스핀-궤도 상호작용

스핀-궤도 상호작용(spin-orbit effect) 또는 스핀-궤도 결합(spin-orbit coupling)은 양자물리학에서 입자의 스핀과 퍼텐셜 내부에서의 운동의 상대론적 상호작용입니다. 이 현상의 핵심적인 예는 전자의 자기 쌍극자, 궤도 운동, 양전하를 띤 핵의 정전기장 사이의 전자기 상호작용으로 인해 전자의 원자 에너지 준위가 이동하는 스핀-궤도 상호작용입니다. 이 현상은 스펙트럼선의 분열로 감지할 수 있으며, 이는 두 가지 상대론적 효과, 즉 전자의 관점에서 볼 수 있는 겉보기 자기장과 고유 스핀과 관련된 전자의 자기 모멘트의 결과로 생각할 수 있습니다. 각운동량과 강한 핵력 사이의 관계로 인해 비슷한 효과가 핵 안에서 움직이는 양성자와 중성자에게 발생하여 핵 껍질 모델에서 에너지 수준의 변화를 초래합니다. 스핀트로닉스 분야에서는 반도체 및 기타 재료의 전자에 대한 스핀-궤도 효과를 기술적 응용을 위해 탐구합니다. 스핀-궤도 상호작용은 자기결정 이방성과 스핀 홀 효과의 기원에 있습니다.

원자의 경우 스핀-궤도 상호작용에 의해 생성되는 에너지 준위 분할은 일반적으로 운동 에너지 및 지터베궁 효과에 대한 상대론적 보정과 같은 크기입니다. 이 세 가지 보정을 더한 것을 미세 구조라고 합니다. 전자가 만드는 자기장과 핵의 자기모멘트 사이의 상호작용은 초미세구조라고 알려진 에너지 준위를 조금 더 가볍게 보정한 것입니다.

원자 에너지 준위에서

이 섹션에서는 일부 반고전적 전기역학 및 비상대론적 양자역학을 사용하여 섭동 이론에서 1차까지 수소와 유사한 원자에 결합된 전자에 대한 스핀-궤도 상호작용에 대해 비교적 간단하고 정량적으로 설명합니다. 이를 통해 관측치와 비교적 잘 일치하는 결과를 얻을 수 있습니다.

동일한 결과에 대한 엄격한 계산은 디랙 방정식을 사용하는 상대론적 양자역학을 사용할 것이며, 다체 상호작용을 포함할 것입니다. 훨씬 더 정확한 결과를 얻기 위해서는 양자 전기역학에서 작은 수정을 계산해야 합니다.

자기 모멘트의 에너지

자기장에서 자기 모멘트의 에너지는 다음에 의해 주어집니다.

\Delta H=-{\boldsymbol {\mu}}\cdot \mathbf {B},

여기

서 μ는 입자의 자기 모멘트이고,

B

는 입자가 경험하는 자기장입니다.

자기장

우리는 먼저 자기장을 다룰 것입니다. 핵의 나머지 틀에는 전자에 작용하는 자기장이 없지만, 전자의 나머지 틀에는 자기장이 있습니다(고전 전자기학 및 특수 상대성 이론 참조). 이 프레임이 관성이 아니기 때문에 일단 무시하고 결국 방정식으로 끝납니다.

\mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} } {c^{2}

여기

서 v는 전자의 속도,

E

는 전자가 통과하는 전기장입니다.^[a] 여기서

\gamma \backsimeq 1

relat

\gamma \backsimeq 1

극한에서, 우리는 로런츠

\gamma \backsimeq 1

γ ⋍ 1 {\

displaystyle

backsimeq 1}을 가정합니다. 이제

우리

는

E

가 반지름임을 알고

{\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}

E =

{\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}

Er {\

textstyle

\mathbf {E} =

\left

E

\right {\frac {\mathbfr

r}}을

{\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}

쓸 수 있습니다. 또한

\mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v}

는 전자 p

\mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v}

=

\mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v}

{\displaystyle \mathbf {p} = m_{\text{e}}\mathbf {v}의 운동량을 알고 있습니다. 이것을 대입하여 교차 곱의 순서를 바꾸면 다음이 됩니다.

