}\오른쪽)^{\textsf{T}e^{A}=e^{A^{\textsf{T}}e^{A}=e^{A^{\textsf{T}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\왼쪽(e^{A}\오른쪽)^{\textsf{T}=e^{0}=I.}$

행렬 A와 A가^T 통근하기 때문에, 이는 스큐 대칭 행렬 조건으로 쉽게 증명될 수 있다.이는 𝖘𝖔(3)이 SO(3)에 해당하는 리 대수라는 것을 보여주기에 충분하지 않으며, 별도로 증명되어야 한다.

입증의 난이도는 매트릭스 그룹 리 대수학 정의 방법에 따라 달라진다.홀(2003) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CITREFHALL2003(도움말)은 리 대수(Lie 대수)를 행렬 집합으로 정의한다.

$\displaystyle \왼쪽\{A\in \operatorname {M}(n,\mathb {R})\왼쪽 e^{tA}\\in \operatorname {SO} (3)\all t\right.\right\}}$

그런 경우에는 그것은 하찮은 것이다.Rossmann(2002)은 ID에서 취해진 ID를 통해 SO(3)에서 부드러운 곡선 세그먼트의 정의 파생상품을 사용하며, 이 경우 더 어렵다.^[10]

고정 A ≠ 0, e^tA, -∞ < t < ∞은 SO(3)의 지오데틱을 따라 1-모수 부분군이다.이것이 1-모수 부분군을 제공한다는 것은 지수 지도의 속성에서 직접 나타난다.^[11]

지수 지도는 𝖘𝖔(3)에 있는 기원의 근린과 SO(3)에 있는 정체성의 근린 사이의 차이점형성을 제공한다.^[12]자세한 내용은 닫힌 부분군 정리를 참조하십시오.

기하급수적인 지도가 처절하다.이는 모든 R ∈ SO(3)가 회전할 때마다 축이 고정되어 있기 때문에(Euler의 회전 정리), 폼의 블록 대각 행렬에 결합되기 때문이다.

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&1\end{pmatrix}=e^{\ta L_{z},}$

A = BDB⁻¹, 그리고 저것과 같은

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1},}$

𝖘𝖔(3)이 SO(3)의 조정 작용에 의해 폐쇄된다는 사실과 함께, BθLB ∈ ∈ 𝖘 𝖔 𝖔 𝖔 ( (3)을 의미한다.

따라서, 예를 들면, 대중적인 정체성을 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\ta L_{z}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\ta L_{y}}}}.}$

위와 같이 모든 원소 A ∈ 𝖘𝖔(3)은 벡터 Ω = θ u와 연관되어 있으며 여기서 u = (x,y,z)는 단위 규모 벡터다.u가 A의 null 공간에 있기 때문에, 만약 한 사람이 새로운 기준으로 회전한다면, 다른 직교 행렬 O를 통해, u를 z축으로 하여, 새로운 기반에서 회전 행렬의 마지막 열과 행은 0이 될 것이다.

따라서 지수 공식으로부터 exp(OAO^T)가 u를 고정해야 한다는 것을 우리는 미리 알고 있다.u의 함수로서 그러한 기초를 위한 간단한 공식을 제공하는 것은 수학적으로 불가능하다. 왜냐하면 그것의 존재는 털이 많은 공의 정리를 위반할 것이기 때문이다; 그러나 직접적 변형이 가능하고, 수율을 산출한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}({\tilde{\boldsymbol{\omega}}})&, =\exp(\theta({\boldsymbol{u\cdot L}}))=\exp \leftᆬ\\[4pt]&, ={\boldsymbol{나는}}+2csᆭ+2s^ᆱᆮ^ᆲ\\[4pt]&, ={\begin{bmatrix}2\left(x.^{2}-1\right)s^{2}+1&, 2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

여기서 $c$= $\cos$ $$ $\frac{\mathrm{\theta }}{}$ 2$${\$textstyle$c=\$cos {\fracta}{2$}}$$$및$ s$$$$= $\sin$ $$ $\frac{2}{}$ ${\$ s$=\sin {\fracta}{2}}.$ 이것은 ::cf 각도로 u 축을 중심으로 회전하는 매트릭스로 인식된다$.$로드리게스의 회전 공식.

