반대칭 연산자

양자역학에서 상승 또는 하강 연산자(사다리 연산자)는 다른 연산자의 고유값을 증가시키거나 감소시키는 연산자다.양자역학에서는 상승 연산자를 창조 연산자라고 부르기도 하고, 하강 연산자를 소멸 연산자로 부르기도 한다.양자역학에서 사다리 연산자의 잘 알려진 적용은 양자 조화 진동자와 각운동량의 공식에 있다.

소개

1970년대 초에 발견된 양자장 이론의 또 다른 유형의 연산자는 반대칭 연산자로 알려져 있다.비상대적 양자역학에서 스핀과 유사한 이 연산자는 두 페르미온에서 보손이나 보손에서 반대 회전하는 두 페르미온을 만들 수 있는 사다리 연산자다.엔리코 페르미의 이름을 딴 페르미온(Permion)은 전자나 양성자와 같은 반정수의 스핀을 가진 입자다.이것은 물질 입자다.S. N. Bose의 이름을 딴 보손은 광자, W's와 같이 정수 스핀을 완전하게 하는 입자다.이것은 입자를 운반하는 힘이다.

스핀

첫째, 우리는 비-상대적 양자역학에 대해 스핀을 검토할 것이다.각운동량과 유사한 내적 특성인 스핀은 궤도각운동량에서 연산자 L과 유사한 시스템에서 역할을 하는 스핀 연산자 S에 의해 정의된다.The operators ${\displaystyle S^{2}}$ and ${\displaystyle S_{z}}$ whose eigenvalues are ${\displaystyle S^{2} s,m\rangle =s(s+1)\hbar ^{2} s,m\rangle }$ and ${\displaystyle S_{z} s,m\rangle =m\hbar s,m\rangle }$ res속셈으로These formalisms also obey the usual commutation relations for angular momentum ${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}}$, ${\displaystyle [S_{y},S_{z}]=i\hbar S_{x}}$, and ${\displaystyle [S_{z},S_{x}]=i\hbar S_{y}}$.The raising and lowering operators, ${\displaystyle S_{+}}$ and ${\displaystyle S_{-}}$, are defined as ${\displaystyle S_{+}=S_{x}+i\cdot S_{y}}$ and ${\displaystyle S_{-}=S_{x}-i\cdot S_{y}}$ respectively.These ladder operators act on the state in the following ${\displaystyle S_{+} s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m+1)}} s,m+1\rangle }$ and ${\displaystyle S_{-} s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m$$(m-1)}초,m-1$$\rangele }.$

연산자 S_x와 S_y는 래더 방법을 사용하여 결정할 수 있다.In the case of the spin 1/2 case (fermion), the operator ${\displaystyle S_{+}}$ acting on a state produces ${\displaystyle S_{+} +\rangle =0}$ and ${\displaystyle S_{+} -\rangle =\hbar +\rangle }$. Likewise, the operator ${\displaystyle S_{-}}$ acting on a상태 생성 $S{\displaystyle {}_{}}$- -${\displaystyle {}_{}⟩}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{-}$ -$\rangele =0}$ 및 $S$ - +${\displaystyle {}_{}⟩}$= ${\displaystyle \hslash }$ -${\displaystyle }$ℏ - ℏ - ℏ -$$ - ⟩ - $⟩{-} +\rangele =\hbar -\rangele$ $\}.$ 이들 연산자의 행렬 표현은 다음과 같이 구성된다.