\mathbf {B} = {\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} {m_{\text{e}}c^{2}}\left {\frac {E}{r}\r}\right.

다음으로, 우리는 $\mathbf {E} =-\nabla V$ 을 전위 $E$ = $\mathbf {E} =-\nabla V$ - ∇ V {\displaystyle \mathbf { $E$ } =-\n의 기울기로 표현합니다. $abla V}.$ 여기서 우리는 중심장 근사치를 만들고, 즉 정전 퍼텐셜은 구형 대칭이고, 오직 반지름의 함수입니다. 이 근사치는 수소 및 수소 유사 시스템에 대해 정확합니다. 이제 우리는 그렇게 말할 수 있습니다.

E =\left {\frac {\partial V}{\partial r}}\right ={\frac {1}{e}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}

여기서 $U=-eV$ = $U=-eV$ - $U=-eV$ V {\displaystyle U = - eV}는 중앙 필드에서 전자의 전위 에너지이고 $e$ 는 기본 전하입니다. 이제 우리는 고전역학에서 $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ 의 $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ = $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ r × p {\ $displaystyle$ \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}임을 기억합니다. 이 모든 것을 종합하면, 우리는

\mathbf {B} = {\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}{\frac {1}{r}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}\mathbf {L}.

이때 중요한 점은 $B$ 가 $L$ 을 곱한 양수라는 것인데, 이는 자기장이 입자의 궤도 각운동량과 평행하다는 것이며, 이는 그 자체가 입자의 속도에 수직이라는 것을 의미합니다.

전자의 스핀 자기 모멘트

전자의 스핀 자기 모멘트는

{\boldsymbol {\mu}}_{S}=-g_{\text{s}\mu_{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},

여기서

\mathbf {S}

{\

는

\mathbf {S}

스핀 각운동량 벡터, μ

\mu _{\text{B}}

{\

g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2

}}

은(는) 보어 자석이고 gs

=

g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2

...

{\displaystyle g_{\text{s

\approx

2}는 전자-회전-인자입니다.

{\boldsymbol {\mu }}

서 μ

{\

는

{\boldsymbol {\mu }}

스핀에 곱한 음의 상수이므로 스핀 자기 모멘트는 스핀 각운동량에 반평행입니다.

스핀 궤도 전위는 두 부분으로 구성됩니다. 라모르 부분은 전자의 스핀 자기모멘트와 전자의 공동운동 틀에서 핵의 자기장의 상호작용과 연결되어 있습니다. 두 번째 기여는 토마스 세차운동과 관련이 있습니다.

라모르 상호작용 에너지

라모르 상호작용 에너지는

\Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .

이 식에서 스핀 자기 모멘트와 자기장을 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

\Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .

이제 우리는 전자의 곡선 궤적에 대한 토마스 세차 보정을 고려해야 합니다.

토마스 상호작용 에너지

1926년 르웰린 토마스는 원자의 미세한 구조에서 이중선 분리를 상대론적으로 재계산했습니다.^[1] 토마스 세차율 ${\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}$ ω {\displaystyle ${\boldsymbol {\Omega}}$ _{\text{ $T}}$ 은(는) 회전하는 입자의 궤도 운동 ${\boldsymbol {\omega }}$ $ω$ {\displaystyle ${\boldsymbol {\$ omega}}의 각 주파수와 관련이 있습니다.

{\boldsymbol {\Omega}}_{\text{T}=-{\bold 기호 {\omega }}(\gamma -1),

여기서

\gamma

γ

{\displaystyle

\gamma}는 이동하는 입자의 로렌츠 인자입니다. 스핀 세차

{\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}

ω T

{\

displaystyle

{\boldsymbol {\Omega}}

_{\text{

T}}

은

{\boldsymbol {\Omega }}_{{\text{T}}}

(는) 다음과 같습니다.

\Delta H_{\text{T}}={\bold 기호 {\Omega}}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .

$(v/c)^{2}$ / $(v/c)^{2}$ ) $(v/c)^{2}$ ${\$ 의 첫 번째 순서로 $(v/c)^{2}$ 우리는

\Delta H_{\text{T}=-{\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .

총 상호작용 에너지

외부 정전 전위의 스핀 궤도 총 전위는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

\Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \ 근사 {\frac {\mu_{\text}B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .

토마스 세차의 순효과는 라모르 상호작용 에너지가 약 1/2배 감소하는 것으로, 토마스 절반으로 알려지게 되었습니다.

에너지 이동 평가

위의 모든 근사치 덕분에 이제 우리는 이 모델의 세부적인 에너지 이동을 평가할 수 있습니다. $L$ 과_z $S$ 는_z 더 이상 보존된 양이 아니라는 것을 주목하십시오. 특히, 우리는 $H$ (비 교란 해밀토니안)와 δH를 모두 대각선화하는 새로운 근거를 찾고자 합니다. 이것이 어떤 근거인지 알기 위해 먼저 총 각운동량 연산자를 정의합니다.

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .

이것의 도트 제품을 가지고 가면 우리는

\mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S}

(

L

과

S

가 통근하기 때문에), 따라서

\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} = {\frac {1} {2}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)

$5개$ $사업자$ $H$ , $J$ , L, S, $J$ 는 모두 서로, 그리고 δH와 함께 통근하는 것을 알 수 있습니다. 따라서 우리가 찾고 있던 기저는 이 5개 연산자의 동시 고유 기저(즉, 5개 모두 대각선인 기저)입니다. $n$ 기저의 원소는 n ${\displaystyle$ n $}("$ 주양자수"), j ${\displaystyle$ j $}("$ 총 각운동량 $양자수$ "), $\ell$ ℓ {\displaystyle $\$ ell}("궤도 각운동량 $"),$ s ${\displaystyle$ s}("스핀 양자수"), $j_{z}$ $j_{z}$ ${\$ 총 $각운동량$ 의 z 성분").

에너지를 평가하기 위해, 우리는 다음을 주목합니다.

\left\lang {\frac {1}{r^{3}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell(\ell +1)(2\ell +1)}

수소파 함수의 경우(여기서

a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)

=

a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)

ℏ / (Z α m c) {\displaystyle a =\hbar / (Z\alpha m_{\text{e}}c)}는 보어 반지름을 핵 전하 Z로 나눈 값입니다.

{\displaystyle \left\lang \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}} {\big(}\lang \mathbf {J} ^{2}\rangle -\lang \mathbf {L} ^{2}\rangle -\lang \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big)} ={\frac {\hbar ^{2}} {\big(}j(j+1)-\ell(\ell +1)-s(s+1){\big)}}.

최종 에너지 이동

우리는 이제 그렇게 말할 수 있습니다.

\Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big(}j(j+1)-\ell(\ell+1)-s(s+1){\big)}

어디에

\beta =\beta(n,l)=Z^{4}{\frac {\mu_{0}}{4\pi}}g_{\text{s}}\mu_{\text{s}}B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.

정확한 상대론적 결과는 수소와 같은 원자에 대한 디랙 방정식의 해를 참조하십시오.

위의 유도는 전자의 (순간적인) 정지 프레임에서 상호작용 에너지를 계산하고 이 기준 프레임에는 핵의 나머지 프레임에 없는 자기장이 있습니다.

또 다른 접근법은 핵의 나머지 틀에서 계산하는 것입니다. 예를 들어 George P를 참조하십시오. 피셔: 움직이는 자기 쌍극자의 전기 쌍극자 모멘트 (1971).^[4] 그러나 숨겨진 운동량을 고려해야 하기 때문에 나머지 프레임 계산이 회피되는 경우가 있습니다.^[5]