로그 지도

Given R ∈ SO(3), let ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$ denote the antisymmetric part and let ${\textstyle \ A\ ={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.$$}}$ 그러면 A의 로그는 다음과^[8] 같이 주어진다.

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\ A\{\A\}A.}$

이것은 로드리게스의 공식의 혼합대칭 형태를 검사함으로써 명백하다.

${\displaystyle e^{X}=I+{\sin \sin }{\x+2}{\frac {\sin ^{2}{\frac {\data ^{2}}:{\ta ^{2}}:}{\deta ^{2}}:X^{2},\quad \theta =\X\,}$

오른쪽의 첫 번째와 마지막 항이 대칭인 경우

베이커-캠프벨-하우스도르프 공식

리 대수에서 X와 Y가 주어진다고 가정하자.그들의 지수인 exp(X)와 exp(Y)는 곱할 수 있는 회전 행렬이다.지수지도는 추론이기 때문에, Lie 대수에서 일부 Z에 대해서는 exp(Z) = exp(X) exp(Y)를 잠정적으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

C의 경우 X와 Y의 일부 표현.exp(X)와 exp(Y)가 통근할 때 Z = X + Y로 복잡한 지수의 동작을 모방한다.

일반적인 경우는 보다 정교한 BCH 공식, 내포된 Liebracket의 연속적인 확장에 의해 주어진다.^[13]행렬의 경우, Lie Bracket은 정류자와 동일한 동작으로, 곱셈에서의 정류성 부족을 감시한다.이러한 일반적인 확장은 다음과 같이 전개된다.^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac{1}{1}{1}:{2}}[X,Y]+{\tfrac{1}{1}{12}}-{\frac {1}{1}}[X,Y]+\cdots.}$

SO(3)를 위한 BCH 공식의 무한 확장은 컴팩트한 형태로 감소한다.

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

적절한 삼각 함수 계수(α, β, γ)의 경우.

이 복합 회전 발전기는 다음과 같이 쓸 가치가 있다.

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

이것이 리 대수 정체성임을 강조하기 위해서입니다.

위의 정체성은 𝖘 all(3)의 모든 충실한 표현을 지탱한다.리 대수 동형성의 알맹이는 이상적이지만, 𝖔((3)은 단순해서 비종교적 이상이 없고 모든 비종교적 표현이 따라서 충실하다.그것은 특히 더블트나 스피너로 표현된다.따라서 동일한 명시적 공식은 Pauli 행렬, cf. SU(2)에 대한 2×2 파생을 통해 더 간단한 방법으로 따른다.

일반 n × n 사례의 경우, 참조를 사용할 수 있다.^[14]

무한 회전

Lie 대수에서 행렬은 그 자체가 회전이 아니며, 스큐 대칭 행렬은 파생된 것이다.실제 "차동 회전" 또는 최소 회전 행렬의 형태

$(\displaystyle I+A\,d\theta,}$

여기서 dθ는 사라질 정도로 작고 A는 𝖘𝖔𝖔(3)이다.

이러한 행렬은 인피니티멀의 일반적인 처리 하에서는 일반적인 유한 회전 행렬과 동일한 성질을 모두 만족시키지 못한다.^[16]이것이 무엇을 의미하는지 이해하기 위해,

${\displaystyle dA_{\mathbf {x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&#1&-d&d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

먼저 직교성 조건 QQ^T = I을 검정한다.제품은

${\displaystyle dA_{\mathbf {x}^{\textsf {T}\,dA_{\mathbf {x}}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1+d\ta ^{2}\0\0&0&#1+d},{bmatrix},}}}}}$

여기서 폐기된 2차 정보 매트릭스와 다른 ID 매트릭스.그래서, 첫 번째 순서로, 최소 회전 행렬은 직교 행렬이다.