${\displaystyle [S_{+}]={\begin{bmatrix}\langle + S_{+} +\rangle &\langle + S_{+} -\rangle \\\langle - S_{+} +\rangle &\langle - S_{+} -\rangle \end{bmatrix}}=\hbar \cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle [S_{-}]={\begin{bmatrix}\langle + S_{-} +\rangle &\langle + S_{-} -\rangle \\\langle - S_{-} +\rangle &\langle - S_{-} -\rangle \end{bmatrix}}=\hbar \cdot {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

따라서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및 $S$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 행렬 표현으로 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle [S_{x}]={\frac {\hbar }{2}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\&0\end{bmatrix}}}}}$

${\displaystyle [S_{y}]={\frac {\hbar }{2}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\i\i&0\end{bmatrix}}}}}}$

Recalling the generalized uncertainty relation for two operators A and B, ${\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left \left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right }$, we can immediately see that the uncertainty relation of the opErator $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및$$ S ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \Delta _{\psi }S_{x}\,\Delta _{\psi }S_{y}\geq {\frac {1}{2}}\left \left\langle \left[{S_{x}},{S_{y}}\right]\right\rangle _{\psi }\right ={\frac {1}{2}}(i\hbar S_{z})={\frac {\hbar }{2}}S_{z}}$

따라서 궤도 각도 운동량과 마찬가지로 한 번에 하나의 좌표만 지정할 수 있다.연산자 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{2$}}$$및$$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$를 지정한다$.$

양자장 이론에서의 응용

보손에서 입자와 반입자를 만드는 것은 유사하지만 무한한 차원을 위해 정의된다.따라서 무한차원에 대한 Levi-Civita 기호가 도입된다.

${\displaystyle \varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{if }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ is an even permutation of }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{if any two labels are the same}}\end{matrix}}\right.}$

The commutation relations are simply carried over to infinite dimensions ${\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar S_{k}\varepsilon _{ijk}}$. ${\displaystyle S^{2}}$ is now equal to ${\displaystyle S^{2}=\sum _{m=1}^{n}S_{m}^{2}}$ where n=∞.고유값은 S s(+ ) m> ${\displaystyle$ S$^{2}초,m>=s(s+1)\hbar ^{2}초,m>}.$z 방향으로 투영된 각운동량인 자기 양자수를 정의하는 것은 단순한 회전 상태보다 더 어려운 일이다.이 문제는 고전 역학에서 관성의 순간과 유사하게 되고 n차원까지 일반화된다.보손의 생성과 전멸을 가능하게 하는 것이 바로 이 재산이다.

보손스

그들의 회전으로 특징지어지는 보소닉 장은 스칼라장, 벡터장, 심지어 텐서장이 될 수 있다.예를 들어, 정량화된 전자기장은 광자장이며, 이는 규범적 또는 경로 적분 정량화의 전통적인 방법을 사용하여 정량화할 수 있다.이것은 양자 전자역학 이론으로 이어졌는데, 이것은 물리학에서 가장 성공적인 이론이다.중력장은 정량화된 중력장이다.아직 중력장을 정량화하는 이론은 없지만 끈 이론과 같은 이론은 정량화된 중력장을 생각할 수 있다.비상대적 보소닉장의 예는 헬륨-4와 같은 차가운 보소닉 원자를 기술하는 것이다.자유 보소닉 필드는 감화 관계를 따른다.

${\displaystyle [a_{i},a_{j}]=[a_{i}^{\i}^{\i}^,a_{j}^{\i}}=0}$

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle ⟨}$ f ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle [a_{i},a_{i}^{\langle }=\langle$ f $g\angle$ $\},$

예를 들어, 상호 직교 단일 입자 상태 ${\displaystyle \varphi {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$⟩,${\displaystyle \varphi {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}⟩,}$ ${\displaystyle \varphi {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \phi_{1}\rangele, \phi _{2}\rangele, \phi$\{3$}\rangele$ $\}$ 등을 점유하는 N 보손의 시스템이 있다고 가정해 보자.통상적인 표현을 사용하여 각 입자에 상태를 할당하고 나서 교환 대칭을 부과함으로써 시스템을 증명한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left[ \phi _{1}\rangle \phi _{2}\rangle \phi _{3}\rangle + \phi _{2}\rangle \phi _{1}\rangle \phi _{3}\rangle + \phi _{3}\rangle \phi _{2}\rangle \phi _{1}\rangle \right].}$

이 파동 방정식은 2차 정량화 접근법(이차 정량화라고 알려진)을 사용하여 나타낼 수 있다.각 단일 입자 상태의 입자 수가 나열된다.