고형물중에

결정성 고체(반도체, 금속 등)는 밴드 구조를 특징으로 합니다. 전체 규모(코어 레벨 포함)에서 스핀-궤도 상호작용은 여전히 작은 섭동이지만, 페르미 레벨에 가까운 대역으로 확대하면 상대적으로 더 중요한 역할을 할 수 있습니다( $E_{\text{F}}$ ${\$ $F}}).$ $원자$ $\mathbf {L} \cdot \mathbf {S}$ ⋅ S {\ $displaystyle \mathbf$ {L} \ $cdot \mathbf$ {S} (스핀-궤도) 상호작용, 예를 들어, 그렇지 않으면 퇴화될 대역을 분할하고, 이 스핀-궤도 분할의 특정 형태(일반적으로 몇 백 밀리 전자볼트 정도)는 특정 시스템에 따라 달라집니다. 그런 다음 관심 대역은 일반적으로 약간의 섭동 접근 방식을 기반으로 하는 다양한 효과적인 모델로 설명할 수 있습니다. 원자 스핀-궤도 상호작용이 결정의 밴드 구조에 어떤 영향을 미치는지에 대한 예는 라쉬바와 드레셀하우스 상호작용에 대한 기사에서 설명됩니다.

결정성 고체에 포함된 상자성 이온, 예를 들어 폐쇄되지 않은 d 또는 f 원자 서브쉘을 갖는 이온에는 국부적인 전자 상태가 존재합니다.^[6]^[7] 이 경우, 원자와 같은 전자 준위 구조는 고유한 자기 스핀-궤도 상호작용과 결정 전기장과의 상호작용에 의해 형성됩니다.^[8] 이러한 구조를 미세 전자 구조라고 합니다. 희토류 이온의 경우 스핀-궤도 상호작용이 결정 전기장(CEF) 상호작용보다 훨씬 강합니다.^[9] 강한 스핀-궤도 결합은 J를 상대적으로 좋은 양자수로 만듭니다. 왜냐하면 첫 번째 여기된 배수는 기본 배수보다 적어도 ~130meV(1500K) 위에 있기 때문입니다. 결과적으로 상온(300K)에서 채우는 것은 무시할 정도로 작습니다. 이 경우 외부 CEF에 의해 $(2J$ + 1 $)$ 배의 퇴화된 1차 배수 분할은 이러한 시스템의 특성 분석에 기본적인 기여로 취급될 수 있습니다. 기저 $|J,J_{z}\rangle$ $Jz$ ⟩ ${\displaystyle$ J,J_{ $z$ rangle}에 대한 근사 계산의 경우, 원자 물리학에서 알려진 훈드 원리가 적용됩니다.

용어 구조의 기저 상태는 파울리 배제 원리에 의해 허용되는 최대값 $S$ 를 갖습니다.
접지 상태는 최대 허용 $L$ 값을 가지며, $최대$ S 값을 갖습니다.
기본 배수는 셸이 절반 이하일 때 대응하는 $J$ = L - $S$ 를 가지며, 채우기가 더 큰 J = $L$ + S를 갖습니다.

그라운드 배수의 $S$ , $L$ , $J$ 는 훈트의 규칙에 의해 결정됩니다. 접지 배수는 $2J$ + $1$ 로 퇴화되며, CEF 상호 작용과 자기 상호 작용에 의해 퇴화가 제거됩니다. CEF 상호작용과 자기적 상호작용은 원자물리학에서 알려진 스타크와 제만 효과를 닮았습니다. 이산 미세 전자 구조의 에너지와 고유 함수는 (2J + 1)차원 행렬의 대각선화에 의해 얻어집니다. 미세 전자 구조는 비탄성 중성자 산란(INS) 실험을 포함한 다양한 분광학적 방법으로 직접 감지할 수 있습니다. 강한 입방형 CEF^[10](3d 전이-금속 이온의 경우) 상호작용은 스핀-궤도 상호작용 및 (발생하는 경우) 낮은 대칭의 CEF 상호작용에 의해 부분적으로 분할되는 레벨 그룹(예_2g: T, A_2g)을 형성합니다. 이산 미세 전자 구조의 에너지와 고유 함수는 (2L + 1)(2S + 1) 차원 행렬의 대각선화에 의해 얻어집니다. 영점 온도(T = 0 K)에서는 가장 낮은 상태만 점유됩니다. T = 0 K에서의 자기 모멘트는 지면 상태의 모멘트와 같습니다. 전체, 스핀 및 궤도 모멘트를 평가할 수 있습니다. $고유$ 상태 및 해당 고유 함수 γ $|\Gamma _{n}\rangle$ ⟩ n display {\ $displaystyle \Gamma_$ {n}\rangle}은 결정 필드 및 스핀-궤도 상호 작용을 포함하는 해밀턴 행렬의 직접 대각선화에서 찾을 수 있습니다. 상태의 열 집단을 고려하여 화합물의 단일 이온 특성의 열 진화가 확립됩니다. 이 기술은 열역학적 및 해석적 계산을 포함하여 CEF 이론의 보완으로 정의되는 열역학적 및 해석적 계산에 의해 CEF가 넓어지는 등가 연산자 이론을^[11] 기반으로 합니다.