다음, 행렬의 제곱을 조사한다.

${\displaystyle dA_{\mathbf {x}^{2}={\begin{bmatrix}1&0\\\0&0\\1-d\theta \0&2\,d\ta &1-d&2\{bmatrix}}.}$

다시 두 번째 순서 효과를 폐기하고 각도는 단순히 두 배가 된다는 점에 유의하십시오.이것은 행동의 가장 본질적인 차이를 암시한다. 우리가 두번째 극소수 회전의 도움으로 보여줄 수 있다.

${\displaystyle dA_{\mathbf {y}}={\begin{bmatrix}1&d&d\phi \\0&0\d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

dA_x dA_y 제품을 dAdA와_yx 비교한다.

${\displaystyle {\reasoned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\end{aigned}}$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\theta \,d\pi }$이(가) 2차 순서이므로 폐기한다. 따라서 첫 번째 순서로는 최소 회전 행렬의 곱셈이 역순이다.실은.

${\displaystyle dA_{\mathbf {x}\}\dA_{\mathbf {y}}=dA_{\mathbf {y}\dA_{\mathbf {x}}}}}}$

다시 제1순서대로즉, 무한 회전이 적용되는 순서는 무관하다.

예를 들어, 이 유용한 사실은 강체 회전의 파생을 비교적 단순하게 만든다.그러나 이러한 최소 회전 행렬을 유한 회전 행렬과 Lie 대수 원소 둘 다로부터 구별(첫 번째 순서 처리)하도록 항상 주의해야 한다.위의 BCH 공식에서 유한 회전 행렬의 거동을 최소 회전 행렬의 거동과 대조할 때, 모든 정류자 항이 2차 순서의 무한 회전 행렬이 될 것이다.기술적으로, 이차 주문 조건의 해고는 그룹 수축에 해당한다.

회전 실현

우리는 회전을 나타내는 다양한 방법이 있다는 것을 보았다.

• 결정인자 1을 갖는 직교 행렬로서,
• 축과 회전 각도로
• 버시어와 지도 3-sphere S³ → SO(3)(쿼터니온 및 공간 회전 참조)를 사용한 쿼터니온 대수에서
• 로터로서 기하학 대수학에서.
• 3개의 고정 축에 대한 3회 회전 순서에 따라, 오일러 각도를 참조한다.

구형 고조파

3차원 유클리드 회전의 그룹 SO(3)는 힐베르트 공간에 무한 차원 표현을 하고 있다.

${\displaystyle L^{2}\왼쪽(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathb {N}^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\}}$

여기서 $Y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ ${\$은 구형 고조파다.그것의 요소들은 구체에서 정사각형 통합 가능한 복합 가치^{[nb 5]} 함수들이다.이 공간의 내부 제품은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \langle f,g\langle =\int_{\mathbf {S}^{2}}: {f}g\,d\Oba =\int_{0}^{0}^{2\pi }\{0}^{0}}}}{f}g\ta, \d\pi.$

(H1)

f가 단위 구 S에² 정의된 임의의 사각형 통합 함수라면, 다음과^[17] 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle f\rangle =\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{m=\ell }\left Y_{m}^{\ell }\right\rangle \left\langle Y_{m}^{\ell } f\right\rangle ,\qquad f(\theta ,\phi )=\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{m=\ell }f_{\ell m}Y_{m}^{\ell }(\theta ,\phi ),}$

(H2)

확장 계수가 주어지는 위치:

${\displaystyle f_{\ell m}=\left\langle Y_{m}^{\ell },f\right\rangle =\int _{\mathbf {S} ^{2}}{\overline {Y_{m}^{\ell }}}f\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\overline {Y_{m}^{\ell }}}(\theta ,\phi )f(\theta ,\phi )\sin \theta \,d\theta \,d\phi .}$

(H3)

로렌츠 그룹 작용은 SO(3)의 작용으로 제한되며 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle(\Pi(R)f)(\theta(x),\phi(x)))=\sum _{\ell =1}^{\inful }^{m=-\ell }^{m=-\l}\sum _{m=-\ell }^{m'=\d_{mm'}^{{m'}^{{d_{mm'}^(R)_{\ell m'}Y_{m}^{\ell }\left(\theta \left(R^{-1}x\right),\phi \left(R^{-1}x\right)\phi),\qquad R\in \in \mathb {S}f {S}^2}.}$

(H4)

이 작용은 단일한 것으로, 라는 뜻이다.

