변위 연산자

광학 위상 공간의 양자역학 연구에서, 하나의 모드에 대한 변위 연산자는 양자 광학에서 시프트 연산자다.

${\displaystyle \stackrel{}{D}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle \alpha }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$exp ${\displaystyle (\alpha }$ a${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{\stackrel{}{}}}$ -${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ∗ - ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ^${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ )$${\$displaystyle${\$d}(\alpha${$D})(\alpha {\a}^{\dager }-\lapa ^{}}}}{a}\ha$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}은$($는) 광상 공간의 변위량이고, $\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ {\$displaystyle$$alpha$$^{*}$은(는) 해당 변위의 복합적인 결합물이며$$, $^{\$ ${\a}$과${\displaystyle {\stackrel{}{(}}^{}}$와)$^{\d$}}은 하강 및 상승 연산자, 존경, 존중을 받는 연산자,엘리의

이 연산자의 이름은 위상공간에서 국소화된 상태를 크기 $[\displaystyle \alpha$}만큼 치환하는 능력에서 유래되었다$.$ 또한 진공 상태를 일관성 있는 상태로 치환함으로써 진공 상태에 작용하기도 한다.구체적으로 $D{\displaystyle \stackrel{}{}^}$(${\displaystyle \alpha }$ ) ${\displaystyle 0\mathrm{}=}$ = ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ⟩}${\$displaystyle {\D}(\alpha$ ) $0\rangele$ = $\alpha \rangele$}. 여기서$$ ${\displaystyle \alpha }$ α$\$ {\$displaystyle \alpha \rangele}$은 일관성 있는 상태로서$$, 섬멸(낮음) 연산자의 고유상태다.

특성.

The displacement operator is a unitary operator, and therefore obeys ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}$, where ${\displaystyle {\hat {1}}}$ is t신원 조작자야$D{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$^${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \alpha }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle D\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( -${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle {\D}^{\dager}}(\alpha )={\hat{D}}(-\alpha )}}}$이(가)므로 변위 연산자의 은둔자 결합도 상대 크기${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle --alpha })$의 변위치로 해석할 수 있다$.$래더 연산자의 유사성 변환에 이 연산자를 적용하는 효과는 변위를 초래한다.

${\displaystyle {\d}^{\dager}{}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}(\alpha )={\hat {a}+\alpha }}}$

${\displaystyle {\d}(\alpha ){a}{\hat{d}^{D}}}(\alpha )={\hat {a}-\alpha }}$

두 변위 연산자의 제품은 위상 계수를 제외하고 두 개 개별 변위 합계의 총 변위를 갖는 또 다른 변위 연산자다.이는 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식을 활용하면 알 수 있다.

${\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}.}$

이를 통해 다음을 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\d}(\alpha ){d}(\d){d}(\beta)=e^{*-\alpha ^{**}\beta ^/2}{d}(\alpha +\beta )}}$

고유케트에 작용하는 경우 위상 $인자{\displaystyle {}^{}}$ e${\displaystyle {(\alpha }^{}}$ β${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ β -${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ β${\displaystyle {\beta \mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\$ e$^{\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}$개가 결과 상태의 각 용어에 나타나므로$$ 물리적으로 무관하다.^[1]

그것은 더 나아가 우호적인 관계로 이어진다.

${\displaystyle {\d}(\alpha ){d}(\d){d}(\beta )=e^{*-\alpha \beta ^}{d}{d}(\beta ){data}{d}{d}{D}(\alpha )}$

대체 표현식

Kermack-McCrae ID는 변위 연산자를 표현할 수 있는 두 가지 대안적인 방법을 제공한다.

${\displaystyle {\d}(\alpha )=e^{-{\frac{1}{1}:{2}}: \alpha^{2}}: \e^{a}^{\dager }}}{-\alpha^{*}}}}}}}}$

${\displaystyle {\d}(\alpha )=e^{+{\frac{1}{1}:{2}}: \alpha^{2}}: \e-\alpha^{*}{\a}e^{\a}}{\hat{a}e^{\a}}}}}}}}}}}$

멀티모드 변위

변위 연산자는 멀티모드 변위까지 일반화할 수 있다.멀티모드 생성 운영자는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\hat{A}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ^ ${\displaystyle d_{}^{}}$ =${\displaystyle k\mathbf{}}$ ${\displaystyle d\mathbf{}}$ $a$( k ) ${\displaystyle ^}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ^$$\$displaystyle {\hat{A}_{\\psi }^{\dager$}\$int$ d$\mathbf {k} \psi(\mathbf {k}{a}})$ \psi$({\dager)}}}},$ $,,$ }, }, },

여기서 $k{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 파형 벡터이며$$ 그 크기는 ${\displaystyle k\mathbf{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$/$$에 따른$$ 주파수 $Ω$ ${\displaystyle {k\mathbf{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\omega$ $\mathbf {k}{\mathbf {k}/c}$과(와)와 관련이 있다$.$ 이 정의를 사용하여 멀티모드 변위 연산자를 작성할 수 있다.s

${\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}$,

그리고 멀티모드의 일관성 상태를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ^}$ ^ ^${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{^}}_{}}$ (${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ {\$displaystyle \alpha_{\psi }\rangele \equiv {\d}_{\psi$}}{\psi $}(\alpha$) 0$\rangele$$}$ .

참고 항목

• 광상공간

참조