유효 해밀토니안의 예

대용량(3D) 아연 블렌드 반도체의 홀 밴드는 $\Delta _{0}$ δ 0 ${\$ displaystyle $\Delta$ _{0}}에 의해 무겁고 가벼운 홀(γ 8 ${\displaystyle$ \Gamma _{8}}-Brillouin 존의 지점에서 $\Gamma$ γ {\displaystyle \Gamma _{8}} $4중$ 홀을 $\Gamma _{8}$ 함 $)$ 및 $분할$ 밴드 $($ γ 7 {\displaystyle \Gamma _{7}})로 분할됩니다. 더블릿) γ $\Gamma _{6}$ γ ${\$ $displaystyle$ \Gamma _{6}} 더블렛의 두 전도 밴드({\displaystyle \Gamma _{6}} -포인트)를 포함하여 시스템은 Kohn과 Luttinger의 효과적인 8밴드 모델에 의해 설명됩니다. 값 대역의 상단만 관심이 있는 경우( $E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}$ : EF ≪ δ 0 {\ $displaystyle$ E_{\text}) $F}\ll \Delta$ _ ${0$ 원자가 밴드 상단에서 측정한 페르미 준위), 적절한 4밴드 유효 모델은

H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]

여기서

\gamma _{1,2,3}

γ 1,

\gamma _{1,2,3}

2, 3

{\displaystyle \gamma

_{1, 2, 3}는 러팅거 매개변수(

J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}

1밴드 모델의 단일 유효 질량과 유사)이고

J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}

y, z {\

displaystyle J_{\

text{

x}}, {\

text{

y}}, {\

text{z}}}는 각운동량 3

/

2

행렬

입니다(m

{\displaystyle

m}은 자유 전자 질량). 이러한 유형의 스핀-궤도 상호작용은 자화와 결합하여 자화 방향에 따라 전자 밴드를 왜곡시켜 자기결정 이방성(자기 이방성의 특수한 유형)을 유발합니다. 반도체에 반전 대칭이 부족하면 구멍 밴드는 입방형 드레셀하우스 분할을 보여줍니다. 4개의 밴드(가벼운 구멍과 무거운 구멍) 내에서 지배적인 항은

H_{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}

여기서 재료 파라미터 b $b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}$ $b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}$ 8 $b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}$ = $b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}$ - $b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}$ 81 $.93$ meV ⋅ nm 3 {\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}^{3}}일 때 GaAs에 대한 것입니다(윙클러 책 72쪽 참조, 보다 최근의 데이터에 따르면, GaAs의 드레셀하우스 상수는 9eVå이며, 총 해밀토니안은 $H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}$ + $H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}$ $H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}$ ${\displaystyle H_{\text{KL}}+$ 입니다. $H_{\text{$ $D}}3}).$ 비대칭 양자 우물(또는 이종 구조)에 있는 2차원 전자 가스는 라쉬바 상호 작용을 느낄 것입니다. 적절한 2밴드 유효 해밀토니안은

H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})

여기서

\sigma _{0}

σ 0

{\displaystyle \sigma_

{0}}는 2 × 2 항등

\sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}

,

\sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}

σ x, y

{\displaystyle \sigma_{\text{

x}}, {\text{y}}},

행렬

및 m ∗ {\displaystyle m^{*}}, 전자 유효 질량입니다.