${\displaystyle \langle \Pi(R)g\angle =\langle f,g\angle \qquad \f,g\in \mathbf {S}^2,\quad \fall \operatorname {SO} (3).}$

(H5)

D는^(ℓ) 위의 D로부터^{(m, n)} 클렙슈-고단 분해를 이용하여 얻을 수 있지만, 이상차원 su(2)-표현의 지수화로서 더 쉽게 표현된다(3차원 su는 정확히 𝖘𝖔(3).^[18][19]이 경우 공간² L(S²)은 다음과 같이^[20] 수정 불가능한 홀수 유한차원 표현 V_{2i + 1}, i = 0, 1, ...의 무한 직접 합으로 깔끔하게 분해된다.

${\displaystyle L^{2}\왼쪽(\mathbf {S} ^{2}\right)=\sum _{i=0}^{2i+1}\equiv \bigopluus _{i=0}^{i=0}^{\infty }\operatorname {span} \left\{{{{{{{{{{{{{{{{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}Y_{m}^{2i+1}\right\}.}$

(H6)

이는 SO(3)의 무한 차원 단일 표현 특성이다.만약 Ⅱ가 분리 가능한^{[nb 6]} 힐버트 공간에 대한 무한 차원 단일 표현이라면, 유한 차원 단일 표현들의 직접적인 합으로 분해된다.^[17]그러므로 그러한 표현은 결코 철회할 수 없다.모든 되돌릴 수 없는 유한 치수 표현(IIG, V)은 적절한 내부 제품 선택에 의해 단일화할 수 있다.^[17]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,}$

여기서 적분은 SO(3)를 통해 1로 정규화된 고유 불변성 적분이며, 여기에서 오일러 각도 파라메트리제이션(Parametrization)을 사용하여 표현된다.일체형 안에 있는 이너 제품은 V 상의 어떤 이너 제품이다.

일반화

회전 그룹은 표준 유클리드 구조로$$ ${\displaystyle {}^{}}$ 유클리드 공간 $Rn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 상당히 자연스럽게 일반화된다.n차원의 모든 적절하고 부적절한 회전 집단을 직교 그룹 O(n)라고 하며, 적절한 회전 집단을 특수 직교 그룹 SO(n)라고 하는데, 이는 치수 n(n - 1)/2의 Lie 그룹이다.

특수상대성이론에서는 3차원 유클리드 공간보다는 민코프스키 공간이라고 알려진 4차원 벡터 공간에서 일한다.민코프스키 공간은 유클리드 공간과 달리 무기한 시그니처가 들어간 내부 제품이 있다.그러나 이러한 내적 생산물을 보존하는 일반화된 회전을 여전히 정의할 수 있다.이와 같이 일반화된 회전을 로렌츠 변환이라고 하며, 그러한 모든 변환의 그룹을 로렌츠 그룹이라고 한다.

이 회전은 그룹 SO(3)E+(3), 유클리드의 R3의 직접적인 isometries의 운동군의 하위 그룹으로 반환합니다.}강체의 모든 운동의 이 더 큰 그룹은 그룹:임의의 축에 대한 회전과 번역의 이들 각각의 조합 또는 다르게, com을{\displaystyle \mathbb{R}^{3}설명할 수 있다.bSO(3)의 요소와 임의의 번역.

일반적으로 물체의 회전 그룹은 직접 등위계 그룹 내의 대칭 그룹, 즉 전체 대칭 그룹과 직접 등위계 그룹의 교차점이다.키랄 개체의 경우 전체 대칭 그룹과 동일하다.

참고 항목

각주

참조

참고 문헌 목록

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