${\displaystyle 1,2,0,0,0 및\cdots \rangele ,}$

다중 입자 상태에서 입자를 더하고 빼는 생성 및 소멸 연산자.이러한 생성 및 소멸 연산자는 에너지 퀀텀을 추가 및 뺀 양자 고조파 오실레이터에 대해 정의된 것과 매우 유사하다.그러나 이들 연산자는 말 그대로 주어진 양자 상태를 가진 입자를 만들어 소멸시킨다.보소닉 전멸 연산자 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}^{\dager$ }} 생성$$ ${\displaystyle {연산자\mathrm{}}_{}^{}}$ a 2$display$ {\$displaystyle$ a_{2}^{\dager $}}}}}$는 다음과 같은 효과를 가진다$$.

${\displaystyle a_{2} N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangel ={\sqrt{N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1), N_{3},\cdots \rangle ,},}$

${\displaystyle a_{2}^{\dager }N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt{N_{2}+1}}\mid N_{1}, (N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangele .}$

Like the creation and annihilation operators ${\displaystyle a_{i}}$ and ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ also found in Quantum Field Theory, the creation and annihilation operators ${\displaystyle S_{i}^{+}}$ and ${\displaystyle S_{i}^{-}}$ act on bosons in multi-particle states. ${\displaystyle i_{}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 시스템에서 입자가 생성되었는지 또는 파괴되었는지 여부를 판단할$$ 수 있는 반면 스핀 ${\displaystyle {연산자}_{}^{}}$ S${\displaystyle {}_i^{}}$ + ${\$${$i$}^{-}-}}-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$은 어떻게 생성되었는지를 결정하도록 허용한다$$.광자는 양전자와 전자 둘 다 될 수 있고 그 반대도 될 수 있다.반대칭 통계량 때문에 스핀 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}}:$$pauli-Exclusion rule을 준수한다$$.입자의 스핀이 반대일 경우에만 두 개의 입자가 같은 상태로 존재할 수 있다.

우리의 예로 돌아가서, 입자의 스핀 상태는 스핀-1이다.대칭 입자 또는 보손은 Pauli-Exclusion 원칙을 따를 필요가 없으므로 다음과 같이 입자의 스핀 상태를 나타낼 수 있다.

${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle i}$x ,${\displaystyle 0}$, 0 , 0 , ${\displaystyle 0}$ ,$\$ , {\$displaystyle$1, $ix,0,0$,0,0$,0$,\$cdots \$${\displaystyle rangele\mathrm{}}$ $,}$ 및$$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle \mathrm{-i}}$ ${\displaystyle x,0,0,\cdots ⟩}$ ,$${\$displaystystyle$ 1$,-ix,0,0,\cdots \rangele ,}$

전멸 스핀 연산자는 이름에서 알 수 있듯이 광자를 전자와 양전자 둘 다로 전멸시킨다.마찬가지로, 생성 스핀 연산자는 광자를 생성한다.광자는 이 예에서 첫 번째 상태 또는 두 번째 상태에 있을 수 있다.선형 모멘텀 연산자를 적용하면

보손화

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다.(2010년 9월)

페르미온스

따라서 연산자 ${\displaystyle {Si}_{}}$+ ${\displaystyle S_{i}+}$와 ${\displaystyle S_{}}$ -${\displaystyle S_{i}-}$를 정의하고 있다$.$ 비상대적 입자의 경우 $S{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$를 페르미온에 두 번 적용하면 결과 고유값이 0이다.마찬가지로 페르미온에 $S{\displaystyle {}_{}}$- ${\$를 두 번 적용하면$$ 고유값이 0이다.이 관계는 Pauli 제외 원칙을 충족한다.그러나 보손은 대칭 입자로, 파울리 배제 원칙을 따르지 않는다.

참조

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• McMahon, David (2006). Quantum Mechanics DeMystified: A Self-Teaching Guide. The McGraw-Hill Companies. ISBN 0-07-145546-9.