H_{\text{R}}

{\

의 스핀 궤도 부분

R}}

은

H_{{\text{R}}}

(

는)

\alpha

{\

displaystyle \alpha}

로 매개변수화되며

\alpha

때로는 Rashba 매개변수(정의는 다소 다양함)로 불리며, 이는 구조 비대칭과 관련이 있습니다.

위의 스핀-궤도 상호작용 결합 스핀 행렬 $\mathbf {J}$ {\ $displaystyle$ $\mathbf {k}$ \ $mathbf {J}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ 및 σ ${\$ displaystyle ${\boldsymbol {\sigma }}$ {\ $sigma$ }}에서 준 $\mathbf {k}$ k ${\displaystyle \mathbf$ $\mathbf {k}$ k}, 그리고 Pierls 치환 ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ = ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ - ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ ∇ - ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ ℏ c A {\textstyle \mathbf { $k$ } =-i\n을 통해 AC 전기장의 $퍼텐셜$ A {\ $displaystyle \mathbf$ {A $}$ $abla$ - ${\frac$ { $e}{\hbar c}}\mathbf$ { $A}.$ $k$ 은 k ${\displaystyle$ k $}$ 의 거듭제곱에서 러팅거-콘 k·p 섭동 이론의 저차 항입니다 $k$ 이 확장의 다음 항들은 또한 전자 $\mathbf {r}$ r $\mathbf {r$ 의 스핀 연산자를 결합하는 항을 생성합니다 $\mathbf {r}$ 실제로 교차 곱 $({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })$ ( $({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })$ σ $×$ k) ${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma}}\times {\mathbf$ {k})}는 시간 반전에 대해 불변입니다. 입방정계 결정에서 벡터의 대칭성을 가지며 스핀 궤도 기여 ${\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {r}_{\text$ }의 의미를 얻습니다 $.$ $SO}}$ 을(를) 좌표 연산자에게 보냅니다 ${\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}$ . 전도와 무거운 구멍 밴드 사이에 $E_{\rm {G}}$ 좁은 $E_{\rm {G}}$ 의 $E_{\rm {G}}$ ${\$ 가 있는 반도체의 전자에 대해 Yafet은 방정식을^[13]^[14] 유도했습니다.

{\mathbf {r}}_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })

여기서

m_{0}

m_{0}

m_{0}

은 자유 전자 질량이고,

g

{\

displaystyle

g

}

는 스핀-orbit 상호작용을 위해 적절히 재정규화된 g

{\displaystyle

g

}

인자입니다. 이 연산자는 전자 스핀

\mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}

=

\mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}

σ

{\

displaystyle

\mathbf {E}

\

mathbf {S} = {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}를 상호 작용 에너지를 통해 전기장 E

{\

displaystyle

-e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )

\mathbf {E}에 직접 연결합니다 - e(r SO ⋅ E) {\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text}

SO}}\cdot \mathbf {E}

-e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )

진동 전자기장

전기 쌍극자 스핀 공명(EDSR)은 전자 스핀과 진동하는 전기장의 결합입니다. 전자가 전자파로 흥분될 수 있는 전자 스핀 공명(ESR)과 마찬가지로, EDSR에서는 진동수가 고체에서 스핀-궤도 결합에 의해 주어진 에너지 밴드 분할과 관련이 있을 경우 공명을 달성할 수 있습니다. ESR에서 전자파의 자기 부분과 전자 자기 모멘트를 통해 커플링을 얻는 반면, ESDR은 전자의 스핀과 운동과 전기 부분의 커플링입니다. 이 메커니즘은 양자점 및 기타 메조스코픽 시스템에서 전자의 스핀을 제어하기 위해 제안되었습니다.^[15]

참고 항목

각주

^ 사실 이것은 핵의 나머지 틀에 있는 전기장이지만, $v\ll c$ ≪ c ${\displaystyle$ v\ll c}의 경우에는 큰 차이가 없습니다.

참고문헌

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