홀슈타인-프리마코프 변환

양자 역학의 홀슈타인-프리마코프 변환은 보손 생성 및 소멸 연산자에서 스핀 연산자에 대한 매핑으로, 그들의 무한 차원 Fock 공간을 유한 차원 서브스페이스로 효과적으로 절단한다.

양자역학의 한 가지 중요한 측면은 관측 가능성과 측정 가능한 수량을 나타내는 (일반적으로) 비고정 연산자의 발생이다.그러한 연산자 집합의 표준 예로는 많은 양자 시스템에서 중요한 각운동량 연산자의 세 가지 성분이 있다.이러한 연산자들은 복잡하며, 사람들은 대략적인 계산 체계를 만드는 데 사용될 수 있는 더 간단한 표현을 찾기를 원한다.

변신은 1940년 당시 대학원생이었던 테오도르 홀슈타인과 ^[2]헨리 프리마코프가 함께 개발한 것이다^[1].이 방법은 광범위한 적용가능성을 발견했고 많은 다른 방향으로 확장되었다.

오퍼레이터 알헤브라의 다른 보손 지도 제작 방법, 특히 (헤르미티아어 이외의) 다이슨-말레프^[3][4] 기법 및 요르단-슈윙거 지도와 밀접한 관계가 있다.^[5]더 나아가 리 알헤브라스에는 (일반화된) 일관성 있는 상태 이론과 밀접한 관계가 있다.

기본기법

양자역학의 스핀 연산자의 기본적인 예를 위해 기초적인 생각을 설명할 수 있다.

For any set of right-handed orthogonal axes, define the components of this vector operator as ${\displaystyle S_{x}}$, ${\displaystyle S_{y}}$ and ${\displaystyle S_{z}}$, which are mutually noncommuting, i.e., ${\displaystyle \left[S_{x},S_{y}\right]=i\hbar S_{z$$}}}$과 그 순환 순열.

스핀의 상태를 고유하게 지정하기 위해, 모든 일련의 통근 운전자를 대각선으로 표시할 수 있다.보통은 SU(2) Casimir $연산자{\displaystyle {}^{}}$ S ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ z$${\$displaystyle S_{z}$를 사용하며$,$ 이는 양자 ${\displaystyle 번호}$s , ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

${\displaystyle S^{2}\left s,m_{s}\right\rangele =\hbar ^{2}s(s+1)\left s,m_{s}\rigle ,}$

${\displaystyle S_{z}\왼쪽 s,m_{s}\right\rangele =\hbar m_{s}\왼쪽 s,m_{s}\right\rangele .}$

투영 퀀텀 number $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$$displaystyle$ $m_$${s$$}$은$($는) $모든$ 값$({\displaystyle }$- $,$- s + ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle s}$-$$1 , ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle )}$을 차지한다$.$

스핀 s의 단일 입자를 고려한다(즉, SU(2)의 단일 수정 불가능한 표현을 보라).이제 최대 투영 ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\$ s$,m_{s}=+s\s\right\$rangele}, 보손 연산자 세트의 진공으로 극단 중량 상태$,$ 그리고 이전 투영 양자 번호가 더 낮은 각 후속 상태, 이전 투영 양자 수를 가진 상태를 취한다.

$\displaystyle \left s,s-n\right\rangele \mapsto {\frac {1}{\sqrt {n!}}}\왼쪽(a^{\dager }\오른쪽)^{n} 0\rangele _{B}~.}$

각각의 추가 보손은 스핀 투영에서 ħ의 감소에 해당한다.Thus, the spin raising and lowering operators ${\displaystyle S_{+}=S_{x}+iS_{y}}$ and ${\displaystyle S_{-}=S_{x}-iS_{y}}$, so that ${\displaystyle [S_{+},S_{-}]=2\hbar S_{z}}$, correspond (in the sense detailed below) to the bosonic파괴 및 생성 연산자.원래 Fock 공간과 달리 유한한 차원 공간에 작용하도록 스핀 연산자에 대한 정확한 정류 관계를 보장하기 위해 연산자 간의 정밀한 관계를 선택해야 한다.

이에 따른 홀슈타인-프리마코프 변환은 다음과 같이 기록될 수 있다.

변환은 특히 s가 큰 경우, 즉 테일러 시리즈로 제곱근을 확장할 수 있는 경우 s의 감소하는 힘을 확장하는 데 유용하다.

테일러 확장 대신, 보소닉 연산자에서는 다항식이지만 여전히 수학적으로 정확한 표현을 가능케 한 시리즈에 대한 재기사로 최근^[7] 진전이 있었다.첫^[7] 번째 방법은 아래와 같이 동일한 결과를 가진 뉴턴 시리즈(한정 차이) 확장을 사용하는 반면$$, 스핀 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s=1/2}$에 대해 정확한 재개 방법을 개발한다.

위의 표현은 1/2보다 높은 회전수의 경우 정확하지 않지만, 테일러 시리즈에 비해 개선된 것이다.정확한 표현식은 더 높은 회전수에 대해서도 존재하며 ${\displaystyle \mathrm{2s}}$+ 1 ${\displaystyle 2s+1}$항을$$ 포함한다.상위 $스핀{\displaystyle {}_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -$†$ {\$displaystyle S_{+}=S_{-}^{\dager }}}$의 표현에 대한 위의 결과와 매우 유사하므로$$ 다시 시작은 은둔적이다.

또한 Hermitian Dyson-Malev 변종 깨달음 J는 위와 관련이 있으며 모든 스핀에 유효하다.

${\displaystyle J_{+}=\hbar \,a~,\qquad J_{-}=S_{-}~{\sqrt {2s-a^{\dagger }a}}=\hbar a^{\dagger }\,(2s-a^{\dagger }a)~,\qquad J_{z}=S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~,}$

동일한 감화 관계를 만족하고 동일한 Casimir 불변성으로 특징지어진다.

이 기법은 중앙이 없는 비라소로 대수인 위트 대수학까지 더 확장될 수 있다.^[8]

참고 항목

• 스핀파
• 요르단-위그너 변환
• 요르단-슈윙거 변환
• 보골리우보프-발라틴 변환
• 클라인 변환

참조